资源简介

一元一次方程与实际应用问题
微专题1 和差倍分问题
和差倍分问题，一个条件用来设元，另一个条件用来列方程。
【例】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）列方程解答下面的问题．
某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？
【答案】8
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，根据共有28人参加列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解：设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，
由题意可得：，
解得：，
故有人选择乘坐电动巴士．
【变式】
1、（24-25七年级下·河南周口·期中）某公司有，两队挖掘机共120辆．现因工作需要从队调30辆支援队完成某项作业，这时队挖掘机的数量正好是队挖掘机数量的2倍．问，两队原来各有挖掘机多少辆？
【答案】队原来有挖掘机70辆，队原来有挖掘机50辆
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．根据题意，设队原来有挖掘机辆，则队原来有挖掘机辆，依题意列出一元一次方程即可解决问题．
【详解】解：设队原来有挖掘机辆，则队原来有挖掘机辆，
根据题意，得，
解得．
（辆）．
答：队原来有挖掘机70辆，队原来有挖掘机50辆．
2．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）双十一来临，一商家为应对订单高峰补充库存，现有甲、乙两个仓库储备空调，甲仓库的空调台数是乙仓库的空调台数的，后来又给乙仓库运来600台空调，这时甲仓库的空调台数比乙仓库的空调台数少，则甲仓库原来有空调 台．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键．
设乙仓库原有空调台数为台，则甲仓库原有台；乙仓库增加600台后为台，此时甲仓库台数比乙仓库少，即甲仓库台数为乙仓库台数的，据此列方程求解即可得到答案．
【详解】解：依题意，有方程：，
两边同乘35消分母：，
，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
，
则甲仓库原有台数为：，
故答案为：．
微专题2 盈余不足
一批物品物品分给多个人，不论如何分配，物品数量不变或者人数不变。其中一个作为未知量，另一个作为等量关系列方程。
【例】
（24-25七年级上·全国·课后作业）用化肥若干千克给麦田追肥，若每公顷麦田追肥6千克，则差17千克化肥；若每公顷麦田追肥5千克，则剩余3千克化肥，问麦田共多少公顷？化肥多少千克？
【答案】麦田共20公顷，化肥103千克
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意表示出化肥的总量是解题关键．
设麦田有x公顷，再根据化肥的量不变列出方程求解即可．
【详解】解：设麦田有x公顷，则化肥的质量为或，
得方程，
解得：，
化肥为（千克）．
答：麦田有20公顷，化肥有103千克．
【变式】
（24-25七年级上·河北邢台·期末）学校举办秋季田径运动会，七年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶．问该班有多少人参加比赛 每箱饮料有多少瓶
【答案】该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设该班有x人参加比赛，依据“每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶”列出方程，通过解方程求得x的值．
【详解】解：设班上有x个人参加比赛，由题意得：
，
解得，
每箱饮料瓶数（瓶），
答 ：该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶。
微专题3 配套问题
实际生活中，总有些物品会按照固定比例搭配使用（例：1个锅盖配1口锅、3个车轮配1辆车），遇到此类问题时，我们往往会合理分配人工或资源使得生产的物品数量正好搭配成套，没有剩余，总而不会造成资源上的浪费。
Step1：确定配套比，例如，m个A和n个B配成一套，则（写在草稿纸上）；
Step2：设立未知量，表示A和B的数量，代入配套比；
Step3：分式方程化为整式方程，抄到答题卡上，解方程。
【例】
1．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（ ）
A．） B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程．
【详解】解：设人生产螺栓，则有人生产螺母，
，
故选：A．
【变式】
1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，这是我国的传统家具八仙桌，一张八仙桌需配四条凳子．某工厂安排28名工人制作八仙桌和配套的凳子，平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子（每人每天只制作一种）．为了使每天制作的八仙桌和凳子恰好配套，则应安排几人制作八仙桌？
【答案】应安排7人制作八仙桌
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x人制作八仙桌，则有人制作配套的凳子，根据4条凳子和一张桌子配套，结合平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设安排x人制作八仙桌，则有人制作配套的凳子，根据题意得：
，
解得，
答：应安排7人制作八仙桌．
2、（24-25七年级上·山东临沂·期末）数学活动：
在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的大纸板进行裁剪（如图1）；为了避免材料浪费，同学们把每张大纸板先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得5张类正方形纸板或3张类长方形纸板（如图2，单位：）．
任务（1）：每张大纸板可以裁得类正方形纸板_____张，或裁得类长方形纸板_____张．
任务（2）：现有78张大纸板全部裁剪（每张大纸板只能一种裁法），得到类与类纸板分别当底面和侧面，做成如图3所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．怎样裁剪才能使剪出的A、B类纸板恰好用完，能做多少个纸盒？
【答案】（1）20；12；（2）18张大纸板裁A类正方形纸板，60张大纸板裁B类长方形纸板，恰好用完，能做180个纸盒
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）利用每张大纸板可以裁得A类正方形纸板的张数每张纸板条可以裁得A类正方形纸板的张数及每张大纸板可以裁得B类长方形纸板的张数每张纸板条可以裁得B类长方形纸板的张数，即求出结论；
（2）设用x张大纸板裁A类正方形纸板，根据剪出的A、B类纸板恰好用完（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面），可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，即可求出结论．
【详解】解：（1），
根据题意得：每张大纸板可以裁得A类正方形纸板（张），
每张大纸板可以裁得B类长方形纸板（张），
故答案为：20，12；
（2）设x张大纸板裁A类正方形纸板，则张大纸板裁B类正方形纸板，
由题意列方程：，
解得，
，
，
答：18张大纸板裁A类正方形纸板，60张大纸板裁B类长方形纸板，恰好用完，能做180个纸盒．
3．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完。
（1）需要安排多少张硬纸板用A方法，多少张硬纸板用B方法？
（2）能做成三棱柱盒子的个数为多少个？
【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；再由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数．
【详解】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法，
侧面的个数为：个，底面的个数为：个；
由题意得：，
解得：，
盒子的个数为：（个），
故选B．
微专题4 工程问题
工程问题是围绕“工作总量、工作效率、工作时间”，解决任务完成相关的分配、时间问题。工作总量未知时，往往设工作总量为1.
Step1：计算单人的工作效率；
Step2：如果工作可以分多个阶段完成，法一：工作总量=所有阶段的工作量之和；
如果工作可以分多个人完成，法二：工作总量=所有人的工作量之和。
其中：每个阶段或者每个人的工作量=工作效率×工作时间
【例】有一批零件加工任务，甲单独做要完成，乙单独做要完成．甲做了几小时后另有任务，剩下的量由乙单独完成，最终完成时乙比甲多做了．甲做了多少小时？
【答案】小时．
【分析】设甲做了x小时，则乙做了小时,根据甲乙两人的工作量之和为1列出方程，解方程即可．此题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设甲做了x小时，则乙做了小时,根据题意得，
，
解这个方程得，
答：甲做了小时．
【变式】
1．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？
【答案】4
【分析】设先安排做的人数是x人，根据题意，得，解方程即可．
本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，熟练掌握解题方法是解题的关键．
【详解】解：设先安排做的人数是x人，
根据题意，得，
解得．
答：先安排做的人数是4．
2．（19-20七年级上·天津南开·期末）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天．
(1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）；
(2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？
【答案】(1)这批校服共有960件
(2)乙厂全部工作时间是28天
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．
（1）设这批校服共有x件，根据单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天建立一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）设甲工厂加工的天数为y天，则乙工厂加工的天数为：（天），根据加工天数和总件数建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设这批校服共有x件,
由题意得：甲工厂加工这种校服用的天数为：，
乙工厂加工这种校服用的天数为：，
∵单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天，
∴，
解方程得：，
∴这批校服共有960件；
（2）解：乙厂引进了新设备后每天加工的数量为：件，
设甲工厂加工的天数为y天，
则乙工厂加工的天数为：（天），
由题意得：
解方程得：，
∴，
答：乙工厂加工的天数为28天．
微专题5 销售盈亏问题
Step1：结合题意，确定如下量：
①成本价(进价)：购进商品的价格； ②标价：售卖商品的吊牌价或建议零售价(即预计售价)；
③售价：售卖商品的价格（实际零售价）； ④打折：在标价的基础上按一定比例降价处理；
⑤利润：卖出商品后减去成本后所赚部分； ⑥利润率：利润占成本的百分率。
Step2：确立等量关系，常见的有：
①利润：成本×利润率=售价-进价 ②售价：成本×（1+利润率）=标价× ③利润率=
【例】
1．（求进价）一件服装标价200元，若以七折销售，仍可获利，则这件服装的进价是（ ）
A．100元 B．105元 C．108元 D．118元
【答案】A
【分析】根据题意，可以知道：进价＋利润＝售价，设进价为x元，根据利润率×进价＝售价-进价，列方程即可进行求解．
【详解】解：设进价为x元，
，
，
，
故选A．
2．（求折扣）某种商品的进价为800元，出售价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折．
【答案】九二
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店打折，根据商店打折销售，但要保证利润率为，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设商店打折，由题意，得：，
解得：；
3、（求盈亏/利润）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（ ）
A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设商品的成本价为元，商品的成本价为元，根据题意建立方程，分别求出的值，再比较总售价与总成本价的大小，由此即可得．
【详解】解：设商品的成本价为元，商品的成本价为元，
由题意得：，，
解得，，
∴，
∵两种商品的总售价为，即总售价小于总成本价，
∴这个商店在本次交易中亏损，
故选：A．
【变式】
1．（25-26七年级上·重庆·月考）某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（ ）
A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元，分别计算两件衣服的成本价：赚的衣服成本为售价除以，亏的衣服成本为售价除以，比较总成本与总售价，判断盈亏即可，
【详解】解：设赚的衣服成本为元，亏的衣服成本为元，
∵ 售价成本（利润率）”，
∴ ，
即，
∴，
同理，，
即 ，
∴ ，
∴总成本为元，总售价为元，
∴元，
∴亏了元，
故选：C．
2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元．
(1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？
(2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率）
【答案】(1)甲40件，乙60件
(2)乙种商品每件售价84元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
（1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可；
（2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价．
【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件，
则乙商品数量为（件）
答：甲商品40件，乙商品60件．
（2）解：总进价元
总售价元
甲总售价元
乙每件售价元
答：乙种商品每件售价84元．
3、为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊若购买本甲和本乙共需要元其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表：
甲 乙
进价元本
售价元本
(1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？
(2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共本，全部售完后总利润利润售价-进价为元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？
(3)第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚元，求甲书刊打了几折？
【答案】(1)甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元
(2)甲类书刊购进本，乙类书刊购进本
(3)甲书刊打了折
【分析】主要考查一元一次方程的应用和找等量关系，
根据购买本甲和本乙共需要元列方程，解方程即可求解；
设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，由全部售完后总利润利润售价进价为元可列方程，解方程结可求解；
设甲书刊打了折，分别求解本书的进价和售价，根据本书的利润列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
（元），
答：甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元．
（2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，
由题意得，
解得，
则乙类书刊购进（本），
答：甲类书刊购进本，乙类书刊购进本．
（3）设甲书刊打了折，则
本书的进价为（元），
本书的售价为，
本书的利润为，
解得，
答：甲书刊打了折．
4．（10分）某水果店以10元/千克的价格购进一批水果，由于销售良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进该水果共花去8400元．
(1)求该水果店两次分别购买了多少千克水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有10%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得7500元的利润，那么该水果店销售该水果每千克应定价为多少元？
【答案】(1)第一次购买了300千克，第二次购买了600千克
(2)20元
【分析】（1）设该水果店第一次购买了x千克该水果，则第二次购买了2x千克，根据总价等于单价乘以数量，列一元一次方程，即可求解；
（2）设该水果店每千克售价应定价为m元，根据利润等于销售收入减去进价及其他费用，列一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设该水果店第一次购买了x千克该水果，则第二次购买了2x千克，
依题意，得10x＋10（1﹣10%）×2x＝8400．
解得x＝300，
所以2x＝600．
答：该水果店第一次购买了300千克该水果，第二次购买了600千克该水果；
（2）解：设该水果店每千克售价应定价为m元，
依题意，得300×（1﹣5%）m＋600×（1﹣10%）m﹣600﹣8400＝7500，
解得m＝20．
答：该水果店销售该水果每千克应定价20元．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题目所给等量关系列出一元一次方程是解题的关键．
微专题6 行程问题（基础）
1、画图分析运动过程，设元表示线段长度，寻找线段之间的等量关系。相距问题注意分类讨论。
2、顺流逆流问题：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。
常见等量关系：距离相等、速度相等、时间相等。
【例】
1．（顺流逆流问题）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时．
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，设这只轮船在静水中的速度是千米/时，根据“（这只轮船在静水中的速度水速）从地顺流到地用的时间（这只轮船在静水中的速度水速）从地返回时用的时间”列出方程，求出这只轮船在静水中的速度是多少；然后根据“速度时间路程”求出两地之间的距离是多少；最后用两地之间的距离的倍除以这只轮船往返用的时间即可求出这只轮船往返的平均速度．理解题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时，
依题意，得：，
解得：，
∴、两地的距离为：，
∴（千米/时），
∴这只轮船往返的平均速度是千米/时，
故答案为：．
2．（追及相遇问题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行18千米，乙从地出发，每小时行14千米．
(1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？
(2)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？
(3)若乙在前，甲在后，两人同时同向而行，则几小时后甲追上乙？
(4)若乙在前，甲在后，两人同时同向而行，则几小时后两人相距4千米？
【答案】(1)2小时
(2)16小时
(3)小时或小时
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设经过小时两人相遇，根据“甲乙两人速度和时间两地距离”列出方程并求解即可；
（2）设经过小时后乙追上甲，根据“甲乙两人速度差时间两地距离”列出方程并求解即可；
（3）设经过小时两人相距16千米，分两人相遇前相距16千米和两人相遇后相距16千米两种情况，根据“甲乙两人速度和时间两地距离16千米”列出方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：设经过小时两人相遇，
根据题意可得 ，
解得（小时），
答：若两人同时出发相向而行，则经过2小时两人相遇；
（3）设经过小时两人相距16千米，
当两人相遇前相距16千米时，可有
，解得（小时），
当两人相遇后相距16千米时，可有
，解得（小时），
综上所述，若两人同时出发相向而行，则经过小时或小时两人相距16千米．
（2）设经过小时后甲追上乙，
根据题意可得 ，
解得（小时），
答：若乙在前，甲在后，两人同时同向而行，则16小时后甲追上乙；
【变式】
1．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离．
【答案】3168
【分析】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），涉及顺风速度无风速度风速、逆风速度无风速度风速的关系；解题的关键是设飞机无风时的速度为未知数，利用“甲、乙两城距离不变”这一条件列方程求解．
设飞机无风时的速度为x公里/小时，分别表示出顺风速度和逆风速度；根据“距离速度时间”，结合顺风、逆风飞行距离相等列方程，求出x后再计算两城距离．
【详解】解：设飞机无风时的速度为ⅹ公里/小时
顺风速度：公里/小时，逆风速度：公里/小时
∵甲、乙两城距离不变，且顺风需小时、逆风需6小时
∴列方程：
去括号：
移项：
合并：
解得：
两城距离：（公里）
答：两城之间的距离是公里
2．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是；
(1)求出发多长时间两车相遇？
(2)求出发多长时间两车相距？
【答案】(1)小时
(2)或
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．
（1）设两车t小时后两车相遇，根据题意列出方程求解即可．
（2）设出发m小时后两车相距，然后分两种情况列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设两车t小时后两车相遇，
则，
解得，
答：两车小时后两车相遇．
（2）解：设出发m小时后两车相距，
相遇前：
解得，
相遇后：
解得
答：出发或后两车相距．
3．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟．
(1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）；
(2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？
【答案】(1)
(2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米
【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得；
（2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度．
【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶，
∴小才登山所用时间为分钟，
故答案为：．
（2）解：由题意得：，
解得，
则山高为（米），
答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米．
微专题7 积分问题
1、已知胜负积分设胜负场数
2、已知胜负场数设胜负积分，设元时，
Step1：找是否有全胜或者全负的情况，据此快速计算胜负积分；
Step2：找是否有平局，如果有，计算赢一场和负一场的积分和，再据此设立未知量；
Step3：如果没有前两种情况，设立二元一次方程组更合适。
【例】
1、某次男篮联赛常规赛中部分队伍的最终积分榜
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）（知胜负场求积分）根据表格，求出胜一场和负一场的得分；
（2）（知胜负场求积分）如果删去积分榜的最后一行，求出胜一场和负一场的得分；
（3）（知积分求胜负场）有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗
（4）（知积分求胜负场）有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分的3倍
2、（知积分求胜负场）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所负场数是所胜场数的一半，结果共得14分，求国安队共平了多少场
解：设国安队共负了y场，
由题意得：2×2y+0×y+1×(11 3y)=14，解得：y=3
∴国安队负了11 3× 3=2场
答：国安队平了2场
【例】
1.某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 18 2 88
B 64
C 10 10 40
(1)参赛者D说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由：
(2)参赛者B答对了几道题？请你通过计算说明．
【详解】（1）不可能，
答对1题得5分，答错1题扣1分
∴参赛者E说他错了10个题，不可能得50分；
（2）∵共有20题，
设参赛者B答对y题，
由题意得，，
解得．
故参赛者B答对14题．
2．（22-23七年级上·广东·单元测试）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
【答案】(1)计算对了道题
(2)不能，理由见详解
【分析】本题主要考查一元一次方程与积分问题，
（1）设计算对了道题，则不答或错了道题，由此列式求解即可；
（2）由（1）的数量关系列式得，可得，不符合题意，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，设计算对了道题，则不答或错了道题，
∴，
解得，，
∴计算对了道题；
（2）解：不能，理由如下，
由（1）可得，，
解得，，
∵为正整数，
∴小明的最后得分不能为，
∴不能．
微专题8 分段计费问题
读懂分段计费的规则。
【例】（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表：
价目表（注：水费按月结算）
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出但不超出的部分 4元
超出的部分 8元
若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）．
(1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元；
(2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值；
(3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？
【答案】(1)60
(2)12.5
(3)该户居民4月份用水，5月份用水
【思路点拨】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用．
（1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可；
（2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可；
（3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围．
【规范解答】（1）解：，
2月份应交水费为：（元）．
（2）解：（元），（元），，
该户居民3月份用水，
，整理得：，
解得：，
答：的值为；
（3）解：设月份水量为，则月份为，
由题意，
当时，
则，
解得：（舍去），
当，
，
解得：，
则，
答：月份用水，月份用水．
【变式】
1、（24-25七年级上·全国·课后作业）某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量．
【答案】标准用电量为
【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
设标准用电量为，根据题意列一元一次方程求解即可．
【规范解答】设标准用电量为，
根据题意，得，
解得．
答：标准用电量为．
2、（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分
报销比例标准 不予报销
(1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元．
(2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？
(3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
【答案】(1)2450；9050；
(2)
(3)元
【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）根据所给报销标准列式计算即可；
（2）根据所给报销标准列式计算即可；
（3）设该农民当年实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案．
【规范解答】（1）解：元，元，
故答案为：2450；9050；
（2）解：元，
∴按照标准报销的金额为元；
（3）解：设该农民当年实际医疗费为y元，
∵，
∴，
∴，
解得，
答：该农民当年实际医疗费为元．
微专题9 方案决策
通过分析做差法的结果决出最佳方案。
【例】
企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种：
方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包：
方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折．
现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋．
(1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）．
(2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？
(3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
(4)试求当x>30时，采用哪种方案购买更划算？
【答案】(1)
(2)方案一更优惠
(3)60
【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答．
（2）把分别代入，再比较结果，即可作答．
（3）理解题意，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋
∴该客户按方案一购买，则（元），
即需付款元；
∴该客户按方案二购买，（元），
即需付款元；
（2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元；
∴当时，则（元），
∴当时，则（元），
∵，
∴方案一更优惠；
（3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元；
依题意，，
整理得，
∴，
∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
【变式】
1、用 纸在甲誊印社复印文件，复印页数不超过 时，每页收费 元；复印页 数超过 时，超过部分每页收费降为 元．在乙誊印社复印同样的文件，不论复印多少页， 每页收费 元．设复印页数为
(1)用含 x 的式子分别表示在甲誊印社复印文件时的费用为： 元，在乙誊印社复印文件 时的费用为： 元；
(2)复印页数为多少时，两处的收费相同？
(3)当复印页数超过50页时，如何选择誊印社复印文件更划算？请直接写出选择方案．
【答案】(1)
(2)复印页数为200时，两处的收费相同
(3)当时，选择乙誊印社；当时，两社均可；当时，选择甲誊印社
【分析】本题考查了分段函数的实际应用（复印费用计算）和一元一次方程的求解（费用相等问题），解题的关键是理解甲誊印社“分段计费”的规则，准确建立费用与复印页数的关系式，并通过方程或不等式比较两社费用．
（1）甲社费用：分50页以内（单价元）和超过50页部分（单价元），两部分相加得总费用；乙社费用：统一单价元，直接用页数乘单价；
（2）令甲、乙两社费用相等，列一元一次方程求解x的值；
（3）分甲社费用小于、等于、大于乙社费用三种情况，列不等式求解x的范围，确定选择方案．
【详解】（1）解：甲誊印社费用：50页以内费用为元，超过50页部分费用为
元，总费用为元；
乙誊印社费用：每页元，总费用为元．
故答案为：；．
（2）解：当两处收费相同时，令，
移项得，
即，
解得
答：复印页数为200时，两处的收费相同．
（3）解：①当甲社费用乙社费用时，，解得，此时选甲誊印社更划算；
②当甲社费用乙社费用时，，此时两社收费相同，任选其一均可；
③当甲社费用乙社费用时，，解得，此时选乙誊印社更划算．
综上，当时，选择乙誊印社；当时，两社均可；当时，选择甲誊印社．
2．在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？
批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案：
方案一：整体打九折；
方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套．
(1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元；
(2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（）．
若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
(3)经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？
【答案】(1)5550
(2)
(3)，选择方案二购买更省钱；，两种方案购买价格一样；，选择方案一购买更省钱
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式的知识，一元一次不等式的应用，
（1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买30个安全头盔和100副手套共需要花费；
（2）购买30个安全头盔需3000元，a副手套需30a元，再分别用代数式表示出所需费用；
（3）分三种情况列出关系式，求出a的取值范围即可.
【详解】（1）解：（元）.
故选择方案二共需花费5550元．
故答案为：5550元；
（2）解：购买30个安全头盔需3000元，
a副手套需元，
若选择方案一购买需元．
若选择方案二购买需元．
故答案为：，；
（3）解：当时，，
此时两种方案购买价格一样；
当时，，
∴，
此时选择方案二购买更省钱．
当时，，
此时选择方案一购买更省钱．
答：当时，选择方案二购买更省钱；当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案一购买更省钱．
微专题10 日历问题
行与行之间差7，列与列之间差1，设立未知量时，尽量对称设元。
【例】（23-24七年级上·江西九江·期末）图1是某年10月的月历．
(1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______．
(2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______．
(3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由．
【答案】(1)13，20，27；
(2)12；
(3)不存在，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
(1)设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，，根据被框住的三个数的和为60，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据各数之间的关系，可得出，，， ，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)假设存在，根据，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再利用求出该值大于31，即可得出假设不成立，即不存在的值，使得．
【详解】（1）解：设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，．
根据题意得，解得．
所以，．
故答案为：13，20，27．
（2）观察图1可知：
，，，
所以．
．
故答案为：12．
（3）不存在．
理由如下：
假设存在，由（2）得，
解得．所以．
因为，所以假设不成立．
所以不存在的值，使得．
【变式】
1．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数．
(1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）；
(2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键．
（1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案；
（2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68．
【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为，
∴这5个数之和为：，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
当时，，
∵a必须为整数，
∴这5个数的和不能等于68．
2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图表中给出的是某月的月历，任意用“H”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（ ）
A．60 B．74 C．84 D．98
【答案】C
【分析】本题考查了月历中数字的规律，解题的关键是设出中间数，根据“H型”框中数字的位置关系表示出7个数，进而得出和的表达式．
【详解】解：设“H型”框的中间数为，根据月历数字规律（相邻列差1、相邻行差7），
7个数为、、、、、、，
其和为，即和是的倍数．
A、，（非整数），此选项不符合题意；
B、 ，（非整数），此选项不符合题意；
C、，，对应数字4、6、11、12、13、18、20均在月历中，此选项符合题意；
D、，，14在最左侧一列，此选项不符合题意；
故选：C．
微专题11 行程问题（拔高）——数轴上的动点问题
【例】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
【答案】(1)，1
(2)①秒；②秒或秒
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．
∴点B表示的数为，
当点P运动到的中点时，它所表示的数是，
故答案为∶，1；
（2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇，
则，
解得，
即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇；
②设点P运动t秒
根据题意得：
当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则，
解得；
当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则，
解得，
∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．
【变式】
1、如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？
②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；
(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或
(3)存在常数，使得的值为定值，该定值为
【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值；
（2）当运动时间为秒时，点表示的数为．
根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数；
（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为．
【详解】（1）解；，
，，
，．
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
，
故答案为：，，；
（2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为．
依题意得：，
解得：，
故点运动秒时追上点．
依题意得：，
即或，
解得：或．
当时，；
当时，．
综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或；
2．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示）
(2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t．
【答案】(1)，
(2)运动时间为5秒或秒
【分析】本题考查了数轴、有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，分类讨论，是解题关键．
（1）根据数轴上12所对应的点与点A的距离为3根木棒的长度，即可得点A所表示的数；根据点的运动速度和方向、以及数轴的性质即可得点Q所表示的数；
（2）分、、和四种情况，分别求出点P所表示的数，根据P、Q两点在数轴上相距建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：A点表示的数为：；
Q表示的数为：．
故答案为：，．
（2）解：∵点A表示的数为，即，
∴，
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（大于3，舍去）或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（舍去）或（舍去），
当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是，
，
解得（舍去）或，
综上所述，运动时间为5秒或秒．一元一次方程与实际应用问题
微专题1 和差倍分问题
和差倍分问题，一个条件用来设元，另一个条件用来列方程。
【例】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）列方程解答下面的问题．
某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？
【变式】
1、（24-25七年级下·河南周口·期中）某公司有，两队挖掘机共120辆．现因工作需要从队调30辆支援队完成某项作业，这时队挖掘机的数量正好是队挖掘机数量的2倍．问，两队原来各有挖掘机多少辆？
2．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）双十一来临，一商家为应对订单高峰补充库存，现有甲、乙两个仓库储备空调，甲仓库的空调台数是乙仓库的空调台数的，后来又给乙仓库运来600台空调，这时甲仓库的空调台数比乙仓库的空调台数少，则甲仓库原来有空调 台．
微专题2 盈余不足
把一批物品物品分给多个人，不论如何分配，物品数量不变或者人数不变。其中一个作为未知量，另一个作为等量关系列方程。
【例】
（24-25七年级上·全国·课后作业）用化肥若干千克给麦田追肥，若每公顷麦田追肥6千克，则差17千克化肥；若每公顷麦田追肥5千克，则剩余3千克化肥，问麦田共多少公顷？化肥多少千克？
【变式】
（24-25七年级上·河北邢台·期末）学校举办秋季田径运动会，七年级（1）班班委会为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶．问该班有多少人参加比赛 每箱饮料有多少瓶
微专题3 配套问题
实际生活中，总有些物品会按照固定比例搭配使用（例：1个锅盖配1口锅、3个车轮配1辆车），遇到此类问题时，我们往往会合理分配人工或资源使得生产的物品数量正好搭配成套，没有剩余，总而不会造成资源上的浪费。
Step1：确定配套比，例如，m个A和n个B配成一套，则（写在草稿纸上）；
Step2：设立未知量，表示A和B的数量，代入配套比；
Step3：分式方程化为整式方程，抄到答题卡上，解方程。
【例】
1．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（ ）
A．） B．
C． D．
【变式】
1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，这是我国的传统家具八仙桌，一张八仙桌需配四条凳子．某工厂安排28名工人制作八仙桌和配套的凳子，平均每人每天能制作6张八仙桌或8条凳子（每人每天只制作一种）．为了使每天制作的八仙桌和凳子恰好配套，则应安排几人制作八仙桌？
2、（24-25七年级上·山东临沂·期末）数学活动：
在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的大纸板进行裁剪（如图1）；为了避免材料浪费，同学们把每张大纸板先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得5张类正方形纸板或3张类长方形纸板（如图2，单位：）．
任务（1）：每张大纸板可以裁得类正方形纸板_____张，或裁得类长方形纸板_____张．
任务（2）：现有78张大纸板全部裁剪（每张大纸板只能一种裁法），得到类与类纸板分别当底面和侧面，做成如图3所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．怎样裁剪才能使剪出的A、B类纸板恰好用完，能做多少个纸盒？
3．（24-25七年级上·全国·期末）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完。
（1）需要安排多少张硬纸板用A方法，多少张硬纸板用B方法？
（2）能做成三棱柱盒子的个数为多少个？
微专题4 工程问题
工程问题是围绕“工作总量、工作效率、工作时间”，解决任务完成相关的分配、时间问题。工作总量未知时，往往设工作总量为1.
Step1：计算单人的工作效率；
Step2：如果工作可以分多个阶段完成，法一：工作总量=所有阶段的工作量之和；
如果工作可以分多个人完成，法二：工作总量=所有人的工作量之和。
其中：每个阶段或者每个人的工作量=工作效率×工作时间
【例】有一批零件加工任务，甲单独做要完成，乙单独做要完成．甲做了几小时后另有任务，剩下的量由乙单独完成，最终完成时乙比甲多做了．甲做了多少小时？
【变式】
1．（24-25七年级上·四川自贡·期末）整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？
2．（19-20七年级上·天津南开·期末）某中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂能加工这批校服．已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工完这批校服甲厂比乙厂要多用20天．
(1)求这批校服共有多少件（列一元一次方程解决此问题）；
(2)若先由甲、乙两个工厂按原来的速度合作一段时间后，乙厂引进了新设备，使乙厂每天的加工效率提高了，剩下的部分由乙厂单独完成．如果乙厂全部工作时间是甲厂全部工作时间的2倍还多4天，那么乙厂全部工作时间是多少天？
微专题5 销售盈亏问题
Step1：结合题意，确定如下量：
①成本价(进价)：购进商品的价格； ②标价：售卖商品的吊牌价或建议零售价(即预计售价)；
③售价：售卖商品的价格（实际零售价）； ④打折：在标价的基础上按一定比例降价处理；
⑤利润：卖出商品后减去成本后所赚部分； ⑥利润率：利润占成本的百分率。
Step2：确立等量关系，常见的有：
①利润：成本×利润率=售价-进价 ②售价：成本×（1+利润率）=标价× ③利润率=
【例】
1．（求进价）一件服装标价200元，若以七折销售，仍可获利，则这件服装的进价是（ ）
A．100元 B．105元 C．108元 D．118元
2．（求折扣）某种商品的进价为800元，出售价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折．
3、（求盈亏/利润）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（ ）
A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断
【变式】
1．（25-26七年级上·重庆·月考）某商店卖出两件衣服，每件售价元，其中一件赚，另一件亏，那么两件衣服卖出后，商家（ ）
A．不赚不亏 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元
2．（25-26七年级上·安徽马鞍山·期中）综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元．
(1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？
(2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？
3、为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊若购买本甲和本乙共需要元其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表：
甲 乙
进价元本
售价元本
(1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？
(2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共本，全部售完后总利润利润售价-进价为元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？
(3)第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚元，求甲书刊打了几折？
4．（10分）某水果店以10元/千克的价格购进一批水果，由于销售良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜10%，所购进水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进该水果共花去8400元．
(1)求该水果店两次分别购买了多少千克水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有5%的损耗，第二次购进的水果有10%的损耗，并且在销售过程中的其他费用为600元，如果该水果店希望售完这些水果共获得7500元的利润，那么该水果店销售该水果每千克应定价为多少元？
微专题6 行程问题（基础）
1、画图分析运动过程，设元表示线段长度，寻找线段之间的等量关系。相距问题注意分类讨论。
2、顺流逆流问题：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。
常见等量关系：距离相等、速度相等、时间相等。
【例】
1．（顺流逆流问题）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时．
2．（追及相遇问题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行18千米，乙从地出发，每小时行14千米．
(1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？
(2)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？
(3)若乙在前，甲在后，两人同时同向而行，则几小时后甲追上乙？
(4)若乙在前，甲在后，两人同时同向而行，则几小时后两人相距4千米？
【变式】
1．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一架飞机飞行于甲、乙两城之间，顺风时需要小时，逆风时需要6小时，若风速是每小时24公里，求两城之间的距离．
2．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是；
(1)求出发多长时间两车相遇？
(2)求出发多长时间两车相距？
3．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟．
(1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）；
(2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？
微专题7 积分问题
1、已知胜负积分设胜负场数
2、已知胜负场数设胜负积分，设元时，
Step1：找是否有全胜或者全负的情况，据此快速计算胜负积分；
Step2：找是否有平局，如果有，计算赢一场和负一场的积分和，再据此设立未知量；
Step3：如果没有前两种情况，设立二元一次方程组更合适。
【例】
1、某次男篮联赛常规赛中部分队伍的最终积分榜
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
（1）（知胜负场求积分）根据表格，求出胜一场和负一场的得分；
（2）（知胜负场求积分）如果删去积分榜的最后一行，求出胜一场和负一场的得分；
（3）（知积分求胜负场）有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分吗
（4）（知积分求胜负场）有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分的3倍
2、（知积分求胜负场）一次足球赛11轮(即每队均需赛11场)，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京国安队所负场数是所胜场数的一半，结果共得14分，求国安队共平了多少场
【例】
1.某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 18 2 88
B 64
C 10 10 40
(1)参赛者D说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由：
(2)参赛者B答对了几道题？请你通过计算说明．
2．（22-23七年级上·广东·单元测试）为提高学生的计算能力，我校七年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛．速算规则如下：速算试题形式为计算题，共20道题，答对一题得5分，不答或错一题倒扣1分．小明代表班级参加了这次比赛，请解决下列问题：
(1)如果小明最后得分为82分，那么他计算对了多少道题？
(2)小明的最后得分可能为95分吗？如果不能，请说明理由．
微专题8 分段计费问题
读懂分段计费的规则。
【例】（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表：
价目表（注：水费按月结算）
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出但不超出的部分 4元
超出的部分 8元
若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）．
(1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元；
(2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值；
(3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？
【变式】
1、（24-25七年级上·全国·课后作业）某工厂宿舍电费管理制度规定：用电基本价格为0.40元/，若每月用电量超过标准用电量，则超过部分除收取基本电价外，另增收的费用．某宿舍八月份用电，共交电费35.52元，求标准用电量．
2、（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示：
费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分
报销比例标准 不予报销
(1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元．
(2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？
(3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？
微专题9 方案决策
通过分析做差法的结果决出最佳方案。
【例】
企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种：
方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包：
方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折．
现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋．
(1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）．
(2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？
(3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
(4)试求当x>30时，采用哪种方案购买更划算？
【变式】
1、用 纸在甲誊印社复印文件，复印页数不超过 时，每页收费 元；复印页 数超过 时，超过部分每页收费降为 元．在乙誊印社复印同样的文件，不论复印多少页， 每页收费 元．设复印页数为
(1)用含 x 的式子分别表示在甲誊印社复印文件时的费用为： 元，在乙誊印社复印文件 时的费用为： 元；
(2)复印页数为多少时，两处的收费相同？
(3)当复印页数超过50页时，如何选择誊印社复印文件更划算？请直接写出选择方案．
2．在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？
批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案：
方案一：整体打九折；
方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套．
(1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元；
(2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（）．
若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）；
(3)经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？
微专题10 日历问题
行与行之间差7，列与列之间差1，设立未知量时，尽量对称设元。
【例】（23-24七年级上·江西九江·期末）图1是某年10月的月历．
(1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______．
(2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______．
(3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由．
【变式】
1．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数．
(1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）；
(2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由．
2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图表中给出的是某月的月历，任意用“H”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和可能是（ ）
A．60 B．74 C．84 D．98
微专题11 行程问题（拔高）——数轴上的动点问题
【例】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
【变式】
1、如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．
(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，
①问点运动多少秒时追上点？
②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；
(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
2．（25-26七年级上·北京·期中）如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示）
(2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t．

展开更多......

收起↑