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全等三角形的判定复习讲义
考点目录
用证明三角形全等 用证明三角形全等
用或证明三角形全等 用证明三角形全等
全等的性质与综合 全等的性质与（）综合
【知识点解析】
1. （边边边）定理：如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等.
2.核心条件
（1）两个三角形需满足 “三条边对应相等”：即△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'、BC = B'C'、AC = A'C'，三者缺一不可.
（2）“对应边” 是关键：必须是两个三角形中相对应的边（如△ABC 的最长边对应△A'B'C' 的最长边，最短边对应最短边），而非任意三条边相等.
3.符号表示与书写规范
（1）符号：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS），括号内标注判定依据 “SSS”.
（2）书写顺序：对应顶点需按顺序写（如 AB 对应 A'B'，则 A 对应 A'、B 对应 B'、C 对应 C'），避免混淆.
【例题分析】
例1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？
【答案】，理由见解析．
【详解】解：，理由如下：
，
，即，
在和中，
，
．
例2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
∴．
例3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知D是上一点，；求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，
，
又，
，
在与中，
．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知等腰三角形的一边长为7，一边长为3，求它的周长．
（2）如图，已知，求证：．
【答案】（1）17；（2）见详解
【详解】（1）解：当7为腰时，三边分别是7，7，3，周长为；
当7为底边时，三边分别是7，3，3，
∵，
∴不存在；
（2）证明：∵在和中，
，
．
变式2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段的中点，，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：点是线段的中点，
．
在和中，
，
．
变式3．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由．
如图，已知，，，，求的度数．
解：∵，（已知），
∴_______（等式的性质），即．
在和中，，
∴______________，
∴（________）．
【答案】，，，，，全等三角形的对应角相等．
【详解】由等式的性质得，
．
在和中，
，
，
（全等三角形的对应角相等）．
【知识点解析】
1. （边角边）定理：如果两个三角形的两条对应边相等，且这两条边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.
2.必备条件（三者缺一不可）
（1）两条对应边相等（如△ABC 的 AB 与△A'B'C' 的 A'B' 相等，AC 与 A'C' 相等）；
（2）这两条边的夹角对应相等（即∠A = ∠A'，夹角是两条边的公共顶点处的角，而非其中一条边的对角）；
（3）“对应” 原则：边和角必须一一对应（边 AB 对应 A'B'，边 AC 对应 A'C'，则夹角必须是∠A 和∠A'）.
3.关键区别：夹角 vs 对角SAS 定理的核心是 “夹角”，如果是两条边和其中一条边的对角相等（即 “边边角”，简称 SSA），不能判定三角形全等（因为这种情况可能出现两个不同形状的三角形）.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且．
(1)求证：；
(2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【详解】（1）证明：∵，
∴，即．
∴，
∴．
又∵
∴；
（2）成立，证明如下：
∵，
∴，即．
∵，
∴．
又∵，
∴．
例2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：．
【答案】证明见详解
【详解】证明：∵，点B，F，C，E在同一直线上，
∴，即，
在和中，
，
∴．
例3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练】
变式1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由．
【答案】全等，见解析
【详解】解：与全等，理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：点分别为的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
．
变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
∴，
，
，
；
（2）解：∵，
，
设与交于点O，
，
，
，
．
【知识点解析】
1. （角边角）定理：
（1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）关键条件（三者缺一不可）
①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）；
②这两个角的夹边对应相等（即∠A 和∠B 的夹边 AB=∠A' 和∠B' 的夹边 A'B'）；
③“对应” 原则：角与夹边必须一一对应（角对的是夹边，而非其他边）.
2. （角边角）定理：
（1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）关键条件（三者缺一不可）
①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）；
②其中一个角的对边对应相等（如∠C 的对边 AB=∠C' 的对边 A'B'，或∠A 的对边 BC=∠A' 的对边 B'C'）；
③本质：由三角形内角和为 180°，两个角相等则第三个角必然相等，因此 AAS 可看作 ASA 的 “推论”（将对边转化为夹边）。
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，，，．求证．
【答案】见解析
【详解】证明：，
，
．
在和中
．
例2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)请判断和的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
【详解】（1）证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
．
（2）解：，，理由如下：
，
，
∴．
例3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．全等吗？请说明理由．
【答案】见解析
【详解】解：全等．理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：，，
．
，
．
．
在和中，
．
．
（2）证明：在和中，
．
．
变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【知识点解析】
1.HL（斜边、直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.
2.必备条件（三者缺一不可）
（1）两个三角形都是直角三角形（即∠C=∠C'=90°，需明确直角顶点）；
（2）斜边对应相等（如 Rt△ABC 的斜边 AB = Rt△A'B'C' 的斜边 A'B'）；
（3）一条直角边对应相等（如 Rt△ABC 的直角边 AC = Rt△A'B'C' 的直角边 A'C'，或 BC = B'C'）.
3.HL 与其他判定定理的关系
（1）HL 本质是 SSS 的特例
直角三角形中，由勾股定理（a +b =c ）可知，若斜边 c 和一条直角边 a 对应相等，则另一条直角边 b=√(c -a ) 必然相等，因此 HL 等价于 “斜边 + 两条直角边对应相等”（SSS），但 HL 更简洁，无需计算另一条直角边.
（2）直角三角形的全等判定选择
①若已知斜边 + 直角边：用 HL；
②若已知两条直角边：用 SAS（直角是两条直角边的夹角）；
③若已知直角 + 一条直角边 + 一个锐角：用 ASA 或 AAS.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：在和中，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
．
例2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且．
(1)写出图中一对全等的三角形：______；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：全等的三角形有；
故答案为：；
（2）证明：是边的中点，
，
又，，
，
又∵，
在和中，
，
．
．
例3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明： ，
与为直角三角形．
在与中
．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，.
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
.
变式2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）证明：，
和是直角三角形，
在和中，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
．
变式3．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：，，
∴，
，
∴，即．
在和中，
，
∴．
【知识点解析】
1.核心逻辑：“判定→性质” 的推导链
（1）SAS 判定（前提）：找到两个三角形中 “两条对应边相等 + 夹角相等” 的条件，证明△ABC ≌ △A'B'C'；
（2）全等性质（结论）：由全等直接得出
①剩余一组对应边相等（AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C' 中未用作判定的边）；
②所有对应角相等（∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'）；
③延伸推导：结合其他几何性质（如平行线、角平分线、中线），进一步证明线段平行、垂直或图形全等。
2.解题通用步骤
（1）定位目标三角形：明确需要证明全等的两个三角形（通常由待证结论反推，如要证某条线段相等，先看该线段属于哪两个三角形）；
（2）梳理 SAS 条件：
①找相等的边：已知条件、公共边、中点 / 中线性质、角平分线性质、平行线性质推导的边相等；
②找相等的夹角：已知条件、公共角、平行线的内错角 / 同位角、角平分线性质推导的角相等；
（3）用 SAS 证明全等：严格按照 “边→角→边” 的顺序书写证明过程，标注判定依据（SAS）；
（4）用全等性质得结论：根据待证目标，提取全等三角形的对应边 / 角相等，完成证明.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
．
．
（2），
，
又，
．
例2．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴．
例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知．求的度数．
【答案】
【详解】解：在与中
∵
∴
∴．
∵，
∴．
变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结．
(1)求证：；
(2)过点作于点，于点，求证：；
(3)若，求的度数（直接写出答案）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（）得，，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∴；
（3）解：如图，设与交于点，
由（）得，，由（）得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
变式3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)30
【详解】（1）证明：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
例2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知：，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
，
．
例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点D在的延长线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：点D是延长线上一点，，
，
在和中，
，
，
．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，过点作，过点作，两条垂线和相交于点，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：（1）证明：，
，
，
．
在和中，
（）．
（2），
，
．
变式2．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！
(1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：．
(2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)不成立；；证明见解析
【详解】（1）证明：因为，，
所以．
所以，．
所以．
在和中，
所以．
（2）证明：因为，
所以．
所以，．
所以．
在和中，
所以．
所以，．
因为，
所以．
（3）解：结论不成立，．理由如下：
因为，，
所以．
又，
在和中，
所以．
所以，．
因为，
所以．
变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究．
(1)如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明．
(2)小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____；
(3)小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【详解】（1），理由如下：
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
（2）∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
故答案为：
（3）∵，，，
∴．
又∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
故答案为：全等三角形的判定复习讲义
考点目录
用证明三角形全等 用证明三角形全等
用或证明三角形全等 用证明三角形全等
全等的性质与综合 全等的性质与（）综合
【知识点解析】
1. （边边边）定理：如果两个三角形的三条对应边分别相等，那么这两个三角形全等.
2.核心条件
（1）两个三角形需满足 “三条边对应相等”：即△ABC 和△A'B'C' 中，AB = A'B'、BC = B'C'、AC = A'C'，三者缺一不可.
（2）“对应边” 是关键：必须是两个三角形中相对应的边（如△ABC 的最长边对应△A'B'C' 的最长边，最短边对应最短边），而非任意三条边相等.
3.符号表示与书写规范
（1）符号：△ABC ≌ △A'B'C'（SSS），括号内标注判定依据 “SSS”.
（2）书写顺序：对应顶点需按顺序写（如 AB 对应 A'B'，则 A 对应 A'、B 对应 B'、C 对应 C'），避免混淆.
【例题分析】
例1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，B，D，C，F四点在同一直线上，，，，与是否全等？为什么？
例2．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，点E，B，F，C在一条直线上，已知，，．求证：．
例3．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知D是上一点，；求证：．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）（1）已知等腰三角形的一边长为7，一边长为3，求它的周长．
（2）如图，已知，求证：．
变式2．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，点是线段的中点，，，求证：．
变式3．（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由．
如图，已知，，，，求的度数．
解：∵，（已知），
∴_______（等式的性质），即．
在和中，，
∴______________，
∴（________）．
【知识点解析】
1. （边角边）定理：如果两个三角形的两条对应边相等，且这两条边的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.
2.必备条件（三者缺一不可）
（1）两条对应边相等（如△ABC 的 AB 与△A'B'C' 的 A'B' 相等，AC 与 A'C' 相等）；
（2）这两条边的夹角对应相等（即∠A = ∠A'，夹角是两条边的公共顶点处的角，而非其中一条边的对角）；
（3）“对应” 原则：边和角必须一一对应（边 AB 对应 A'B'，边 AC 对应 A'C'，则夹角必须是∠A 和∠A'）.
3.关键区别：夹角 vs 对角SAS 定理的核心是 “夹角”，如果是两条边和其中一条边的对角相等（即 “边边角”，简称 SSA），不能判定三角形全等（因为这种情况可能出现两个不同形状的三角形）.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·四川眉山·期中）如图1，A，B，C，D在同一直线上，，，且．
(1)求证：；
(2)如果将沿着边的方向平行移动，如图2时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
例2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，已知点B，F，C，E在同一直线上，并且，，．求证：．
例3．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）已知：如图，，，．求证：．
【变式训练】
变式1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由．
变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，已知相交于点，点分别为的中点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
变式3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，相交于点F，若．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【知识点解析】
1. （角边角）定理：
（1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且这两个角的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）关键条件（三者缺一不可）
①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）；
②这两个角的夹边对应相等（即∠A 和∠B 的夹边 AB=∠A' 和∠B' 的夹边 A'B'）；
③“对应” 原则：角与夹边必须一一对应（角对的是夹边，而非其他边）.
2. （角边角）定理：
（1）定理内容：如果两个三角形的两个对应角相等，且其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）关键条件（三者缺一不可）
①两个对应角相等（如△ABC 的∠A=△A'B'C' 的∠A'，∠B=△A'B'C' 的∠B'）；
②其中一个角的对边对应相等（如∠C 的对边 AB=∠C' 的对边 A'B'，或∠A 的对边 BC=∠A' 的对边 B'C'）；
③本质：由三角形内角和为 180°，两个角相等则第三个角必然相等，因此 AAS 可看作 ASA 的 “推论”（将对边转化为夹边）。
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，，，．求证．
例2．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)请判断和的关系，并说明理由．
例3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且．全等吗？请说明理由．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，点D在上，点E在上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
变式2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作，，连接，且交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
变式3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知点在同一直线上，．求证：．
【知识点解析】
1.HL（斜边、直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.
2.必备条件（三者缺一不可）
（1）两个三角形都是直角三角形（即∠C=∠C'=90°，需明确直角顶点）；
（2）斜边对应相等（如 Rt△ABC 的斜边 AB = Rt△A'B'C' 的斜边 A'B'）；
（3）一条直角边对应相等（如 Rt△ABC 的直角边 AC = Rt△A'B'C' 的直角边 A'C'，或 BC = B'C'）.
3.HL 与其他判定定理的关系
（1）HL 本质是 SSS 的特例
直角三角形中，由勾股定理（a +b =c ）可知，若斜边 c 和一条直角边 a 对应相等，则另一条直角边 b=√(c -a ) 必然相等，因此 HL 等价于 “斜边 + 两条直角边对应相等”（SSS），但 HL 更简洁，无需计算另一条直角边.
（2）直角三角形的全等判定选择
①若已知斜边 + 直角边：用 HL；
②若已知两条直角边：用 SAS（直角是两条直角边的夹角）；
③若已知直角 + 一条直角边 + 一个锐角：用 ASA 或 AAS.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
例2．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，点D是BC的中点，，，垂足分别为E，F，且．
(1)写出图中一对全等的三角形：______；
(2)求证：．
例3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，.
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数.
变式2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，相交于点．求证：
(1)；
(2)．
变式3．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：．
【知识点解析】
1.核心逻辑：“判定→性质” 的推导链
（1）SAS 判定（前提）：找到两个三角形中 “两条对应边相等 + 夹角相等” 的条件，证明△ABC ≌ △A'B'C'；
（2）全等性质（结论）：由全等直接得出
①剩余一组对应边相等（AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C' 中未用作判定的边）；
②所有对应角相等（∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'）；
③延伸推导：结合其他几何性质（如平行线、角平分线、中线），进一步证明线段平行、垂直或图形全等。
2.解题通用步骤
（1）定位目标三角形：明确需要证明全等的两个三角形（通常由待证结论反推，如要证某条线段相等，先看该线段属于哪两个三角形）；
（2）梳理 SAS 条件：
①找相等的边：已知条件、公共边、中点 / 中线性质、角平分线性质、平行线性质推导的边相等；
②找相等的夹角：已知条件、公共角、平行线的内错角 / 同位角、角平分线性质推导的角相等；
（3）用 SAS 证明全等：严格按照 “边→角→边” 的顺序书写证明过程，标注判定依据（SAS）；
（4）用全等性质得结论：根据待证目标，提取全等三角形的对应边 / 角相等，完成证明.
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，，，，，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求．
例2．（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，，求证：．
例3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，延长到点E，使，连接、．求证：．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知．求的度数．
变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结．
(1)求证：；
(2)过点作于点，于点，求证：；
(3)若，求的度数（直接写出答案）．
变式3．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，，，点B、D、E在同一条直线上，，，求的度数．
【例题分析】
例1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
例2．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知：，．求证：．
例3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点D在的延长线上，，，．求证：．
【变式训练】
变式1．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，在中，过点作，过点作，两条垂线和相交于点，且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
变式2．（25-26八年级上·湖北十堰·期中）阅读理解，自主探究：我们都知道，构建数学模型图有助于帮助我们解决复杂的几何问题，下列图形是我们常见的一种模型，我们一起来探究一下吧！
(1)【问题解决】如图1，，直线是经过点A的直线，于D，于E，求证：．
(2)【类比训练】如图2，中，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明三条线段之间有怎样的数量关系？并给出证明过程．
变式3．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究．
(1)如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明．
(2)小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____；
(3)小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____．

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