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18.4整数指数幂
【基础巩固篇】
【题型1】负整数指数幂的定义应用
1.核心知识点总结
定义：当是正整数时，，即是的倒数。
符号规则：与正整数指数幂一致：①时，；②时，为偶数则，为奇数则。
2.高频考点梳理
直接计算具体数字的负整数指数幂（如、）。
结合零指数幂考查底数的取值范围（如有意义的条件）。
3.易错点警示
忽略底数的限制（如认为有意义）。
底数为负数时符号判断错误（如误将算为）。
4.解题技巧拆解
步骤：①先判断底数符号，确定结果符号；②将负指数转化为正指数的倒数；③计算正指数幂，得出结果。
【典例1】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ．
【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算的结果是 ．
【变式2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算： ．
【题型2】整数指数幂的单一运算性质应用
1.核心知识点总结
运算性质 公式（，为整数)
同底数幂乘法
同底数幂除法
幂的乘方
积的乘方
商的乘方
2.高频考点梳理
单一运算性质的直接应用(如、)。
运算性质的逆向应用(如求)。
3.易错点警示
指数运算错误(如误算为)。
商的乘方漏算分母的乘方(如误算为)。
4.解题技巧拆解
关键：先识别运算类型，匹配对应性质；再聚焦指数运算，遵循“加减乘除”规则。
口诀：“同底相乘加指数，同底相除减指数，幂的乘方乘指数，积商乘方分别乘”。
【典例1】．（25-26八年级上·广东江门·期中）若，，则 ．
【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【变式3】．（20-21七年级下·广东揭阳·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的数
1.核心知识点总结
形式：绝对值小于1的非零数可表示为，其中，是正整数。
的确定：①左起第一个非0数字前0的个数(含小数点前的0)；
②小数点向右移到第一个非0数字后，移动的位数。
2.高频考点梳理
表示纯小数(如、)。
结合单位换算表示(如转化为米的科学记数法)。
3.易错点警示
的取值范围错误(如误表示为)。
漏加负号或的个数数错(如误表示为)。
4.解题技巧拆解
三步法：①定：提取的数字；
②定：数清第一个非0数字前的0的个数；
③写形式：。
【典例1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为 ．
【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数：
（1） ；
（2） ．
【变式3】．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m
【题型4】科学记数法还原为小数
1.核心知识点总结
还原规则：将(，为正整数)还原时，把的小数点向左移动位。
2.高频考点梳理
直接还原纯小数(如、)。
比较还原后小数的大小(如比较与)。
3.易错点警示
小数点移动方向错误(如误向右移动)。
移动位数不足时漏补0(如误还原为)。
4.解题技巧拆解
口诀：“指数负，向左移；指数是几，移几位；位数不够，0来补”。
【典例1】．（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（ ）
A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108
【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化为小数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）小数“”用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【能力提升篇】
【题型5】整数指数幂的混合运算(提升)
1.核心知识点总结
运算顺序：先算乘方(含负指数幂)，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。
转化原则：最终结果需化为正整数指数幂形式(特殊要求除外)。
2.高频考点梳理
多运算性质的综合应用(如)。
结合零指数幂、绝对值的混合运算(如)。
3.易错点警示
运算顺序混乱(如先算乘除再算乘方)。
负指数幂转化不彻底(如结果保留而非)。
4.解题技巧拆解
四步走：①化简负指数幂(转化为倒数)；②算乘方(幂的乘方、积的乘方)；③算乘除(同底数幂运算)；④化简为正指数幂。
【典例1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算：．
【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算：
【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）化简：．
【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【题型6】负整数指数幂与代数式求值(培优)
1.核心知识点总结
整体代换思想：利用完全平方公式、平方差公式转化代数式，如：
2.高频考点梳理
已知求、。
已知分式条件求代数式值(如，求)。
3.易错点警示
完全平方公式漏项(如误算为，忽略中间项2)。
分式与负指数幂转化错误(如误转化为)。
4.解题技巧拆解
步骤：①将已知条件转化为的形式；②利用完全平方公式展开，代入已知值；③逐步推导目标代数式。
【典例1】．（23-24八年级上·全国·期末）已知，则的值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知 ，求 的值．
【变式2】．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【变式3】．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值．
（2）计算：
【拓展培优篇】
【题型7】科学记数法的实际应用(提升)
1.核心知识点总结
场景：纳米技术、微生物尺寸、量子计算时间等跨学科场景，需结合单位换算(如、)。
运算：先统一单位，再进行乘除运算，结果保留科学记数法。
2.高频考点梳理
单位换算+科学记数法表示(如转化为的科学记数法)。
实际场景中的数量计算(如可容纳多少个的物体)。
3.易错点警示
单位换算错误(如混淆与)。
运算时指数计算错误(如误算为)。
4.解题技巧拆解
步骤：①统一单位(将不同单位转化为目标单位)；②用科学记数法表示各量；③进行指数运算(同底数幂相乘除，指数相加减)；④结果保持。
【典例1】．（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有．
(1)用科学记数法表示上述三个数据．
(2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
【变式1】．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有．
(1)用科学记数法表示上述三个数据．
(2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
【变式2】．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体集装箱的棱长为．
(1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________；
(2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示）
【变式3】．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
同步练习
一、单选题
1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ．
7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为 米．
8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知，则 ．
9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ．
10．（25-26八年级上·山东·课后作业）下列各数：①，②，③，④，⑤…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦，无理数有 （填序号）．
三、解答题
11．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
12．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中．
13．（15-16七年级下·江苏·期末）数学课上，楚老师出了这样一道题：已知，，求代数式的值，小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：．
(1)计算：　　　　；　　　　；
(2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　；
(3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值．
15．（2025·贵州·一模）（1）计算：；
（2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
任务一：第步运算的依据是 ；
任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程．
16．（25-26八年级上·全国·课后作业）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边；
③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
(1)类比探究：
请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
(2)基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______；
②若t，r为常数，满足，则_______．18.4整数指数幂
【基础巩固篇】
【题型1】负整数指数幂的定义应用
1.核心知识点总结
定义：当是正整数时，，即是的倒数。
符号规则：与正整数指数幂一致：①时，；②时，为偶数则，为奇数则。
2.高频考点梳理
直接计算具体数字的负整数指数幂（如、）。
结合零指数幂考查底数的取值范围（如有意义的条件）。
3.易错点警示
忽略底数的限制（如认为有意义）。
底数为负数时符号判断错误（如误将算为）。
4.解题技巧拆解
步骤：①先判断底数符号，确定结果符号；②将负指数转化为正指数的倒数；③计算正指数幂，得出结果。
【典例1】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算 和 ，再进行有理数加法运算．
本题主要考查零指数幂和负整数指数幂的计算，掌握其运算法则是关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了积的乘方，同底数幂的乘法和负整数指数幂，
根据指数运算法则，先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法．
【详解】
．
故答案为：x．
【变式2】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在，，，四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，实数的大小比较，先利用负整数指数幂，零指数幂化简，然后比较大小即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
又，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
【变式3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的计算方法是解题的关键．
利用零指数幂和负整数指数幂的计算方法计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【题型2】整数指数幂的单一运算性质应用
1.核心知识点总结
运算性质 公式（，为整数)
同底数幂乘法
同底数幂除法
幂的乘方
积的乘方
商的乘方
2.高频考点梳理
单一运算性质的直接应用(如、)。
运算性质的逆向应用(如求)。
3.易错点警示
指数运算错误(如误算为)。
商的乘方漏算分母的乘方(如误算为)。
4.解题技巧拆解
关键：先识别运算类型，匹配对应性质；再聚焦指数运算，遵循“加减乘除”规则。
口诀：“同底相乘加指数，同底相除减指数，幂的乘方乘指数，积商乘方分别乘”。
【典例2】．（25-26八年级上·广东江门·期中）若，，则 ．
【答案】30
【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，求代数式的值，利用指数运算法则，将转化为，再代入已知值计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：30．
【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据积的乘方法则将原式分解为系数和字母分别进行负指数幂运算，再将结果相乘即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
【变式2】．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式3】．（20-21七年级下·广东揭阳·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了单项式除以单项式，多项式除以单项式，整数指数幂的运算等，熟练掌握相关运算顺序是解题的关键；
（1）先计算积的乘方，再进行单项式除以单项式运算；
（2）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项；
（3）先利用整数指数幂化简，再进行计算；
（4）根据多项式除以单项式的运算法则进行计算．
【详解】（1）
，
．
（2）
，
．
（3）
，
．
（4）
，
．
【题型3】科学记数法表示绝对值小于1的数
1.核心知识点总结
形式：绝对值小于1的非零数可表示为，其中，是正整数。
的确定：①左起第一个非0数字前0的个数(含小数点前的0)；
②小数点向右移到第一个非0数字后，移动的位数。
2.高频考点梳理
表示纯小数(如、)。
结合单位换算表示(如转化为米的科学记数法)。
3.易错点警示
的取值范围错误(如误表示为)。
漏加负号或的个数数错(如误表示为)。
4.解题技巧拆解
三步法：①定：提取的数字；
②定：数清第一个非0数字前的0的个数；
③写形式：。
【典例1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是科学记数法的表示方法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．
根据科学记数法的表示方法对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：选项，，正确，不符合题意，选项错误；
选项，，正确，不符合题意，选项错误 ；
选项，，符合题意，选项正确；
选项，，正确，不符合题意，选项错误．
故选：．
【变式1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称．柘丝的平均直径约为，将用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定 的值时，看原数小数点移动的位数，原数绝对值小于1时，为负整数，据此进行作答即可．
【详解】解：0.00002．
故答案为：．
【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】本题主要考查了科学记数法，熟知科学记数法是解题的关键．
（1）科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案；
（2）同（1）求解即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
【变式3】．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在日常生活中，人们每天都要喝水，而在化学的视角里，水是一种由大量水分子通过相互作用聚集在一起形成的物质．化学老师在讲水分子时曾提到：一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．已知氢原子（H）的原子半径（）约为53，氧原子（O）的原子半径约为，已知，请你用科学记数法表示一个水分子中的氧原子的原子半径 m
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的应用，将氧原子半径转换为米，利用单位换算关系，然后写成科学记数法形式即可．
【详解】解：氧原子的原子半径为，已知，因此，将写成科学记数法形式为，
所以
故答案为：．
【题型4】科学记数法还原为小数
1.核心知识点总结
还原规则：将(，为正整数)还原时，把的小数点向左移动位。
2.高频考点梳理
直接还原纯小数(如、)。
比较还原后小数的大小(如比较与)。
3.易错点警示
小数点移动方向错误(如误向右移动)。
移动位数不足时漏补0(如误还原为)。
4.解题技巧拆解
口诀：“指数负，向左移；指数是几，移几位；位数不够，0来补”。
【典例1】．（23-24八年级下·海南海口·期末）数据用小数表示为（ ）
A．0.00108 B．0.000108 C． D．0.0000108
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法与小数的相互转化，熟练掌握（为正整数）转化为小数时将的小数点向左移动位是解题的关键．本题解题思路是根据科学记数法中（，为正整数）转化为小数的规则，将的小数点向左移动位．
【详解】解：，
故选：B．
【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将化为小数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查将用科学记数法表示的数化为原数；对于，当是负整数时，把的小数点向左移动位，位数不够时，用0补足即可．
【详解】解：．
故选：B．
【变式2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查科学记数法还原为小数的方法，科学记数法表示为时，当为负数，需将的小数点向左移动位，不足时补零，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：将还原为小数是，
故选：A．
【变式3】．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）小数“”用科学记数法表示为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法表示值较小的数．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：小数“”用科学记数法表示为，
∴，
故选：C．
【能力提升篇】
【题型5】整数指数幂的混合运算(提升)
1.核心知识点总结
运算顺序：先算乘方(含负指数幂)，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。
转化原则：最终结果需化为正整数指数幂形式(特殊要求除外)。
2.高频考点梳理
多运算性质的综合应用(如)。
结合零指数幂、绝对值的混合运算(如)。
3.易错点警示
运算顺序混乱(如先算乘除再算乘方)。
负指数幂转化不彻底(如结果保留而非)。
4.解题技巧拆解
四步走：①化简负指数幂(转化为倒数)；②算乘方(幂的乘方、积的乘方)；③算乘除(同底数幂运算)；④化简为正指数幂。
【典例1】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）计算：．
【答案】1
【分析】本题主要考查负指数幂、零次幂及有理数的乘方运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、零次幂及实数的乘方运算进行求解即可．
【详解】解：原式．
【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）计算：
【答案】6
【分析】本题考查了有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是掌握各运算的基本性质，按顺序计算．
分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算．
【详解】解：
．
【变式2】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）化简：．
【答案】．
【分析】本题考查实数的运算，正确化简每个式子是解题关键．
非负数的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数．任何除0以外的数的零次幂都等于1．负二次幂就是把底数取倒数后再平方．
【详解】解： ．
【变式3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了负整数指数幂、整式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算；
（2）按照相应负整数指数幂、幂的运算法则逐步计算．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【题型6】负整数指数幂与代数式求值(培优)
1.核心知识点总结
整体代换思想：利用完全平方公式、平方差公式转化代数式，如：
2.高频考点梳理
已知求、。
已知分式条件求代数式值(如，求)。
3.易错点警示
完全平方公式漏项(如误算为，忽略中间项2)。
分式与负指数幂转化错误(如误转化为)。
4.解题技巧拆解
步骤：①将已知条件转化为的形式；②利用完全平方公式展开，代入已知值；③逐步推导目标代数式。
【典例1】．（23-24八年级上·全国·期末）已知，则的值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，负整数指数幂．根据同底数幂的乘除法法则，可得，再代入计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·开学考试）已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，熟练掌握性质，活用公式是解题的关键．利用完全平方公式，配方，后用实数的非负性求出的值，再代入利用负整数指数幂运算法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴．
【变式2】．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练运用幂的乘方，同底数幂乘法法则，同底数幂除法法则进行计算．
（1）先根据幂的乘方和同底数幂乘法法则对变形，再结合已知条件求出的值．
（2）先由同底数幂除法法则求出的值，再将变形为以6为底的幂，最后代入的值计算．
【详解】解：（1）因为，
所以，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
所以．
【变式3】．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值．
（2）计算：
【答案】（1）24；（2）3
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，零指数幂与负整数次幂．
（1）由得，再根据幂的乘方法则化简即可；
（2）先计算乘方，零指数幂与负整数次幂，再进行加减运算．
【详解】解：（1） ，
，
；
（2）
．
【拓展培优篇】
【题型7】科学记数法的实际应用(提升)
1.核心知识点总结
场景：纳米技术、微生物尺寸、量子计算时间等跨学科场景，需结合单位换算(如、)。
运算：先统一单位，再进行乘除运算，结果保留科学记数法。
2.高频考点梳理
单位换算+科学记数法表示(如转化为的科学记数法)。
实际场景中的数量计算(如可容纳多少个的物体)。
3.易错点警示
单位换算错误(如混淆与)。
运算时指数计算错误(如误算为)。
4.解题技巧拆解
步骤：①统一单位(将不同单位转化为目标单位)；②用科学记数法表示各量；③进行指数运算(同底数幂相乘除，指数相加减)；④结果保持。
【典例1】．（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有．
(1)用科学记数法表示上述三个数据．
(2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
（1）根据科学记数法的定义表示各数即可，
（2）先列出算式，再根据科学记数法的定义表示结果即可．
【详解】（1）解：，
，
．
（2）解：．
答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量．
【变式1】．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物长为，宽为，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有．
(1)用科学记数法表示上述三个数据．
(2)一个橘子的质量约为，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了科学记数法的表现形式以及同底数幂的除法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据科学记数法的概念解答即可；
（2）用橘子的质量除以一粒澳大利亚出水浮萍果实的质量即可求解．
【详解】（1）解：，，；
（2）解：（个），
答：一个橘子的质量相当于粒澳大利亚出水浮萍果实的质量．
【变式2】．（2025七年级下·全国·专题练习）一个正方体集装箱的棱长为．
(1)用科学记数法表示这个集装箱的体积是___________；
(2)若有一个小立方块的棱长为，则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个？（用科学记数法表示）
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，同时考查整数指数幂的运算．
（1）利用有理数的乘法运算结合科学记数法的表示方法得出答案；
（2）利用整数指数幂的运算法则求出答案即可．
【详解】（1）解：一个正方体集装箱的棱长为，
这个集装箱的体积是：，
答：这个集装箱的体积是；
（2）解：一个小立方块的棱长为，
（个），
即：需要个这样的小立方块才能将集装箱装满．
【变式3】．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
答：该铜棒的伸长量．
（2）解：，
解得： ，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数 ，该铁棒温度的增加．
（3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
同步练习
一、单选题
1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查指数运算的法则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、负指数等；熟练掌握负指数幂、同底数幂及幂的乘方是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、同底数幂及幂的乘方进行求解即可．
【详解】解：A：，而，两者不一定相等，故A错误；
B：，故B正确；
C：，而，两者不一定相等，故C错误；
D：，不等于，故D错误；
故选B．
2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可．
【详解】解：∵1纳米米，
∴纳米米米．
故选：C．
3．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
4．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据零指数幂和负整数指数幂的定义，逐项计算即可判断正确选项．
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
5．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及负整数指数幂的运算规则，逐一分析选项的运算正确性．
【详解】A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确．
故选D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·重庆·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算法则，直接根据法则计算即可．
【详解】∵，
，
所以 ．
故答案为：．
7．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）我国“嫦娥六号”探测器携带的微型激光测距仪，对月球表面测量的精度可达0.0000005米，该精度用科学记数法表示为 米．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，需要确定系数和指数，使得系数在1到10之间，指数为整数．
【详解】解：的小数点向右移动7位得到5，因此系数为5，指数为，用科学记数法表示为．
故答案为：．
8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查“整式的乘法”及负整数指数幂，正确展开左边多项式是解题关键．
通过展开左边多项式，比较等式两边对应项的系数，求出 A 和 B 的值，再计算 即可．
【详解】展开左边多项式：
，
与右边 比较系数，得 ，，
则 ．
故答案为：．
9．（25-26八年级上·湖南永州·期中）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是积的乘方、幂的乘方、负整数指数幂的运算性质，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
依次对每个因子进行平方运算，并将负指数化为正指数后即可得解．
【详解】解：．
故答案为： ．
10．（25-26八年级上·山东·课后作业）下列各数：①，②，③，④，⑤…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦，无理数有 （填序号）．
【答案】①⑤⑦
【分析】本题主要考查了无理数的定义及负整数指数幂，熟练掌握“无限不循环小数是无理数”是解题的关键．
先分别化简各数，再根据无理数定义（无限不循环小数）判断．
【详解】解：①是无限不循环小数，故是无理数）
②（整数，不是无理数）
③（分数，不是无理数）
④（整数，不是无理数）
⑤（相邻两个1之间0的个数逐次增加1，是无限不循环小数，是无理数）
⑥（分数，不是无理数）
⑦（是无限不循环小数，故是无理数）
故答案为：①⑤⑦．
三、解答题
11．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算．
（1）先进行开方、零指数幂的运算，再进行加减运算即可；
（2）先进行负整数指数幂，绝对值，乘方的运算，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
12．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，0
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先化简原分式，根据零指数幂、负整数指数幂求出的值，代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
，
原式
．
13．（15-16七年级下·江苏·期末）数学课上，楚老师出了这样一道题：已知，，求代数式的值，小明觉得直接代入计算太繁了，请你来帮他解决，并写出具体过程．
【答案】，过程见解析
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，负整数指数幂，先由完全平方公式，单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再计算出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解；
，
∵，，
∴，
∴原式．
14．（25-26八年级上·全国·课后作业），即的负次幂等于的次幂的倒数．例：．
(1)计算：　　　　；　　　　；
(2)如果，那么　　　　；如果，那么　　　　；
(3)如果，且，为整数，求满足条件的，的取值．
【答案】(1)，
(2)3，
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据计算求解即可；
（2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可；
（3）由可推出，结合，都是整数讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，；
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3；；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，为整数，
当时，；
当时，；
当时，
15．（2025·贵州·一模）（1）计算：；
（2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
任务一：第步运算的依据是 ；
任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程．
【答案】（）；（）不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变；；移项没有变号；过程见解析．
【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解法步骤是解题的关键．
（）先化简绝对值，负整数指数幂，有理数乘方法则分别计算，然后合并即可；
（）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求解．
【详解】解：（）原式
；
（）任务一：不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变；
任务二：；移项没有变号；
正确的解答过程如下：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
16．（25-26八年级上·全国·课后作业）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边；
③左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
(1)类比探究：
请通过展开计算，判断规律①和规律②是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
(2)基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为_______；
②若t，r为常数，满足，则_______．
【答案】(1)成立，过程见解析
(2)①0；②
【分析】本题主要考查整式混合运算，掌握其运算法则，理解材料意思是关键．
（1）运用整式运算法则计算即可求解；
（2）①运用整式运算法则，结合题意计算即可；②结合材料提示的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边；
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）解：①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．

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