资源简介

第3章 代数式 章末重难点复习（5个知识点+8种题型）
一、要点梳理
【要点1 代数式书写规范】
代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；
②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；
③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；
④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；
⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.
【要点2 同类项及合并同类项】
（1）同类项的判别方法：抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可；
（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【要点3 列代数式】
列代数式：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
【要点4 单项式与多项式概念】
解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；
②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；
③多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
【要点5 整式加减化简求值】
整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.
二、典型例题
【考点1 单项式与多项式概念】
【例1】如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】此题主要考查了多项式，直接利用多项式的次数确定方法分析得出答案正确把握多项式的次数确定方法是解题关键．
【详解】解：∵整式是关于x的三次三项式，
∴，
解得：．
故选：D．
【变式1】当　 　时，多项式中不含项．
【思路点拨】先将多项式合并同类项，不含xy项即系数为0，列出方程求得k的值．
【答案】解：x2﹣（3k﹣2）xy﹣3y2+7xy﹣8＝x2﹣3y2+（9﹣3k）xy﹣8，
由于不含xy项，故9﹣3k＝0，解得k＝3．
【方法总结】解答此题必须先合并同类项，否则极易根据﹣（3k﹣2）＝0误解出k＝．
【考点2 同类项及合并同类项】
【例2】下列单项式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项可得答案．
【详解】解：．所含字母相同，但b的指数不同，不是同类项，故本选项不符合题意；
．所含字母相同，但字母的指数不同，不是同类项，故本选项不符合题意；
．所含字母不同，不是同类项，故本选项不符合题意；
．所含字母相同，但字母的指数也相同同，是同类项，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】若3xm+5y2与23x8yn+4的差是一个单项式，则代数式nm的值为（　　）
A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
m+5＝8，n+4＝2，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴nm＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，代数式求值，单项式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
【考点3 整式加减情景题】
【例3】小聪在做题目：化简发现的系数“”被污染了，看不清楚． （1）小聪自己想了个“”表示的数，得到答案为，求：小聪想的“”所表示的数； （2）老师看到了说：“你想错了，该题化简的结果是常数．”请通过计算说明原题中“”所表示的数．
【思路点拨】（1）利用错误式子解出 ；
（2）设原题中“ ”所表示的数为a，化简（2x2+6x+5）﹣2（ax+x2+2），根据化简的结果是常数，得出x的一次项系数为0，即可求解．
【答案】解（1）∵（2x2+6x+5）﹣（3x+1）
＝2x2+6x+5﹣3x﹣1
＝2x2+3x+4
＝2（x+x2+2），
∴ ＝；
（2）设原题中“ ”所表示的数为a，
∵（2x2+6x+5）﹣2（ax+x2+2）
＝2x2+6x+5﹣2ax﹣2x2﹣4
＝（6﹣2a）x+1，
∵化简结果为常数，
∴6﹣2a＝0，
∴a＝3．
【方法总结】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
【变式3】已知两个整式，，其中系数■被污染．
(1)若■是，化简；
(2)若时，的值为18．
①说明原式中■是几？
②若的倒数等于本身，的值是多少？
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】
（1）去括号，合并同类项即可求解；
（2）①把代入，解方程即可求解；
②根据倒数的定义求得，分别代入求解即可．
【详解】（1）
解：
（2）解：①依题意得，，
解得，；
（2）∵的倒数等于本身，∴，
∵，
∴或.
【点睛】本题考查整式的加减混合运算，解一元一次方程，掌握基本的运算法则和顺序，并注意题中要求，是解题关键．
【考点4 整式加减化简求值】
【例4】先化简，再求值：已知，求的
值．
【思路点拨】原式先去括号，再合并同类项化简，继而由x2﹣2y﹣5＝0知x2﹣2y＝5，代入原式＝2（x2﹣2y）计算可得．
【答案】解：原式＝3x2﹣6xy﹣x2+6xy﹣4y
＝2x2﹣4y，
∵x2﹣2y﹣5＝0，
∴x2﹣2y＝5，
则原式＝2（x2﹣2y）＝2×5＝10．
【方法总结】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
【变式4】若，互为相反数，则的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．4
【答案】A
【分析】先化简，得出，然后利用相反数的定义求出，最后整体代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，互为相反数，
∴，
∴原式．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，求代数式的值等知识，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
【考点5 代数式求值—整体代入法】
【例5】化简与求值：
（1）若，则代数式的值为　 　；
（2）若，则代数式的值为　 　；
（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．
【思路点拨】（1）把m＝﹣5代入求出即可；
（2）把2m+2n+1变成2（m+n）+1，把m+n的值代入求出即可；
（3）把代数式化简得出10m﹣6n+2，推出2（5m﹣3n）+2，把5m﹣3n＝﹣5代入求出即可．
【答案】（1）解：当m＝﹣5时，m2+1＝×（﹣5）2+1＝5+1＝6，
故答案为：6．
（2）解：∵m+n＝﹣5，
∴2m+2n+1
＝2（m+n）+1
＝2×（﹣5）+1
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
（3）解：∵5m﹣3n＝﹣5，
∴2（m﹣n）+4（2m﹣n）+2
＝2m﹣2n+8m﹣4n+2
＝10m﹣6n+2
＝2（5m﹣3n）+2，
当5m﹣3n＝﹣5时，原式＝2×（﹣5）+2＝﹣8．
【方法总结】本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，题目都比较好，难度适中．
【变式5】已知a+3b＝5，2m﹣5n＝﹣9，则代数式3（5n﹣2b）﹣2（3m+a）+3的值为 ．
【答案】20
【分析】将所求代数式进行变形，利用整体代入法求值即可．
【详解】解：原式＝15n﹣6b﹣6m﹣2a+3
＝﹣2（a+3b）﹣3（2m﹣5n）+3，
当a+3b＝5，2m﹣5n＝﹣9时，
原式＝﹣2×5﹣3×（﹣9）+3
＝﹣10+27+3
＝20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查代数式求值，题目中未知数较多，利用整体代入求值是解题关键．
【考点6 代数式求值—赋值法】
【例6】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：
①取时，直接可以得到；
②取时，可以得到；
③取时，可以得到．
④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料，令，即可得到；
（2）根据阅读材料，令，即可得到
（3）令，得；令，得，两式直接求和即可得到答案．
【详解】（1）解：令，得；
（2）解：令，得；
（3）令，得①；
令，得②；
由①②得，结合（1）中，得．
【点睛】本题主要考查代数式求值问题，读懂材料，掌握赋值法，根据所给代数式选择恰当的特殊值，利用整体思想求解是解题的关键．
【变式6】已知，对于任意的的值都成立，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【思路点拨】（1）令x＝1，然后代入原式进行计算即可；
（2）令x＝﹣1，然后代入进行计算，最后再与（1）中所得等式进行相减即可求解．
【答案】解：（1）当x＝1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（2×1﹣1）2＝1；
（2）当x＝﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝﹣37①．
a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝1②
②﹣①得：2（a1+a3+a5+a7）＝1+37＝2188，
∴a1+a3+a5+a7＝1094．
【方法总结】本题主要考查的是求代数式的值，特殊值法的应用是解题的关键．
【考点7 代数式求值—面积问题】
【例7】如图，长方形的长为a，宽为b．
（1）用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，计算阴影部分的面积（π取3.14）．
【分析】（1）用矩形面积减去一个大圆面积再减去2个小圆面积即可；
（2）把a、b值代入（1）所列代数式计算即可．
【解答】解：（1）；
（2）当a＝3，b＝2时，
S阴影＝ab﹣πb2
≈3×2﹣×3.14×22
＝1.29．
【点评】本题考查了列代数式和求代数式值的应用，掌握S阴影＝S长方形﹣S大圆﹣2S小圆是关键．
【变式7】如图所示的阴影部分是一个商标图案，其中点O为半圆的圆心，，（计算结果均保留π）

(1)用含有a，b的代数式表示该商标图案的面积；
(2)当，时，求该商标图案的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列代数式解决实际问题，掌握各图形的面积计算公式以及整式的代入求值计算是解题的关键．
（1）由题意得，，利用三角形的面积公式及圆的面积公式计算即可；
（2）将数值代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得
∴阴影部分面积为 ；
（2）解∶ 当，时，
．
答：该商标图案的面积是．
【考点8 代数式求值—方案设计问题】
【例8】今年，成都市某外国语学校如期举行第53届校运动会，运动会期间各班都如火如荼地准备着入场式，经调查发现某淘宝店铺正在开展促销活动，一条裙子原价卖80元，每顶帽子子原价卖8元，提供两种优惠方案，即
方案一：以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；
方案二：总价打9折；
若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子．
(1)若该班按方案一购买，需付款 　元；若该班按方案二购买需付款 　元．（请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用）；
(2)当时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明．
(3)当时，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)方案一，见解析
(3)能找到一种更为省钱的购买方案，方案为：按方案一购买10条裙子，此方案应付1016元钱
【分析】本题考查了列代数式、代数式求值以及有理数的混合运算，
（1）利用总价＝单价×数量，结合该淘宝店铺给出的优惠方案，可用含a、b的代数式分别表示出按两种方案购买的实际费用；
（2）代入，可求出按两种方案购买的实际费用，比较后即可得出结论；
（3）能找出更为省钱的购买方案，按方案一购买10条裙子，按方案二购买30顶帽子，再求出按该方案购买应付的费用即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得：若该班按方案一购买需付款为：
（元）；
若该班按方案二购买需付款（元）．
故答案为：，．
（2）方案一更便宜，理由如下：
当时，
按方案一购买需付款（元）．
按方案二购买需付款（元）．
∵，
∴方案一更便宜．
（3）能找到一种更为省钱的购买方案，先按方案一购买10条裙子，再按方案二购买剩下的（顶）帽子，
此方案需付款（元）．
答：能找到一种更为省钱的购买方案，方案为：按方案一购买10条裙子，此方案应付1016元钱．
【变式8】市、市和市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给市18台，市10台．已知调运机器的费用如表所示．
市 市 市
市 200元/台 300元/台 400元/台
市 800元/台 700元/台 500元/台
设从市、市各调台到市．
(1)市调运到市的机器为______台（用含的代数式表示）；
(2)市调运到市的机器的费用为______元（用含的代数式表示）；
(3)求调运完毕后的总运费（用含的代数式表示，并化简）．
【答案】(1)；
(2)；
(3)调运完毕后的总运费为元．
【分析】（1）根据题意，求解即可；
（2）先表示出市调运到市的机器台数，再根据单价求解即可；
（3）求得调往各市的机器台数，再根据单价求解即可．
【详解】（1）解：设从市、市各调台到市，则市目前有台机器，
还需要从市调运到市的机器台，
故答案为：；
（2）市调台到市，则市还有台
则市调运到市的机器的费用为：元
故答案为：；
（3）由题意可得：市调运到市的机器为台
则总的费用为：
．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算的应用，正确利用基本数量关系，列出代数式是解题的关键．第3章 代数式 章末重难点复习（5个知识点+8种题型）
一、要点梳理
【要点1 代数式书写规范】
代数式书写规范：①数和字母相乘，可省略乘号，并把数字写在字母的前面；
②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示. 一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写；
③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来；
④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线；
⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式；⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号.
【要点2 同类项及合并同类项】
（1）同类项的判别方法：抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可；
（2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
【要点3 列代数式】
列代数式：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系；
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
【要点4 单项式与多项式概念】
解题关键：①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；
②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；
③多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
【要点5 整式加减化简求值】
整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项.；②代入求值.
二、典型例题
【考点1 单项式与多项式概念】
【例1】如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【变式1】当　 　时，多项式中不含项．
【考点2 同类项及合并同类项】
【例2】下列单项式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】若3xm+5y2与23x8yn+4的差是一个单项式，则代数式nm的值为（　　）
A．﹣8 B．6 C．﹣6 D．8
【考点3 整式加减情景题】
【例3】小聪在做题目：化简发现的系数“”被污染了，看不清楚．
（1）小聪自己想了个“”表示的数，得到答案为，求：小聪想的“”所表示的数；
（2）老师看到了说：“你想错了，该题化简的结果是常数．”请通过计算说明原题中“”所表示的数．
【变式3】已知两个整式，，其中系数■被污染．
(1)若■是，化简；
(2)若时，的值为18．
①说明原式中■是几？
②若的倒数等于本身，的值是多少？
【考点4 整式加减化简求值】
【例4】先化简，再求值：已知，求的
值．
【变式4】若，互为相反数，则的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．4
【考点5 代数式求值—整体代入法】
【例5】化简与求值：
（1）若，则代数式的值为　 　；
（2）若，则代数式的值为　 　；
（3）若，请仿照以上求代数式值的方法求出的值．
【变式5】已知a+3b＝5，2m﹣5n＝﹣9，则代数式3（5n﹣2b）﹣2（3m+a）+3的值为 ．
【考点6 代数式求值—赋值法】
【例6】赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：
①取时，直接可以得到；
②取时，可以得到；
③取时，可以得到．
④把②、③的结论相加，就可以得到，结合①的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：
已知，求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【变式6】已知，对于任意的的值都成立，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【考点7 代数式求值—面积问题】
【例7】如图，长方形的长为a，宽为b．
（1）用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积；
（2）当a＝3，b＝2时，计算阴影部分的面积（π取3.14）．
【变式7】如图所示的阴影部分是一个商标图案，其中点O为半圆的圆心，，（计算结果均保留π）
(1)用含有a，b的代数式表示该商标图案的面积；
(2)当，时，求该商标图案的面积．

【考点8 代数式求值—方案设计问题】
【例8】今年，成都市某外国语学校如期举行第53届校运动会，运动会期间各班都如火如荼地准备着入场式，经调查发现某淘宝店铺正在开展促销活动，一条裙子原价卖80元，每顶帽子子原价卖8元，提供两种优惠方案，即
方案一：以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；
方案二：总价打9折；
若该班级计划购买a条裙子和b顶帽子．
(1)若该班按方案一购买，需付款 　元；若该班按方案二购买需付款 　元．（请用含a、b的代数式分别表示出两种方案的实际费用）；
(2)当时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明．
(3)当时，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由．
【变式8】市、市和市分别有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给市18台，市10台．已知调运机器的费用如表所示．
市 市 市
市 200元/台 300元/台 400元/台
市 800元/台 700元/台 500元/台
设从市、市各调台到市．
(1)市调运到市的机器为______台（用含的代数式表示）；
(2)市调运到市的机器的费用为______元（用含的代数式表示）；
(3)求调运完毕后的总运费（用含的代数式表示，并化简）．

展开更多......

收起↑