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5.3 一次函数的图象与性质（4个知识点+9种题型）
一、知识梳理
要点一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；
一次函数图象和性质如下：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
二、典型例题
【题型1 判定一次函数的图像】
例1.（春 喀什地区期末）直线y＝kx+b的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【变式】（山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 比较一次函数值的大小】
例2.（山西吕梁·八年级期末）已知点A（2，），B（3，）在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．
【变式】（春 同江市期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】
例3.（连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式】（广东湛江·八年级期末）关于函数y=﹣x﹣2的图象，如下说法中正确的有（　　）
①图象过点（0，﹣2）；②图象与x轴的交点是（﹣2，0）；③由图象可知y随x的增大而增大 ；④图象不经过第一象限 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型4 根据一次函数的增减性求参数或最值】
例4.（萧山区模拟）已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　 　．
【变式】（广东·惠州市惠城区博文学校八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
【题型5 根据一次函数解析式判断其经过的象限】
例5.（河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）的图象不经过第______象限．
【变式】（海门市校级模拟）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】
例6.（吉林·长春市第四十五中学八年级阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______．
【变式】（春 双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角形的面积为4，则k＝　　．
【题型7 一次函数解析式与三角形面积问题】
例7.（新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点．
(1)求a的值．
(2)设这条直线与y轴相交于点D，求的面积．
【变式】（山东·德州市第五中学八年级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 一次函数的平移问题】
例8.（春 安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？
【变式】（八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．

【题型9 一次函数的规律探究问题】
例9.（春 巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（　　）
A．22021 B．22022 C．2022 D．4044
【变式】（山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．5.3 一次函数的图象与性质（4个知识点+9种题型）
一、知识梳理
要点一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
（为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线：
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：
正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线；
一次函数图象和性质如下：
3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2），且与平行；
要点三、待定系数法求一次函数解析式
　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.
二、典型例题
【题型1 判定一次函数的图像】
例1.（春 喀什地区期末）直线y＝kx+b的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限得出k，b的取值范围解答即可．
【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，
可得：k＜0，b＞0，
所以直线y＝bx﹣k的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
【变式】（山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象，根据一次函数图象的性质分别根据，和进行判断即可．
【详解】解：当时，，，，
∴的图象经过二、三、四象限，的图象经过一、三、四象限，
故可能的图象为：C，
当时，，，，
∴的图象经过一、二、四象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合要求的选项；
当时，，，，
∴的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、二、四象限，没有符合要求的选项；
故选：C．
【题型2 比较一次函数值的大小】
例2.（山西吕梁·八年级期末）已知点A（2，），B（3，）在一次函数的图象上，则与的大小关系是________．
【答案】
【分析】根据一次函数的增减性即可得出正确答案．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是本题的关键．
【变式】（春 同江市期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
【分析】由一次函数的性质可知k＝﹣2＜0时，y随x的增大而减小，由A，B，C三点的纵坐标可进行比较，进而求解．
【解答】解：一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3），
∴﹣2＜﹣1＜3，
∴x2＞x1＞x3，
故选：B．
【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】
例3.（连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减大，可以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＞0，
∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【变式】（广东湛江·八年级期末）关于函数y=﹣x﹣2的图象，如下说法中正确的有（　　）
①图象过点（0，﹣2）；②图象与x轴的交点是（﹣2，0）；③由图象可知y随x的增大而增大 ；④图象不经过第一象限 ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．
【详解】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过点（0，﹣2），正确；
②当y=0时，y=﹣x﹣2中，得到0＝﹣x－2，解得x=﹣2，故图象与x轴的交点是（﹣2，0），正确；
③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；
④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，不经过第一象限，正确；
说法中正确的有①②④，共3个，
故选：B
【点睛】此题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
【题型4 根据一次函数的增减性求参数或最值】
例4.（萧山区模拟）已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　﹣2　．
【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出m的值．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函数，
∴m2﹣4＝0，
解得：m＝±2，
∵y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，
∴m＜1，
∴m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【变式】（广东·惠州市惠城区博文学校八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____．
【答案】k＞1
【分析】根据直线经过的象限与一次函数系数的关系，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可．
【详解】当x=0时，y=－3．
∴直线y=（1－k）x－3经过．
∵直线y=（1－k）x－3经过第二、三、四象限，
∴．
∴k＞1．
故答案为：k＞1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．当k＜0，b＜0 y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
【题型5 根据一次函数解析式判断其经过的象限】
例5.（河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）的图象不经过第______象限．
【答案】三
【分析】根据题意和一次函数的性质可以判断该函数经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】解：∵关于x的一次函数y=kx-k（k＜0），
∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解答本题的明确题意，利用一次函数的性质解答．
【变式】（海门市校级模拟）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】当x＝﹣4时，可求出y＝3，由此即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3，
即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3），
因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限．
故选：B．
【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】
例6.（吉林·长春市第四十五中学八年级阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______．
【答案】 （3，0） （0，-6） （-1，0）或（7，0）
【分析】令y=0，即可求出与x轴的交点A坐标；令x=0，即可求出与y轴的交点B坐标；根据点B的坐标可知三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的底AM的长度，分情况写出点M的坐标即可．
【详解】当y=0时，0=2x-6，解得：x=3，
∴A（3，0），
当x=0时，y=2×0-6，解得：y=-6，
∴B（0，-6），
∵B（0，-6），
∴的高为6，
∴，解得：AM=4，
当点M在点A左边时，M（3-4，0），即：M（-1，0），
当点M在点A右边时，M（3+4，0），即：M（7，0），
故答案为：（3，0），（0，-6），（-1，0）或（7，0）．
【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
【变式】（春 双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角形的面积为4，则k＝　8　．
【分析】先令x＝0，求出y的值；再令y＝0求出x的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵先令x＝0，则y＝﹣k；
令y＝0，则x＝1，
∴直线与坐标轴的交点分别为（0，﹣k），（1，0），
∴S|﹣k|×1＝4，
解得k＝﹣8（舍去），或k＝8．
故答案为：8．
【题型7 一次函数解析式与三角形面积问题】
例7.（新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点．
(1)求a的值．
(2)设这条直线与y轴相交于点D，求的面积．
【答案】(1)a＝7
(2)3
【分析】（1）利用待定系数法解答解析式即可；
（2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可．
（1）
解：设直线的解析式为y＝kx＋b，把A（ 1，5），B（3， 3）代入，
可得：，
解得：，
所以直线解析式为：y＝ 2x＋3，
把P（ 2，a）代入y＝ 2x＋3中，
得：a＝7；
（2）
由（1）得点P的坐标为（ 2，7），
令x＝0，则y＝3，
所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3），
所以△OPD的面积＝×3×2＝3．
【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法求解析式．
【变式】（山东·德州市第五中学八年级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
（1）
解：∵点A的横坐标为4，，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）
存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．
【题型8 一次函数的平移问题】
例8.（春 安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？
【分析】根据一次函数的图象性质作答；
先根据平移时k的值不变，只有b发生变化可设平移后的直线为y＝3x+b，将点（4，0）代入，求出b的值，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．
【解答】解：由题意得
解得m＝2，
∴直线的解析式为y＝3x+3；
设平移后的直线为y＝3x+b，将点（2，5）代入得：b＝﹣1．
所以y＝3x﹣1．
∴将直线y＝3x+3向下平移4个单位，可得直线y＝3x+3﹣4，即y＝3x﹣1，经过点（2，5）．
【变式】（八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．

【答案】
【分析】先求出一次函数的表达式，根据平移可知平移后的解析式，最后把点代入即可．
【详解】
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线，
∴直线的函数表达式为，
∵，且点位于轴的正半轴，
∴点的坐标为，
∵直线恰好经过点，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【题型9 一次函数的规律探究问题】
例9.（春 巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（　　）
A．22021 B．22022 C．2022 D．4044
【分析】由直线直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求A1B1，A2B2的长，得出一般规律，即可得到A2022B2022长度．
【解答】解：由直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），
∵平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，直线l1：y＝x+1，直线l2：，
∴B1（1，1），A1（1，2），
AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，
B2（3，2），A2（3，4），
A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2，
…，
A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1，
由此可得AnBn＝2n﹣1，
所以，A2022B2022的长度为22021，
故选：A．
【变式】（山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，
∵（1，1）在直线y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+，
设（，），（，），（，），…， （，），
则有 ，
，
…
，
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键．

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