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3.5二元一次方程组的应用
（30分提至70分使用）
1. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审题：理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
设元：选择两个关键未知量，通常设为 ( x ) 和 ( y )。
列方程组：根据题目中的等量关系，列出两个含有 ( x ) 和 ( y ) 的二元一次方程，组成方程组。
解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解所列出的方程组，得到 ( x ) 和 ( y ) 的值。
检验：将求得的解代入原方程组，验证是否满足所有方程，同时检查解是否符合实际问题的意义（如人数、长度等应为非负数）。
作答：用简洁、准确的语言写出答案，回应题目问题。
2. 常见等量关系类型及典型问题
和差倍分问题：
基本等量关系：已知两数之和为 ( a )，差为 ( b )，则可列方程组：
（其中 ( x > y )）。
例：某校七年级共有学生 120 人，其中男生比女生多 10 人，求男、女生人数。
工程问题：
基本等量关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常将工作总量设为单位“1”。
若两人合作完成一项工程，可列方程组：（( a, b ) 为工作效率，( t ) 为合作时间， 为单独工作时间）。
商品利润问题：
等量关系：利润 = 售价 - 进价；利润率。
例：某商品进价为 ( x ) 元，售价为 ( y ) 元，若按售价销售可获利 20%，且售价为 60 元，求进价和利润。可列方程组：。
配套问题：
核心是找到两种部件的数量比例关系，确保恰好配套。
例：某车间生产螺栓和螺母，1 个螺栓配 2 个螺母，每人每天可生产螺栓 10 个或螺母 20 个，现有 20 名工人，如何分配工人使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？设生产螺栓的工人数为 ( x )，生产螺母的工人数为 ( y )，可列方程组：。
方案问题
1．利用二元一次方程组解应用题
某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？
2．一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？
3．初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元．
(1)求篮球、实心球的单价各是多少元？
(2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？
4．某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
5．某班组织去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张30元．如果40名学生购票恰好用去1100元，甲乙两种票各有多少名学生购买？
行程问题
6．连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组．
7．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？
8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度．
9．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离．
10．列二元一次方程组解下列问题
(1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
(2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
工程问题
11．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？
12．甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克．
13．乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天．
14．长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
15．某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？
分配问题
16．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？
17．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？
18．张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？
19．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
20．某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
销售问题
21．某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克．
(1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？
22．某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求A、B型汽车的进价．
23．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元
24．某校计划购进一批甲、乙两种课桌，已知购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元；若购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元，求甲、乙两种课桌每张价格分别是多少元？
25．某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
和差倍问题
26．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页．
27．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？
28．某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？
29．有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？
30．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？
图表信息题
31．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？
3 2
32．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目 用水量 费用（元）
1月 11 28
2月 15 44
(1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
(2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
33．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分：
第一组 第二组
回答问题次数 1 2
参与课堂展示次数 7 5
有效质疑次数 2 3
最终分数 35 37
请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？
34．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表：
捐书（本） 3 5 8 10
人数（人） 4 9
表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
35．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．
电视机型号 甲 乙
批发价（元/台） 1500 2500
零售价批发价（元/台） 2025 3640
(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？
(2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？
古代问题
36．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分）
37．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？
38．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？
39．今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？
40．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解）3.5二元一次方程组的应用
（30分提至70分使用）
1. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤
审题：理解题意，明确题目中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。
设元：选择两个关键未知量，通常设为 ( x ) 和 ( y )。
列方程组：根据题目中的等量关系，列出两个含有 ( x ) 和 ( y ) 的二元一次方程，组成方程组。
解方程组：运用代入消元法或加减消元法求解所列出的方程组，得到 ( x ) 和 ( y ) 的值。
检验：将求得的解代入原方程组，验证是否满足所有方程，同时检查解是否符合实际问题的意义（如人数、长度等应为非负数）。
作答：用简洁、准确的语言写出答案，回应题目问题。
2. 常见等量关系类型及典型问题
和差倍分问题：
基本等量关系：已知两数之和为 ( a )，差为 ( b )，则可列方程组：
（其中 ( x > y )）。
例：某校七年级共有学生 120 人，其中男生比女生多 10 人，求男、女生人数。
工程问题：
基本等量关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间，常将工作总量设为单位“1”。
若两人合作完成一项工程，可列方程组：（( a, b ) 为工作效率，( t ) 为合作时间， 为单独工作时间）。
商品利润问题：
等量关系：利润 = 售价 - 进价；利润率。
例：某商品进价为 ( x ) 元，售价为 ( y ) 元，若按售价销售可获利 20%，且售价为 60 元，求进价和利润。可列方程组：。
配套问题：
核心是找到两种部件的数量比例关系，确保恰好配套。
例：某车间生产螺栓和螺母，1 个螺栓配 2 个螺母，每人每天可生产螺栓 10 个或螺母 20 个，现有 20 名工人，如何分配工人使每天生产的螺栓和螺母恰好配套？设生产螺栓的工人数为 ( x )，生产螺母的工人数为 ( y )，可列方程组：。
方案问题
1．利用二元一次方程组解应用题
某校组织八年级师生共480人参观温州博物馆．学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位．求A，B两种车型各有多少个座位？
【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可．
【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，
由题意得，，
解得，
∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位，
答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位．
2．一家公司加工蔬菜，有粗加工和精加工两种方式．如果进行粗加工，每天可加工15吨；如果进行精加工，每天可加工5吨．该公司从市场上收购蔬菜150吨，并用14天加工完这批蔬菜．问精加工和粗加工蔬菜各多少吨？
【答案】粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨，根据14天要加工完成150吨蔬菜，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设粗加工蔬菜为x吨，精加工蔬菜为y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：粗加工蔬菜为120吨，精加工蔬菜为30吨．
3．初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买6个篮球和2个实心球需460元．
(1)求篮球、实心球的单价各是多少元？
(2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请问有几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元
(2)3种
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，涉及方程组的建立与求解、不等式的解法以及实际问题中变量的整数性约束．解题的关键在于准确建立方程组和不等式组，合理利用已知条件进行化简和求解．
（1）设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，根据购买情况建立方程组求解单价；
（2）需根据总数量、总费用限制及篮球数量与实心球数量的比值关系，确定可能的购买方案数量．
【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元；
（2）设购买m个篮球，则购买个实心球，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为40，41，42，
∴该校共有3种购买方案，
方案1：购买40个篮球，160个实心球；
方案2：购买41个篮球，159个实心球；
方案3：购买42个篮球，158个实心球．
4．某校八年级660名学生到郊外参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生175人．每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
【答案】每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据题意列出方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生，
根据题意，得
解得，
答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生．
5．某班组织去看演出，甲种票每张25元，乙种票每张30元．如果40名学生购票恰好用去1100元，甲乙两种票各有多少名学生购买？
【答案】有20名学生购买甲种票，20名学生购买乙种票
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
设名学生购买甲种票，名学生购买乙种票，根据题意列二元一次方程组计算即可．
【详解】解：设名学生购买甲种票，名学生购买乙种票，由题意可得，
，
解得，
答：有20名学生购买甲种票，20名学生购买乙种票．
行程问题
6．连接两地的高速公路全长为420km，一辆小汽车和一辆客车分别从，两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶了70km。为了求出小汽车、客车的平均速度，请你列出相应的方程组．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准数量关系列方程组是解题的关键．
设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为，根据数量关系列方程即可．
【详解】解：设小汽车的平均速度为，客车的平均速度为．
根据题意，得
7．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？
【答案】甲、乙两地相距千米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两地相距千米．
8．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度．
【答案】甲的速度是，乙的速度是．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可.
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意，得，
解得，
答：甲的速度为，乙的速度为．
9．某人骑自行车从甲地到乙地，先以的速度下山，再以的速度通过平路到达乙地，共用；他返回时，先以的速度通过平路，再以的速度上山回到甲地，用了．求甲、乙两地之间的距离．
【答案】甲、乙两地之间的距离为9千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设山路长为，平路长为，根据先下山后走平路，到乙地用了，后回到甲地用了，列方程组求解．
【详解】解：设山路长为，平路长为，
由题意得，，
解得：，
则．
答：甲、乙两地之间的距离为9千米．
10．列二元一次方程组解下列问题
(1)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需430元，购买3个篮球和2个足球共需420元，求每个篮球和每个足球的售价．
(2)、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发1.5小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度．
【答案】(1)每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元
(2)甲的速度为，乙的速度为
【分析】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键．
（1）设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，根据题意可列，解方程组即可；
（2）设甲的速度为，乙的速度为，根据题意可列，解方程组即可．
【详解】（1）解：设每个篮球的售价为元，每个足球的售价为元，
所以根据题意列二元一次方程组得：，
解得，
答：每个篮球的售价为80元，每个足球的售价为90元．
（2）设甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：，
解得：．
答：甲的速度为，乙的速度为．
工程问题
11．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？
【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得：
，
解得
答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米
12．甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克．
【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键．
先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可．
【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工，
因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，
所以，
又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，
所以，
即，解得：，
答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工．
13．乐山市某小区物业对面积为3600平方米的区域进行了绿化，整项工程由甲、乙两个林队先后接力完成，甲园林队每天绿化200平方米，乙园林队每天绿化160平方米，两队共用21天．求甲乙两个园林队在这项绿化工程中分别工作了多少天．
【答案】甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天．
【分析】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了y天，根据题意列出二元一次方程组即可求解．
【详解】设甲园林队工作了x天，乙园林队工作了天，
根据题意得
解得，
答：甲园林队工作了6天，乙园林队工作了15天．
14．长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？
【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解．
设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解．
【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米．
根据题意，得，
解得，
答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米．
15．某地为打造运河风光带，雇用，两个工程队共同完成一段长为的河道的清理任务．已知A工程队每天清理，工程队每天清理，两个工程队工作天数之和为天，，工程队分别清理了多长的河道？
【答案】工程队清理了河道，工程队清理了河道
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组．
先设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，根据题意列出方程组求解，再求，工程队分别清理了的河道长度．
【详解】解：设工程队清理了天河道，工程队清理了天河道，
则，解得：，
∴工程队清理了（）河道，
工程队清理了（）河道，
答：工程队清理了河道，工程队清理了河道．
分配问题
16．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？
【答案】学校共购买了个足球、个排球．
【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解．
设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可．
【详解】解：设购买个足球、个排球，
根据题意得 ，
解得 ．
答：学校共购买了个足球、个排球．
17．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？
【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键．
设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量．
【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，
根据题意得：，解得：，
∴．
答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶．
18．张老师和王老师带44名学生去公园划船，共租了12条船正好坐满．每条大船坐5人，每条小船坐3人．他们租了几条大船？坐小船的有多少人？
【答案】他们租了条大船，坐小船的有人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设他们租了条大船，则租了条小船，根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设他们租了条大船，则租了条小船，
由题意得：，
解得：，
人，
答：他们租了条大船，坐小船的有人．
19．如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得：
解得．
（张）．
答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌．
20．某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，
根据题意，得，
解得：，
答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母．
销售问题
21．某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克．
(1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？
【答案】(1)梨买了1千克，橙子买了2千克
(2)他买了4千克梨
【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键．
（1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设买了梨千克，买了橙子千克，则
，解得，
答：梨买了1千克，橙子买了2千克；
（2）解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则
，
解得，
梨买了千克，
答：他买了4千克梨．
22．某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车，第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变），求A、B型汽车的进价．
【答案】A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握根据已知条件列出方程组是解题的关键．
假设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元，根据题意列出方程组，解出方程组的值即可．
【详解】解：设购进每辆A型汽车的进价为万元，购进每辆B型汽车的进价为万元，
根据题意得：
解得：
答：A型汽车进价为20万元，B型汽车进价为12万元．
23．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元
【答案】甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元
【分析】本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系．即可列方程组解应用题．等量关系为：甲、乙两件服装的成本共500元，将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元；然后列出方程组，进而问题可求解．
【详解】解：设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，由题意得：
，
解得：，
甲服装的实际获利是元；
乙服装的实际获利是元；
答：甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元．
24．某校计划购进一批甲、乙两种课桌，已知购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元；若购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元，求甲、乙两种课桌每张价格分别是多少元？
【答案】甲种课桌每张价格是元，乙种课桌每张价格是元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲种课桌每张价格是元，乙种课桌每张价格是元，根据购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元可列方程；根据购买甲种课桌张，乙种课桌张，共需元，可列方程，解方程组即可求出结果．
【详解】解：设甲种课桌每张价格是元，乙种课桌每张价格是元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种课桌每张价格是元，乙种课桌每张价格是元．
25．某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确；
(2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解
（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意可列出方程组，
解得：
∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；
该销售经理的估计正确；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
和差倍问题
26．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页．
【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系．
设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可．
【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，
由题意，得
解得．
答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页．
27．刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？
【答案】16道
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键．
设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可．
【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，
，
解得，
答：刘畅同学做对了16道题．
28．某旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游．经统计，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少．到这两地旅游的人数各是多少？
【答案】到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组是解题关键．设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人，根据题意列出方程二元一次方程组求解即可得答案．
【详解】解：设到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人，
∵旅行社组织人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭旅游的人数比到云水洞的人数的倍少，
∴，
解得：．
答：到云水洞旅游的人数为人，到花果岭的人数为人．
29．有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？
【答案】1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，即可求出结论．
【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
解得：，
答：1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨．
30．为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套型一体机．求今年每套A型、型一体机的价格各是多少万元？
【答案】每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据“A、B一体机价格关系”和“采购金额与数量关系”列出方程组求解．
设每套A型—体机价格为万元，每套B型—体机价格为万元，根据B型比A型价格多0.6万元、960万元买500套A型和200套B型这两个条件列方程组，求解得出价格．
【详解】设今年每套型一体机的价格是万元，每套型一体机的价格是万元，
根据题意，可得，
解得，
把代入，得，
答：每套型一体机价格是1.2万元，每套型一体机价格是1.8万元．
图表信息题
31．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，各应取什么值？
3 2
【答案】x的取值为，y的取值为1
【分析】本题主要考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：，
即x的取值为，y的取值为1．
32．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目 用水量 费用（元）
1月 11 28
2月 15 44
(1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
(2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元
(2)不够交水费，还差30元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；
（1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可；
（2）先列式计算水费，再与50元比较即可；
【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30元.
33．小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分：
第一组 第二组
回答问题次数 1 2
参与课堂展示次数 7 5
有效质疑次数 2 3
最终分数 35 37
请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？
【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验．
【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分，
由题意可得：，
解得：，
答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分．
34．为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表：
捐书（本） 3 5 8 10
人数（人） 4 9
表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由．
【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键．
根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可．
【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，
∴，
解得，，
∴捐5本的有20人，捐8本的有12人．
35．某商场从厂家批发电视机进行零售，批发价格与零售价格如下表：若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元．
电视机型号 甲 乙
批发价（元/台） 1500 2500
零售价批发价（元/台） 2025 3640
(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台？
(2)迎“国庆”商场决定进行优惠促销：以零售价的七五折销售乙种型号电视机，两种电视机销售完毕，商场共获利，求甲种型号电视机打几折销售？
【答案】(1)购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台
(2)8折
【分析】（1）设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，根据“商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台，用去9万元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲种型号电视机打折销售，根据“两种电视机销售完毕，商场共获利”列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设商场购进甲型号电视机台，乙型号电视机台，
由题意得：，
解得：，
答：商场购进甲型号电视机35台，乙型号电视机15台；
（2）设甲种型号电视机打折销售，
由题意得：，
解得：，
答：甲种型号电视机打8折销售．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
古代问题
36．中国古代数学著作《增删算法统宗》记载：现在有绫3尺，绢4尺，共值4钱8分；又有绫7尺，绢2尺，共值6钱8分，则每尺绫，每尺绢各值多少分？（注：1钱=10分）
【答案】每尺绫值8分，每尺绢值6分
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列出方程组是解题的关键．
根据题意列出方程组并求解即可．
【详解】解：设1尺绫值分，1尺绢值分，
得：，
解得：，
∴每尺绫值8分，每尺绢值6分．
答：每尺绫值8分，每尺绢值6分．
37．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？
【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱．
【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，
根据题意得：，
解得：，
答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文.
38．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．人与车各多少？
【答案】人有39人，车有15辆
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系．
设共有x人，y辆车，列出相应的方程组求解即可．
【详解】解：设共有x人，y辆车，
依题意，得
解得．
答：人有39人，车有15辆．
39．今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？选自《张丘建算经》
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙的钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多倍；如果乙得到甲的钱，那么两人钱数相等．甲、乙两人各带了多少钱？
【答案】甲带了钱，乙带了钱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲带的钱数为，乙带的钱数为，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可．
【详解】解：设甲带的钱数为，乙带的钱数为，
根据题意，得，
解方程组，得，
所以，甲带了钱，乙带了钱．
40．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？（利用二元一次方程组求解）
【答案】李三公家有间客房，来了位房客．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意，根据等量关系列方程是解题关键．
设有间客房，位房客，根据等量关系建立二元一次方程组，解方程，即可求解．
【详解】解：设李三公家的店有间客房，来了位房客，
根据题意，得，
解得：，
李三公家有间客房，来了位房客．

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