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3.4二元一次方程组及其解法
（30分提至70分使用）
一、二元一次方程的定义
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式：（其中(a)、(b)、(c)为常数，且(a)、(b)不同时为0）。
二、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程的解有无数组，通常表示为（(m)、(n)为常数）。
三、二元一次方程组的定义
由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。
一般形式：（其中、、、、、为常数，且每个方程中未知数的项次数为1）。
四、二元一次方程组的解
二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
方程组的解需同时满足所有方程，通常表示为（(m)、(n)为常数）。
五、代入消元法（代入法）
步骤：
（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（如）；
（2）将此表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；
（3）解一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）将求出的未知数的值代入表达式，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
六、加减消元法（加减法）
步骤：
（1）将方程组中两个方程的某一未知数的系数化为相同或相反；
（2）把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程；
（3）解一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，得到方程组的解。
二元一次方程的定义
1．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，方程是二元一次方程，需满足两个条件：有两个未知数，且每个未知项的次数均为．
【详解】解：∵ 方程 是二元一次方程，
方程必须含有两个不同的未知数，且每个未知项的次数为
A选项：若为 ，则方程为 ，即 ，只含一个未知数，是一元一次方程，故A选项不符合题意；
B选项：若为 ，则方程为 ，含两个未知数 和 ，且未知项的次数均为，是二元一次方程，故B选项符合题意；
C选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是二元二次方程，故C选项不符合题意；
D选项：若为 ，则方程为 ，其中 为二次项，是一元二次方程，故D选项不符合题意．
故选：B．
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程．根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程），逐一判断各选项，即可作答．
【详解】解：A、的次数为二次，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
B、不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
C、是二元一次方程，故该选项符合题意；
D、只有一个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意；
故选：C
3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，方程应含有两个未知数，且每个未知数的次数均为1，同时未知数的系数不能为零，据此求出结论即可．
【详解】解：∵ 方程 是关于， 的二元一次方程，
∴的指数必须为1，即，
解得：，
∵的系数（若 ，则方程变为，不符合二元一次方程定义），
∴， ，
故选：C．
4．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
根据二元一次方程的定义进行判断．
【详解】解：A、该方程含有个未知数，故本选项不合题意；
B、该方程中含有1个未知数，并且含有未知数最高次数是，故本选项不合题意；
C、该方程分母含未知数，不是整式方程，故本选项不合题意；
D、该方程中含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，属于二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
5．下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，根据概念逐个判断即可得答案．
【详解】解：方程，含有两个未知数x、y，次数均为1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义；
方程，含有三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件；
式子不是等式，仅为代数式，不构成方程；
不等式属于不等式而非等式，不符合二元一次方程的定义，
综上，只有是二元一次方程，共1个，
故选：A．
判断是否是二元一次方程组
6．下列方程组中是二元一次方程组的是（　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．
根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是一次方程），逐一判断各选项．
【详解】解：选项A中第一个方程含有项，为二次方程，不符合一次方程定义；
选项B中第一个方程左边为二次，不符合一次方程定义；
选项C中含有三个未知数a、b、c，不符合两个未知数的定义；
选项D中只含两个未知数m、n，且每个方程均为一次方程；
故选：D．
7．下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意；
B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意；
D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意．
故选：A．
8．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必须是整式方程，否则就不是二元一次方程组．
二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方程，叫二元一次方程组．据此判断即可．
【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意；
B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意；
C、含有3个未知数，故不是，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
9．下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键，二元一次方程组满足的条件：两个整式方程；一共含有2个未知数；含未知数的项的次数是1，根据定义判断即可．
【详解】解：A．是二元一次方程组．
B．是二元一次方程组．
C．是二元一次方程组．
D．，方程中含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故选：D．
10．下列方程组为二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，两个一次方程，共含有2个未知数，组成的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可．
【详解】解：A、该方程组中的第二个方程是二元二次方程，不符合题意；
B、该方程组中的第一个方程是分式方程，不符合题意；
C、该方程组中含有3个未知数，不符合题意；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，符合题意；
故选：D．
代入消元法
11．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．
将方程①代入②，然后进行消元，即可判断．
【详解】解：，
把①代入②得：，
去括号得：．
故选：C．
12．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把，和，代入原等式中可得两个二元一次方程，进而建立方程组求出k、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵在等式中，当时，；当时，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
13．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（ ）
A．由①得，代入② B．由①得，代入②
C．由②得，代入① D．由②得，代入①
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题关键．利用代入消元法解方程组即可得．
【详解】解：方程组，
由①得：，，代入②，得到的方程都含分母；
由②得：，则选项C错误；
由②得：，代入①，得到的方程不含分母；
比较可知，最合适的解法是选项D，
故选：D．
14．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用代入法解方程组即可．
【详解】解：方程组变形为：
由①得：，
把代入②式得：，
解得，
把代入，
得，
则方程组的解为，
故选B
15．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握相关运算方法，是解题的关键．移项，将的系数化为1，即可得解．
【详解】解：，
移项，得：，
将的系数化为1，得：．
故选：A．
加减消元法
16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了加减消元法，通过解方程组求出的值，再代入中求解即可．
【详解】解：，得： ；
解得：；
∵的解也是方程的解，
∴，
∴，
故选：C．
17．若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组的应用，用方程①减去方程②即可求解﹒
【详解】解：
得﹒
故选：A
18．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
利用加减消元法运算求解即可．
【详解】解：，
得：，
得：，解得：，
把代入可得：，解得：，
∴原方程组的解为： ，
故选：A．
19．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元法解方程组是解题的关键．利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
由得，，
解得，
把代入②得，
解得，
∴方程组的解为．
故选：B．
20．已知方程组，则的值是（　　）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解二元一次方程组，将两个方程相加后，即可得出结果．
【详解】解：，
得：，
则
故选：A
已知方程组的解求参数
21．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（ ）
A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入是解题关键．
将已知解代入方程求出y，再代入求出即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
将代入得，
解得，
∴，
将代入得，，
∴，
故和分别为5和2．
故选A．
22．已知，是的一个解，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解本题的关键．
将给定的解代入方程，即可直接求参数 m 的值．
把代入方程，建立关于m的方程，求解即可．
【详解】解：把代入方程，得
，
解得：，
故选：A．
23．若方程组的解与相等，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．
根据题意可得，可求出x，y的值，再把x，y的值代入，即可求解．
【详解】解：∵方程组的解与相等，
∴，
解得：，
把代入得：
，
解得：．
故选：C
24．若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的解．理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键；已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数a的值，再将方程组的解代入各选项验证是否成立即可得解．
【详解】解：因为二元一次方程组的解是，
所以，
解得，
所以方程组的解为，
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
故选：．
25．已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是（ ）
A．-4 B．4 C． D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后再根据可进行求解．
【详解】解：解关于x，y的方程组得，
∵，
∴，
解得：；
故选C．
方程组相同解问题
26．若方程组和同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴方程组的解为，
∵方程组和同解，
∴把代入，得，
解得：，
故选：B．
27．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组．
根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
上面方程组的解也是 的解，代入，
得 ，
解这个方程组，得 ．
∴，
故选：B
28．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解．
【详解】解：解方程组得，
把代入得，
解得：，
∴，
故选：D．
29．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．2007
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据已知条件，知x，y的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得x，y的值后，再联立解方程组，从而求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
把代入含有a，b的两个方程，得，
由②得．
则．
故选：C．
30．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
【详解】解：两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
两边同时除以 3 ，得：，
因此，的值为，
故选：D．3.4二元一次方程组及其解法
（30分提至70分使用）
一、二元一次方程的定义
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式：（其中(a)、(b)、(c)为常数，且(a)、(b)不同时为0）。
二、二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程的解有无数组，通常表示为（(m)、(n)为常数）。
三、二元一次方程组的定义
由两个或两个以上的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。
一般形式：（其中、、、、、为常数，且每个方程中未知数的项次数为1）。
四、二元一次方程组的解
二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
方程组的解需同时满足所有方程，通常表示为（(m)、(n)为常数）。
五、代入消元法（代入法）
步骤：
（1）从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来（如）；
（2）将此表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；
（3）解一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）将求出的未知数的值代入表达式，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。
六、加减消元法（加减法）
步骤：
（1）将方程组中两个方程的某一未知数的系数化为相同或相反；
（2）把两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到一元一次方程；
（3）解一元一次方程，求出一个未知数的值；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，得到方程组的解。
二元一次方程的定义
1．已知方程是二元一次方程，则“”可能是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．若方程是关于x，y的二元一次方程，则关于m，n的值判断正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列式子中，，，中，是二元一次方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
判断是否是二元一次方程组
6．下列方程组中是二元一次方程组的是（　）
A． B． C． D．
7．下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列方程组为二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
代入消元法
11．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
13．小明解二元一次方程组时写出了四种解法，其中最合适的解法是（ ）
A．由①得，代入② B．由①得，代入②
C．由②得，代入① D．由②得，代入①
14．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
15．对于方程，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
加减消元法
16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
17．若，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
18．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
19．方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
20．已知方程组，则的值是（　　）
A．2 B．0 C． D．
已知方程组的解求参数
21．若方程组的解为则被遮盖的两个数和分别是（ ）
A．5，2 B．4，4 C．2，4 D．2，5
22．已知，是的一个解，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．
23．若方程组的解与相等，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．4
24．若二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知关于x，y的方程组的解满足等式，则m的值是（ ）
A．-4 B．4 C． D．6
方程组相同解问题
26．若方程组和同解，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
27．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
28．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．已知关于x、y的方程组和方程组有相同的解，那么的值为（ ）
A． B． C．1 D．2007
30．若关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．

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