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3.6三元一次方程组及其解法
（30分提至70分使用）
三元一次方程组的概念
三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。其一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)、(d)均为常数，且(a)、(b)、(c)不全为0）。
三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。其一般形式为：（其中、、等为常数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1）。
三元一次方程组的解：使三元一次方程组中三个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。
三元一次方程组的解法
基本思想：解三元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。
主要方法：
代入消元法：
从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如(z)）用含另外两个未知数（例如(x)、(y)）的代数式表示出来，即；
将代入方程组中的另外两个方程，消去(z)，得到一个关于(x)、(y)的二元一次方程组；
解这个二元一次方程组，求出(x)、(y)的值；
将求出的(x)、(y)的值代入，求出(z)的值；
把求得的(x)、(y)、(z)的值用“”联立起来，就是原方程组的解。
加减消元法：
在三元一次方程组中，若有两个方程中同一个未知数的系数相反或相等，可以把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程；
如果不存在上述情况，可选择一个适当的数去乘方程组中某两个方程的两边，使其中一个未知数的系数相反或相等，再把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程；
用同样的方法，再消去另一个未知数，得到另一个二元一次方程，组成关于另外两个未知数的二元一次方程组；
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个适当方程，求出第三个未知数的值；
把求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原方程组的解。
解题步骤总结：“三元”→“二元”→“一元”，即通过消元转化，逐步降低未知数的个数，最终求解。
三元一次方程组的定义
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意；
B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
2．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意；
D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意；
故选：D．
3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键．
【详解】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意；
B．第一个方程不是整式方程，不符合题意；
C．是三元一次方程组，符合题意；
D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意；
故选：C．
4．方程组（　　）
A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解．
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解．
【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为：
将可得，
将和联立可得：
由于，所以原方程组无解．
故选：．
5．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得．
【详解】解：，
由①②得：④，
由①③得：⑤，
由⑤④得：，
解得，
将代入④得：，
解得，
将，代入①得：，
解得，
所以方程组的解为，
故选：A．
三元一次方程组的应用
6．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　）
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲
【答案】C
【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式．
设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解．
【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为，
由图可得，
解得，
所以
故选：C．
7．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c的方程和得出关于a、b的方程组是解此题的关键．根据方程组的解的定义得到关于a、b、c的方程组，再进一步运用加减消元法求解，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意把代入原方程组，得，
把代入，得，
可组成方程组，
解得，
则．
故选：D．
8．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）张
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次不定方程的应用．根据题意列出三元一次方程组是解题的关键．
设三种票分别买了张．则根据题意列出关于的三元一次方程组，然后解的值即可．
【详解】解：分别设三种票买了张．
则根据题意，得，
由②得③
将③代入①，得：．
故选：A．
9．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（ ）个
A．150 B．160 C．180 D．200
【答案】D
【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键．
设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可．
【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数，
∴设其中有a个0，b个，c个2，则；
∵
∴；
∵
∴
联立得到，
解得，
∴在数中，取值为2的数有200个．
故选：D．
10．三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（ ）个．
A．30 B．35 C．50 D．55
【答案】D
【分析】此题考查了列三元一次方程组和解三元一次方程组的方法．设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜．根据最后每堆有个西瓜列方程组求解．
【详解】解：设原来第1堆有x个西瓜，第2堆有y个西瓜，第3堆有z个西瓜，根据题意，得：
，
解得：．
即原来第1堆有55个西瓜．
故选：D．3.6三元一次方程组及其解法
（30分提至70分使用）
三元一次方程组的概念
三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。其一般形式为：（其中(a)、(b)、(c)、(d)均为常数，且(a)、(b)、(c)不全为0）。
三元一次方程组的定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。其一般形式为：（其中、、等为常数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1）。
三元一次方程组的解：使三元一次方程组中三个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。
三元一次方程组的解法
基本思想：解三元一次方程组的基本思想是“消元”，即通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程求解。
主要方法：
代入消元法：
从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如(z)）用含另外两个未知数（例如(x)、(y)）的代数式表示出来，即；
将代入方程组中的另外两个方程，消去(z)，得到一个关于(x)、(y)的二元一次方程组；
解这个二元一次方程组，求出(x)、(y)的值；
将求出的(x)、(y)的值代入，求出(z)的值；
把求得的(x)、(y)、(z)的值用“”联立起来，就是原方程组的解。
加减消元法：
在三元一次方程组中，若有两个方程中同一个未知数的系数相反或相等，可以把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程；
如果不存在上述情况，可选择一个适当的数去乘方程组中某两个方程的两边，使其中一个未知数的系数相反或相等，再把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个二元一次方程；
用同样的方法，再消去另一个未知数，得到另一个二元一次方程，组成关于另外两个未知数的二元一次方程组；
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
将求出的两个未知数的值代入原方程组中的一个适当方程，求出第三个未知数的值；
把求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原方程组的解。
解题步骤总结：“三元”→“二元”→“一元”，即通过消元转化，逐步降低未知数的个数，最终求解。
三元一次方程组的定义
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程组（　　）
A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解．
5．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
三元一次方程组的应用
6．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　）
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲
7．小亮和小明两人在解方程组时，小亮正确解得，小明因抄错，解得，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
8．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）张
A．10 B．11 C．12 D．13
9．若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（ ）个
A．150 B．160 C．180 D．200
10．三堆西瓜共120个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的西瓜放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的西瓜放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的西瓜放入第一堆，这时三堆西瓜的个数恰好相等，则第一堆原有西瓜（ ）个．
A．30 B．35 C．50 D．55

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