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教学设计
课题 4.4.2对数函数的图象和性质
教学内容分析 本课时是第四单元对数函数中的第二课时，是研究对数函数图象和性质的第一课时。我们知道幂函数、指数函数都是通过对现实世界中同类运动变化现象中的变量关系和规律的归纳、概括得出的，而对数函数是通过分析指数函数“反过来的问题”，利用指数函数的单调性、指数与对数的关系而获得的，这是很不相同的。因此对数函数的图象与性质的研究，与前两个函数的图象与性质的研究方法也有很大不同，幂函数、指数函数的图象与性质的研究，是通过描点法作图象，再通过观察图象，结合解析式的代数意义和相关运算得出函数性质，而对数函数的图象与性质的研究主要通过指数与对数的内在联系，利用指数函数的图象与性质得出对数函数的相关结论。在研究的过程中使学生建立起结构化的认知结构，体现更高的函数观点和更本质的数学思维方式。 一.本课时在整个单元中的定位为： ①知识体系中的 “承上启下” 枢纽 承接前序基础：本课时直接依托单元第一课时的 “对数函数概念”（定义域、解析式特征），同时关联已学的 “指数函数图象与性质”“对数与指数的互逆关系”，是对 “函数概念 — 解析式 — 图象 — 性质” 研究路径的具体延续，也是对 “互逆关系” 的实质性应用。 支撑后续内容：作为对数函数性质研究的核心课时，其结论（定义域、值域、单调性、特殊点等）是后续 “反函数概念建构”“不同函数增长差异对比”“对数函数实际建模应用” 的关键基础 —— 无本课时的性质支撑，反函数的图象关联、增长差异的定量分析、实际问题中的单调性应用都无法有效开展。 研究方法的 “进阶节点”：区别于幂函数、指数函数 “描点作图→观察归纳性质” 的直观探究法，本课时采用 “指数函数性质→对数与指数互逆关系→推导对数函数性质→验证图象特征” 的演绎推理路径，是函数研究从 “直观感知” 到 “逻辑推导” 的进阶，体现了更高层次的函数思维方式，完善了学生对 “函数研究基本路径” 的结构化认知。 ②单元教学目标的 “核心落地载体” 将单元 “建构对数函数模型、渗透数形结合思想、发展逻辑推理素养” 的总目标具体化，通过 “性质推导 — 图象验证 — 双向互推” 的过程，实现从 “概念抽象” 到 “性质应用” 的过渡，是单元知识从 “理论” 到 “工具” 的转化关键。 二．本课时对学生核心素养发展的功能价值 ①直观想象素养：深化 “数” 与 “形” 的双向关联 通过 “由对数函数性质预判图象特征”“由图象直观解读性质” 的双向训练，让学生建立 “解析式→性质→图象” 的闭环认知，提升从图形中提取代数信息、用图形表达代数关系的能力；对比不同底数（a>1与00,a=1)的共性特征（过定点(1,0)、定义域为(0,+∞)等），提升合情推理与归纳概括能力，体现 “特殊→一般” 的数学思维。 ③数学抽象素养：完善函数概念的本质认知 通过分析对数函数与指数函数的互反关系，抽象出 “互反函数在图象、定义域、值域上的对应规律”，深化对 “函数是变量间对应关系” 的本质理解；剥离具体底数的特殊性，提炼对数函数的核心性质（单调性、奇偶性、特殊点），形成对 “基本初等函数性质” 的结构化抽象认知，为后续学习更复杂函数奠定基础。 ④数学运算素养：提升运算的目的性与灵活性 在求解对数函数定义域（结合对数运算的真数要求）、值域（利用单调性推导）、比较对数大小（运用单调性转化）的过程中，强化对数运算与函数性质的结合应用，提升运算的 “目标导向性”；通过 “利用性质简化运算”（如利用单调性比较对数大小，避免复杂计算），培养运算的灵活性与合理性。 三、本课时蕴含的正确价值观念 ①“转化与化归” 的数学思想价值 本课时通过 “将对数函数问题转化为指数函数问题” 的研究路径，传递 “复杂问题简化、未知问题已知化” 的数学思维策略，引导学生认识到 “转化是解决数学问题的核心方法”，培养用联系的眼光看待数学知识的观念。 ②“严谨求实” 的科学态度价值 在性质推导过程中，强调 “每一个结论都需有逻辑依据”（如由指数函数的单调性推导对数函数的单调性，需依托互逆关系的等价性），反对 “仅由图象直观判断” 的片面性，培养学生尊重逻辑、严谨推理、实事求是的科学态度。 ③“结构化认知” 的学习观念价值 通过对比对数函数与幂函数、指数函数的研究方法差异与共性，引导学生构建 “函数研究的通用框架”（概念→图象→性质→应用），认识到数学知识的 “系统性与关联性”，培养 “梳理知识脉络、形成知识体系” 的学习习惯，避免碎片化记忆。 ④“辩证统一” 的哲学观念价值 通过分析 “底数a的取值对对数函数图象与性质的影响”（a>1时单调递增，02.学情分析 在初中时期，学生们已经学习过了几个简单的初等函数，到了高中阶段，函数便成为了贯穿高中数学的一条主线，对函数的研究也更加的深入．学生已经熟练掌握了对数的运算，并已完成了对幂函数、指数函数的研究，所以学生已经基本熟悉了研究基本初等函数的方法和过程：背景——概念——图象和性质——应用，也掌握了数形结合、类比、归纳等数学思想方法．但学生在学习过程中，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，更注重形象思维． 对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础。因为对数函数是在其反函数——指数函数得到完整研究的基础上展开的，要借助对数与指数的内在联系，利用指数函数研究对数函数，这种看问题的观点、研究问题的方法是学生以往经验中没有的，所以在教学中，要通过对数与指数的内在联系，教师可采取适当的教学手段(如列表对照、将图象画在同一个坐标系中进行比较等)，借助指数函数认清对数函数的对应关系，强调通过代数运算的方法研究对数函数的性质，在画对数函数的图象时也要注意引导学生把它与指数函数的图象联系起来，使学生在借助指数函数研究对数函数的过程中领会这种研究方法的特点。
3.目标确定 1. 通过对研究函数方法的总结，使学生掌握研究基本初等函数的一般方法，体会函数在数学学习中的重要性，感悟数学思想方法的内在联系； 2. 通过描点法画出具体对数函数的图象，探索对数函数的图象特征，归纳其性质，使学生感受类比推理、特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养； 3. 通过情境创设、问题导向，合作探究的活动，激发学生深度思考，提升学生的探究力、学习力，发展理性思维.
4.学习重点难点 重点：对数函数的图象和性质及其研究方法、过程. 难点：借助对数与指数的相互关系，从函数图象代数运算探究对数函数的性质.
5.学习活动设计 教师活动学生活动环节一：创设情境，提出问题教师活动 问题1 根据前面研究幂函数、指数函数的经验，请同学们回顾研究一类函数的基本路径？ 追问1：我们是如何得到对数函数的概念？ 追问2：在得出对数函数函数的概念后，接着要研究什么？ 追问:3：类比指数函数，你认为可以按什么路径和方法来研究？ 学生活动 学生回答，回顾研究一类函数的基本路径，即“背景→概念→图象与性质→应用”，类比指数函数，学生应该想到：列表--描点--作图。 从代数运算视角看函数，和，是中三个数一个为常数、一个为自变量、一个为函数值所得的三种结果； 研究方案： ①函数解析式→函数图象→函数性质； ②函数解析式→性质；设计意图 对数函数的概念是在学习指数函数的基础上，通过“反过来的问题”，并利用指数和对数的内在联系建立起来的，通过回顾研究一类函数图象和性质的路径和方法，提出研究对数函数图象和性质的研究路径和方法，为接下来的学习指明方向。环节二：问题引导，合作探究教师活动 问题2 (1)利用指数与对数的关系，完善表格中数据，在同一直角坐标系中，用描点法画出和的图象，并观察、猜想图象之间的关系. xyxy-20.25-10.501122438416
追问：你能说一说和的图象之间有什么关系吗？为什么？如果在已知的图象的基础上，不用描点法，你将如何画出的图象？ (2)你能借助函数的图象画出函数的图象吗？请在刚才的坐标图中完成。 追问1：你是如何作图的？有何发现？ 追问2：大家认为这个猜想成立吗？你能给出代数证明吗？ 追问3：可以推广为一般结论吗？ (3)类比和时的对数函数图象的作图过程，先想象底数为，及，时对数函数图象的关系和形状，再请以同桌2人为小组，分别在同一坐标系内画出这些函数的图象. 问题3 (1)类比指数函数性质的研究过程，先思考从哪些角度观察这些函数的图象，探究对数函数的图象可以分几种情况进行研究？请将你的发现填入下表中： 的图象
(2)老师用作图软件做出任意底数a的对数函数图象，请同学们观察图象特征，和你的猜想一致吗？ 追问：这两类图象的位置、公共点、变化趋势有什么共同特征？ (3)完善下列表格，写出对数函数的性质. 定义域值域过定点单调性函数值变化情况
追问：你能从代数运算的视角解释对数函数的这些性质吗？ 问题4 对于一般的指数函数与对数函数，它们的图象间是否有某种关系？ (2)对照指数函数、对数函数的图象和性质，你有什么发现？你能解释其中的原因吗？ 指数函数与对数函数: ①定义域和值域互换； ②所过定点的横坐标相互交换； ③单调性都分两类情况，而且单调性一致； ④函数图象关于直线y=x对称。学生活动 问题2 让学生动手画图、独立思考，充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，关注基本活动经验的积累，再通过展示交流讨论，培养学生从特殊到一般的规律总结能力，渗透数形结合的思想方法，最后形成共识。 类比指数的取点，描点法作图时可关注一些特殊点，如：等； 追问：学生观察图象，得出和的图象关于y=x对称.已知的图象，可利用对称性直接得出的图象。(代数证明过程有一定难度，若学生不能回答，可由教师讲解。) 设点P(a,b)是函数图象上任意一点，则，于是，所以点Q(b,a)满足，即点Q在的图象上；反之，设点是图象上任意一点，则，于是，所以点在图象上.综上可知，和的图象关于y=x对称。 (2)学生类比指数函数中的研究方法进行分析，若有困难，教师可适当通过问题引导： 利用换底公式有，则与的图象关于x轴对称，即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。函数图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点都在的图象上，反之也对。因此借助函数的图象，利用对称性可直接画出的图象。 (3)学生独立完成，再由教师通过信息技术作出更多图象，由此从整体上突出对数函数的特征，清晰地呈现出对数函数图象的类型，从而促使学生想到分类讨论对数函数的图象和性质. 问题3 (1)学生独立思考、作答，有意培养学生由图象获得性质的方式和步骤。教师通过课堂巡视帮助有困难的 学生，再进行班级交流互动，得出对数函数的性质。 追问：先让学生小组讨论，自主尝试，再展示交流，最后形成共识。由对数的定义可得到对数函数的定义域、值域；由可知所有对数函数都过点(1,0)；由对数与指数的转化及其运算性质可证明其单调性等； 问题4 先让学生类比问题2(2),独立思考，自主尝试，再展示交流，最后形成共识。 (1)和的图象关于y=x对称. 设点P(m,n)是函数图象上任意一点，则，于是，所以点(n,m)满足，即点在的图象上；反之，设点是图象上任意一点，则，于是，所以点在图象上.综上可知，和的图象关于直线y=x对称。 (2)因此指数函数与对数函数 具有上述的特殊关系，完全是由这两个函数的对应关系之间的特殊关系决定的，我们称具有这种特殊关系的两个函数互为反函数。设计意图 通过三个问题引领，构建研究对数函数的图象与性质的整体架构，始终以指数与对数的内在联系为纽带，先由教师示范建立函数和的联系，利用函数的图象作出函数的图象，并在此过程中认识它们关于直线y=x对称；再利用对数换底公式建立与的联系，并利用的图象画出的图象。接着，让学生仿照这个过程作出底数为，及，等时的函数图象，并由教师通过信息技术作出更多图象，由此从整体上突出对数函数的特征，在充分研究函数图象后，先让学生类比指数函数的性质，明确观察函数图象的角度，再观察、归纳具体的对数函数的共同特征，进而概括出对数函数的性质。然后通过问题3，引发学生思考如何从代数运算角度获得这些性质，最后让学生比较指数函数、对数函数的图象与性质表，得出它们之间的内在联系。这样设计图象与性质的研究，数形结合非常紧密，而且突出了代数运算的作用，可以让学生充分体会指数函数与对数函数的特殊关系，领悟通过代数运算和函数图象认识函数性质的方法，提高研究函数问题的逻辑性，增加理性思维的成分。环节三：典例分析，巩固理解教师活动 问题5 1.（教材例3）比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 2.四个对数函数图象如图所示，你能给出的大小关系吗？ 学生活动 1.先由学生独立思考作答，明确借助同底对数函数的单调性进行比较。 2.由知，作y=1与图象交点的横坐标就可获得的大小关系。 学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 问题解决重在通过观察数字的结构特征，不仅引导学生从同真数的角度思考问题，采用换底公式进行比较；也引导从不明显、不常见的中间值的角度进行思考，由此逐渐扩大学生的思维层面。环节四：小结提升，形成结构教师活动 问题6 (1)通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？ (2)在探究对数函数图像和性质的过程中，你运用了哪些数学思想和方法？ 学生活动 让学生先总结，再进行全班交流、互动，教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识。学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 帮助学生构建知识体系，本节课到底学了哪些内容。 学习内容总结：（1）对数函数的图象和性质；（2）同底数的指数函数与对数函数互为反函数． 数学思想方法总结：本节运用了类比，数形结合，从特殊到一般，分类讨论等数学思想方法研究了对数函数的图象和性质． 明确研究路径和方法：类比指数函数“列表、描点、画图”的方式获得对数函数图象和性质；从代数运算角度对对数函数解析式分析获得其图象和性质；用对数函数与指数函数的特殊关系分析获得其图象和性质。
6.板书设计 §4.4.2 对数函数的图象和性质一、图象和性质 图象定义域值域过定点单调性函数值变化情况
和的图象关于轴对称. 二、例3 解：（1） 三、一般地，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数．
作业与拓展学习设计 基础必做：必修一课本140页第2,4,7题； 拓展选做：必修一课本141页第12,13题； 探究作业：必修一课本135页探究与发现。
8.特色学习资源分析、技术手段应用说明 利用信息技术工具画出对数函数的图象，演示当底数变化时对应的一组对数函数图象，帮助学生形成对数函数性质的直观认识，为归纳性质做好准备。
9.教学反思与改进 教学过程中，要注意引导学生积极参与思考，应给予学生充足的作图、思考和展示的时间，促使学生真正理解指数函数与对数函数之间的关系，提高数学核心素养。
学习评价设计 评价任务1 类比指数函数取点，能用描点法画出的图象。(对应目标1) 评价任务2 类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，能通过代数运算得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关系，并能借助的图象画出函数的图象.(对应目标2) 评价任务3 学生能通过自己画出底数取不同值时的图象，并观看演示对数函数图象变化动画，总结图象特征，类比指数函数的性质自己归纳对数函数的性质。(对应目标2) 评价任务4 对照指数函数、对数函数的图象和性质，归纳总结得出反函数的概念。(对应目标4) 评价任务5 通过设置例题，加深对数函数性质的理解，后配有两道目标检测题。(对应目标3) 目标检测 比较下列各题中两个值的大小： (1)____；(2)_____；(3)_____；(4)_____． 2.函数的定义域为 ，过定点 ．

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