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第1课平方根与立方根期末总复习
【沪教版】
1.算数平方根的概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x =a,那么这个正数x叫作a的算术平方根.a的算术平方根记为“”,读作“根号a”.a叫作被开方数.
因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0.
2.求一个数的算术平方根
比如：求16的算术平方根：因为，所以16的算术平方根是4.
易错题，的算术平方根是4（ ╳ ），因为=4，所以4的算术平方根是2.
3.初探的性质
=a(a>0),=a(a>0)
易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=.
4.的双重非负性
5.小数点移动规则
一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的
例1求下列各数的算术平方根：
(1)64; (2)121; (3); (4)
解（1）因为8 =64,所以64的算术平方根是8,即=8.
（2）因为11 =121,所以121的算术平方根是11,即=11.
（3）因为（） =,所以的算术平方根是,即=.
（4）因为=,所以的算术平方根是,即=.
例2化简：
（1）; （2）; (3); (4)
解：（1）=0.7；
（2）=；
（3）=；
（4） =13
例3（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
例4（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长．
【详解】解：，且，，
且．
解方程组得，
、是等腰三角形的两边长，
需分情况讨论：
当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立；
当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立．
综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：．
故答案为：．
过关练
1.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 .
【答案】2
【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键．
根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根．
【详解】解：因为，
所以，
即4的算术平方根是2.
故答案为：2．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．0的平方根是0
C． D．的平方根是2
【答案】B
【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）.
选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确.
【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）.
对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误；
对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确；
对于C：，而非，所以此项错误；
对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误.
故选：B.
3.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可．
【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是，
则，
较大的正整数为：，
较大的数的算术平方根为：．
故选A．
4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解．
【详解】解：由，得．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，
∵,
∴，
故答案为：．
6．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律：
a 1 100 10000 1000000
1 10 100 1000
根据发现的规律，若，，那么的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题．
通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍．
【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足：
被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．
已知，，
因为，即，
所以．
故答案为：．
7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ．
【答案】
【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值．
【详解】解：∵ ，且 ，，
∴ 且 ，
即 ，解得 ，
，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为．
8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键．
根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数．
【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是．
故答案为．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________；
（2）根据（1）的计算结果，化简，．
【答案】（1）0.01；25；4；7；（2）；
【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；
（1）根据算术平方根的定义进行求解；
（2）根据（1）的计算结果，归纳可得，．
【详解】（1）；
；
；
；
（2）根据（1）的计算结果可得；．
10．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知数a，b，c满足，请求的值．
【答案】9
【分析】本题考查了算术平方根，绝对值和偶次方的非负性，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据算术平方根，绝对值和平方数的非负性可得，，，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴．
拓展练
11．（25-06八年级上·全国·单元测试）的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可．
【详解】解：，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
12．（24-25八年级上·上海·期末）已知x、y是实数，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根有意义的条件、分式有意义的条件、代数式求值，先根据算术平方根的性质及分式有意义的条件求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即且，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（24-25七年级下·海南三亚·月考）先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
【答案】(1)，；
(2)①；②；
【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用．
（1）填写表格，通过计算，即可得到答案；
（2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案．
【详解】（1）解：根据表格可得：∵，，
∴；
∵，，
，
故答案为：；．
（2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，
∴从到被开方数扩大到原来倍，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴．
14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则．
根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可．
【详解】解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）；
②当时，，解得（舍去）；
③当时，，解得；
综上所述，的值为．
故答案为：。
平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a,即x =a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a叫作被开方数.
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0;
负数没有平方根.
正数a的两个平方根可以用符号“±”表示.其中，“+”表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-”表示a的负的平方根，读作“负根号a”.
平方根与算术平方根的区别
算术平方根平方根
0的算术平方根和0的平方根都是0
易错点：=（ ╳ ）因为表示的是算术平方根,所以=9.
一个整数的两个平方根互为相反数
开平方运算的概念
求一个数a的平方根的运算叫作开平方.
平方运算与开平方运算是互逆运算.
例1（25-26八年级上·上海·阶段练习）求下列各数的平方根：
(1)6400；(2)0.000016；(3)．
【详解】（1）解：6400的平方根为：；
（2）解：0.000016的平方根为：；
（3）解：的平方根为：．
例2（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．0的平方根是0 D．的立方根是
【详解】解：A. ，的平方根是，则的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意；
C. 的平方根是，故该选项正确，符合题意；
D. 的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
例3（25-26八年级上·河南周口·月考）若与是同一个数的平方根，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】D
【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数．本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键．
【详解】解：情况一：
情况二：
综上，的值为或．
故选：D．
例4（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）求下列各式中的x的值
(1)；
(2)
【详解】（1）解：，
，
，
解得或；
（2）解：
，
解得．
过关练
1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．9是的算术平方根 B．的平方根是3
C．25的平方根是 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根，掌握这些是解题的关键．
根据平方根，立方根，算术平方根的定义进行判断即可．
【详解】解：对于A：，9不是的算术平方根，故A不符合题意；
对于B：，9的平方根是，B不符合题意；
对于C： 25的平方根是，C符合题意；
对于D：，D不符合题意．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个的平方根以及算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根以及算术平方根的定义．
根据平方根和算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：， ，，
故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意；
故选：B
3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根和平方根，先计算，再计算该值的平方根．
【详解】，
的平方根是，
故选：B．
4．（24-25七年级下·广东·期中）一个正数的平方根是和，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可得．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和，
∴，
解得，
故答案为：．
5．（25-26八年级上·上海松江·期中）的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根，将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，的平方根是．
故答案为：．
6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的平方根是 ．
【答案】//
【分析】本题考查了平方根的概念．熟练掌握平方根的概念是解题的关键．
先明确平方根的概念，再根据概念进行计算即可．
【详解】解：，
设的平方根为，
所以有，即，
故答案为：．
7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根．
【答案】的平方根为
【分析】本题考查了相反数、平方根、解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程．
根据题意可得和，分别求出x、y，将其代入进行计算即可．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴
，
解得，
∵的平方根是它本身，
∴，
∴，
∴
，
∴的平方根为．
8．（24-25七年级下·海南·期中）求x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得：或；
（2）解：，
，
，
解得：．
拓展练
9.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是9
B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C．是49的算术平方根
D．4是16的一个平方根
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数有三个，0和，原说法错误，不符合题意；
C、是49的平方根，原说法错误，不符合题意；
D、4是16的一个平方根，原说法正确，符合题意；
故选：D．
10．（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为，
设圆的半径为，则圆的面积为，
根据题意，，
解得：（负值不符合题意，舍去），
故答案为：．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据算术平方根、立方根的概念得到，，求出，再代入代数式计算代数式的值，再求解平方根．
【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是7，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴其平方根为．
12.（25-26九年级上·广东湛江·阶段练习）已知，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴的平方根为，
故答案为：．
立方根的概念
一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a,那么这个数x叫作a的立方根.a的立方根记为“”,读作“三次根号a”.a叫作被开方数.求一个数a立方根的运算叫作开立方.
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
求一个数的立方根
按照概念解题，比如求64的立方根：因为，所以64的立方根是4.
小数点移动规则
一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的
例1（25-26八年级上·福建漳州·期中）的立方根为 ．
【详解】解：的立方根为，
故答案为：．
例2（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：一个数的立方根是，
这个数是，
故选：．
例3（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ．
【详解】解：由，得；
∵，，
故
故答案为：．
过关练
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根；
B．是4的算术平方根；
C．立方根是它本身的数只有0；
D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
【答案】D
【分析】本题考查了立方根和算术平方根的概念，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、负数有立方根，且负数的立方根是负数，故该选项不符合题意；
B、4的算术平方根是2，不是，故该选项不符合题意；
C、立方根是本身的数有0、1、，故该选项不符合题意；
D、互为相反数的数的立方根也互为相反数，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】解：，且，，
．
故选：A．
3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根和立方根的概念，根据算术平方根是非负的，负数没有实数平方根；立方根有唯一实数解，即可得解，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解此题的关键．
【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意；
B、负数在实数范围内没有平方根，故无意义，故B计算错误，不符合题意；
C、，故C计算正确，符合题意；
D、，故D计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是3 B．16的平方根是
C．0的算术平方根是0 D．的立方根是
【答案】C
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念．对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意；
C、0的算术平方根是0，原说法正确，符合题意；
D、的立方根是，不是，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
5．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的立方根为；
故答案为：
6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，且，则 ．
【答案】5230
【分析】本题考查了求一个数的立方根．
根据立方根的性质，被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍．由已知条件，立方根从1.735变为17.35，是原来的10倍，因此被开方数应为原来的1000倍．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴．
故答案为：
7．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知 的立方根是2，的算术平方根是3． 若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，注意算术平方根和平方根的区别．根据算术平方根的定义和立方根的定义，列出关于m，n的方程，然后求值，即可求出的值．
【详解】解： 的立方根是2，
，
，
的算术平方根是3，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可．
【详解】解：∵的立方根为3，
∴，解得，
∴，
∴的平方根为．
过关练
9．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ．
【答案】141
【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键．
根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算．
【详解】情况一：若，
∵，
∴．
∵，
∴，但时，矛盾，无解．
情况二：若
∵，
∴，即，故．
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
10．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为 ．
【答案】1000000
【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．
根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值．
【详解】解：，
．
，
．
．
．
故答案为：1000000．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据算术平方根、立方根的概念得到，，求出，再代入代数式计算代数式的值，再求解平方根．
【详解】解：∵的立方根是的算术平方根是7，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴其平方根为．
12．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握代数式的化简求值是解题的关键．
根据条件，a、b互为倒数，则；c、d互为相反数，则；的绝对值为，则；的算术平方根是8，则，代入表达式计算即可．
【详解】解：根据题意得，a、b互为倒数，则，
c、d互为相反数，则，
的绝对值为，则，即，
的算术平方根是8，则，，
．
13.（25-26八年级上·上海黄浦·月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？
(1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______．
(2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题考查了求一个数的立方根；
（1）根据推导过程即可完成填空；
（2）结合（1）中的推导过程即可求解．
【详解】（1）解：因为的个位数字是，所以的个位数字是．因为，，所以的十位数字是，所以．
故答案为：；；．
（2）解：，；
又；
是两位数；
的个位数字是；
的个位数字是．
，；
的十位数字是5．
．
14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
【答案】(1)；
(2)；任意实数
(3)或
【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
（1）根据，，，并结合题意即可得解；
（2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可；
（3）根据四次方根的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴81的四次方根为，
∵，
∴的五次方根为，
故答案为：；；
（2）解：若有意义，则，
故的取值范围是；
若有意义，则的取值范围是任意实数，
故答案为：；任意实数；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
1.用小数的形式表示有理数
有理数是能够写成分数(a、b是整数，a≠0)的数,分数都可以化为有限小数或无限循环小数。
有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数.
2.无理数的概念
无限不循环小数叫作无理数，例如，，-，都是无理数.
易错题：无理数是就是带根号的数（ ╳ ）.因为带根号的数不一定是无理数.
3.估算无理数的取值范围
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果a>b≥0,那么>.利用这个结论，我们可以估计无理数的大小：
4.无理数的整数部分与小数部分
举例：因为，所以2<<3，所以的整数部分是2，小数部分是-2.
例1将1.化成分数.
解 设x=0.,那么100x=53.，因为53.=53+0.,所以100x=53+x.化简，得99x=53,解得x=
所以，1.=1.
例2（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列各数中，无理数的个数有（ ）
（每两个相邻的2之间多一个1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，
由无理数的定义可判断是无理数，
所以无理数有三个，
故选：C．
例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）设，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
例4（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分．
(1)的小数部分是____________
(2)已知，其中x是整数，且，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键．
（1）先估算出的范围，即可得出答案；
（2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的小数部分为：．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，其中x是整数，且，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
过关练
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：，，，中，只有是无理数，其余均为有理数，
故选A．
2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵ 是无理数，∴ 是无理数；
∵ 是无理数，∴ 是无理数；
∵ 是分数，∴ 是有理数；
∵ 是无理数，∴ 是无理数；
∵ ，∴ 是有理数；
∵ ，∴ 是有理数；
∴ 无理数有 3 个，
故选：B．
3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（ ）
A．0 B．6 C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．
【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数大于小于，且更靠近，
A、，，故该选项不符合题意；
B、，，故该选项不符合题意；
C、，，故该选项符合题意；
D、，，故该选项不符合题意．
故选：C．
5．（20-21七年级下·贵州黔西·期末）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【答案】B
【分析】本题考查实数和数轴，无理数的估算，夹逼法估算无理数的范围，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴数轴上表示的点可能是点F，
故选：B．
6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可．
【详解】解：是无理数；是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；是循环小数，是有理数；是无理数；是无限不循环小数，是无理数．
因此无理数有3个．
故答案为：3．
7．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键．
由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可．
【详解】解：比较分子和
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的定义和取值范围，掌握知识点是解题的关键．
考虑无理数的定义和取值范围，选择3和4之间的平方根或圆周率等常见无理数．
【详解】解：无理数是无限不循环小数．由于，，因此、、、、、都是介于3和4之间的无理数．
故答案为：（答案不唯一）．
拓展练
将0.1化成分数.
解 设x=0.,那么1000x=.，因为.=503+,所以1000x=503+x.化简，得999x=503,解得x=又因为0.1=0.1+0.0=+×0.=1+0,所以0.1==.
2（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ．
【答案】3
【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案．
【详解】∵ ，，且 ，
∴ ．
又∵a为正整数，
∴．
故答案为3．
3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么 ．
【答案】606
【分析】本题主要考查取整函数，明确取整函数的性质：等价于即每个整数对应一段连续的值，计算每一段的和即可得出结论．
【详解】解：当且仅当（为整数），
当时，，，共3个，和为；
当时，，，共5个，和为；
当时，，，共7个，和为；
当时，，，共9个，和为；
当时，，，共11个，和为；
当时，，，共13个，和为；
当时，，，共15个，和为；
当时，，，共17个，和为；
当时，，，共18个，和为；
∴，
故答案为：606．
4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知、是两个连续的整数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式求值，先估算的取值范围，得出的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵、是两个连续的整数，且，
∴，
∴，
故答案为：．第1课平方根与立方根期末总复习
【沪教版】
1.算数平方根的概念
一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x =a,那么这个正数x叫作a的算术平方根.a的算术平方根记为“”,读作“根号a”.a叫作被开方数.
因为0的平方是0,所以规定0的算术平方根是0,记为=0.
2.求一个数的算术平方根
照概念解题，比如求16的算术平方根：因为，所以16的算术平方根是4.
易错题，的算术平方根是4（ ╳ ），因为=4，所以4的算术平方根是2.
3.初探的性质
=a(a>0),=a(a>0)
易错题：=（ ╳ ）因为=，所以=.
4.的双重非负性
5.小数点移动规则
一个数扩大为原来的100倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的
例1求下列各数的算术平方根：
(1)64; (2)121; (3); (4)
例2化简：
（1）; （2）; (3); (4)
例3（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据计算： ．
例4（25-26八年级上·上海普陀·期中）已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为 ．
过关练
1.（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 .
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．0的平方根是0
C． D．的平方根是2
3.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么 ．
5．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
根据以上规律，若，，则 ．
6．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律：
a 1 100 10000 1000000
1 10 100 1000
根据发现的规律，若，，那么的值为 ．
7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则 ．
8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果等式成立，那么应满足的条件是 ．
9．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________；
（2）根据（1）的计算结果，化简，．
10．（24-25八年级下·广东潮州·期末）已知数a，b，c满足，请求的值．
拓展练
11．（25-06八年级上·全国·单元测试）的算术平方根是 ．
12．（24-25八年级上·上海·期末）已知x、y是实数，，则 ．
13．（24-25七年级下·海南三亚·月考）先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：对于三个正整数，如果其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，这三个算术平方根中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为一个“数”组，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．已知m，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，则m的值为 ．
平方根的概念
一般地，如果一个数x的平方等于a,即x =a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a叫作被开方数.
正数a的两个平方根可以用符号“±”表示.其中，“+”表示a的正的平方根，即a的算术平方根；“-”表示a的负的平方根，读作“负根号a”.
平方根与算术平方根的区别
易错点：=（ ╳ ）因为表示的是算术平方根,所以=9.
一个整数的两个平方根互为相反数
开平方运算的概念
求一个数a的平方根的运算叫作开平方.
平方运算与开平方运算是互逆运算.
例1（25-26八年级上·上海·阶段练习）求下列各数的平方根：
(1)6400；(2)0.000016；(3)．
例2（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．0的平方根是0 D．的立方根是
例3（25-26八年级上·河南周口·月考）若与是同一个数的平方根，则k的值是（ ）
A． B． C．1 D．或1
例4（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段练习）求下列各式中的x的值
(1)；
(2)
过关练
1．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．9是的算术平方根 B．的平方根是3
C．25的平方根是 D．
2．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·广东·期中）一个正数的平方根是和，则a的值是 ．
5．（25-26八年级上·上海松江·期中）的平方根是 ．
6．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的平方根是 ．
7．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的平方根．
8．（24-25七年级下·海南·期中）求x的值：
(1)；
(2)．
拓展练
9.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是9
B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C．是49的算术平方根
D．4是16的一个平方根
10．（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．
12.（25-26九年级上·广东湛江·阶段练习）已知，则的平方根为 ．
立方根的概念
一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a,那么这个数x叫作a的立方根.a的立方根记为“”,读作“三次根号a”.a叫作被开方数.求一个数a立方根的运算叫作开立方.
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
求一个数的立方根
按照概念解题，比如求64的立方根：因为，所以64的立方根是4.
小数点移动规则
一个数扩大为原来的1000倍，它的立方根就扩大为原来的10倍；一个数缩小为原来的它的算术平方根就缩小为原来的
例1（25-26八年级上·福建漳州·期中）的立方根为 ．
例2（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一个数的立方根是，那么这个数是（ ）
A． B． C． D．
例3（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ．
过关练
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根；
B．是4的算术平方根；
C．立方根是它本身的数只有0；
D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数
2．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．的算术平方根是3 B．16的平方根是
C．0的算术平方根是0 D．的立方根是
5．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是 ．
6．（25-26八年级上·上海·期中）已知，且，则 ．
7．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知 的立方根是2，的算术平方根是3． 若 ，则 ．
8．（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根．
∴的平方根为．
过关练
9．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ．
10．（25-26八年级上·上海长宁·期中）若，，则b的值为 ．
11．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根．
12．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，的绝对值为，的算术平方根是8，求的值．
13.（25-26八年级上·上海黄浦·月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？
(1)【发现与思考】因为，，，所以是两位数．因为的个位数字是，所以的个位数字是______．因为，，所以的十位数字是______，所以=______．
(2)【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出的立方根．
14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
1.用小数的形式表示有理数
有理数是能够写成分数(a、b是整数，a≠0)的数,分数都可以化为有限小数或无限循环小数。
有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数.
2.无理数的概念
无限不循环小数叫作无理数，例如，，-，都是无理数.
易错题：无理数是就是带根号的数（ ╳ ）.因为带根号的数不一定是无理数.
3.估算无理数的取值范围
被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果a>b≥0,那么>.利用这个结论，我们可以估计无理数的大小：
4.无理数的整数部分与小数部分
举例：因为，所以2<<3，所以的整数部分是2，小数部分是-2.
例1将1.化成分数.
解 设x=0.,那么100x=53.，因为53.=53+0.,所以100x=53+x.化简，得99x=53,解得x=
所以，1.=1.
例2（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列各数中，无理数的个数有（ ）
（每两个相邻的2之间多一个1）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3（25-26八年级上·上海·阶段练习）设，则m的取值为（ ）
A． B． C． D．
例4（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分．
(1)的小数部分是____________
(2)已知，其中x是整数，且，求的平方根．
过关练
1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海长宁·期中）下列各数：、、、、、，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（ ）
A．0 B．6 C． D．5
4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21七年级下·贵州黔西·期末）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
6．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列各数、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，是无理数的有 个．
7．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）．
8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）写出一个介于3和4之间的一个无理数： ．（只需写出一个）
拓展练
将0.1化成分数.
2（25-26八年级上·上海·月考）如果，那么整数 ．
3．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么 ．
4．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知、是两个连续的整数，且，则 ．

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