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专题05 一元一次方程
▉考点一 方程
1.方程：含有未知数的等式叫作方程.
2.方程必须具备两个条件：(1)是等式；(2)含有未知数.两者缺一不可.
例题：下列各式中，是方程的是（　　）
A．3-2=1
B．y-5
C．3m＞2
D．x=5
解：A、3-2=1中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
B、y-5不是等式所以不是方程，不符合题意；
C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意；
D、x=5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
▉考点二 根据实际问题列方程
实际问题→设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系→方程
▉考点三 方程的解和解方程
1.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程，叫作解方程.
例题：若方程3x+β-8=0的解是x=4，则β的值为（　　）
A．-3
B．4
C．0
D．-4
解：把x=4代入方程3x+β-8=0，
得3×4+β-8=0，
12+β-8=0，
解得：β=4．
故选：D．
▉考点四 一元一次方程
一元一次方程：只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
例题：若（m-1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m等于（　　）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．0
解：由题意，得：
|m|=1且m-1≠0，
解得m=-1．
故选：B．
▉考点五 等式的性质
等式的性质 文字语言 符号语言
等式的两个基本事实 等式两边可以交换. 如果a=b,那么b=a.
相等关系可以传递. 如果a=b,b=c,那么a=c.
等式的 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c
例题：若x=y,则下列变形正确的是（　　）
A．x+1=y-1
B．2x=2y
C．3x=-3y
D．4-x=3-y
解：对于A，因为x=y,所以x+1=y+1，故A错误；
对于B，因为x=y,所以2x=2y,故B正确；
对于C，因为x=y,所以3x=3y,故C错误；
对于D，因为x=y,所以-x=-y,即4-x=4-y,故D错误．
故选：B
▉考点六 利用等式的性质解简单的一元一次方程
利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：第一步：利用等式的性质1,将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子),使方程逐步转化为ax=b(a≠0)的形式.
第二步：利用等式的性质2,将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数),使未知数的系数化为1,即x=b/a(a≠0),从而求出方程的解.
▉考点七 解一元一次方程——合并同类项
用合并同类项解一元一次方程的步骤：
第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为ax=b(a≠0)的形式.
第二步：系数化为1,即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未
知数系数的倒数),将未知数的系数化为1,得到x=b/a(a≠0)
▉考点八 解一元一次方程——移项
1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
2.移项的依据：移项的依据是等式的性质1,移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近x=m的形式.
3.通过移项解一元一次方程的步骤:
移项→合并同类项→系数化为1.
▉考点九 解一元一次方程——去括号
解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号.
▉考点十 解一元一次方程——去分母
解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母.
▉考点十一 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤如下表：
步骤 依据 具体做法 注意事项
去分母 等式的性质2. 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. (1)不要漏乘不含分母的项；(2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号.
去括号 分配律. 去括号时可以由内向外依次去括号，也可以由外向内依次去括号. (1)不要漏乘括号里的任何一项；(2)注意符号的变化规律.
移项 等式的性质1. 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边. (1)移项要变号；(2)不要丢项.
合并同类项 分配律. 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化成ax=b(a≠0)的形式. 未知数的系数不要弄错.
系数化为1 等式的性质2. 在方程ax=b(a≠0)的两边同除以a(或乘1/a得到方程的解x=b/a. 不要将分子、分母的位置颠倒.
▉考点十二 列一元一次方程解决实际问题
1.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审题找相等关系→设未知数→列方程→解方程→检验→写出答案.
2.两个基本的相等关系
(1)各部分量的和=总量；
(2)表示同一个量的两个不同的式子相等.
例题：对于非零的两个数a、b,规定a b=b-2a,若（x-2） 3=5，则x的值为（　　）
A．2
B．1
C．0
D．-1
解：由题意，得3-2（x-2）=5，
去括号，得3-2x+4=5，
移项、合并同类项，得-2x=-2，
将系数化为1，得x=1，
即x的值为1．
故选：B．
▉考点十三 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程→解方程→一元一次方程的解(x=m)→检验→实际问题的答案
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
步骤 内容摘要 注意事项
审 审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量.
设 设未知数(可以直接设也可以间接设),用未知数表示相关的量. 设未知数时，如果有单位，要加上单位.
列 根据题中的相等关系，列出一元一次方程. 列方程时，等号两边的单位要一致.
解 解所列出的一元一次方程.
验 检验所得的解是否符合题意. 既要检验所得结果是不是方程的解，又要检验方程的解是否符合实际问题的意义.
答 写出答案(包括单位).
例题：宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有x斗酒，可以列得方程（　　）
A．2×2（2x-1）-1=0
B．2[2（2x-1）-1]-1=0
C．2（2x-1）-1-1=0
D．x-2（2x-1）-1-1=0
解：根据题意得：2[2（2x-1）-1]-1=0，
故选：B．
▉考点十四 配套问题
在配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
配套问题中的基本数量关系：
若m个A和n个B配成一套，则A的数量/B的数量=m/n
可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量.
▉考点十五 工程问题
工程问题中的基本数量关系：
工作量=工作效率×工作时间(或工作量=人均效率×时间×人数);合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
▉考点十六 销售问题
商品销售问题中常见的相等关系：
利润=售价-进价；利润率=（利润/进价）*100%
利润=进价×利润率；售价=进价×(1+利润率).
打x折后的售价=标价*x/10
▉考点十七 比赛积分问题
比赛积分问题中，常见的相等关系：
某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；
某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分.
▉考点十八 方案选择问题
在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们最有利的方案呢 这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算和比较，来选择最优方案.
例题：我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在竹林里喧闹，既不知道有多少人，也不知道有多少根竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”则牧童的人数为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
解：设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”可得6x+14=8x,
解得：x=7，
故选：C．
一．方程的定义（共6小题）
1．下列各式中，属于方程的是（　　）
A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5
【答案】D
【解答】解：四个选项中，只有D选项中的式子是方程，
故选：D．
2．下列各式中，是方程的是（　　）
A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5
【答案】D
【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意；
C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意；
D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
3．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A．3+2＝5 B．x﹣1＝2 C．2x﹣1＜0 D．a+b
【答案】B
【解答】解：根据含有未知数的等式叫做方程，判断x﹣1＝2是方程，其余不是，
故选：B．
4．在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程有②③④共有3个．
故选：C．
5．下面式子中，不是方程的是（　　）
A．x﹣5＝1 B．4+2y＝16 C．3x﹣2＞7 D．y+1＝3
【答案】C
【解答】解：根据方程的概念逐项分析判断如下：
因为x﹣5＝1，含有未知数x，且是等式，属于方程，所以A不符合题意；
因为4+2y＝16，含有未知数y，且是等式，属于方程，所以B不符合题意；
因为3x﹣2＞7，虽然含有未知数x，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意；
因为y+1＝3，含有未知数y，且是等式，属于方程，所以D不符合题意．
故选：C．
6．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（　　）
A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程
【答案】D
【解答】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元一”，相当于“设x为某某”，
又∵含有未知数的等式是方程，
∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程．
故选：D．
二．方程的解（共6小题）
7．已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2的解是x＝﹣2，则m的值为（　　）
A．6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：将x＝﹣2代入方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2，
得﹣2（m﹣1）＝﹣6﹣m+2，
解得m＝6．
故选：A．
8．下列方程中，解为x＝2的为（　　）
A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10
C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x
【答案】B
【解答】解：把x＝2代入x（x﹣7）＝﹣10得：﹣10＝﹣10；
将x＝2代入其他选项均不能满足左边等于右边．
故选：B．
9．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得
2×（9﹣3）﹣■＝9+1，
解得■＝2；
故选：C．
10．如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0，
得：﹣6+k﹣4＝0
解得：k＝10．
故选：B．
11．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1，
解得：★＝1，
即★处的数字是1，
故选：A．
12．整式kx+b的值随的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程kx﹣b＝﹣1的解为（　　）
x ﹣1 0 1
kx+b 1 3 5
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3
【答案】C
【解答】解：当x＝﹣1时，kx+b＝1，
∴k﹣b＝﹣1，
∴当x＝1时，kx﹣b＝﹣1；
∴kx﹣b＝﹣1，
∴x＝1；
故选：C．
三．等式的性质（共7小题）
13．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（　　）
A．若a+2＝b+2，则a＝b B．若a＝b，则a﹣4＝b﹣4
C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b
【答案】C
【解答】解：根据等式的基本性质逐项分析判断如下：
A．若a+2＝b+2，则a＝b，正确；
B．若a＝b，则a﹣4＝b﹣4，正确；
C．若ac＝bc，c≠0，则a＝b，故不正确；
D．若，则a＝b，正确；
故选：C．
14．下列各等式中变形正确的是（　　）
A．如果3x﹣5＝2﹣2y，那么3x﹣2y＝7
B．如果，那么2x＝y
C．如果，那么5x﹣10＝4+3y
D．如果4a+2＝2b﹣3，那么4a＝2b﹣5
【答案】D
【解答】解：A．如果3x﹣5＝2﹣2y，那么两边同时加（2y+5）得3x+2y＝7，原变形错误，不符合题意；
B．如果，那么两边同时乘4得x＝2y，原变形错误，不符合题意；
C．如果，那么两边同时乘20得5x﹣10＝4+12y，原变形错误，不符合题意；
D．如果4a+2＝2b﹣3，那么两边同时减2得4a＝2b﹣5，正确，符合题意，
故选：D．
15．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
【答案】D
【解答】解：（A）当a＝b时，a+c＝b+c，故A错误；
（B）当a＝0时，此时a≠3，故B错误；
（C）当c＝0时，此时与无意义，故C错误；
故选：D．
16．下列等式变形，错误的是（　　）
A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y
C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则
【答案】D
【解答】解：A．若x＝y，则x+2＝y+2，正确，故选项A不符合题意；
B．若x＝y，则3x＝3y，正确，故选项B不符合题意；
C．若a+1＝b+1，则a＝b，正确，故选项C不符合题意；
D．当a＝0时，由x＝y不能推出＝，错误，故选项D符合题意．
故选：D．
17．下列等式的变形中，正确的是（　　）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果ax＝ay，那么x＝y
D．如果a＝b，那么
【答案】A
【解答】解：A、等式a+c＝b+c的两边同时减去c，等式仍成立，即a＝b，变形正确，符合题意；
B、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，变形不正确，不符合题意；
C、如果ax＝ay且a＝0时，那么x＝y不成立，变形不正确，不符合题意；
D、当c＝0时，等式不成立，变形不正确，不符合题意．
故选：A．
18．下列变形正确的是（　　）
A．若4a＝2，则a＝2 B．若a＝b，则2a﹣1＝2b﹣1
C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若ac＝bc，则a＝b
【答案】B
【解答】解：A、∵4a＝2，∴a＝，故A选项不符合题意；
B、∵a＝b，∴2a＝2b，∴2a﹣1＝2b﹣1，故B选项符合题意；
C、∵|a|＝|b|，∴a＝±b，故C选项不符合题意；
D、若ac＝bc，当c＝0时，a、b为任意的实数，故D选项不符合题意．
故选：B．
19．下列变形正确的是（　　）
A．由5x＝4x+8，得5x﹣4x＝8
B．由9x＝﹣4，得
C．由7+x＝13，得x＝13+7
D．由，得x＝2
【答案】A
【解答】解：A、由5x＝4x+8，得5x﹣4x＝8，选项变形正确，符合题意；
B、由9x＝﹣4，得，原变形错误，不符合题意；
C、由7+x＝13，得x＝13﹣7，选项变形错误，不符合题意；
D、由，得x＝0，选项变形错误，不符合题意．
故选：A．
四．一元一次方程的定义（共7小题）
20．下列方程为一元一次方程的是（　　）
A．3x＞9 B．x2+3＝x+2 C．﹣x﹣3＝4 D．2y﹣3x＝2
【答案】C
【解答】解：A．3x＞9不是一元一次方程，故不符合题意；
B．x2+3＝x+2不是一元一次方程，故不符合题意；
C．﹣x﹣3＝4是一元一次方程，故符合题意；
D．2y﹣3x＝2不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
21．下列等式中是一元一次方程的是（　　）
A． B． C．3x﹣y＝4 D．2x﹣1
【答案】B
【解答】解：A、不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、是一元一次方程，故本选项符合题意；
C、3x﹣y＝4有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、2x﹣1不是等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
22．下列方程中，一元一次方程是（　　）
A．x+2＝3x﹣2x+2 B．x+y＝2
C．x2+1＝5 D．
【答案】D
【解答】解：A．方程整理后为2＝2，不含未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意；
B．方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
C．方程中未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；
D． 是一元一次方程，符合题意；
故选：D．
23．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D．
【答案】C
【解答】解：A、含有两个未知数，故不是一元一次方程；
B、未知数的次数2，故不是一元一次方程；
C、符合一元一次方程的定义；
D、分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
24．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．2x2+3﹣4＝0 B．x+2（x﹣2）＝3
C．x+y＝1 D．
【答案】B
【解答】解：A，方程的未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；
B，方程可化为3x﹣4＝3是一元一次方程，符合题意；
C，方程有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
D，方程是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
25．已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程．
【答案】，方程的解为
【解答】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴4k﹣5＝1，k≠0，
解得k＝，
∴x+＝1，
解得x＝．
26．已知方程（3m﹣4）x2﹣x﹣4＝﹣2是关于x的一元一次方程，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程（3m﹣4）x2﹣x﹣4＝﹣2是关于x的一元一次方程，
∴3m﹣4＝0，
解得m＝．
五．一元一次方程的解（共7小题）
27．如果x＝1是关于x的方程﹣x+a＝3x﹣2的解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：把a＝1代入方程得到：﹣1+a＝3﹣2，
解得a＝2．
故选：C．
28．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设被墨水遮盖的常数是a，
∵方程的解是x＝1，
∴，
解得：，
故选：C．
29．关于x的一元一次方程2x+m＝6的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵关于x的一元一次方程2x+m＝6的解为x＝1，
∴2+m＝6，
解得m＝4．
故选：B．
30．若一元一次方程2x+a＝4的解为x＝﹣1，则a的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得﹣2+a＝4，
解得：a＝6．
故选：A．
31．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，
设常数为x，由题意，得
，
解得x＝3，
故答案为：3．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 　　 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值．
【答案】（1）不是；
（2）有；；
（3）．
【解答】解：（1）∵5x＝﹣8，
∴x＝﹣，
∵﹣8﹣5＝﹣13，
﹣≠﹣13，
∴5x＝﹣8不是奇异方程；
故答案为：不是；
（2）有，理由如下：
∵a＝3，
∴x＝b﹣3，
∴b﹣3＝，
∴b＝，
即b＝时有符合要求的“奇异方程”；
（3）且由题可知：mn+m＝4，mn+n＝﹣，
两式相减得，m﹣n＝．
33．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　　 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值．
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程2x+1＝0，
解得：x＝﹣，
方程2x+3＝0，
解得：x＝﹣，
∵（﹣）﹣（﹣）＝﹣+＝1，
∴方程2x+1＝0是方程2x+3＝0的后移方程；
故答案为：是；
（2）方程3x+m+n＝0，
解得：x＝﹣，
方程3x+m＝0，
解得：x＝﹣，
根据题意得：﹣﹣（﹣）＝1，
解得：n＝﹣3；
（3）方程ax+b＝0，
解得：x＝﹣，
方程ax+c＝0，
解得：x＝﹣，
根据题意得：﹣﹣（﹣）＝1，即＝1，
整理得：a+b﹣c＝0．
故答案为：a+b﹣c＝0．
六．解一元一次方程（共12小题）
34．下列方程的变形中，正确的是（　　）
A．方程3m＝2m﹣1，移项得3m+2m＝1
B．方程3＝2﹣5（x﹣1），去括号得3＝2﹣5x﹣1
C．方程，可化为5（x﹣1）﹣2x＝10
D．方程，可化为
【答案】C
【解答】解：A选项：方程3m＝2m﹣1两边同时减2m得，3m﹣2m＝﹣1，不符合题意；
B选项：方程3＝2﹣5（x﹣1）去括号得3＝2﹣5x+5，不符合题意；
C选项：方程两边同时乘10得，5（x﹣1）﹣2x＝10，符合题意；
D选项：将方程分母化整数，得，不符合题意．
故答案选：C．
35．把方程去分母，正确的是（　　）
A．10x﹣5（x﹣1）＝2﹣2（x+2）
B．10x﹣5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）
C．10x﹣5（x﹣1）＝20﹣（x+2）
D．10x﹣（x﹣1）＝2﹣2（x+2）
【答案】B
【解答】解：，
去分母得：
10x﹣5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）．
故选：B．
36．在解方程时，去分母后正确的是（　　）
A．1﹣2（3y﹣11）＝4（7﹣y） B．1﹣（3y﹣11）＝7﹣y
C．4﹣（3y﹣11）＝7﹣y D．4﹣（3y﹣11）＝2（7﹣y）
【答案】D
【解答】解：，
去分母得，4﹣（3y﹣11）＝2（7﹣y），
故选：D．
37．解方程时，去分母正确的是（　　）
A．2（2x﹣1）﹣（x+2）＝1 B．（2x﹣1）﹣（x+2）＝1
C．（2x﹣1）﹣（x+2）＝4 D．2（2x﹣1）﹣（x+2）＝4
【答案】D
【解答】解：，
将方程两边同时乘4得，×4﹣×4＝1×4，
2（2x﹣1）﹣（x+2）＝4．
故选：D．
38．解一元一次方程时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．3（x+1）＝6﹣2x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．2（x+1）＝1﹣3x
【答案】B
【解答】解：方程两边都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，
故选：B．
39．代数式mx﹣2n的值随x取值的变化而变化，如表是当x取不同值时对应的代数式mx﹣2n的值，则关于x的方程﹣mx+2n＝2的解是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
mx﹣2n 8 6 4 2 0 ﹣2
A．x＝8 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝3
【答案】D
【解答】解：∵﹣mx+2n＝2，
∴mx﹣2n＝﹣2，
观察表格中数据可知，当x＝3时，mx﹣2n＝﹣2，
∴﹣mx+2n＝2的解是x＝3．
故选：D．
40．小亮在解方程3a+x＝7时，由于粗心，错把+x看成了﹣x，结果解得x＝1，则a的值为（　　）
A． B．a＝3 C．a＝﹣3 D．
【答案】A
【解答】解：把x＝1代入方程3a﹣x＝7，得3a﹣1＝7，
解得：a＝，
故选：A．
41．如果2x+5的值与3﹣x的值互为相反数，那么x＝　　 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：根据题意，可得：（2x+5）+（3﹣x）＝0，
去括号，可得：2x+5+3﹣x＝0，
移项，可得：2x﹣x＝0﹣5﹣3，
合并同类项，可得：x＝﹣8．
故答案为：﹣8．
42．若 5xay3为﹣3x2yb是同类项，则关于x的一元一次方程ax+4＝b的解为 　 ．
【答案】x＝﹣．
【解答】解：∵5xay3为﹣3x2yb是同类项，
∴a＝2，b＝3．
∴关于x的一元一次方程ax+4＝b就是2x+4＝3．
∴2x＝﹣1，
∴x＝﹣．
故答案为：x＝﹣．
43．方程4x+1＝5的解是　 ．
【答案】x＝1．
【解答】解：4x+1＝5，
移项得，4x＝5﹣1，
合并同类项得，4x＝4，
x的系数化为1得，x＝1，
故答案为：x＝1．
44．解方程
（1）2x+1＝﹣2﹣3x；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）2x+1＝﹣2﹣3x，
移项，得：2x+3x＝﹣2﹣1，
合并同类项，得：5x＝﹣3，
系数化1，得：；
（2），
方程两边同乘6，得：6x+2（1﹣2x）＝12﹣3（x+2），
去括号，得：6x+2﹣4x＝12﹣3x﹣6，
移项，得：6x+3x﹣4x＝12﹣2﹣6，
合并同类项，得：5x＝4，
系数化1，得：．
45．解方程：
（1）5x﹣4＝7x+2；
（2）．
【答案】（1）x＝﹣3；
（2）x＝0.5．
【解答】解：（1）原方程移项得：5x﹣7x＝2+4，
合并同类项得：﹣2x＝6，
系数化为1得：x＝﹣3；
（2）原方程去分母得：3（x﹣1）+6＝x+4，
去括号得：3x﹣3+6＝x+4，
移项，合并同类项得：2x＝1，
系数化为1得：x＝0.5．
七．由实际问题抽象出一元一次方程（共7小题）
46．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题知，
因为每3人乘一车，最终剩余2辆车，
所以总人数可表示为：3（x﹣2）．
因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，
所以总人数可表示为：2x+9，
则可建立方程：3（x﹣2）＝2x+9．
故选：B．
47．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　）
A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x）
C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x）
【答案】B
【解答】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6﹣x）千克糯米制作碱水粽，
根据题意得4×24x＝6×16（6﹣x）．
故选：B．
48．几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种8棵，则缺5棵树苗．若设参与种树的人数为x人，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．6x+3＝8x+5 B．6x﹣3＝8x+5 C．6x+3＝8x﹣5 D．6x﹣3＝8x﹣5
【答案】C
【解答】解：设参与种树的人数为x人，由题意得：
6x+3＝8x﹣5，
故选：C．
49．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有x人，则列方程为（　　）
A．8x﹣4＝7x﹣3 B．8x﹣3＝7x+4 C．7x+4＝8x+3 D．7x﹣3＝8x+4
【答案】B
【解答】解：由题意可得，可列方程为：8x﹣3＝7x+4．
故选：B．
50．“思奇阅读”倡导“阅读即思考，思考即创造”．七年级（1）班统计图书角借阅情况：科普类书籍每本借阅一次计4分，文学类书籍每本借阅一次计3分．本月这两类书籍共被借阅50次，累计积分达175分．设科普类书籍借阅x次，根据题意可列方程为（　　）
A．4x+3（50﹣x）＝175 B．4x+3x＝175
C．4（50﹣x）+3x＝175 D．4x﹣3（50﹣x）＝175
【答案】A
【解答】解：根据题意得：4x+3（50﹣x）＝175．
故选：A．
51．手工课老师组织学生制作圆柱形包装盒，一个包装盒需要一个侧面和两个底面．已知一张卡纸可以制作8个侧面或24个底面．手工老师提前准备好了40张卡纸，设用x张卡纸制作侧面，根据要求制成的侧面与底面需要刚好配套，则可列方程（　　）
A．8x＝2×24（40﹣x） B．2×8x＝24（40﹣x）
C．8x＝24（40﹣x） D．2×8（40﹣x）＝24x
【答案】B
【解答】解：由题意可得：2×8x＝24（40﹣x）
故选：B．
52．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，加果每间宿舍住满4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍住满3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有x人，那么根据题意，可列出的方程为（　　）
A．4（x﹣5）＝3x+100 B．4x﹣5＝3x+100
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意列方程得：，
故选：D．
八．一元一次方程的应用（共8小题）
53．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为（　　）
A．18 B．19 C．21 D．22
【答案】D
【解答】解：由题意得﹣10+0＝2x+2﹣18，
解得：x＝3，
则2x+2＝8，x﹣5＝﹣2，
那么强表示的数是8+0﹣（﹣2）＝10，
奋表示的数是8+0﹣（﹣10）＝18，
图标是的数是18+0﹣18﹣（﹣10）﹣8＝2，
发表示的数是18+0﹣18﹣（﹣10）﹣18＝﹣8，
则10+18+2﹣8＝22，
故选：D．
54．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设从8：30点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：
6x﹣0.5x＝75
5.5x＝75
x＝，
答：至少再经过分钟时针和分针第一次重合．
故选：B．
55．小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝45，解得x＝8，故本选项不合题意；
B．设最小的数是x，则x+x+6+x+14＝45，解得：x＝，故本选项符合题意；
C．设最小的数是x，则x+x+6+x+12＝45，解得：x＝9，故本选项不合题意；
D．设最小的数是x，则x+x+1+x+8＝45，解得：x＝12，故本选项不符合题意；
故选：B．
56．小王同学想根据方程8x+3＝6（x+8）﹣5编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有x人，那么横线部分的条件应描述为（　　）
A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
【答案】B
【解答】解：设参与搬砖的有x人，
∵列出的方程为8x+3＝6（x+8）﹣5，
∴方程的左、右两边均为这批砖的块数，
∴方程的左边为若每人搬8块，那么剩下3块砖未搬；方程的右边为若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖．
故选：B．
57．【问题背景】
我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3．
【问题解决】
（1）已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为 　　 ．
（2）代数式|x+1|+|x+4|的最小值为 　　 ．
（3）代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为 　　 ．
（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG，若mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值．
【答案】（1）4或﹣6；
（2）3；
（3）16；
（4）m的值为±7.5．
【解答】解：（1）当﹣3≤x≤1时|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，不符合题意；
当x＜﹣3时，则1﹣x﹣x﹣3＝10，
解得：x＝﹣6，
当x＞1时，x﹣1+x+3＝10，
解得：x＝4，
故答案为：4或﹣6；
（2）代数式|x+1|+|x+4|表示点x与﹣1的距离与点x与点﹣4距离的和，
故当x在﹣1和﹣4之间时，|x+1|+|x+4|最小，最小值为：﹣1﹣（﹣4）＝3；
故答案为：3；
（3）由题意可得：
当x≤﹣14时，|x﹣2|﹣|x+14|＝2﹣x+x+14＝16；
当﹣14＜x＜2时，|x﹣2|﹣|x+14|＝2﹣x﹣（x+14）＝﹣12﹣2x，
此时﹣16＜﹣12﹣2x＜16；
当x≥2时，|x﹣2|﹣|x+14|＝x﹣2﹣（x+14）＝﹣16；
∴当x≤﹣14时，最大值为16；
故答案为：16；
（4）根据题意可得：
ts时，E点表示数是﹣5﹣2t，F点表示数是﹣2+3t，G点表示数是6+t，
由已知可知F点始终在E点右侧，故EF＝﹣2+3t﹣（﹣5﹣2t）＝3+5t，
而FG＝|6+t﹣（﹣2+3t）|＝|8﹣2t|，
由题可得：m|8﹣2t|﹣3（3+5t）为定值，
当8﹣2t≥0时，即t≤4时，
m|8﹣2t|﹣3（3+5t）＝m（8﹣2t）﹣9﹣15t＝8m﹣9﹣（2m+15）t，
∴2m+15＝0，
∴m＝﹣7.5，
此时为8m﹣9＝﹣69；
当8﹣2t＜0时，即t＞4时，
m|8﹣2t|﹣3（3+5t）＝﹣8m+2mt﹣9﹣15t＝﹣8m﹣9+（2m﹣15）t，
∴2m﹣15＝0，
解得：m＝7.5，
此时定值为﹣8m﹣9＝﹣69；
∴mFG﹣3EF的值是一个定值时，m的值为±7.5．
58．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 　1　 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
【答案】（1）﹣4、1；
（2）当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度；
（3）当点P运动1.25秒，2秒，或5秒时，点P，点Q，点B是一组“幸福点”．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为：﹣4、1；
（2）①根据题意，得：
6t﹣2t＝10，
解得t＝2.5，
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得：
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
③根据题意，当点B为PQ的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4）
解得t＝1.25；
当点P为BQ的中点：
（﹣4）﹣（6﹣6t）＝（6﹣6t）﹣（﹣4﹣2t）
解得：t＝2；
当点Q为BP的中点：
（﹣4）﹣（﹣4﹣2t）＝（﹣4﹣2t）﹣（6﹣6t），
解得：t＝5；
答：当点P运动1.25秒，2秒，或5秒时，点P，点Q，点B是一组“幸福点”．
59．元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：
商场 优惠活动
甲 全场商品按标价的6折销售
乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）
丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元）
根据以上活动信息，解答以下问题：
（1）三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择哪家商场？请完成下表：
商场 甲商场 乙商场 丙商场
实际付款（元） 　　 　　 　　
由上表可知，李先生应选择 　　 商场购买更实惠；
（2）李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价．
（3）丙商场又推出“先打折，再满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？
【答案】（1）450，450，400，丙；
（2）220元；
（3）九折．
【解答】解：（1）根据题意得：选择甲商场所需费用为（390+360）×0.6＝450（元），
选择乙商场所需费用为390+（360﹣300）＝450（元）；
选择丙商场所需费用为390+360﹣50×7＝400（元）．
∵450＝450＞400，
∴李先生应选择丙商场购买更实惠．
故答案为：450，450，400，丙；
（2）设这条裤子的标价为x元，
根据题意得：0.6（280+x）＝280+x﹣200，
解得：x＝220．
答：这条裤子的标价为220元；
（3）设丙商场先打了y折后再参加活动，
当y≥7.5时，400×﹣50×3﹣（400﹣50×4）＝10，
解得：y＝9；
当5≤y＜7.5时，400×﹣50×2﹣（400﹣50×4）＝10，
解得：y＝7.75（不符合题意，舍去）．
答：丙商场先打了九折后再参加活动．
60．已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0．
（1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒4个单位，设运动的时间为t（秒）．
①a＝　　 ，b＝　　 ；
②t秒以后，点P对应的数是 　 ．点Q对应的数是 　 （用含t的代数式表示出来）当P、Q相遇时，点Q对应的数为 　　 ．
③设运动时间为t（单位：秒），求当点P，点Q到原点的距离相等时t的值．
（2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒4个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请求出线段MN的长度．
【答案】（1）①﹣4，8；②﹣8；③3或；
（2）6．
【解答】解：（1）①∵|a+4|+（b﹣8）2＝0，
∴a+4＝0或b﹣8＝0，
解得：a＝﹣4，b＝8，
故答案为：﹣4，8；
②根据题意可得P点表示的数为﹣4﹣t，Q点表示的数为8﹣4t，
当P，Q相遇时，﹣4﹣t＝8﹣4t，
解得t＝4，
∴点Q表示的数为﹣8；
③当点P，点Q到原点的距离相等时，﹣4﹣t＝8﹣4t 或﹣4﹣t+8﹣4t＝0
解得t＝4或．
故答案为：4或；
（2）线段MN的长度为定值，线段MN的长度是6．理由如下：
设ts后，点P对应的数为4t﹣4，
∴M对应的数为＝2t﹣4，
N对应的数为＝2t+2，
∴MN＝|2t﹣4﹣2t﹣2|＝6，
故线段MN的长度为定值，线段MN的长度是6．专题05 一元一次方程
▉考点一 方程
1.方程：含有未知数的等式叫作方程.
2.方程必须具备两个条件：(1)是等式；(2)含有未知数.两者缺一不可.
例题：下列各式中，是方程的是（　　）
A．3-2=1
B．y-5
C．3m＞2
D．x=5
解：A、3-2=1中不含有未知数，不是方程，不符合题意；
B、y-5不是等式所以不是方程，不符合题意；
C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意；
D、x=5是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
▉考点二 根据实际问题列方程
实际问题→设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系→方程
▉考点三 方程的解和解方程
1.方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程，叫作解方程.
例题：若方程3x+β-8=0的解是x=4，则β的值为（　　）
A．-3
B．4
C．0
D．-4
解：把x=4代入方程3x+β-8=0，
得3×4+β-8=0，
12+β-8=0，
解得：β=4．
故选：D．
▉考点四 一元一次方程
一元一次方程：只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程.
例题：若（m-1）x|m|=6是关于x的一元一次方程，则m等于（　　）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．0
解：由题意，得：
|m|=1且m-1≠0，
解得m=-1．
故选：B．
▉考点五 等式的性质
等式的性质 文字语言 符号语言
等式的两个基本事实 等式两边可以交换. 如果a=b,那么b=a.
相等关系可以传递. 如果a=b,b=c,那么a=c.
等式的 性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 如果a=b,那么a±c=b±c.
等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c
例题：若x=y,则下列变形正确的是（　　）
A．x+1=y-1
B．2x=2y
C．3x=-3y
D．4-x=3-y
解：对于A，因为x=y,所以x+1=y+1，故A错误；
对于B，因为x=y,所以2x=2y,故B正确；
对于C，因为x=y,所以3x=3y,故C错误；
对于D，因为x=y,所以-x=-y,即4-x=4-y,故D错误．
故选：B
▉考点六 利用等式的性质解简单的一元一次方程
利用等式的性质解简单的一元一次方程的一般步骤：第一步：利用等式的性质1,将方程左右两边同时加(或减)同一个数(或式子),使方程逐步转化为ax=b(a≠0)的形式.
第二步：利用等式的性质2,将方程左右两边同时除以未知数的系数(或乘未知数系数的倒数),使未知数的系数化为1,即x=b/a(a≠0),从而求出方程的解.
▉考点七 解一元一次方程——合并同类项
用合并同类项解一元一次方程的步骤：
第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为ax=b(a≠0)的形式.
第二步：系数化为1,即在方程两边同时除以未知数的系数(或乘未
知数系数的倒数),将未知数的系数化为1,得到x=b/a(a≠0)
▉考点八 解一元一次方程——移项
1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
2.移项的依据：移项的依据是等式的性质1,移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近x=m的形式.
3.通过移项解一元一次方程的步骤:
移项→合并同类项→系数化为1.
▉考点九 解一元一次方程——去括号
解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫作去括号.
▉考点十 解一元一次方程——去分母
解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母.
▉考点十一 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤如下表：
步骤 依据 具体做法 注意事项
去分母 等式的性质2. 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. (1)不要漏乘不含分母的项；(2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号.
去括号 分配律. 去括号时可以由内向外依次去括号，也可以由外向内依次去括号. (1)不要漏乘括号里的任何一项；(2)注意符号的变化规律.
移项 等式的性质1. 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边. (1)移项要变号；(2)不要丢项.
合并同类项 分配律. 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化成ax=b(a≠0)的形式. 未知数的系数不要弄错.
系数化为1 等式的性质2. 在方程ax=b(a≠0)的两边同除以a(或乘1/a得到方程的解x=b/a. 不要将分子、分母的位置颠倒.
▉考点十二 列一元一次方程解决实际问题
1.列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审题找相等关系→设未知数→列方程→解方程→检验→写出答案.
2.两个基本的相等关系
(1)各部分量的和=总量；
(2)表示同一个量的两个不同的式子相等.
例题：对于非零的两个数a、b,规定a b=b-2a,若（x-2） 3=5，则x的值为（　　）
A．2
B．1
C．0
D．-1
解：由题意，得3-2（x-2）=5，
去括号，得3-2x+4=5，
移项、合并同类项，得-2x=-2，
将系数化为1，得x=1，
即x的值为1．
故选：B．
▉考点十三 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
实际问题→设未知数，列方程→一元一次方程→解方程→一元一次方程的解(x=m)→检验→实际问题的答案
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
步骤 内容摘要 注意事项
审 审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量.
设 设未知数(可以直接设也可以间接设),用未知数表示相关的量. 设未知数时，如果有单位，要加上单位.
列 根据题中的相等关系，列出一元一次方程. 列方程时，等号两边的单位要一致.
解 解所列出的一元一次方程.
验 检验所得的解是否符合题意. 既要检验所得结果是不是方程的解，又要检验方程的解是否符合实际问题的意义.
答 写出答案(包括单位).
例题：宋元时期朱世述所著的《四元宝鉴》中记载了一则李白沽酒的数学故事：李白提着酒壶去沽酒，他每遇到一个店，就把壶中的酒加上1倍，每见一次花，来了诗兴，就喝1斗酒．就这样三次遇上店和花，壶中的酒便喝光了，求壶中原有多少酒？设壶中原有x斗酒，可以列得方程（　　）
A．2×2（2x-1）-1=0
B．2[2（2x-1）-1]-1=0
C．2（2x-1）-1-1=0
D．x-2（2x-1）-1-1=0
解：根据题意得：2[2（2x-1）-1]-1=0，
故选：B．
▉考点十四 配套问题
在配套问题中，配套的物品之间具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.
配套问题中的基本数量关系：
若m个A和n个B配成一套，则A的数量/B的数量=m/n
可得相等关系：m×B的数量=n×A的数量.
▉考点十五 工程问题
工程问题中的基本数量关系：
工作量=工作效率×工作时间(或工作量=人均效率×时间×人数);合作的效率=各部分单独做的效率和；
总工作量=各部分工作量之和.
▉考点十六 销售问题
商品销售问题中常见的相等关系：
利润=售价-进价；利润率=（利润/进价）*100%
利润=进价×利润率；售价=进价×(1+利润率).
打x折后的售价=标价*x/10
▉考点十七 比赛积分问题
比赛积分问题中，常见的相等关系：
某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数；
某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分.
▉考点十八 方案选择问题
在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们最有利的方案呢 这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算和比较，来选择最优方案.
例题：我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在竹林里喧闹，既不知道有多少人，也不知道有多少根竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”则牧童的人数为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
解：设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”可得6x+14=8x,
解得：x=7，
故选：C．
一．方程的定义（共6小题）
1．下列各式中，属于方程的是（　　）
A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5
2．下列各式中，是方程的是（　　）
A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5
3．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A．3+2＝5 B．x﹣1＝2 C．2x﹣1＜0 D．a+b
4．在①2﹣5；②1+7x＝﹣8y+3；③x＝6；④3x＝2x﹣9；⑤2x＞7中，方程共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下面式子中，不是方程的是（　　）
A．x﹣5＝1 B．4+2y＝16 C．3x﹣2＞7 D．y+1＝3
6．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（　　）
A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程
二．方程的解（共6小题）
7．已知关于x的方程x（m﹣1）＝3x﹣m+2的解是x＝﹣2，则m的值为（　　）
A．6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．下列方程中，解为x＝2的为（　　）
A．3x＝3+x B．x（x﹣7）＝﹣10
C．（x﹣3）（x﹣1）＝0 D．2x＝10﹣4x
9．小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　）
A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2
11．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．整式kx+b的值随的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程kx﹣b＝﹣1的解为（　　）
x ﹣1 0 1
kx+b 1 3 5
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3
三．等式的性质（共7小题）
13．下列各式运用等式的性质变形，错误的是（　　）
A．若a+2＝b+2，则a＝b B．若a＝b，则a﹣4＝b﹣4
C．若ac＝bc，则a＝b D．若，则a＝b
14．下列各等式中变形正确的是（　　）
A．如果3x﹣5＝2﹣2y，那么3x﹣2y＝7
B．如果，那么2x＝y
C．如果，那么5x﹣10＝4+3y
D．如果4a+2＝2b﹣3，那么4a＝2b﹣5
15．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
16．下列等式变形，错误的是（　　）
A．若x＝y，则x+2＝y+2 B．若x＝y，则3x＝3y
C．若a+1＝b+1，则a＝b D．若x＝y，则
17．下列等式的变形中，正确的是（　　）
A．如果a+c＝b+c，那么a＝b
B．如果|a|＝|b|，那么a＝b
C．如果ax＝ay，那么x＝y
D．如果a＝b，那么
18．下列变形正确的是（　　）
A．若4a＝2，则a＝2 B．若a＝b，则2a﹣1＝2b﹣1
C．若|a|＝|b|，则a＝b D．若ac＝bc，则a＝b
19．下列变形正确的是（　　）
A．由5x＝4x+8，得5x﹣4x＝8
B．由9x＝﹣4，得
C．由7+x＝13，得x＝13+7
D．由，得x＝2
四．一元一次方程的定义（共7小题）
20．下列方程为一元一次方程的是（　　）
A．3x＞9 B．x2+3＝x+2 C．﹣x﹣3＝4 D．2y﹣3x＝2
21．下列等式中是一元一次方程的是（　　）
A． B． C．3x﹣y＝4 D．2x﹣1
22．下列方程中，一元一次方程是（　　）
A．x+2＝3x﹣2x+2 B．x+y＝2
C．x2+1＝5 D．
23．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．3y﹣x＝5 B．x2﹣3＝x+1 C．2a﹣3＝4a D．
24．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．2x2+3﹣4＝0 B．x+2（x﹣2）＝3
C．x+y＝1 D．
25．已知是关于x的一元一次方程，求k的值并解方程．
26．已知方程（3m﹣4）x2﹣x﹣4＝﹣2是关于x的一元一次方程，求m的值．
五．一元一次方程的解（共7小题）
27．如果x＝1是关于x的方程﹣x+a＝3x﹣2的解，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
28．下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示方程的解是x＝1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A． B． C． D．
29．关于x的一元一次方程2x+m＝6的解为x＝1，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
30．若一元一次方程2x+a＝4的解为x＝﹣1，则a的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2
31．有一个一元一次方程：■，其中“■”表示一个被污染的常数．答案注明方程的解是，这个被污染的常数应是　 　 ．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）判断方程5x＝﹣8 　 　 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；
（2）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．
（3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式m﹣n的值．
33．如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x﹣2＝0是方程x﹣1＝0的后移方程．
（1）判断方程2x+1＝0是否为方程2x+3＝0的后移方程 　 　 （填“是”或“否”）；
（2）若关于x的方程3x+m+n＝0是关于x的方程3x+m＝0的后移方程，求n的值．
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝0是方程ax+c＝0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系 　 　 ．
六．解一元一次方程（共12小题）
34．下列方程的变形中，正确的是（　　）
A．方程3m＝2m﹣1，移项得3m+2m＝1
B．方程3＝2﹣5（x﹣1），去括号得3＝2﹣5x﹣1
C．方程，可化为5（x﹣1）﹣2x＝10
D．方程，可化为
35．把方程去分母，正确的是（　　）
A．10x﹣5（x﹣1）＝2﹣2（x+2）
B．10x﹣5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）
C．10x﹣5（x﹣1）＝20﹣（x+2）
D．10x﹣（x﹣1）＝2﹣2（x+2）
36．在解方程时，去分母后正确的是（　　）
A．1﹣2（3y﹣11）＝4（7﹣y） B．1﹣（3y﹣11）＝7﹣y
C．4﹣（3y﹣11）＝7﹣y D．4﹣（3y﹣11）＝2（7﹣y）
37．解方程时，去分母正确的是（　　）
A．2（2x﹣1）﹣（x+2）＝1 B．（2x﹣1）﹣（x+2）＝1
C．（2x﹣1）﹣（x+2）＝4 D．2（2x﹣1）﹣（x+2）＝4
38．解一元一次方程时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．3（x+1）＝6﹣2x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．2（x+1）＝1﹣3x
39．代数式mx﹣2n的值随x取值的变化而变化，如表是当x取不同值时对应的代数式mx﹣2n的值，则关于x的方程﹣mx+2n＝2的解是（　　）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
mx﹣2n 8 6 4 2 0 ﹣2
A．x＝8 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝3
40．小亮在解方程3a+x＝7时，由于粗心，错把+x看成了﹣x，结果解得x＝1，则a的值为（　　）
A． B．a＝3 C．a＝﹣3 D．
41．如果2x+5的值与3﹣x的值互为相反数，那么x＝　 　 ．
42．若 5xay3为﹣3x2yb是同类项，则关于x的一元一次方程ax+4＝b的解为 　 　 ．
43．方程4x+1＝5的解是　 　 ．
44．解方程
（1）2x+1＝﹣2﹣3x；
（2）．
45．解方程：
（1）5x﹣4＝7x+2；
（2）．
七．由实际问题抽象出一元一次方程（共7小题）
46．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　）
A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．
47．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　）
A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x）
C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x）
48．几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则剩下3棵树苗未种；如果每人种8棵，则缺5棵树苗．若设参与种树的人数为x人，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．6x+3＝8x+5 B．6x﹣3＝8x+5 C．6x+3＝8x﹣5 D．6x﹣3＝8x﹣5
49．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起购买一件物品，若每人出8钱，则多了3钱；若每人出7钱，则少了4钱．问共有多少人？该物品的价格是多少？若设人数共有x人，则列方程为（　　）
A．8x﹣4＝7x﹣3 B．8x﹣3＝7x+4 C．7x+4＝8x+3 D．7x﹣3＝8x+4
50．“思奇阅读”倡导“阅读即思考，思考即创造”．七年级（1）班统计图书角借阅情况：科普类书籍每本借阅一次计4分，文学类书籍每本借阅一次计3分．本月这两类书籍共被借阅50次，累计积分达175分．设科普类书籍借阅x次，根据题意可列方程为（　　）
A．4x+3（50﹣x）＝175 B．4x+3x＝175
C．4（50﹣x）+3x＝175 D．4x﹣3（50﹣x）＝175
51．手工课老师组织学生制作圆柱形包装盒，一个包装盒需要一个侧面和两个底面．已知一张卡纸可以制作8个侧面或24个底面．手工老师提前准备好了40张卡纸，设用x张卡纸制作侧面，根据要求制成的侧面与底面需要刚好配套，则可列方程（　　）
A．8x＝2×24（40﹣x） B．2×8x＝24（40﹣x）
C．8x＝24（40﹣x） D．2×8（40﹣x）＝24x
52．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，加果每间宿舍住满4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍住满3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有x人，那么根据题意，可列出的方程为（　　）
A．4（x﹣5）＝3x+100 B．4x﹣5＝3x+100
C． D．
八．一元一次方程的应用（共8小题）
53．在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“奋发图强”这四个字表示的数之和为（　　）
A．18 B．19 C．21 D．22
54．如图，钟面上的时间是8：30，再经过t分钟，时针、分针第一次重合，则t为（　　）
A． B． C． D．
55．小红同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　）
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
A． B．
C． D．
56．小王同学想根据方程8x+3＝6（x+8）﹣5编一道应用题：“几个人为学校建花坛搬砖______，求参与搬砖的人数．”若设参与搬砖的有x人，那么横线部分的条件应描述为（　　）
A．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
B．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，缺5块砖
C．若每人搬8块，则缺3块砖；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
D．若每人搬8块，则剩3块未搬；若再添8人一起搬，则每人搬6块，剩5块砖未搬
57．【问题背景】
我们知道|x|的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为：|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．在数轴上，点A，B的位置如图1所示，AB＝|1﹣（﹣2）|＝3．
【问题解决】
（1）已知|x﹣1|+|x+3|＝10，则x的值为 　 　 ．
（2）代数式|x+1|+|x+4|的最小值为 　 　 ．
（3）代数式|x﹣2|﹣|x+14|的最大值为 　 　 ．
（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是﹣5，F点表示数是﹣2，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为EF，点E与点G之间的距离表示为EG，点F与点G之间的距离表示为FG，若mFG﹣3EF的值是一个定值，试确定m的值．
58．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 　 　 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
③如果P、B、Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P、B、Q为一组“幸福点”．求出点P运动多少秒时，点P、点Q、点B是一组“幸福点”？
59．元旦期间，各大商场开展促销活动，现有甲、乙、丙三个商场开展的促销活动如表所示：
商场 优惠活动
甲 全场商品按标价的6折销售
乙 实行“每满100元送100元购物券”的优惠，购物券可以在再次购买时冲抵现金，但不再赠券（比如：顾客购衣服220元，赠券200元，再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）
丙 最后付款时，实行“每满100元减50元”的优惠（比如：某顾客购物220元，他只需付款120元）
根据以上活动信息，解答以下问题：
（1）三个商场同时出售一件标价390元的上衣和一条标价360元的裤子，李先生想买这一套衣服，他应该选择哪家商场？请完成下表：
商场 甲商场 乙商场 丙商场
实际付款（元） 　 　 　 　 　 　
由上表可知，李先生应选择 　 　 商场购买更实惠；
（2）李先生发现在甲、乙两商场同时出售一件标价280元的上衣和一条标价200多元（不足300元）的裤子，最后付款额也一样，求这条裤子的标价．
（3）丙商场又推出“先打折，再满100减50元”的活动．李先生买了一件标价为400元的上衣，付款后李先生发现竟然比没打折前多付了10元钱，问丙商场先打了多少折后再参加活动？
60．已知数轴上两点A，B对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0．
（1）如图1，如果点P和点Q分别从点A，B同时出发，都沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒4个单位，设运动的时间为t（秒）．
①a＝　 　 ，b＝　 　 ；
②t秒以后，点P对应的数是 　 　 ．点Q对应的数是 　 　 （用含t的代数式表示出来）当P、Q相遇时，点Q对应的数为 　 　 ．
③设运动时间为t（单位：秒），求当点P，点Q到原点的距离相等时t的值．
（2）如图2，如果点P从点A出发沿数轴的正方向以每秒4个单位的速度运动，点M、N分别是线段AP、BP的中点，在运动过程中，线段MN的长度是否为定值．如果变化，请说明理由；如果不变，请求出线段MN的长度．

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