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专题01 三角形
▉考点一 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 边 顶点 角
定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点. 相邻两边所组成的角.
表示方法 方法一：线段AB,BC,AC. 点A,B,C(必须用大写字母). ∠A,∠B,∠C.
方法二：a,b,c(顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示).
图示
3.三角形的表示方法：顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.
例题：如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
▉考点二 三角形的分类
1.等腰三角形
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角(如图13.1-2).
例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12°
B．15°
C．18°
D．20°
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACD=1/2（180°-40°）=70°，
又∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠ABD=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°，
即∠ACD的度数为15°，
故选：B．
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
3.三角形的分类
(1)按角分类
三角形：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形
分类示意图如图13.1-3所示.
(2)按边分类
三角形：三边都不相等的三角形;等腰三角形(底边和腰不相等的等腰三角形;等边三角形)
例题：如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=60°
B．α-β+γ=60°
C．α+β-γ=60°
D．α+2β-γ=60°
解：如图所示：
∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=∠FCG=60°，
∴α=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD，∠β=∠DCE-∠ACD-∠ECF=60°-∠ACD-∠ECF，γ=∠FCG-∠ECF=60°-∠ECF，
∴α-β+γ=60°-∠ACD-（60°-∠ACD-∠ECF）+60°-∠ECF=60°．
故选：B．
▉考点三 三角形三边的关系
三角形三边的关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边的和大于第三边. a+b>c,b+c>a,a+c>b. 两点之间，线段最短.
三角形两边的差小于第三边. a-b▉考点四 三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
例题：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　）
A．三角形的稳定性
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形任意两边之差小于第三边
解：斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是：三角形的稳定性．
故选：A．
▉考点五 三角形的中线、角平分线、高
1.三角形的中线
(1)
定义 符号语言 图示
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 如图，①AD是△ABC的边BC上的中线；②D是边BC的中点；③BD=DC=1/2BC.
(2)三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点(如图13.2-3).三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)
定义 符号语言 图示
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC,交BC于点D;③∠BAD=∠CAD=1/2BAC.
(2)三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点.
3.三角形的高
(1)
定义 符号语言 图示
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 如图，①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于点D.
(2)三角形的高的画法
一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上.
二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点.
三画 画垂线段.
(3)三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
三条高的位置 三条高都在三角形内部. 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部. 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部.
三条高的交点 三条高交于三角形内部一点. 三条高交于三角形的直角顶点. 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点.
例题：如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A．CE
B．AF
C．DB
D．AB
解：在△ABC中，BC边上的高为AF；
故选：B
▉考点六 三角形的内角和定理
问题提出：小学的时候我们通过度量或剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°,但测量存在误差且我们不可能用上述方法一一验证所有的三角形.现在我们怎么通过推理的方法去证明呢
观察思考：如图13.3-1,回忆小学剪拼法的操作过程，你能发现证明思路吗
推理验证：如图13.3-2,过点A作l//BC,
则∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠3+∠2=180°(平角定义),
∴∠B+∠3+∠C=180°(等量代换).
结论归纳：三角形的内角和定理
文字语言 符号语言 图示
三角形的内角和等于180°. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
例题：一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°，
∴第三个内角的度数是180°-50°-70°=60°．
故选：C．
▉考点七 直角三角形的性质与判定
文字语言 符号语言 图示
性质 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形ABC中，∵∠C=90°,∴.∠A+∠B=90°.
判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC是直角三角形.
2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
例题：直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（　　）
A．27°
B．63°
C．117°
D．27°或63°
解：∵直角三角形的一个锐角是63°，
∴它的另一个锐角是90°-63°=27°，
故选：A．
▉考点八 三角形的外角
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如图13.3-4,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质):
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图13.3-4,∠ACD=∠A+∠B. 推导过程： ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB, ∴∠ACD=∠A+∠B.
例题：下列说法错误的是（　　）
A．一个三角形的内角中至少有两个锐角
B．三角形的外角大于任意一个内角
C．三角形的外角和是360°
D．锐角三角形任意两个内角的和均大于90°
解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不符合题意；
B、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故B符合题意．
故选：B．
一．三角形（共6小题）
1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
2．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确
B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲分法错误，乙分法正确
D．甲、乙两种分法均错误
3．如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
5．图中三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．简单来说，就是一个有自身组成的三角形通过不断迭代而成．求经过3次迭代后的谢尔宾斯基三角形中总共有多少个三角形（　　）
A．48 B．52
C．64 D．以上答案均错误
二．三角形的角平分线、中线和高（共6小题）
7．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　）
A．18 B．22 C．28 D．32
8．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
9．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．AE＝BE
C． D．CD⊥AB
10．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AB＝8，AC＝6，求中线AD长的取值范围．
12．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm）
三．三角形的稳定性（共6小题）
13．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
14．如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边
D．三角形的内角和等于180°
15．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　）
A． B．
C． D．
16．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
17．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边
D．垂线段最短
18．如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
四．三角形的重心（共6小题）
19．已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高
C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线
20．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　　）
A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD
21．如图，AE经过△ABC的重心P．如果AE＝12，那么PE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
22．已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（　　）
A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE
23．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　 　 ．
24．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　 　 ．
五．三角形三边关系（共6小题）
25．下面能组成三角形的三边长是（　　）
A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10
26．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6m，那么AB的距离可能是（　　）
A．4m B．15m C．16m D．20m
27．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，4cm，10cm B．6cm，8cm，10cm
C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm
28．以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．2，3，6 C．2，4，5 D．2，4，6
29．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2
30．某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得CA＝8米，CB＝7米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（　　）
A．5米 B．7米 C．12米 D．16米
六．三角形内角和定理（共6小题）
31．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
32．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
33．如图，这是一副直角三角尺拼成的图案，其中∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，则∠DEC的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．80°
34．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
35．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
36．如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠C＝50°，求∠DAC及∠BOA的度数．
七．三角形的外角性质（共6小题）
37．一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
38．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．60° D．120°
39．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大8°，则∠BDE的变化情况是（　　）
A．减小4° B．增大4° C．减小8° D．增大8°
40．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
41．于都县被称为“长征第一渡口”，该县某校为宣传于都，制作海报时设计的艺术数字“1”如图所示，点B，F，E在一条直线上，若BC⊥EF，∠ABC＝140°，∠AFE＝75°，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．30° C．25° D．20°
42．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝25°，则∠ACD的度数是（　　）
A．60° B．55° C．120° D．65°
八．等腰三角形的性质（共6小题）
43．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．勾股定理的逆定理
D．等腰三角形的“三线合一”
44．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
45．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．等腰三角形“三线合一”
46．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠ACD＝40°，则∠BCD＝（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
47．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠P的度数是（　　）
A．24° B．36° C．48° D．54°
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　 　 ．
九．等边三角形的性质（共6小题）
49．如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．3 B． C．6 D．8
50．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．256
51．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
52．在平面直角坐标系xOy中，等边三角形OAB的顶点A的坐标为（4，0），顶点B在第四象限，则点B的坐标为（　　）
A． B． C．（2，4） D．
53．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
54．在△ABC中，AB＝BC＝10，∠B＝60°，则AC的长为（　　）
A．10 B．5 C．12 D．6
十．直角三角形的性质（共6小题）
55．下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
56．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．150° B．50° C．70° D．60°
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
58．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　）
A．42° B．63° C．66° D．76°
59．直角三角形中的一个锐角的度数为36°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．36° B．54° C．64° D．90°
60．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A．
（1）求证：△ACB为直角三角形；
（2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数．专题01 三角形
▉考点一 三角形的有关概念
1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.三角形的基本元素
基本元素 边 顶点 角
定义 组成三角形的线段 相邻两边的公共端点. 相邻两边所组成的角.
表示方法 方法一：线段AB,BC,AC. 点A,B,C(必须用大写字母). ∠A,∠B,∠C.
方法二：a,b,c(顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示).
图示
3.三角形的表示方法：顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.
例题：如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
▉考点二 三角形的分类
1.等腰三角形
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角(如图13.1-2).
例题：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12°
B．15°
C．18°
D．20°
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠ACD=1/2（180°-40°）=70°，
又∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，
∴BD=BC，
∴∠BCD=∠ABD=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°，
即∠ACD的度数为15°，
故选：B．
2.等边三角形
三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.
3.三角形的分类
(1)按角分类
三角形：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形
分类示意图如图13.1-3所示.
(2)按边分类
三角形：三边都不相等的三角形;等腰三角形(底边和腰不相等的等腰三角形;等边三角形)
例题：如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=60°
B．α-β+γ=60°
C．α+β-γ=60°
D．α+2β-γ=60°
解：如图所示：
∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=∠FCG=60°，
∴α=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD，∠β=∠DCE-∠ACD-∠ECF=60°-∠ACD-∠ECF，γ=∠FCG-∠ECF=60°-∠ECF，
∴α-β+γ=60°-∠ACD-（60°-∠ACD-∠ECF）+60°-∠ECF=60°．
故选：B．
▉考点三 三角形三边的关系
三角形三边的关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边的和大于第三边. a+b>c,b+c>a,a+c>b. 两点之间，线段最短.
三角形两边的差小于第三边. a-b▉考点四 三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性.
例题：大多斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是（　　）
A．三角形的稳定性
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形任意两边之差小于第三边
解：斜拉式大桥采用三角形盖梁支架，这样做的原理是：三角形的稳定性．
故选：A．
▉考点五 三角形的中线、角平分线、高
1.三角形的中线
(1)
定义 符号语言 图示
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线. 如图，①AD是△ABC的边BC上的中线；②D是边BC的中点；③BD=DC=1/2BC.
(2)三角形的重心：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于三角形内一点(如图13.2-3).三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)
定义 符号语言 图示
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC,交BC于点D;③∠BAD=∠CAD=1/2BAC.
(2)三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点.
3.三角形的高
(1)
定义 符号语言 图示
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高. 如图，①AD是△ABC的边BC上的高；②AD⊥BC于点D.
(2)三角形的高的画法
一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上.
二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点.
三画 画垂线段.
(3)三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
三条高的位置 三条高都在三角形内部. 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部. 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部.
三条高的交点 三条高交于三角形内部一点. 三条高交于三角形的直角顶点. 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点.
例题：如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A．CE
B．AF
C．DB
D．AB
解：在△ABC中，BC边上的高为AF；
故选：B
▉考点六 三角形的内角和定理
问题提出：小学的时候我们通过度量或剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°,但测量存在误差且我们不可能用上述方法一一验证所有的三角形.现在我们怎么通过推理的方法去证明呢
观察思考：如图13.3-1,回忆小学剪拼法的操作过程，你能发现证明思路吗
推理验证：如图13.3-2,过点A作l//BC,
则∠B=∠1,∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠3+∠2=180°(平角定义),
∴∠B+∠3+∠C=180°(等量代换).
结论归纳：三角形的内角和定理
文字语言 符号语言 图示
三角形的内角和等于180°. 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
例题：一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
解：∵一个三角形的两个内角分别是50°和70°，
∴第三个内角的度数是180°-50°-70°=60°．
故选：C．
▉考点七 直角三角形的性质与判定
文字语言 符号语言 图示
性质 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形ABC中，∵∠C=90°,∴.∠A+∠B=90°.
判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°,即△ABC是直角三角形.
2.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
例题：直角三角形的一个锐角是63°，则它的另一个锐角是（　　）
A．27°
B．63°
C．117°
D．27°或63°
解：∵直角三角形的一个锐角是63°，
∴它的另一个锐角是90°-63°=27°，
故选：A．
▉考点八 三角形的外角
1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.如图13.3-4,∠ACD是△ABC的一个外角.
2.三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质):
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图13.3-4,∠ACD=∠A+∠B. 推导过程： ∵∠ACD+∠ACB=180°, ∴∠ACD=180°-∠ACB. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B=180°-∠ACB, ∴∠ACD=∠A+∠B.
例题：下列说法错误的是（　　）
A．一个三角形的内角中至少有两个锐角
B．三角形的外角大于任意一个内角
C．三角形的外角和是360°
D．锐角三角形任意两个内角的和均大于90°
解：A、C、D中的说法正确，故A、C、D不符合题意；
B、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故B符合题意．
故选：B．
一．三角形（共6小题）
1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形．
故选：C．
2．下列关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（　　）
A．甲、乙两种分法均正确
B．甲分法正确，乙分法错误
C．甲分法错误，乙分法正确
D．甲、乙两种分法均错误
【答案】C
【解答】解：甲正确的分类应该为，乙分法正确；
故选：C．
3．如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．以上都有可能
【答案】D
【解答】解：已知一内角为36°的三角形，由于36°＜90°，所以该三角形的另一内角可以为大于等于90°的角，也可以是小于90°的角，则该三角形既可以为钝角三角形、直角三角形也可以为锐角三角形．
故选：D．
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
5．图中三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解答】解：BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和A组成6个三角形．故选：D．
6．谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．简单来说，就是一个有自身组成的三角形通过不断迭代而成．求经过3次迭代后的谢尔宾斯基三角形中总共有多少个三角形（　　）
A．48 B．52
C．64 D．以上答案均错误
【答案】D
【解答】解：1次迭代后三角形的个数为：1+4＝5，
2次迭代后三角形的个数为：5+4×3＝17，
3次迭代后三角形的个数为：17+4×9＝53，
故选：D．
二．三角形的角平分线、中线和高（共6小题）
7．如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　）
A．18 B．22 C．28 D．32
【答案】B
【解答】解：∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵AB＝7，AC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE，
∴CE+AE＝15，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22，
故选：B．
8．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线．以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解答】解：∵△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，
∴∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，
①在△ABE中，∠BAD＝∠CAD，∴AO是△ABE的角平分线，所以结论①正确；
②AO≠OD，所以BO不是△ABD的中线，所以结论②错误；
③在△ADC中，AE＝CE，DE是△ADC的中线，所以结论③正确；
④∠BED不一定等于∠CED，那么ED不一定是△EBC的角平分线，所以结论④错误；
综上所述，正确的有2个选项①③．所以只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
9．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　）
A．AB＝2BF B．AE＝BE
C． D．CD⊥AB
【答案】B
【解答】解：A、∵CF是边AB的中线，
∴AB＝2BF，正确，不符合题意；
B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意；
C、∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB，正确，不符合题意；
D、∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，正确，不符合题意，
故选：B．
10．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：线段AD是△ABC的高的是．
故选：D．
11．如图，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）若AB＝8，AC＝6，求中线AD长的取值范围．
【答案】（1）50°；
（2）1＜AD＜7．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝60°，∠BAD＝40°，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝40°，
∵AF为高，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°；
（2）延长AD至K，使AD＝DK，连接CK．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵∠ADB＝∠CDK，
∴△ADB≌△KDC，
∴AB＝CK＝8，而AC＝6，
∴2＜AK＜14，
∴1＜AD＜7．
12．如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长．（提示：设CD＝xcm）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，
∵AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即AC＝4x＝48cm，AB＝28cm．
三．三角形的稳定性（共6小题）
13．如图，木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【解答】解：木工师傅制作门框时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的几何原理是三角形的稳定性，
故选：C．
14．如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边
D．三角形的内角和等于180°
【答案】B
【解答】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，
所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故选：B．
15．如图，在矩形镜框背面，安装一根木条，使矩形镜框不易变形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴不易变形的是C．
故选：C．
16．如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）
A．三角形的稳定性 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段最短
【答案】A
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性．
故选：A．
17．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形具有稳定性
C．三角形两边之和大于第三边
D．垂线段最短
【答案】B
【解答】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：B．
18．如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：D．
四．三角形的重心（共6小题）
19．已知：如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，则下列命题中正确的是（　　）
A．AD是∠BAC的平分线 B．AD是BC边上的高
C．AD是BC边上的中线 D．AD是BC边上的中垂线
【答案】C
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D，
∴AD是BC边上的中线．
故选：C．
20．已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（　　）
A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD
【答案】B
【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确；
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．
故选：B．
21．如图，AE经过△ABC的重心P．如果AE＝12，那么PE的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：由题知，
因为△ABC的重心为P，
所以AE是△ABC的中线．
又因为AE＝12，
所以PE＝．
故选：B．
22．已知点F是△ABC的重心，连接AF并延长交BC于G点，过点F作直线分别交AB、AC于D点、E点，则下列说法正确的是（　　）
A．BG＝CG B．∠BAG＝∠CAG C．DF＝EF D．BD＝CE
【答案】A
【解答】解：∵点F是△ABC的重心，
∴AG是△ABC的中线，
∴BG＝CG，
故选：A．
23．如图，点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．若BC＝6，AC＝4，则BD+AE＝ 　　 ．
【答案】5
【解答】解：∵点O是△ABC的重心，延长AO交BC于点D，延长BO交AC于点E．
∴BD＝，AE＝，
∴BD+AE＝＝（BC+AC）＝＝5．
故答案为：5．
24．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F，FH⊥BC，垂足为H．若S△ABC＝15，BC＝6，则FH长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接FC，如图所示：
∵AD、BE是△ABC的中线，S△ABC＝15，
∴S△BEC＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，
∴S△ABF+S△AEF＝S△ABF+S△BDF，
∴S△AEF＝S△BDF，
∵S△CEF＝S△AEF，S△DBF＝S△CDF，
∴S△CEF＝S△DBF＝S△CDF，
∴S△BCF＝S△BEC＝5，
∵S△BCF＝BC FH＝×6FH＝5，
∴FH＝．
故答案为：．
五．三角形三边关系（共6小题）
25．下面能组成三角形的三边长是（　　）
A．2，4，2 B．3，4，5 C．4，5，9 D．4，5，10
【答案】B
【解答】解：A、2+2＝4，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＞5，能组成三角形，故B符合题意；
C、4+5＝9，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
26．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6m，那么AB的距离可能是（　　）
A．4m B．15m C．16m D．20m
【答案】B
【解答】解：∵OA＝10m，OB＝6m，
∴10﹣6＜AB＜10+6，
∴4＜AB＜16，
∴AB的距离可能是15m．
故选：B．
27．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，4cm，10cm B．6cm，8cm，10cm
C．5cm，6cm，11cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】B
【解答】解：A、4+4＜10，长度为4cm，4cm，10cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
B、6+8＞10，10﹣6＜8，长度为6cm，8cm，10cm的三条线段能组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、5+6＝11，长度为5cm，6cm，11cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
D、3+4＜8，长度为3cm，4cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
28．以下面四组小棒为边长，能围成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．2，3，6 C．2，4，5 D．2，4，6
【答案】C
【解答】解：A、2+2＝4，2，2，4不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、2+3＝5＜6，2，3，6不能够组成三角形，故本选项不符合题意；
C、2+4＝6＞5，2，4，5能组成三角形，故本选项符合题意；
D、4+2＝6，4，2，6不能组成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
29．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．5，6，11 B．3，4，5 C．4，4，10 D．1，1，2
【答案】B
【解答】解：A、5+6＝11，故不能构成三角形．不符合题意；
B、3+4＞5，故能构成三角形，符合题意；
C、4+4＜10，故不能构成三角形，不符合题意；
D、1+1＝2，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
30．某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸A、B之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点C，测得CA＝8米，CB＝7米．根据三角形三边关系，A、B之间的距离不可能是（　　）
A．5米 B．7米 C．12米 D．16米
【答案】D
【解答】解：∵CA＝8米，CB＝7米，
∴8﹣7＜AB＜8+7，即1＜AB＜15．
故选：D．
六．三角形内角和定理（共6小题）
31．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
32．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】D
【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°；
如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，
则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°．
故选：D．
33．如图，这是一副直角三角尺拼成的图案，其中∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，则∠DEC的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，
∴∠DEC＝∠ACB+∠DBC＝30°+45°＝75°，
则∠DEC的度数为75°，
故选：C．
34．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据平行线性质逐项分析判断如下：
A、作l∥BC，则可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B+∠C+∠BAC＝∠1+∠BAC+∠2＝180°，故不符合题意；
B、作DE∥AB，DF∥AC，则可得∠A＝∠DEC＝∠FDE，∠B＝∠EDC，∠C＝∠FDB，
∴∠A+∠B+∠C＝∠FDE+∠EDC+∠FDB＝180°，故不符合题意；
C、如图，过点D作EF∥BC，GH∥AC，IJ∥AB，
则可得∠C＝∠DHI＝∠FDH，∠B＝∠DIH＝∠EDI，∠A＝∠FJD＝∠GDJ＝∠IDH，
∴∠A+∠B+∠C＝∠IDH+∠EDI+∠FDH＝180°，故不符合题意，
D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，符合题意，
故选：D．
35．如图，E，F是△ABC的边AB，AC上的点，D是点A上方的一点，若∠B+∠C＝60°，∠D＝70°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．70°
【答案】A
【解答】解：如图，连接EF，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A＝60°．
∵∠D＝70°，
∴∠DEF+∠DFE＝180°﹣∠D＝110°，
∵∠1+∠AEF＝∠DEF，∠2+∠AFE＝∠DFE，
∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE﹣（∠AEF+∠AFE）＝110°﹣60°＝50°．
故选：A．
36．如图，△ABC中，AF、BE是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠C＝50°，求∠DAC及∠BOA的度数．
【答案】40°；65°．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，∠C＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∵∠C＝50°，
∴∠CAB+∠ABC＝130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO＝＝65°，
∴∠BOA＝180°﹣65°＝115°，
答：∠DAC＝40°，∠BOA＝115°．
七．三角形的外角性质（共6小题）
37．一副含30°角和45°角的直角三角板如图摆放，则∠1的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：由三角形的外角定理可知，
∠1＝45°+30°＝75°．
故选：C．
38．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【答案】A
【解答】解：根据三角形外角性质得，∠1＝∠2+90°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝30°，
故选：A．
39．某平板电脑支架如图所示，其中AB＝CD，EA＝ED，为了使用的舒适性，可调整∠AEC的大小．若∠AEC增大8°，则∠BDE的变化情况是（　　）
A．减小4° B．增大4° C．减小8° D．增大8°
【答案】A
【解答】解：∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠AEC＝∠EAD+∠ADE＝2∠ADE，
∵∠AEC增大8°，
∴∠ADE增大4°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE，
∴∠BDE减小4°，
故选：A．
40．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】A
【解答】解：如图：
∵三角板ABC是等腰直角三角形，三角板CDE是含30°角的直角三角形，
∴∠ABC＝45°，∠A＝90°，∠E＝30°，
∵∠ABC是△EFB的外角，∠AFG与∠EFB是对顶角，
∴∠AFG＝∠EFB＝∠ABC﹣∠E＝45°﹣30°＝15°，
∵∠CGE是△AFG的外角，
∴根据三角形外角的性质得，∠α＝∠CGE＝∠A+∠AFG＝90°+15°＝105°．
则图中∠α的度数为105°．
故选：A．
41．于都县被称为“长征第一渡口”，该县某校为宣传于都，制作海报时设计的艺术数字“1”如图所示，点B，F，E在一条直线上，若BC⊥EF，∠ABC＝140°，∠AFE＝75°，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【解答】解：如图，连接BF，
∵BC⊥EF，点B，F，E 在一条直线上，
∴∠FBC＝90°（垂直的定义），
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝140°﹣90°＝50°，
∵∠AFE＝75°，
∴∠A＝∠AFE﹣∠ABF＝75°﹣50°＝25°，
则∠A的度数为25°．
故选：C．
42．如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝25°，则∠ACD的度数是（　　）
A．60° B．55° C．120° D．65°
【答案】A
【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝60°，
故选：A．
八．等腰三角形的性质（共6小题）
43．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．勾股定理的逆定理
D．等腰三角形的“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”，
故选：D．
44．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
45．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，体现等腰三角形的性质“三线合一”，
故能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”．
故选：D．
46．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，若∠ACD＝40°，则∠BCD＝（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°﹣40°＝25°．
故选：C．
47．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝72°，则∠P的度数是（　　）
A．24° B．36° C．48° D．54°
【答案】A
【解答】解：∵CP＝OC＝OA，
∴∠P＝∠POC，∠OCA＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P，
∵∠P+∠PAO＝3∠P＝∠AOB＝72°，
∴∠P＝24°．
故选：A．
48．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　　 ．
【答案】30°或15°．
【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝80°，
∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°，
∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°，
∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°，
∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°，
综上，∠BAD的度数为30°或15°．
故答案为：30°或15°．
九．等边三角形的性质（共6小题）
49．如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　）
A．3 B． C．6 D．8
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且边长为8．
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝8，
∵点E，F是BC边的三等分点，
∴，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴，
∴△DEF的周长是：DE+DF+EF＝3EF＝3×＝8．
故选：D．
50．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【解答】解：由条件可知∠B1A1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠B2A2A3＝∠B3A3A4＝∠B2A3A2＝60°＝∠B1A1A2＝∠B1A2A1，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，
A4B4＝8B1A2＝16，
A5B5＝16B1A2＝32，
以此类推：△A7B7A8的边长为27＝128，
故选：C．
51．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
52．在平面直角坐标系xOy中，等边三角形OAB的顶点A的坐标为（4，0），顶点B在第四象限，则点B的坐标为（　　）
A． B． C．（2，4） D．
【答案】A
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示：
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵△OAB是等边三角形，且点B在第四象限，
∴OA＝AB＝OB＝4，
∵BCBC⊥x轴于点C，
∴OC＝AC＝2，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC＝√＝，
∴点B的坐标为．
故选：A．
53．如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（　　）
A．142° B．128° C．98° D．92°
【答案】C
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：
∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
54．在△ABC中，AB＝BC＝10，∠B＝60°，则AC的长为（　　）
A．10 B．5 C．12 D．6
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故选：A．
十．直角三角形的性质（共6小题）
55．下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝∠C；⑤∠A＝2∠B＝3∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC不是直角三角形；
⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，
∴设∠C＝x，则，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
解得：，
∴，
∴△ABC不是直角三角形；
∴能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共有3个，
故选：C．
56．在一个直角三角形中，有一个锐角等于30°，则另一个锐角的度数是（　　）
A．150° B．50° C．70° D．60°
【答案】D
【解答】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为90°，
∴90°﹣30°＝60°．
即另一个锐角的度数是60°．
故选：D．
57．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
58．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　）
A．42° B．63° C．66° D．76°
【答案】C
【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC是△ACD的外角，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°．
故选：C．
59．直角三角形中的一个锐角的度数为36°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．36° B．54° C．64° D．90°
【答案】B
【解答】解：在一个直角三角形中，一个锐角等于36°，
∴另一个锐角的度数是：90°﹣36°＝54°．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
60．如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A．
（1）求证：△ACB为直角三角形；
（2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数．
【答案】（1）∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A，
∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB为直角三角形；
（2）15°．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A，
∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°，
∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACB为直角三角形；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°．

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