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专题02 全等三角形
▉考点一 全等形
全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
▉考点二 全等三角形
1.全等三角形的有关概念和表示方法
相关概念 示例 图示
定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. △ABC与△DEF全等.
表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. △ABC≌△DEF.
对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点. 点A与点D,点B与点E,点C与点F.
对应边：重合的边叫作对应边. AB与DE,BC与EF,AC与DF.
对应角：重合的角叫作对应角. ∠A与∠D,∠B与∠E,∠C与∠F.
2.三种常见的全等类型
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
例题：下列说法错误的是（　　）
A．同旁内角互补
B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C．能完全重合的两个四边形全等
D．在同一平面内，两条直线不平行一定相交
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题说法错误，不符合题意；
B、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意；
C、能完全重合的两个四边形全等，说法正确，符合题意；
D、在同一平面内，两条直线不平行一定相交，说法正确，符合题意；
故选：A．
▉考点三 全等三角形的性质
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
例题：如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为（　　）
A．105°
B．80°
C．75°
D．45°
解：∵∠A=75°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-75°-30°=75°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠ADE=∠ACB=75°，
故选：C．
▉考点四 全等形
三角形全等的基本事实：边角边(SAS)
基本 事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
书写 格式 如图，在△ABC和△A'B'C′中 AB=A′B′ ∠B=∠B′ BC=B′C′ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
▉考点五 三角形全等的基本事实：角边角(ASA)
基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
▉考点六 三角形全等的判定定理：角角边(AAS)
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
▉考点七 三角形全等的基本事实：边边边(SSS)
基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
▉考点八 尺规作图
1.基本作图：作一个角等于已知角
已知 如图，已知∠AOB.
求作 用直尺和圆规作一个角与∠AOB相等.
作法 作法：(1)如图(1),以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; (2)如图(2),画一条射线O'A’,以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交0'A'于点C′; (3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点D'; (4)过点D'画射线O'B′,则∠A'O'B′=∠AOB.
2.利用基本作图根据已知条件作三角形
已知 求作 作法
如图，已知三条线段a,b,c. 求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a. 如图，①作线段BC=a.②分别以点B,C为圆心，c,b的长为半径画弧，两弧相交点A. ③连接AB,AC. △ABC就是所求作的三角形.
如图，已知线段a,b和∠α. 求作△ABC,使 AB=a,AC=b, ∠A=∠α 如图，①作∠MAN=∠α②在射线AM,AN上分别作线段AB=a,AC=b. ③连接BC. △ABC就是所求作的三角形.
如图，已知Lα,∠β和线段a. 求作△ABC,使AB=a,∠A= ∠α,∠B=∠β 如图，①作AB=a. ②在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α,∠NBA=∠β,AM,BN相交于点C. △ABC就是所求作的三角形.
▉考点九 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)
1.已知一直角边和斜边作直角三角形
已知 求作 作法
如图：已知两条线段a,c. 求作△ABC,使∠C=90°,CB=a,AB=c. 如图，①作∠PCQ=90°.②在射线CP上截取CB=a.③以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A. ④连接AB. Rt△ABC就是所求作的三角形.
2.定理：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
3.判定两个直角三角形全等的方法：
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SAS”“ASA”“AAS”这四种方法来判定两个直角三角形全等.
根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB=5，BC=4，AC=1
B．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
C．AB=5，AC=4，∠B=60°
D．∠A=30°，∠B=60°，AB=5
解：A、BC+AC=AB，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、判定三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故B不符合题意；
C、∠B是AC的对边，不能画出唯一的△ABC，故C不符合题意；
D、由ASA判定能出画出唯一的△ABC，故D符合题意．
故选：D．
▉考点十 作已知角的平分线
已知 如图，已知∠AOB.
求作 求作∠AOB的平分线.
作法 如图：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求.
例题：如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE=3，AC=4，则△ADC的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE=3，AC=4，
∴DF=DE=3，
∴S△ADC=1/2AC*DE=1/2*4*3=6．
故选：D．
▉考点十一 角的平分线的性质
文字语言 符号语言 图示
角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥0A,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴PD=PE.
▉考点十二 证明几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
▉考点十三 角的平分线的判定
1.角的平分线的判定定理：
文字语言 符号语言 图示
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,点P在∠AOB的平分线OC上.
2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等
例题：根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB=5，BC=4，AC=1
B．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
C．AB=5，AC=4，∠B=60°
D．∠A=30°，∠B=60°，AB=5
解：A、BC+AC=AB，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、判定三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故B不符合题意；
C、∠B是AC的对边，不能画出唯一的△ABC，故C不符合题意；
D、由ASA判定能出画出唯一的△ABC，故D符合题意．
故选：D．
一．全等图形（共8小题）
1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　）
A．100° B．90° C．60° D．45°
2．下列说法正确的是（　　）
A．任意一个非负数都有两个平方根
B．任意两个正方形一定是全等图形
C．三角形的内角中最多有一个钝角
D．两个无理数的和还是无理数
3．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
4．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°
5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠1+90°＝∠2 D．∠1+∠2＝180°
6．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（　　）
A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF
7．如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各组图形中是全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．全等三角形的性质（共9小题）
9．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．62°
11．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD+∠BCE的度数为（　　）
A．140° B．160° C．180° D．200°
12．如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝10，则BC等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
14．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　）
A．80° B．70° C．65° D．50°
15．如图，△ABC≌△EFD，∠A＝50°，∠ACB＝35°，则∠F的度数是（　　）
A．35° B．50° C．55° D．95°
16．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求DE的长；
（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
17．如图，已知△ABE≌△ACD，若BE＝6，DE＝2，求BC的长．
三．全等三角形的判定（共9小题）
18．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AC＝BD，∠A＝∠D
19．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
20．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD
21．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
22．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
23．如图，AC，BD交于点O，且AO＝CO，添加下列条件不能判定△ABO≌△CDO的是（　　）
A．AB＝CD B．BO＝DO C．∠A＝∠C D．∠B＝∠D
24．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E
25．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
26．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥DF，BF∥CE，AB＝CD，求证：△ACE≌△DBF．
四．直角三角形全等的判定（共8小题）
27．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
28．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
29．如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　）
A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD
30．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB
31．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
32．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
33．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
34．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD
五．全等三角形的判定与性质（共9小题）
35．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
36．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
37．如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（　　）
A．6＜AB＜7 B．5＜AB＜14 C．7＜AB＜20 D．8＜AB＜20
39．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF．给出下列结论：
①∠B＝∠C；②CF＝BM；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
40．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.9m
41．如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
43．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（　　）
A．如图1，线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO，△ABO与△DCO
B．如图2，AC＝AD，BC＝BD，△ABC与△ABD
C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，△ABE与△DCE
D．如图4，已知∠CAB＝∠DBA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD
六．角平分线的性质（共9小题）
44．如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
45．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，若△BDC的面积是30，则EF的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
46．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上
47．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
48．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
49．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
50．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
51．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长．
52．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）在图①中完成上面的证明过程．
（2）在图②中，AD是△ABC的外角平分线，延长BC交AD于D，如果AB＝10，AC＝4，BC＝7，求BD的长．
七．作图—基本作图（共8小题）
53．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
54．小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，△ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线B′M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点B′为圆心，BD长为半径画弧，交B′M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在B′M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线B′N；
（6）以点B′为圆心，BC长为半径画弧，交B′M于点C′；
（7）以点B′为圆心，BA长为半径画弧，交B′N于点A′；
（8）连接A′C′．
第二步：把作出的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上．
第三步：观察发现△A′B′C′和△ABC重合．
∴△ABC≌△A′B′C′．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（　　）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA
C．基本事实SAS D．定理AAS
55．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
56．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
57．如图，用三角板作△ABC的边AC上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
58．如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　）
A．66° B．77° C．78° D．101°
59．如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）
A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
60．小郑在用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB时，具体的操作步骤是：
（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以◆为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以★的长为半径作弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．下列说法不正确的是（　　）
A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等
C．▲与线段CD的长相等 D．▲与★的长相等专题02 全等三角形
▉考点一 全等形
全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
▉考点二 全等三角形
1.全等三角形的有关概念和表示方法
相关概念 示例 图示
定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. △ABC与△DEF全等.
表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. △ABC≌△DEF.
对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点. 点A与点D,点B与点E,点C与点F.
对应边：重合的边叫作对应边. AB与DE,BC与EF,AC与DF.
对应角：重合的角叫作对应角. ∠A与∠D,∠B与∠E,∠C与∠F.
2.三种常见的全等类型
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
例题：下列说法错误的是（　　）
A．同旁内角互补
B．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C．能完全重合的两个四边形全等
D．在同一平面内，两条直线不平行一定相交
解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题说法错误，不符合题意；
B、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意；
C、能完全重合的两个四边形全等，说法正确，符合题意；
D、在同一平面内，两条直线不平行一定相交，说法正确，符合题意；
故选：A．
▉考点三 全等三角形的性质
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
例题：如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为（　　）
A．105°
B．80°
C．75°
D．45°
解：∵∠A=75°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-75°-30°=75°，
∵△ABC≌△AED，
∴∠ADE=∠ACB=75°，
故选：C．
▉考点四 全等形
三角形全等的基本事实：边角边(SAS)
基本 事实 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
书写 格式 如图，在△ABC和△A'B'C′中 AB=A′B′ ∠B=∠B′ BC=B′C′ ∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
▉考点五 三角形全等的基本事实：角边角(ASA)
基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
▉考点六 三角形全等的判定定理：角角边(AAS)
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
▉考点七 三角形全等的基本事实：边边边(SSS)
基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
▉考点八 尺规作图
1.基本作图：作一个角等于已知角
已知 如图，已知∠AOB.
求作 用直尺和圆规作一个角与∠AOB相等.
作法 作法：(1)如图(1),以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; (2)如图(2),画一条射线O'A’,以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交0'A'于点C′; (3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点D'; (4)过点D'画射线O'B′,则∠A'O'B′=∠AOB.
2.利用基本作图根据已知条件作三角形
已知 求作 作法
如图，已知三条线段a,b,c. 求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a. 如图，①作线段BC=a.②分别以点B,C为圆心，c,b的长为半径画弧，两弧相交点A. ③连接AB,AC. △ABC就是所求作的三角形.
如图，已知线段a,b和∠α. 求作△ABC,使 AB=a,AC=b, ∠A=∠α 如图，①作∠MAN=∠α②在射线AM,AN上分别作线段AB=a,AC=b. ③连接BC. △ABC就是所求作的三角形.
如图，已知Lα,∠β和线段a. 求作△ABC,使AB=a,∠A= ∠α,∠B=∠β 如图，①作AB=a. ②在AB的同一侧分别作∠MAB=∠α,∠NBA=∠β,AM,BN相交于点C. △ABC就是所求作的三角形.
▉考点九 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)
1.已知一直角边和斜边作直角三角形
已知 求作 作法
如图：已知两条线段a,c. 求作△ABC,使∠C=90°,CB=a,AB=c. 如图，①作∠PCQ=90°.②在射线CP上截取CB=a.③以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A. ④连接AB. Rt△ABC就是所求作的三角形.
2.定理：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
3.判定两个直角三角形全等的方法：
判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SAS”“ASA”“AAS”这四种方法来判定两个直角三角形全等.
根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB=5，BC=4，AC=1
B．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
C．AB=5，AC=4，∠B=60°
D．∠A=30°，∠B=60°，AB=5
解：A、BC+AC=AB，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、判定三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故B不符合题意；
C、∠B是AC的对边，不能画出唯一的△ABC，故C不符合题意；
D、由ASA判定能出画出唯一的△ABC，故D符合题意．
故选：D．
▉考点十 作已知角的平分线
已知 如图，已知∠AOB.
求作 求作∠AOB的平分线.
作法 如图：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC.射线OC即为所求.
例题：如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DE=3，AC=4，则△ADC的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
解：过点D作DF⊥AC于点F，如图所示：
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DE=3，AC=4，
∴DF=DE=3，
∴S△ADC=1/2AC*DE=1/2*4*3=6．
故选：D．
▉考点十一 角的平分线的性质
文字语言 符号语言 图示
角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥0A,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴PD=PE.
▉考点十二 证明几何命题的一般步骤
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
▉考点十三 角的平分线的判定
1.角的平分线的判定定理：
文字语言 符号语言 图示
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE,点P在∠AOB的平分线OC上.
2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系：
点在角的平分线上（角的内部的）点到角的两边的距离相等
例题：根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．AB=5，BC=4，AC=1
B．∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°
C．AB=5，AC=4，∠B=60°
D．∠A=30°，∠B=60°，AB=5
解：A、BC+AC=AB，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、判定三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故B不符合题意；
C、∠B是AC的对边，不能画出唯一的△ABC，故C不符合题意；
D、由ASA判定能出画出唯一的△ABC，故D符合题意．
故选：D．
一．全等图形（共8小题）
1．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　）
A．100° B．90° C．60° D．45°
【答案】B
【解答】解：在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
∴∠1＝∠EDF，
∵∠EDF+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
2．下列说法正确的是（　　）
A．任意一个非负数都有两个平方根
B．任意两个正方形一定是全等图形
C．三角形的内角中最多有一个钝角
D．两个无理数的和还是无理数
【答案】C
【解答】解：由题意，对于A，根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，故A错误；
对于B，∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，故B错误；
对于C，根据三角形的内角和为180°，则三角形的内角中最多有一个钝角，故C正确；
对于D，由题意，取两个无理数为2+，2﹣，则它们的和是4，不是无理数，故D错误．
故选：C．
3．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】D
【解答】解：由图可知，③和④两个图形全等．
故选：D．
4．如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则∠1﹣∠2﹣∠3的度数为（　　）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，则∠1＝90°，∠2＝∠4，∠3+∠4＝45°，
∴∠1﹣∠2﹣∠3＝90°﹣45°＝45°，
故选：B．
5．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1和∠2的关系为（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠1+90°＝∠2 D．∠1+∠2＝180°
【答案】D
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DF，∠EDF＝∠ABC＝90°，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠DEF＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．
6．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（　　）
A．BE＝EC B．BC＝EF C．AC＝DF D．△ABC≌△DEF
【答案】A
【解答】解：∵Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
∴BC＝EF，AC＝DF
所以只有选项A是错误的，
故选：A．
7．如图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．
故选：B．
8．下列各组图形中是全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：A．是全等图形，符合题意；
B．钝角三角形和直角三角形，形状不同，不是全等图形，不符合题意；
C．两个圆大小不同，不是全等图形，不符合题意；
D．两个正方形大小不同，不是全等图形，不符合题意；
故选：A．
二．全等三角形的性质（共9小题）
9．如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝105°，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，AD＝AB＝2，
∴∠BAD＝∠EAC＝90°
∴△ABD的面积＝AB AD＝×2×2＝2，
∵△ABC的面积＝△ADE的面积，
∴阴影的面积＝△ABD的面积＝2．
故选：A．
10．如图的两个三角形全等，则∠1的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【答案】C
【解答】解：根据三角形全等的性质可知：
∠1＝∠2＝180°﹣58°﹣62°＝60°，
故选：C．
11．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD+∠BCE的度数为（　　）
A．140° B．160° C．180° D．200°
【答案】D
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE＝∠ACB＝80°（全等三角形对应角相等），
∴∠ACD+∠BCE＝360°﹣∠DCE﹣∠ACE＝360°﹣80°﹣80°＝200°，
则∠ACD+∠BCE的度数为200°，
故选：D．
12．如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝10，则BC等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△CDE，AB＝7，BD＝10，
∴AB＝CD，
∴BC＝BD﹣CD＝10﹣7＝3．
故选：B．
13．如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解答】解：∵△BFD≌△CED，
∴S△BFD＝S△CED＝2，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝5，
∵△BFD≌△CED，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝5，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BFD＝7．
故选：C．
14．如图所示的两个三角形全等，则∠E的度数为（　　）
A．80° B．70° C．65° D．50°
【答案】B
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠E＝∠B＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
15．如图，△ABC≌△EFD，∠A＝50°，∠ACB＝35°，则∠F的度数是（　　）
A．35° B．50° C．55° D．95°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴∠ACB＝∠EDF＝35°，∠A＝∠E＝50°，
∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠EDF＝95°，
故选：D．
16．如图，点A、B、C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝5cm．
（1）求DE的长；
（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）2cm；
（2）AC与DB垂直，理由见解析．
【解答】解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝5cm．
∴DE＝BD﹣BE＝2cm；
（2）AC与DB垂直，理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠EBC＝∠ABD．
又∵∠ABD+∠EBC＝180°，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴DB⊥AC．
17．如图，已知△ABE≌△ACD，若BE＝6，DE＝2，求BC的长．
【答案】BC＝10．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，BE＝6，
∴BE＝CD＝6（全等三角形对应边相等），
∵DE＝2，
∴BD＝BC﹣DE＝6﹣2＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+6＝10．
即BC的长为10．
三．全等三角形的判定（共9小题）
18．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AC＝BD，∠A＝∠D
【答案】D
【解答】解：A、AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、具备条件AC＝DB，BC＝BC，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
19．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，
符合全等三角形的判定定理ASA，
故选：A．
20．如图，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．∠ABD＝∠BAC B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝∠BAD，AB＝BA，
∴若添加∠ABD＝∠BAC，则△ABC≌△BAD（ASA），故选项A不符合题意；
若添加∠C＝∠D，则△ABC≌△BAD（AAS），故选项B不符合题意；
若添加AD＝BC，则△ABC≌△BAD（SAS），故选项C不符合题意；
若添加条件AC＝BD，无法判定△ABC≌△BAD，故选项D符合题意；
故选：D．
21．如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
【答案】B
【解答】解：∵直角三角形未被遮挡的部分是两角及其夹边，
∴这两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
22．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，
在△OMD与△CEN中
，
∴△OMD≌△CEN（SSS）；
∴∠O＝∠NCB，
∴CN∥OA．
故选：B．
23．如图，AC，BD交于点O，且AO＝CO，添加下列条件不能判定△ABO≌△CDO的是（　　）
A．AB＝CD B．BO＝DO C．∠A＝∠C D．∠B＝∠D
【答案】A
【解答】解：A、∠AOB和∠COD分别是AB和CD的对边，不能判定△ABO≌△CDO，故A符合题意；
B、由SAS判定△ABO≌△CDO，故B不符合题意；
C、由ASA判定△ABO≌△CDO，故C不符合题意；
D、由AAS判定△ABO≌△CDO，故D不符合题意．
故选：A．
24．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC＝DF，∠1＝∠2，如果根据“ASA”判断△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（　　）
A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．BF＝CE D．∠B＝∠E
【答案】B
【解答】解：需要补充的条件是∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选：B．
25．已知，如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，BC＝BD，求证：△ABD≌△EBC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EBD＝∠2+∠EBD，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA）．
26．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AE∥DF，BF∥CE，AB＝CD，求证：△ACE≌△DBF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵BF∥CE，
∴∠ACE＝∠DBF，
又∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝DB，
在△ACE和△DBF中，
，
△ACE≌△DBF（ASA）．
四．直角三角形全等的判定（共8小题）
27．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【答案】A
【解答】解：根据图形，符合全等三角形的判定方法ASA，可画出与此直角三角形全等的三角形，
故选：A．
28．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　）
A．AAS B．HL C．SAS D．ASA
【答案】B
【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BEC＝∠BFC＝90°，
在Rt△BCF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．
故选：B．
29．如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　）
A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD
【答案】D
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
已知AO＝CO，
从图中可知AB、CD分别为Rt△ABO和Rt△CDO的斜边，
根据“HL”定理，证明Rt△ABO≌Rt△CDO，
还需补充一对斜边相等，
即AB＝CD，
故选：D．
30．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB
【答案】D
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，需要添加的条件是AD＝CB．
故选：D．
31．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（　　）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两锐角相等
【答案】D
【解答】解：如果在两个直角三角形中，两条直角边对应相等，
那么根据SAS即可判断两三角形全等，故选项A正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，
那么根据AAS也可判断两三角形全等，故选项B正确．
如果如果在两个直角三角形中，斜边和一直角边对应相等，
那么根据HL也可判断两三角形全等，故选项C正确．
故选：D．
32．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【答案】D
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
33．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【答案】D
【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
34．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．∠ADB＝∠CBD D．AB＝CD
【答案】A
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
五．全等三角形的判定与性质（共9小题）
35．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
36．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A＝（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】A
【解答】解：∵BF＝CD，∠B＝∠C，BD＝CE，
∴△BFD≌△CDE（SAS）
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE，
∴∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
故选：A．
37．如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：由条件可知6m﹣4＝3m﹣1，
解得：m＝1，
则点P的坐标为（2，2），
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则∠PDA＝∠PEB＝90°，
∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°，
∴∠EPB＝∠DPA，
由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝2，
∴△PDA≌△PEB（ASA），
∴DA＝BE，
∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝2+2＝4，
∴OA+OB＝4．
故选：D．
38．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝7，则AB边的取值范围是（　　）
A．6＜AB＜7 B．5＜AB＜14 C．7＜AB＜20 D．8＜AB＜20
【答案】D
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝7，
∴AE＝14，
∵14+6＝20，14﹣6＝8，
∴8＜CE＜20，
即8＜AB＜20
故选：D．
39．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF．给出下列结论：
①∠B＝∠C；②CF＝BM；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM．其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】A
【解答】解：①∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC＝∠FAB+∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC，
在△EAB和△FAC中，
，
∴△EAB≌△FAC（ASA），
∴∠B＝∠C，
故结论①正确；
②∵BE与AC相交于点M，
∴BE＞BM，
∵△EAB≌△FAC，
∴BE＝CF，
∴CF＞BM，
故结论②不正确；
③∵△EAB≌△FAC，
∴BE＝CF，
故结论③正确；
④∵△EAB≌△FAC，
∴AB＝AC，∠B＝∠C，
∴AC＝AB，∠C＝∠B，
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）．
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①③④．
故选：A．
40．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.9m
【答案】B
【解答】解：∵∠BOC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵BD⊥OA，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠OBD＝∠COE，
在△OBD和△COE中，
，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD，OD＝CE，
∵妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.9m，
∴OE＝1.4m，OD＝1.9m，
∴DE＝OD﹣OE＝1.9﹣1.4＝0.5（m），
∵点B与地面距离为1m，
∴AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1+0.5＝1.5（m），
即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是1.5m．
故选：B．
41．如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是（　　）
A．∠1+∠2＝180° B．∠1＝∠2
C．∠2＝∠1+90° D．∠2＝2∠1
【答案】A
【解答】解：如图，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠ABM＝∠1，
∵∠ABM+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故选：A．
42．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，BC＝10，则BD＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD＝BC，
∵BC＝10，
∴BD＝5．
故选：A．
43．根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（　　）
A．如图1，线段AD与BC相交于点O，AO＝DO，BO＝CO，△ABO与△DCO
B．如图2，AC＝AD，BC＝BD，△ABC与△ABD
C．如图3，线段AC、BD相交于点E，已知AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，△ABE与△DCE
D．如图4，已知∠CAB＝∠DBA，∠1＝∠2，△ABC与△BAD
【答案】C
【解答】解：如图1，在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
故A不符合题意；
如图2，在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
故B不符合题意；
如图3，∵AB＝DC，BE＝CE，∠AEB＝∠DEC不符合全等三角形判定定理的条件，
∴不能判断△ABE与△DCE全等，
故C符合题意；
如图4，在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（ASA），
故D不符合题意，
故选：C．
六．角平分线的性质（共9小题）
44．如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝3，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝3．
故选：C．
45．如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于点E，EF⊥AB于F，若AB＝14，AC＝12，若△BDC的面积是30，则EF的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：过E作EH⊥AC于H，
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，
∴EH＝EF，
∵BD是中线，
∴AD＝CD＝AC＝×12＝6，
∴△ABD的面积＝△BDC的面积＝30，
∵△ABD的面积＝△ABE的面积+△ADE的面积，
∴AB EF+AD EH＝（AB+AD） EF＝30，
∵AB＝14，AD＝6，
∴EF＝3．
故选：B．
46．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的中垂线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【解答】解：如图：
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME＝MF，
∴M在∠A的角平分线上，
故选：A．
47．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】A
【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
48．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【答案】C
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
49．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
50．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】A
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵，
，
，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．
故选：A．
51．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数；
（2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长．
【答案】（1）30°；
（2）．
【解答】解：（1）由条件可知∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD＝2∠ABE＝30°．
（2）由条件可知△ABD的面积为32，
∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB，EM为△BED的高，
∴NE＝ME，
∵S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32，
∴，
∵AB＝16，BD＝8，NE＝ME，
∴，解得：．
52．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（1）在图①中完成上面的证明过程．
（2）在图②中，AD是△ABC的外角平分线，延长BC交AD于D，如果AB＝10，AC＝4，BC＝7，求BD的长．
【答案】（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于，
由条件可知DE＝DF，
∴△ABD的面积＝，△ACD的面积＝，
∴，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC；
（2）．
【解答】（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于，
由条件可知DE＝DF，
∴△ABD的面积＝，△ACD的面积＝，
∴，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC；
（2）解：如图，过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC于G，
由条件可知DF＝DG，
∴△ABD的面积＝，△ACD的面积＝，
∴，
过A作AH⊥BD于H，
∴，
∴，即．
解得．
七．作图—基本作图（共8小题）
53．如图是用尺规作∠AOB的平分线OC的示意图，这样作图的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：B．
54．小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，△ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线B′M；
（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；
（3）以点B′为圆心，BD长为半径画弧，交B′M于点P；
（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在B′M的上方交（3）中所画弧于点Q；
（5）过点Q作射线B′N；
（6）以点B′为圆心，BC长为半径画弧，交B′M于点C′；
（7）以点B′为圆心，BA长为半径画弧，交B′N于点A′；
（8）连接A′C′．
第二步：把作出的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上．
第三步：观察发现△A′B′C′和△ABC重合．
∴△ABC≌△A′B′C′．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（　　）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA
C．基本事实SAS D．定理AAS
【答案】C
【解答】解：根据作法可知，∠B′＝∠B，B′C′＝BC，B′A′＝BA．
在△ABC与△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故选：C．
55．用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．作图步骤如下：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．④③②① B．④③①② C．②③④① D．②④③①
【答案】D
【解答】解：正确的排序为：②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q．
①作射线CQ；
故选：D．
56．数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角．如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB＝∠AOB（图②）．我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CQ；
②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OAOB于点N，M；
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
下列排序正确的是（　　）
A．①②③④ B．④③①② C．③②④① D．②④③①
【答案】D
【解答】解：正确的排序是：②以O为圆心，以任意定长为半径作弧，分别交OA、OB于N、M；
④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P．
③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；
①作射线CD；
故选：D．
57．如图，用三角板作△ABC的边AC上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：AC边的高垂直于AC，且过点B，
由图形可得，选项A、B、C不是，选项D是，
故选：D．
58．如图，在△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝78°，根据尺规作图痕迹，可知∠α＝（　　）
A．66° B．77° C．78° D．101°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°，
∴∠BAC＝68°，
由作图得：AE平分∠BAC，EF垂直平分BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝34°，BF＝CF，
∴∠BCF＝∠B＝34°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝44°，
∴∠α＝∠CAE+∠ACF＝78°，
故选：C．
59．如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　）
A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AB，AC关于AD对称，
作点N关于AD的对称点N′，连接MN′，
∵BM+NM＝BM+MN′≥BH，
∴BM+MN的最小值为BH的长．
∵AB＝AC＝10，ADP平分∠BAC，
∴AD⊥CB，BD＝CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
∵S△ABC＝ BC AD＝ AC BH，
∴BH＝＝9.6．
故选：D．
60．小郑在用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB时，具体的操作步骤是：
（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以◆为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以★的长为半径作弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以▲的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．下列说法不正确的是（　　）
A．◆表示任意长 B．★与◆的长相等
C．▲与线段CD的长相等 D．▲与★的长相等
【答案】D
【解答】解：（1）（1）作射线O′A′；
（2）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′；
（4）以点C′为圆心，以CD的长为半径作弧，交前面的弧于点D′；
（5）过点D′作射线O′B′．则∠A′O′B′就是所要作的角．
故选项ABC正确，
故选：D．

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