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专题06 分式
▉考点一 分式的概念
分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式.在分式中，A叫作分子，B叫作分母.
▉考点二 分式有意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时，分式A/B才有意义.
▉考点三 分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0,即当A=0且B≠0时，=0.
▉考点四 分式的基本性质
1.分式的基本性质
基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
注意事项 (1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算； (2)乘(或除以)的对象必须是同一个不等于0的整式.
用途 进行分式的恒等变形.
2.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变.
▉考点五 分式的约分、最简分式
1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.→不改变分式的值
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.
3.约分的一般方法
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式.
▉考点六 分式的通分
1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
3.确定最简公分母的一般方法
类型 方法
分母为单项式 ①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数； ③取单独出现的字母及其指数.
分母为 多项式 ①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②对每个分母因式分解； ③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母.
▉考点七 分式的乘除
1.分式的乘法法则：
法则 式子表示
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
2.分式的除法法则：
法则 式子表示
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
▉考点八 分式的乘方
问题提出：我们已经知道那么类比分数的运算，是否成立
问题解决：根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
问题结论：
分式的乘方法则 式子表示
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
▉考点九 分式的乘除、乘方混合运算
1.分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等),则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的.一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算.
2.分式的乘除、乘方混合运算：分式与分数有相同的混合运算顺序，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的.
▉考点十 分式的加减
1.同分母分式的加减法法则：
法则 式子表示
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
2.异分母分式的加减法法则：
法则 式子表示
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
▉考点十一 分式的混合运算
分式的混合运算顺序：式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减.
▉考点十二 整数指数幂
1.负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a-n=1/an.这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数
2.整数指数幂的运算性质
名称 式子表示
同底数幂的乘法 am·an=am+n(m,n是整数，a≠0).
幂的乘方 (am)n=amn(m,n是整数，a≠0).
积的乘方 (ab)n=anbn(n是整数，ab≠0).
同底数幂的除法 am÷an=am-n(m,n是整数，a≠0).
商的乘方
▉考点十三 科学记数法
1.用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10,n是正整数.
2.用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤
①确定a a是大于或等于1且小于10的数.
②确定n 方法一：n等于原数中左起第一个非0数前0的个数(包括小数点前的那个0).
方法二：小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几.
③表示数 将原数用科学记数法表示为a×10-n(其中1≤a<10,n是正整数).
▉考点十四 分式方程的概念
1.分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2.分式方程必须满足的条件：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.三者缺一不可.
▉考点十五 分式方程的解法
1.解分式方程的基本思路
分式方程去分母转化→整式方程
2.解分式方程的一般步骤
▉考点十六 含分母的分式方程解法
1.含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程.
2.含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同.需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
▉考点十七 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤
审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量.
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性.
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程.
解：解所列出的分式方程.
验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的 解是否符合实际问题的要求.
答：写出答案.
一．科学记数法—表示较小的数（共3小题）
1．袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.0000084米，将0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A．8.4×10﹣6 B．8.4×10﹣5 C．0.84×10﹣4 D．8.4×10﹣7
【答案】A．
【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6．
故选：A．
2．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
【答案】D
【解答】解：0.00000000018＝1.8×10﹣10．
故选：D．
3．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A．8.4×106 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣5
【答案】B
【解答】解：0.0000084用科学记数法表示为8.4×10﹣6．
故选：B．
二．分式的定义（共3小题）
4．在中，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：是分式；
x+1是整式，不是分式；
是分式；
是整式，不是分式；
是分式；
是整式，不是分式，
综上，分式共有、、，共3个．
故选：B．
5．代数式，，x2﹣，，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：分式有：，，，，
整式有：x，，x2﹣，
分式有4个，
故选：C．
6．若是分式，则□不可以是（　　）
A．x+1 B．c﹣3 C．4π D．2y
【答案】C
【解答】解：若是分是分式，
则□不可以是4π，
故选：C．
三．分式有意义的条件（共3小题）
7．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣3
【答案】D
【解答】解：由题意得x+3≠0，
解得x≠﹣3．
故选：D．
8．若分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1
【答案】B
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
即x≠1，
故选：B．
9．若分式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a≥3
【答案】B
【解答】解：∵分式有意义，
∴a﹣3≠0，解得a≠3，
故选：B．
四．分式的值为零的条件（共3小题）
10．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．x＝±4 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x＝﹣4或0
【答案】B
【解答】解：根据题意知，，
解得：．
所以x＝﹣4，
故选：B．
11．若分式的值为0，则x等于（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
【答案】C
【解答】解：若分式的值为0，
则x+2＝0且x﹣2≠0，
即x＝﹣2，
故选：C．
12．当x＝3时，下列分式中，值为0的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、当x＝3时，x2﹣9＝0，此时分式无意义，故此选项不合题意；
B、当x＝3时，2x﹣6＝0，x+2≠0，此时分式的值为零，符合题意；
C、，当x＝3时，x﹣3＝0，此时分式无意义，故此选项不合题意；
D、当x＝3时，x+3＝6，x+1＝4，此时分式的值不为零，故此选项不合题意；
故选：B．
五．分式的值（共3小题）
13．已知关于x，y，z的单项式xm，yn，zk，其中x，y，z均不为0，m，n，k均为正整数，规定P＝xm+yn+zk，，下列说法，正确的个数为（　　）
①当x＝y＝z＝﹣1时，代数式的值共有3种不同的结果；
②当多项式P的次数为2时，满足条件的多项式P一共有7个；
③当m+n+k＝5时，所有满足条件的Q的和恒为正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：①当x＝y＝z＝﹣1时，P＝（﹣1）m+（﹣1）n+（﹣1）k，
，
分子可能为3，1，﹣1，﹣3，分母为3或﹣3，
分式化简后可能值为1，，共3种不同结果，故①正确，符合题意；
多项式P次数为2，即m，n，k的最大值为2，且m，n，k≥1，
每个字母的指数可为1或2，且至少一个为2，
一共有23﹣1＝7种可能（排除全为1的情况），故②正确，符合题意；
当m+n+k＝5时，则（m﹣1）+（n﹣1）+（k﹣1）＝2，
因为，
所以满足条件的Q的次数为2，分别为、、、、、，
和为，
表达式可变形为，恒为非负，
又由x，y，z≠0，则所有满足条件的Q的和恒为正数，故③正确，符合题意；
故选：D．
14．已知x＝2y，则分式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：当x＝2y时，
＝
＝
＝．
故选：D．
15．下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当x＝2时，的值为零
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
【答案】D
【解答】解：A、当x＝2时，分母x﹣2＝0，分式无意义，故A错误；
B、当x≠0时，有意义，故B错误；
C、当x+1＝3或1或﹣3时，的值是整数，故C错误；
D、无论x为何值，的值总为正数，故D正确．
故选：D．
六．分式的基本性质（共3小题）
16．下列式子变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B．＝a3，故本选项不符合题意；
C．＝，故本选项符合题意；
D．＝，故本选项不符合题意；
故选：C．
17．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、原选项变形错误，不符合题意；
B、原选项变形错误，不符合题意；
C、原选项变形错误，不符合题意；
D、，原选项变形正确，符合题意；
故选：D．
18．若分式中字母a和b都增大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，，
即分式的值缩小到原来的．
故选：B．
七．约分（共3小题）
19．下列分式的约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
B、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
C、分式中没有公因式，不能约分，原变形错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
20．约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：＝＝．
故选：B．
21．分式化简得，则x应满足的条件是（　　）
A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1
【答案】C
【解答】解：当x2+x≠0，即x≠0和﹣1时，＝，
故选：C．
八．通分（共1小题）
22．通分：，，．
【答案】，，．
【解答】解：最简公分母是2（a+2）（a﹣2），
则，
，
．
九．最简分式（共3小题）
23．下列代数式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是分式，故选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故选项不符合题意；
C、，不是最简分式，故选项不符合题意；
D、是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
24．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据最简分式的定义逐项分析判断如下：
A、原分式不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，故该选项符合题意；
C、原分式不是最简分式，不符合题意；
D、原分式不是最简分式，不符合题意．
故选：B．
25．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、，故不是最简分式，不符合题意；
B、，故不是最简分式，不符合题意；
C、，是最简分式，符合题意；
D、，故不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
十．最简公分母（共3小题）
26．分式与的最简公分母是（　　）
A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3
【答案】C
【解答】解：分式与的最简公分母是6x2．
故选：C．
27．下列选项正确的是（　　）
A．分式和的最简公分母是10x7
B．＝
C．＝
D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变
【答案】C
【解答】解：A、分式和的最简公分母是10x5，所以A选项错误；
B、当c≠0时，＝，所以B选项错误；
C、＝，所以C选项正确；
D、分式中的a，b同时扩大2倍分式的值扩大2倍，所以D选项错误．
故选：C．
28．与的最简公分母是（　　）
A．a（a+b） B．a（a﹣b）
C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b）
【答案】C
【解答】解：＝，＝，
两式的最简公分母为a（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
十一．分式的乘除法（共3小题）
29．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：
＝
＝，
故选：C．
30．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
【答案】C
【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
31．下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：，则A不符合题意，
是最简分式，则B不符合题意，
＝＝，则C不符合题意，
，则D符合题意，
故选：D．
十二．分式的加减法（共2小题）
32．化简的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
【答案】B
【解答】解：
＝
＝
＝a+b，
故选：B．
33．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是　　 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）如果分式 　　的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
（3）把分式 　　化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
【答案】（1）假分式；（2）x＝0或x＝﹣2；（3）．
【解答】解：（1）根据“假分式”的定义可知，
分式是假分式．
故答案为：假分式；
（2），
∵分式的值为整数，
∴x+1＝±1．
解得：x＝0或x＝﹣2；
（3）．
十三．分式的混合运算（共2小题）
34．＝（　　）
A． B． C．3x3 D．4x3
【答案】D
【解答】解：原式＝
＝
＝4x3．
故选：D．
35．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
（1）①“丰收1号”单位面积产量为 　　 kg/m2，“丰收2号”单位面积产量为 　　 kg/m2（以上结果均用含a的式子表示）；
②通过计算可知，　　 （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
（2）若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多 　　kg/m2，求a的值；
（3）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a＜8且a为整数时，符合条件的n值为 　 （直接写出结果）．
【答案】（1）①，；②2；
（2）49；
（3）90，135，180．
【解答】解：（1）①“丰收1号”小麦的试验田的面积为（a2﹣1）m2，
∴“丰收1号”单位面积产量为；
“丰收2号”单位面积为（a﹣1）2m2，
∴“丰收2号”单位面积产量为．
故答案为：，；
②∵a＞1，
∴a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）＞0，（a﹣1）2＞0，
∴a+1＞a﹣1，
∴a2﹣1＞（a﹣1）2，
∴，
即“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
故答案为：2号．
（2）根据题意得：
，
解得：a＝49，
经检验：a＝49是原方程的解且符合题意．
∴a的值是49．
（3）根据题意得：
，
整理可得：45a+45＝2n，
∴，
当a＜8且a为整数（a＞1），
解得：，
当a＝3时，，
当a＝5时，，
当a＝7时，，
∴符合条件的n的值为90，135，180．
故答案为：90，135，180．
十四．分式的化简求值（共3小题）
36．若，则的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴，
∴＝，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
37．已知x2﹣3x+2＝0，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵x≠0，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
38．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
十五．零指数幂（共3小题）
39．关于代数式（a+1）0，下列说法正确的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．当a≠0时，（a+1）0的值是1
D．当a≠﹣1时，（a+1）0的值是1
【答案】D
【解答】解：（a+1）0有意义的条件是：a+1≠0，
解得：a≠﹣1，
即当a≠﹣1时（a+1）0＝1，
故选：D．
40．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
【答案】C
【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0，
解得：x≠．
故选：C．
41．如果a≠0，那么下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a）0＝0 B．（﹣a）0＝﹣1 C．﹣a0＝1 D．﹣a0＝﹣1
【答案】D
【解答】解：∵（﹣a）0＝1，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a）0＝1，
∴选项B不符合题意；
∵﹣a0＝﹣1，
∴选项C不符合题意；
∵﹣a0＝﹣1，
∴选项D符合题意．
故选：D．
十六．负整数指数幂（共3小题）
42．若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
【答案】B
【解答】解：a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2＝，＝4，＝1，
∵﹣4＜＜1＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
43．计算2024﹣1的正确结果是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【答案】C
【解答】解：2024﹣1＝．
故选：C．
44．3﹣2的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣9 D．9
【答案】B
【解答】解：3﹣2＝＝，
故选：B．
十七．分式方程的定义（共3小题）
45．下列方程不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
B、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
C、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
D、方程分母中不含有表示未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项正确；
故选：D．
46．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x﹣1，④＝中，是分式方程的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：①＝5，③＝x﹣1，④＝属于整式方程；
②＝的分母里是含有字母x的方程，属于关于x的分式方程．
故选：A．
47．观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　 ．
【答案】x+＝n+（n+1）
【解答】解：∵第1个方程为x+＝1+2，
第2个方程为x+＝2+3，
第3个方程为x+＝3+4，
…
∴第n个方程为x+＝n+（n+1）．
故答案为：x+＝n+（n+1）．
十八．分式方程的解（共3小题）
48．已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴＝，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
49．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
【答案】C
【解答】解：原分式方程可化为：﹣2＝，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x＝，
∵分式方程解是非负数，
∴≥0，且≠1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
50．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A． B．﹣1 C．或0 D．0或﹣1
【答案】C
【解答】解：方程去分母得，3a+1＝ax+a，
∴ax＝2a+1．
如果原分式方程无解，那么分两种情况：
①当a＝0时，方程ax＝2a+1无解，所以分式方程无解；
②a≠0，解方程ax＝2a+1，得，
当分母x+1＝0即x＝﹣1时原分式方程无解．
由，得．
经检验，符合题意，
故当a＝0或时，分式方程无解．
故选：C．
十九．解分式方程（共4小题）
51．小明在解关于x的分式方程＝﹣2时，墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案得知此方程无解，则被污染的数字为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：设污染的数字为a，
原方程即为，
去分母得：x＝a﹣2（x+1），
整理得：3x＝a﹣2，
∵原方程无解，
∴它有增根x＝﹣1，
则﹣3＝a﹣2，
解得：a＝﹣1，
即被污染的数字是﹣1，
故选：D．
52．将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（　　）
A．x+2＝1 B．x+2＝1﹣x C．x+2＝x﹣1 D．x﹣2＝x﹣1
【答案】B
【解答】解：分式方程两边同时乘以（1﹣x）得：x+2＝1﹣x．
故选：B．
53．解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
【答案】D
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．
故选：D．
54．将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
【答案】D
【解答】解：去分母得：x+2＝3（x﹣2），
故选：D．
二十．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
55．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（　　）
A．快马的速度 B．慢马的速度
C．规定的时间 D．快马需要的时间
【答案】C
【解答】解：设规定的时间为x，则慢马的速度为，快马速度，
根据快马的速度是慢马的2倍．可列出方程，
故x表示规定的时间．
故选：C．
56．下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红：
下列判断正确的是（　　）
A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度
B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间
C．高铁列车的平均速度是100km/h
D．特快列车从甲地到乙地的时间是14h
【答案】D
【解答】解：设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，由题意得：
．
解得：x＝100，
经检验x＝100是原分式方程的解，
设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh，由题意得：
，
解得：y＝5，
经检验y＝5是原分式方程的解，
则特快列车从甲地到乙地的时间是5+9＝14（h），
故选项A、B、C错误，
故选：D．
57．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
依题意得：＝﹣6．
故选：C．
二十一．分式方程的应用（共3小题）
58．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【解答】解：根据调和数的定义可列分式方程得：
，
整理得，2x＝40，
解得x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的解．
所以x的值为20，
故选：D．
59．“5 12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　）
A．+4＝ B．＝﹣4
C．＝﹣4 D．﹣4＝
【答案】B
【解答】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．
故所列方程为：＝﹣4．
故选：B．
60．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦12000kg，第二块使用新品种，收获小麦14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意列出分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，则
，
故选：A．专题06 分式
▉考点一 分式的概念
分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式.在分式中，A叫作分子，B叫作分母.
▉考点二 分式有意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，因为除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B≠0时，分式A/B才有意义.
▉考点三 分式的值为0的条件
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0,即当A=0且B≠0时，=0.
▉考点四 分式的基本性质
1.分式的基本性质
基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.
注意事项 (1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算； (2)乘(或除以)的对象必须是同一个不等于0的整式.
用途 进行分式的恒等变形.
2.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变.
▉考点五 分式的约分、最简分式
1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.→不改变分式的值
2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式.
3.约分的一般方法
(1)若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式.
▉考点六 分式的通分
1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
3.确定最简公分母的一般方法
类型 方法
分母为单项式 ①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数； ③取单独出现的字母及其指数.
分母为 多项式 ①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②对每个分母因式分解； ③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母.
▉考点七 分式的乘除
1.分式的乘法法则：
法则 式子表示
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
2.分式的除法法则：
法则 式子表示
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
▉考点八 分式的乘方
问题提出：我们已经知道那么类比分数的运算，是否成立
问题解决：根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
问题结论：
分式的乘方法则 式子表示
分式乘方要把分子、分母分别乘方.
▉考点九 分式的乘除、乘方混合运算
1.分式的乘除混合运算：在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等),则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的.一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算.
2.分式的乘除、乘方混合运算：分式与分数有相同的混合运算顺序，即先乘方，再乘除，有括号的先算括号里面的.
▉考点十 分式的加减
1.同分母分式的加减法法则：
法则 式子表示
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
2.异分母分式的加减法法则：
法则 式子表示
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
▉考点十一 分式的混合运算
分式的混合运算顺序：式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘除，然后加减.
▉考点十二 整数指数幂
1.负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，a-n=1/an.这就是说，a-n(a≠0)是an的倒数
2.整数指数幂的运算性质
名称 式子表示
同底数幂的乘法 am·an=am+n(m,n是整数，a≠0).
幂的乘方 (am)n=amn(m,n是整数，a≠0).
积的乘方 (ab)n=anbn(n是整数，ab≠0).
同底数幂的除法 am÷an=am-n(m,n是整数，a≠0).
商的乘方
▉考点十三 科学记数法
1.用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a<10,n是正整数.
2.用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤
①确定a a是大于或等于1且小于10的数.
②确定n 方法一：n等于原数中左起第一个非0数前0的个数(包括小数点前的那个0).
方法二：小数点向右移到第一个非0的数后，小数点移动了几位，n就等于几.
③表示数 将原数用科学记数法表示为a×10-n(其中1≤a<10,n是正整数).
▉考点十四 分式方程的概念
1.分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2.分式方程必须满足的条件：(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.三者缺一不可.
▉考点十五 分式方程的解法
1.解分式方程的基本思路
分式方程去分母转化→整式方程
2.解分式方程的一般步骤
▉考点十六 含分母的分式方程解法
1.含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程.
2.含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同.需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
▉考点十七 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤
审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已知量、未知量.
设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性.
列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程.
解：解所列出的分式方程.
验：既要检验所得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所得的 解是否符合实际问题的要求.
答：写出答案.
一．科学记数法—表示较小的数（共3小题）
1．袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.0000084米，将0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A．8.4×10﹣6 B．8.4×10﹣5 C．0.84×10﹣4 D．8.4×10﹣7
2．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018米，其中0.00000000018用科学记数法表示为（　　）
A．1.8×10﹣9 B．0.18×10﹣10
C．18×10 D．1.8×10﹣10
3．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（　　）
A．8.4×106 B．8.4×10﹣6 C．84×10﹣7 D．8.4×10﹣5
二．分式的定义（共3小题）
4．在中，分式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．代数式，，x2﹣，，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．若是分式，则□不可以是（　　）
A．x+1 B．c﹣3 C．4π D．2y
三．分式有意义的条件（共3小题）
7．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣3
8．若分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1
9．若分式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a≥3
四．分式的值为零的条件（共3小题）
10．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．x＝±4 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x＝﹣4或0
11．若分式的值为0，则x等于（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
12．当x＝3时，下列分式中，值为0的是（　　）
A． B． C． D．
五．分式的值（共3小题）
13．已知关于x，y，z的单项式xm，yn，zk，其中x，y，z均不为0，m，n，k均为正整数，规定P＝xm+yn+zk，，下列说法，正确的个数为（　　）
①当x＝y＝z＝﹣1时，代数式的值共有3种不同的结果；
②当多项式P的次数为2时，满足条件的多项式P一共有7个；
③当m+n+k＝5时，所有满足条件的Q的和恒为正数．
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知x＝2y，则分式的值为（　　）
A． B． C． D．
15．下列关于分式的判断，正确的是（　　）
A．当x＝2时，的值为零
B．当x≠3时，有意义
C．无论x为何值，不可能得整数值
D．无论x为何值，的值总为正数
六．分式的基本性质（共3小题）
16．下列式子变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
17．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
18．若分式中字母a和b都增大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
七．约分（共3小题）
19．下列分式的约分正确的是（　　）
A． B．
C． D．
20．约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
21．分式化简得，则x应满足的条件是（　　）
A．x＞0 B．x＜0 C．x≠0且x≠﹣1 D．x≠﹣1
八．通分（共1小题）
22．通分：，，．
九．最简分式（共3小题）
23．下列代数式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
24．下列分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
25．下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
十．最简公分母（共3小题）
26．分式与的最简公分母是（　　）
A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3
27．下列选项正确的是（　　）
A．分式和的最简公分母是10x7
B．＝
C．＝
D．分式中的a，b同时扩大2倍值不变
28．与的最简公分母是（　　）
A．a（a+b） B．a（a﹣b）
C．a（a+b）（a﹣b） D．a2（a+b）（a﹣b）
十一．分式的乘除法（共3小题）
29．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　）
A． B． C． D．
30．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　）
A．三个人都正确 B．甲有错误
C．乙有错误 D．丙有错误
31．下列各式从左到右变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
十二．分式的加减法（共2小题）
32．化简的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
33．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是　 　 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
（3）把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
十三．分式的混合运算（共2小题）
34．＝（　　）
A． B． C．3x3 D．4x3
35．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
（1）①“丰收1号”单位面积产量为 　 　 kg/m2，“丰收2号”单位面积产量为 　 　 kg/m2（以上结果均用含a的式子表示）；
②通过计算可知，　 　 （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；
（2）若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多kg/m2，求a的值；
（3）某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当a＜8且a为整数时，符合条件的n值为 　 　 （直接写出结果）．
十四．分式的化简求值（共3小题）
36．若，则的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
37．已知x2﹣3x+2＝0，则＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
十五．零指数幂（共3小题）
39．关于代数式（a+1）0，下列说法正确的是（　　）
A．（a+1）0的值一定是0
B．（a+1）0的值一定是1
C．当a≠0时，（a+1）0的值是1
D．当a≠﹣1时，（a+1）0的值是1
40．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
41．如果a≠0，那么下列计算正确的是（　　）
A．（﹣a）0＝0 B．（﹣a）0＝﹣1 C．﹣a0＝1 D．﹣a0＝﹣1
十六．负整数指数幂（共3小题）
42．若a＝﹣22，b＝2﹣2，，，则（　　）
A．b＜a＜d＜c B．a＜b＜d＜c C．a＜c＜b＜d D．a＜b＜c＜d
43．计算2024﹣1的正确结果是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
44．3﹣2的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣9 D．9
十七．分式方程的定义（共3小题）
45．下列方程不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
46．下列关于x的方程①＝5，②＝，③＝x﹣1，④＝中，是分式方程的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
47．观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是 　 　 ．
十八．分式方程的解（共3小题）
48．已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
49．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3
50．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　）
A． B．﹣1 C．或0 D．0或﹣1
十九．解分式方程（共4小题）
51．小明在解关于x的分式方程＝﹣2时，墨水不小心把其中一个数字污染了，翻看答案得知此方程无解，则被污染的数字为（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
52．将关于x的分式方程去分母后所得整式方程正确的是（　　）
A．x+2＝1 B．x+2＝1﹣x C．x+2＝x﹣1 D．x﹣2＝x﹣1
53．解分式方程时，去分母正确的是（　　）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
54．将分式方程﹣＝3化为整式方程，正确的是（　　）
A．x﹣2＝3 B．x+2＝3
C．x﹣2＝3（x﹣2） D．x+2＝3（x﹣2）
二十．由实际问题抽象出分式方程（共3小题）
55．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（　　）
A．快马的速度 B．慢马的速度
C．规定的时间 D．快马需要的时间
56．下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．
甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红：
下列判断正确的是（　　）
A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度
B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间
C．高铁列车的平均速度是100km/h
D．特快列车从甲地到乙地的时间是14h
57．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（　　）
A． B．
C． D．
二十一．分式方程的应用（共3小题）
58．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
59．“5 12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，所列方程正确的是（　　）
A．+4＝ B．＝﹣4
C．＝﹣4 D．﹣4＝
60．有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，收获小麦12000kg，第二块使用新品种，收获小麦14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，根据题意列出分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．

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