资源简介

6.1 直线、射线、线段（4个知识点+6种题型）
一．知识梳理
要点一、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．
（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
要点二、线段
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
要点诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
要点诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
要点三、射线
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
要点诠释：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
要点四、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
名称 直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA）
作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB
延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长
二、典型例题
【题型1 点与直线的位置关系】
例1.下列说法错误的是（　　）
A． 直线l经过点A B． 点C在线段上
C． 射线与线段有公共点 D． 直线a，b相交于点A
【变式1】O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上
【题型2 直线、射线、线段的联系与区别】
例2.如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【变式2】下列说法正确的有（ ）
①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③
【题型3 直线、线段、射线的数量关系】
例3.如图，有x条直线，y条射线，z条线段，则 ．
【变式3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【题型4 画出直线、射线、线段】
例4.如图，在平面内有A、B、C三点．
(1)画直线，线段，射线
(2)在线段上任取一点D（不同于B、C），连接；
(3)数数看，此时图中线段共有 条．
【变式4】按照下面语句画图，并回答问题：

(1)画线段，画直线，画射线；
(2)作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接；
(3)通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
【题型5 线段的应用】
例5.计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠3个站点，需要制定m种票价，设计n种车票，则m、n的值分别为（ ）
A．5、10 B．6、12 C．8、16 D．10、20
【变式5】往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备____种不同的车票.
【题型6 线段中点的相关计算】
例6.如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若在直线上，且，求的长度．
【变式6】如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝26cm，BC＝6cm．
（1）图中共有 　 　条线段；
（2）求AC的长．
（3）若点E在直线AD上，且EA＝8cm，求BE的长．6.1 直线、射线、线段（4个知识点+6种题型）
一．知识梳理
要点一、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．
（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
4.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
要点二、线段
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．
4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
要点诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．
要点诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
要点三、射线
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．
要点诠释：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
要点四、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
名称 直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线 直线AB（BA） 射线 射线AB 线段 线段AB（BA）
作法叙述 作直线 作直线AB 作射线 作射线AB 作线段 作线段AB 连接AB
延长 向两端无限延长 向一端无限延长 不可延长
二、典型例题
【题型1 点与直线的位置关系】
例1.下列说法错误的是（　　）
A． 直线l经过点A B． 点C在线段上
C． 射线与线段有公共点 D． 直线a，b相交于点A
【答案】B
【分析】根据点和直线的位置关系，相交线的有关内容判断即可．
【详解】解：A、由图可得，点A在直线l上，故直线l经过点A，故本选项不符合题意；
B、由图可得，点C在线段的上方，故点A不在线段上，故本选项符合题意；
C、由图可得，射线与线段有交点，故射线与线段有公共点，故本选项不符合题意；
D、由图可得，点A为直线a、b的公共点，故直线a、b相交于点A，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的应用，主要考查学生的理解能力和应用能力，应用了数形结合思想．
【变式1】O、P、Q是平面上的三点，PQ=20 cm，OP+OQ=30cm，那么下列结论一定正确的是（ ）
A．O点在直线PQ外 B．O点在直线PQ上
C．O点不能在直线PQ上 D．O点可能在直线PQ上
【答案】D
【分析】根据O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，可得O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外，即可求解．
【详解】解：∵O、P、Q是平面上的三点，PQ=20cm，OP+OQ=30cm>20cm，
∴O点不能在线段PQ上，但点O可能在直线PQ上，也可能在直线PQ外．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，解答本题的关键是熟练掌握线段长度之间的关系，为了更好的判断可根据题意动手操作一下更明了．
【题型2 直线、射线、线段的联系与区别】
例2.如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
【变式2】下列说法正确的有（ ）
①直线和直线是同一条直线；②射线和射线是同一条射线；③线段和线段是同一条线段；④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线.
A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义和表示方法，熟记概念是解题的关键．
【详解】解：①直线和直线是同一条直线，正确；
②射线和射线是同一条射线，不正确，二者端点不同；
③线段和线段是同一条线段，正确；
④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，正确，
综上所述，正确的是①③④．
故选：A．
【题型3 直线、线段、射线的数量关系】
例3.如图，有x条直线，y条射线，z条线段，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了直线，射线，线段，熟记定义是解题的关键．
根据直线，射线，线段的定义得到x、y、z的值，再代入解答即可．
【详解】如图：

∵直线有1条()，
∴，
∵射线有6条()，
∴，
线段有3条()，
∴，
∴．
故答案为：10．
【变式3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有（　　）
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【答案】B
【分析】本题考查图形类规律探究、直线的交点个数问题，根据题意，观察图形，得出直线交点个数最多的变化规律即可求解．
【详解】解：①两直线相交，最多1个交点；
②三条直线相交最多有个交点；
③四条直线相交最多有个交点；
……
由此可得10条直线相交交点个数最多为（个），
故选：B．
【题型4 画出直线、射线、线段】
例4.如图，在平面内有A、B、C三点．
(1)画直线，线段，射线
(2)在线段上任取一点D（不同于B、C），连接；
(3)数数看，此时图中线段共有 条．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题考查了线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．
（1）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；
（2）根据线段的概念，利用直尺即可作出图形；
（3）根据线段的定义即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：图中有线段6条，即线段，，，，，，
故答案为：6．
【变式4】按照下面语句画图，并回答问题：

(1)画线段，画直线，画射线；
(2)作线段的中点M，在线段上任意取一点N（点N不与端点A，C重合），连接；
(3)通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是______．
【分析】（1）根据线段、直线、射线的定义进行作图即可；
（2）根据题目要求作图即可；
（3）根据两点之间线段最短，得出三角形的周长大于四边形的周长．
【详解】（1）解：如图，线段，直线，射线即为所求；

（2）解：点M、N，线段即为所求；

（3）解：通过测量发现“三角形的周长大于四边形的周长”，这其中蕴含了一个基本事实，这个基本事实是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了线段、射线、直线的定义和画法，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的区别和联系．
【题型5 线段的应用】
例5.计划从甲市到乙市修建一条高速铁路，在两市之间要停靠3个站点，需要制定m种票价，设计n种车票，则m、n的值分别为（ ）
A．5、10 B．6、12 C．8、16 D．10、20
【答案】D
【分析】本题考查了已知线段上的确定的点的数量，确定线段的数量，线段的数量就是票价的种数；线段数量的2倍就是车票种类，从而可得答案．
【详解】根据题意，两城市构成的线段上，一共有５个端点，可以构成条不同的线段，故制定10种票价，20种车票，
故选D．
【变式5】往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备____种不同的车票.
【答案】20
【解析】 如图， A , E 两点代表甲、乙两地，点 B , C , D 分别代表中途停靠的三站，
所以不同长度的线段条数就代表车票的种类数，即线段 AB ， AC ， AD ， AE ,
BC ， BD ， BE , CD ， CE , DE ,共10条，考虑到往返车票要区别开，所以需要准备
10×2=20 （种）不同的车票.
【题型6 线段中点的相关计算】
例6.如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若在直线上，且，求的长度．
【答案】(1)
(2)；
(3)或．
【分析】（）直接根据是的中点可得答案；
（）先求出的长，然后根据是的中点求出，即为的长；
（）分在点的右侧、在点的左侧两种情况进行计算即可；
本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键．
【详解】（1）由线段中点的性质，；
（2）由线段的和差，得，
由线段中点的性质，得，
由线段的和差，得；
（3）当在点的右侧时，，
当在点的左侧时，，
∴的长度为或．
【变式6】如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝26cm，BC＝6cm．
（1）图中共有 　6　条线段？
（2）求AC的长．
（3）若点E在直线AD上，且EA＝8cm，求BE的长．
【分析】（1）根据公式n（n﹣1）进行计算即可；
（2）先求CD，再求AC即可；
（3）分两种情况讨论：①点E在线段AD上，根据BE＝AD﹣AE﹣BD；②点E在线段DA延长线上，根据BE＝AE+AB进行计算即可．
【解答】解：（1）n（n﹣1）＝×4×3＝6，
故答案为：6；
（2）∵点B为CD的中点，
∴BC＝CD，
∵AD＝26cm，BC＝6cm，
∴BC＝BD＝6cm，
∴AC＝AD﹣BC﹣CD＝26﹣6﹣6＝14（cm）；
（3）分两种情况讨论：
①点E在线段AD上，
BE＝AD﹣AE﹣BD＝26﹣8﹣6＝12（cm）；
②点E在线段DA延长线上，
BE＝AE+AD﹣BD＝8+26﹣6＝28（cm）．
综上：BE＝12cm或28cm．
【点评】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键．

展开更多......

收起↑