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专题二十一 圆（切线、圆与多边形、扇形面积、弧长）
【题型一】切线的性质
【例1】（2025 福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB＝∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
故选：C．
【变式1】（2025 自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．50°或130°
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，
故选：D．
【变式2】（2025 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【分析】设圆心为O，连接OE，设⊙O的半径为r，得AO＝5+r，AB＝5+2r，然后利用勾股定理求出r，根据sin∠A，代入值即可求出BC．
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
设⊙O的半径为r，
∴OE＝OD＝r，
∴AO＝AD+OD＝5+r，AB＝AD+BD＝5+2r，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2＝AE2+OE2，
∴（5+r）2＝102+r2，
∴r＝7.5，
∴AO＝5+r＝12.5，AB＝5+2r＝20，
∵sin∠A，
∴，
∴BC＝12．
故选：B．
【变式3】（2025 海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOD，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接OD，
∵BC与半圆O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为：，
故选：C．
【题型二】切线的判定
【例1】（2025 东营）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，，DF⊥BC于点F，延长FD交BA的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理、等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠FBD，得到OD∥DF，证明DF⊥OD，根据切线的判定证明；
（2）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠FBD，
∴OD∥DF，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴∠DOE＝180°60°，
∴DE＝OD tan∠DOE，
∴S阴影部分＝S△EOD﹣S扇形AOD1．
【变式1】（2025 南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD．
（1）求证：ME是⊙O的切线．
（2）若CF＝3，sinB，求OM的长．
【分析】（1）连接OE，DF，证明△OME和△OMD全等得∠OEM＝∠ODM＝90°，再根据切线的判定即可得出结论；
（2）证明∠B＝∠DCF得sin∠DCF，在Rt△DCF中，根据sin∠DCF，设DF＝4x，CD＝5x，则CF＝3x＝3，进而得x＝1，则CD＝5，OD＝2.5，证明OM∥BC得∠OMD＝∠B，解Rt△ODM即可得出OM的长．
【解答】（1）证明：连接OE，DF，如图所示：
∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上，
∴OD＝OE＝OC，
在△OME和△OMD中，
，
∴△OME≌△OMD（SSS），
∴∠OEM＝∠ODM，
∵CD⊥AB，
∴∠ODM＝90°，
∴∠OEM＝90°，
即OE⊥ME，
又∵OE是⊙O的半径，
∴ME是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°，
∴∠B＝∠DCF，
∵sinB，
∴sin∠DCF，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DCF＝90°，
在Rt△DCF中，sin∠DCF，
设DF＝4x，CD＝5x，
由勾股定理得：CF3x，
∵CF＝3，
∴3x＝3，
解得：x＝1，
∴CD＝5x＝5，
∴ODCD＝2.5，
由（1）可知：△OME≌△OMD，
∴∠EOM＝∠DOM，
∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠DOE是△OCE的外角，
∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，
∴2∠DOM＝2∠OCE，
∴∠DOM＝∠OCE，
∴OM∥BC，
∴∠OMD＝∠B，
∴sin∠OMD＝sin∠B，
在Rt△ODM中，sin∠OMD，
∴，
∴OM．
【变式2】（2025 湖北模拟）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）过D作EF∥AB，求证：EF是⊙O的切线；
（2）求CD的长．
【分析】（1）连接DO，并延长交⊙O于点G，先说明DG⊥AB，可得∠ODH+∠OHD＝90°，再结合平行线的性质得∠ODE＝90°，则答案可证；
（2）连接AD，根据勾股定理求出，AC＝8，再说明△BCH∽△DCA，可设CH＝8k，则，进而得，接下来证明△BCH∽△DAH，可求出，即可求出BH，CH，进而求出DH，最后根据CD＝CH+DH得出答案．
【解答】（1）证明：连接DO，并延长交⊙O于点G，记AB与CD的交点为H，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴DG⊥AB，
即∠DOH＝90°，
∴∠ODH+∠OHD＝90°．
∵AB∥EF，
∴∠OHD＝∠HDE，
∴∠HDE+∠ODH＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，记AB与CD的交点为H，
在Rt△AOD中，AO＝DO＝5，在Rt△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴，．
∵∠B＝∠ADC，∠ACD＝∠BCH，
∴△BCH∽△DCA，
∴，
即，
设CH＝8k，则，
∴．
∵∠B＝∠ADH，∠BHC＝∠DHA，
∴△BCH∽△DAH，
∴，
即，
解得k，
∴BH＝5，CH＝8k，
即，
解得DH，
∴CD＝CH＝DH7．
【题型三】切线的判定与性质
【例1】（2025 济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切；
（2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD，进而求出BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，OC＝OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC＝PB，OB＝OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°，
∴．
【变式1】（2025 淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积．
【分析】（1）因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，而∠CBD＝∠CAB，则∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°，即可证明BC是⊙O的切线．
（2）连接OD，由∠CAB＝30°，AB＝4，得∠DOB＝2∠CAB＝60°，OD＝OBAB＝2，由扇形的面积公式求得S扇形OBD．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABD+∠CAB＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，
∵∠CAB＝30°，AB＝4，
∴∠DOB＝2∠CAB＝60°，OD＝OBAB＝2，
∴S扇形OBD，
∴扇形OBD的面积为．
【变式2】（2025 苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB，sin∠AED，求BE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由BD＝CD，得∠C＝∠DBC，而∠C＝∠BAD，则∠DBC＝∠BAD，所以∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，即可证明BC为⊙O的切线；
（2）作DF⊥BC于点F，则BF＝CF，DF∥AB，由∠ABD＝∠AED，AB，得sin∠ABD＝sin∠AED，求得AD＝1，则BD3，由∠BDF＝∠ABD，得sin∠BDF＝sin∠ABD，则BFBD，再证明∠BEC＝∠C，则BE＝BC＝2BF．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BAD，
∴∠DBC＝∠BAD，
∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，
∴DF∥AB，
∵∠ABD＝∠AED，AB，
∴sin∠ABD＝sin∠AED，
∴ADAB1，
∴BD3，
∵∠BDF＝∠ABD，
∴sin∠BDF＝sin∠ABD，
∴BFBD3，
∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝2BF＝2，
∴BE的长是．
【变式3】（2025 青海）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）已知BC＝2，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）连接OD，因为∠A＝∠B＝30°，所以∠BOD＝2∠A＝60°，则∠ODB＝90°，即可证明直线BD是⊙O的切线；
（2）由∠ODB＝90°，∠B＝30°，得OB＝2OD＝2OC，推导出OC＝BC＝2，而∠COD＝60°，即可根据弧长公式求得．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠BOD＝2∠A＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣∠B﹣∠BOD＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且BD⊥OD，
∴直线BD是⊙O的切线．
（2）解：∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，
∴OB＝2OD＝2OC，
∵BC＝OB﹣OC＝2OC﹣OC＝OC，且BC＝2，
∴OC＝2，
∵∠COD＝60°，
∴，
∴的长是．
【题型四】切线长定理
【例1】（2025 东莞市校级二模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【变式1】（2025 晋安区校级模拟）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　）
A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm
【分析】根据切线长定理得到AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝4cm，结合三角形的周长公式可求得△PFG的周长．
【解答】解：PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，
由题意可得；AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝5（cm），
∴△PFG的周长＝PF+FG+GP
＝PF+FE+EG+GP
＝PF+FA+GB+GP
＝PA+PB
＝10（cm）．
故选：D．
【变式2】（2025 西宁）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　48　 ．
【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48．
【题型五】三角形的内切圆与内心
【例1】（2025 滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若AB＝17，EF＝13，则△GCH的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设△GCH的内切圆圆心为点I，⊙I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，由正方形的性质得AD＝CD＝CB＝AB＝17，∠A＝∠BCD＝90°，设AF＝BG＝CH＝DE＝m，则CG＝AE＝17﹣m，所以GH2＝CG2+CH2＝AE2+AF2＝EF2＝132＝169，则（17﹣m）2+m2＝169，GH＝EF＝13，求得m＝5或m＝12，可证明m＝5及m＝12时，△GCH的形状和大小相同，连接IP、IQ、IR、IC、IG、IH，设IP＝IQ＝IR＝r，令CH＝5，CG＝12，由S△GCH12r5r13r5×12，求得r＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：设△GCH的内切圆圆心为点I，⊙I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝17，EF＝13，
∴AD＝CD＝CB＝AB＝17，∠A＝∠BCD＝90°，
设AF＝BG＝CH＝DE＝m，则CG＝AE＝17﹣m，
∴GH2＝CG2+CH2＝AE2+AF2＝EF2＝132＝169，
∴（17﹣m）2+m2＝169，GH＝EF＝13，
解得m＝5或m＝12，
当m＝5时，则CH＝5，CG＝12，
当m＝12时，则CH＝12，CG＝5，
∴m＝5及m＝12时，△GCH的形状和大小相同，
连接IP、IQ、IR、IC、IG、IH，则IP⊥CG，IQ⊥CH，IR⊥GH，设IP＝IQ＝IR＝r，令CH＝5，CG＝12，
∵S△CIG+S△CIH+S△GIH＝S△GCH，
∴12r5r13r5×12，
解得r＝2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故选：B．
【变式1】（2024 滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
【分析】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r和r，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案．
【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．
选项A：d＝a+b﹣c＝2，
选项B：d2，
选项C：d2，
选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．
故答案选：D．
方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r，
∵AF+BF＝AB，
∴b﹣r+a﹣r＝c，
∴r，
∴d＝a+b﹣c．故选项A正确．
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴abarbrcr，
∴ab＝r（a+b+c），
∴r，即d．故选项B正确．
∵由前面可知d＝a+b﹣c，
∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
∵a2+b2＝c2，
∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b），
∴d，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故答案选：D．
【变式2】（2025 宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　117　 °．
【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，得出，，进而得出∠ABC+∠ACB＝126°，即可得出答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴，，
∵∠A＝54°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝117°，
故答案为：117．
【变式3】（2025 攀枝花）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC．
【分析】（1）由⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，得∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，而∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，则∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°，所以∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°．
（2）由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，则BD+CF＝BE+CE＝BC，由AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，得2AF＝AB+AC﹣BC，由∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，证明四边形ADOF是矩形，则OD＝AF，因为⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，所以d＝2OD＝2AF＝AB+AC﹣BC．
【解答】（1）解：∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴AB⊥OD，BC⊥OE，CA⊥OF，
∴∠ODB＝∠OEB＝∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，
∴∠B＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠DOE＝60°，∠C＝360°﹣∠OEC﹣∠OFC﹣∠EOF＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴∠A、∠B、∠C的度数分别为90°、60°、30°．
（2）证明：∵AD＝AF，BD＝BE，CF＝CE，
∴BD+CF＝BE+CE＝BC，
∵AB+AC＝AD+BD+CF+AF＝2AF+BC，
∴2AF＝AB+AC﹣BC，
∵∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∴OD＝AF，
∵⊙O的直径为d，OD为⊙O的半径，
∴d＝2OD＝2AF，
∴d＝AB+AC﹣BC．
【题型六】圆与圆的位置关系
【例1】（2025 虹口区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，如果以点B为圆心的⊙B与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙B的半径长是 　2　 ．
【分析】连接OB，由⊙B与⊙O外切，则OB经过切点P，利用勾股定理求得BC，然后利用勾股定理求得OB，进一步即可求得结果．
【解答】解：连接OB，
∵⊙B与⊙O外切，
∴OB经过切点P，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC3，
∵AC为⊙O的直径，
∴OC2，
∴OB，
∵OB＝OP+BP＝OC+BP，
∴BP＝OB﹣OC2，
∴⊙B的半径长是2，
故答案为：2．
【变式1】（2025 广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【分析】（1）先证明四边形OAO'B是正方形即可得到坐标；
（2）根据∠AOB＝90°，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长；
（3）利用旋转即可．
【解答】解：（1）∵以原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，
∴OA＝OB＝O'A＝O'B＝5，
∴四边形OAO'B是正方形，
∴∠AOB＝∠OBO'＝∠BO'A＝∠O'AO＝90°，
∴A（0，5），B（5，0）；
（2）∵原点O，O'（5，5）为圆心、以5为半径作圆，
∴两个圆是等圆，
∵∠AOB＝∠AO'B＝90°，
∴叶瓣①的周长为：；
（3）叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到（答案不唯一）．
【变式2】（2025 包河区一模）如图，以O1，O2为圆心，O1O2为半径的两个圆相交于点A，B，BC为O1的直径，若O1O2＝1，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】连接AC，可得△BO2O1，△AO2O1是等边三角形，则∠AO1C＝60°，再根据弧长的计算公式即可解答．
【解答】解：连接AC，
∵⊙O1和⊙O2是等圆，O1O2＝1，
∴AO1＝O1O2＝AO2＝BO1＝BO2，
∴△BO2O1，△AO2O1是等边三角形，
∴∠BO1O2＝∠AO1O2＝60°，
∵BC为O1的直径，
∴∠AO1C＝60°，
∴的长为．
故选：C．
【变式3】（2025 嘉定区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（　　）
A．0＜r＜2 B．2＜r＜8
C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8
【分析】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论．
【解答】解：根据题意两圆内含，
故知r﹣5＞3或者5﹣r＞3，
解得0＜r＜2或r＞8．
故选：C．
【题型七】相切两圆的性质
【例1】（2025 新昌县一模）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是1，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为1．
【解答】解：连接三个圆心，
∴△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝BC＝1，
∴它的高是：，
∴雕塑的最高点到地面的距离为：1．
故选：A．
【变式1】（2025 杨浦区二模）如图，已知线段AB的长为10，圆A的半径为2，点P是线段AB上一点，以B为圆心、BP为半径作圆，将圆B绕点P旋转180°得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相切圆的性质作图求解．
【解答】解：如图：
故选：C．
【变式2】（2025 江阳区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．10 B． C． D．5π
【分析】根据勾股定理求出AB，根据相切两圆的性质求出两等圆的半径，根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，再根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：AB10，
∵两等圆⊙A，⊙B外切，
∴两等圆⊙A，⊙B的半径是5，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
设∠A的度数为n°，则∠B的度数为（90﹣n）°，
∴S阴影部分，
故选：C．
【题型八】相交两圆的性质
【例1】（2025 长宁区二模）如图，已知∠AOB＝30°，⊙O的半径为3．点P在射线OB上，⊙P的半径为r．如果直线OA与⊙P相切，且⊙P与⊙O相交，那么r的值可以是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．求出两圆相交时r的取值范围即可判断．
【解答】解：如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．
∵∠PTO＝90°，∠POT＝30°，
∴OP＝2PT，
∴3+r＝2r，
∴r＝3，
当两圆内切时，同法可得3﹣r＝2r，解得r＝1，
∵⊙P与⊙O相交，
∴1＜r＜3，
故选：C．
【变式1】（2025 松江区二模）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　）
A． B． C．10 D．12
【分析】先根据题意画出图形，设⊙O1和⊙O2相交于A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，设O1C＝a，则O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2，O2C＝5﹣a，AB＝2AC，在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得AC2＝ O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2，则52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，由此解出，则AC，进而即可得出公共弦AB的长．
【解答】解：设⊙O1和⊙O2相交于点A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，如图所示：
设O1C＝a，
∵⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上，
∴O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2，
∴O2C＝O1O2﹣O1C＝5﹣a，AB＝2AC，
在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得：AC2＝O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2，
∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，
解得：，
∴O1C，
∴AC，
AB＝2AC．
故选：B．
【变式2】（2025 闵行区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（　　）
A．0＜AP＜8 B．1＜AP＜5 C．1＜AP＜7 D．4＜AP＜8
【分析】先画出图形，假设相切的时候求出AP，结合相交，即可找到答案．
【解答】解：根据题意，画出两圆相切的图，作CD⊥AB于点D，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB．
∴CD＝DB＝DA＝4．
当两圆相切时，如图知道：CP＝5，CH＝5．
根据勾股定理可得：PD＝DH＝3．
∴图上有：AP＝1，AH＝7．
如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围为：1＜AP＜7．
故选：C．
【变式3】（2025 浦东新区校级一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　1.6＜r＜6.4　 ．
【分析】过C点作CD⊥AB于D点，利用勾股定理计算出AB的长度，再利用等面积法计算出CD的长度，再根据切线的性质得到CD为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，过C点作CD⊥AB于D点，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵⊙C与AB相切，
∴CD为⊙C的半径，即⊙C的半径为2.4，
∵⊙A与⊙C相交，
∴r﹣2.4＜4＜2.4+r，
解得：1.6＜r＜6.4，
故答案为：1.6＜r＜6.4．
【题型九】正多边形和圆
【例1】（2025 自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可．
【解答】解：如图，
正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α+β＝150°，
故选：B．
【变式1】（2025 山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【分析】如图：连接AB、DC相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，AC＝BC＝4，OA＝OB，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．
【解答】解：如图：连接AB、DC相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴AC＝BC＝4，OA＝OB，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：D．
【变式2】（2025 德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长AB＝1，那么图中四边形GCHF的面积是（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BF，垂足为M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，∠ABF＝∠AFB30°，
∴AMAB，BM＝FMAB，
在Rt△BCG中，BC＝1，∠BCG＝30°，
∴BGBC，
∴FG＝BF﹣BG，
∴四边形GCHF的面积为FG BC．
故选：A．
【变式3】（2025 宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 　72　 °．
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度数即可解决问题．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°．
故答案为：72．
【题型十】弧长的计算
【例1】（2025 湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°，
∴2πRπR（千米）．
∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米．
故选：C．
【变式1】（2025 盐城）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为OA＝OB＝18cm，且AB＝18cm，
所以△OAB是等边三角形，
所以∠AOB＝60°，
所以的长为：6π（cm）．
故选：D．
【变式2】（2025 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．5
【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则，AF＝BFAB＝3，
∵2，
∴，
∴AE＝CD，
在Rt△AEF中，AE，AF＝3，
∴EF2，
设半径为R，
在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得，
OA2＝OF2+AF2，
即R2＝（R﹣2）2+32，
解得R．
故选：A．
【题型十一】扇形面积的计算
【例1】（2025 山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝ACBC，进而由S阴影BC＝2（S扇形BCD﹣S△ABC）解答即可求解，
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BC＝4，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】（2025 济南模拟）如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形ABCDE，则图中的阴影部分面积之和为（　　）
A．π B． C．2π D．
【分析】首先求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，
则阴影部分面积之和是：，
故选：B．
【变式2】（2025 沙坪坝区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．48﹣25π
【分析】根据勾股定理可以求得BC的长，再根据图形可知阴影部分的面积为：AC AB﹣（S扇形CED+S扇形BFD），然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC10，
∵D为BC中点，
∴CD＝BD＝5，
∴阴影部分的面积为：AC AB﹣（S扇形CED+S扇形BFD）
8×6
＝24，
故选：B．
【题型十二】圆的综合题
【例1】（2025 巴中）如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
（1）求证：①△APO≌△BPO．
②PO∥AC．
（2），求OP的长．
【分析】（1）①根据切线的性质，即可证明Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
②根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接AB，根据圆周角定理证明△ACB∽△AOP，列出比例式求解即可．
【解答】（1）证明：①∵PA、PB是⊙O切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
又∵AO＝BO，PO＝PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）；
②∵点C在⊙O上，
∴∠AOB＝2∠C，
由（1）知Rt△PAO≌Rt△PBO，
∴，
∴∠BOP＝∠C，
∴AC∥PO；
（2）解：如图，连接AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠PAO＝90°，∠AOP＝∠C，
∴∠ACB＝∠APO，
∴△ACB∽△AOP，
∴，
∴，
∴OP＝5．
【例2】（2025 盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，，求BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，∠CBD＝∠CDB，求得∠CBD＝∠ADO，得到∠CBO＝90°，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切；
（2）根据三角函数的定义得到OD＝1，设CB＝CD＝x，求得OC＝x+1，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，
理由：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ADO＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠ADO，
∵∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ADO＝90°，
∴∠OBD+∠CBD＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴OB⊥EF，
∵OB是⊙O的直径，
∴直线EF与⊙O相切；
（2）∵∠AOC＝90°，，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴OA＝3，
∴OD＝1，
设CB＝CD＝x，
∴OC＝x+1，
∵∠OBC＝90°，
∴CB2+OB2＝OC2，
∴x2+32＝（x+1）2，
∴x＝4，
∴BC＝4．
【变式1】（2025 大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）证明：OE2＝OB OC；
（3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠DAE＝90°，得到∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°，根据余角的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据角平分线的定义得到AD平分∠BAC；
（2）连接AO，根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠ODA，根据相似三角形的性质得到OA2＝OB OC，等量代换得到OE2＝OB OC；
（3）根据切线的性质得到∠OAB＝90°，由（2）知，△AOC∽△BOA，求得∠ACO＝∠OAB＝90°，设BD＝10x，OC＝9x，得到OD＝OA＝9x+3，OB＝19x+3，根据勾股定理得到AC，求得∠DAC＝∠AED，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°，
∵∠CAE＝∠MAE，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接AO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，OAD＝∠OAC+∠DAC，
∴∠B＝∠OAC，
∵∠AOB＝∠COA，
∴△AOC∽△BOA，
∴，
∴OA2＝OB OC，
∵OE＝OA，
∴OE2＝OB OC；
（3）解：∵射线BM与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝90°，
由（2）知，△AOC∽△BOA，
∴∠ACO＝∠OAB＝90°，
∵BD：OC＝10：9，
∴设BD＝10x，OC＝9x，
∴OD＝OA＝9x+3，OB＝19x+3，
∵OA2＝OB OC，
∴（9x+3）2＝（19x+3）×9x，
∴x，
∴AO，OC，
∴AC6，
∵∠ACD＝∠DAB＝90°，
∴∠ADC+∠DAC＝∠ADC+∠E＝90°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴tan∠AED＝tan∠DAC．
【变式2】（2025 乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
【分析】（1）证根据垂径定理得到AB⊥DE，EF＝DF，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，根据平行线的性质得到AB⊥BC，根据切线的判定定理得到BC为⊙O的切线；
（2）根据平行四边形的性质得到BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
设BF＝3x，EF＝4x，根据勾股定理得到BE5x＝5，求得EF＝4，BF＝3，连接OE，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3．
【变式3】（2025 贵州）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．
（1）点O与AB的位置关系是 O在线段AB上　 ，线段CD与线段BD的数量关系是 CD＝BD ；
（2）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案；
（2）补图如下，连接OD，证明∠ADO+∠EDF＝90°，∠DAO+∠EDF＝90°，结合∠F+∠DAO＝90°，可得∠F＝∠EDF，进一步可得结论；
（3）如图，过D作DH⊥AB于H，求解，，，，可得，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB是直角，
∴AB为直径，
∵O为圆心，
∴O在线段AB上，
∵D为的中点，
∴，
∴CD＝BD，
故答案为：O在线段AB上，CD＝BD；
（2）补图如下，△DEF为等腰三角形，理由如下：
连接OD，
∵DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠EDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAO+∠EDF＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠F+∠DAO＝90°，
∴∠F＝∠EDF，
∴ED＝EF，
∴△EDF是等腰三角形；
（3）如图，过D作DH⊥AB于H，
∵⊙O的半径为3，DE＝4，∠ODE＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【课后练习】
1．（2025 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为（　　）
A．52° B．54° C．64° D．74°
【分析】连接AC，由圆周角定理得到AC是圆的直径，由切线的性质推出∠CAE＝90°，由圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，求出∠BAD＝52°，由圆周角定理得到∠CAD＝∠CAB∠BAD＝26°，即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，
∴AC是圆的直径，
∵直线EA与⊙O相切于点A，
∴EA⊥AC，
∴∠CAE＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝128°，
∴∠BAD＝52°，
∵CD＝BC，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
∴∠CAD∠BAD＝26°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝64°，
故选：C．
2．（2025 滨湖区二模）下列判断正确的是（　　）
A．弧长相等的弧是等弧
B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．垂直于半径的直线是圆的切线
【分析】分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可．
【解答】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，
故选：C．
3．（2025 威海一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点D是⊙O上的一个点，且BD＝BC，E是DB延长线上的一点，连接CE，若CB恰好平分∠DCE．
（1）求证：CE为⊙O的切线．
（2）已知DE＝5，BC＝3，求CE的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BCD＝∠D＝∠A，得到∠BCE＝∠A由直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，继而得到∠BCE+∠ACB＝90°，即可得到结论；
（2）先证明△EBC∽△ECD，得到，计算即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵BD＝BC，
∴，
∴∠BCD＝∠D＝∠A，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE＝∠BCD，
∴∠BCE＝∠A，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴AC⊥CE，
∵AC为⊙O的直径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵BD＝BC＝3，DE＝5，
∴∠BCD＝∠D，BE＝DE﹣BD＝2，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE＝∠BCD，
∴∠BCE＝∠D，
∵∠E＝∠E，
∴△EBC∽△ECD，
∴，
∴CE2＝DE BE＝5×2＝10，
∴CE．
4．（2025 山东）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
【分析】（1）由AD⊥OB于点D，得∠ADB＝90°，由∠DAC＝∠BAC，∠OAC＝∠OCA，且∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，得∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，则∠OAD＝∠B，所以∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，即可证明AB为⊙O的切线；
（2）由∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，得∠B＝∠AOB＝45°，则AB＝OA，因为⊙O的半径为2，所以AB＝OA＝OC＝2，求得OBOA＝2，则CB＝OB﹣OC＝22．
【解答】（1）证明：∵AD⊥OB于点D，
∴∠ADB＝90°，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝∠OAD+∠BAC，∠OCA＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD+∠BAC＝∠B+∠BAC，
∴∠OAD＝∠B，
∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠B+∠BAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，
∴AB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠OAB＝90°，∠AOB＝45°，
∴∠B＝∠AOB＝45°，
∴AB＝OA，
∵⊙O的半径为2，
∴AB＝OA＝OC＝2，
∴OBOA＝2，
∴CB＝OB﹣OC＝22，
∴CB的长是22．
5．（2025 齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°．根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠OCB，求得∠OCD＝90°根据切线的判定定理得到结论；
（2）由点B是AD的中点，得到BD＝AB＝2OC．求得OD＝OB+BD＝3OC，得到，根据三角函数的定义得到DE＝3BE＝9，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠A+∠ABC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD＝AB＝2OC．
∵OB＝OC，
∴OD＝OB+BD＝3OC，
∴，
∵BE⊥AD，
∴∠DBE＝90°，
又∵∠OCD＝90°，
∴．
∴DE＝3BE＝9，
在Rt△DBE中，
，
∴，
即⊙O半径为．
6．（2024 烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
7．（2024 上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案．
【解答】解：∵圆A半径为1，圆P半径为3，圆A与圆P内切，
∴圆A含在圆P内，即PA＝3﹣1＝2，
∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC边相交形成的弧上运动，如图所示：
∴当到P'位置时，圆P与圆B圆心距离PB最大，为，
∵，
∴圆P与圆B相交，
故选：B．
8．（2024 松江区二模）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（　　）
A．5＜r＜6 B．5＜r＜6.5 C．5＜r＜8 D．5＜r＜12
【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据以A，C为圆心的两圆外切得出⊙A的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出r的取值范围即可．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC13，
∵以A，C为圆心的两圆外切，
∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，
∵点D在⊙A内，
∴AD＜13﹣r，
∴r＜8，
∵B在⊙C内，
∴BC＜r，
∴r＞5，
∴5＜r＜8．
故选：C．
9．（2025 陕西）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转n°（0＜n＜360）后，能够与原来的图形完全重合，则n的值可以是　72°（答案不唯一）　 （写出一个符合题意的数即可）．
【分析】正五边形可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，360°÷5＝72°，
∴旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
故答案为：72°（答案不唯一）．
10．（2025 成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　2　 ．
【分析】如图，连接AC，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出∠BCA的度数，进而推出△ACD为含30度角的直角三角形，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，
∵正六边形ABCDEF，
∴AB＝BC＝CD＝1，，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
∵正六边形为轴对称图形，
∴，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2，
故答案为：2．
11．（2025 无锡）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
【分析】利用弧长公式解答即可．
【解答】解：∵圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，
∴这条弧的长3π．
故选：B．
12．（2025 苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　40π　 m．（结果保留π）
【分析】先根据题意求出∠AOB的度数，再求出圆O的半径，利用弧长公式进行求解即可；
【解答】解：由题意得∠AOB＝360°120°，
圆O的半径为128﹣68＝60（m），
∴该轿厢所经过的路径（即）长度为40π（m），
故答案为：40π．
13．（2025 青岛）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，OA＝2，点C在OB上，且OC＝AC．延长CB到D，使CD＝CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为　3π　 （结果保留π）．
【分析】根据直角三角形的边角关系，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB＝30°，OA＝2，
∴AHOA，
∵OC＝AC，
∴∠OAC＝∠AOB＝30°，
∴∠ACB＝30°+30°＝60°，
∴∠CAH＝30°，
∴AC＝2CH，
设CH＝x，则AC＝2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+（）2＝（2x）2，
解得x＝1（取正值），
即CH＝1，AC＝2，
∴CD＝CA＝OC＝2，
∴S阴影部分＝S△AOC+S ACDE﹣S扇形OAB
22
2π
＝3π．
故答案为：3π．
14．（2025 长春）扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 　240　 °．
【分析】根据扇形的面积是它所在圆的面积的，可知这个扇形的圆心角占360°的，从而可以求得这个扇形的圆心角的度数．
【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的，
∴这个扇形的圆心角的大小是：360°240°，
故答案为：240．
15．（2025 新疆）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE＝2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCE，BE＝1，求DG的长．
【分析】（1）连接OC，由OC＝OA得∠COF＝2∠A，由∠FCE＝2∠A，可得∠COF＝∠FCE．因为∠COF+∠OCF＝90°，所以∠FCE+∠OCF＝90°，即∠OCE＝90°，即证明CE是⊙O的切线；
（2）根据AB为直径可得∠ACB＝90°．作DH⊥AB于点H，导角可得∠A＝∠ACO＝∠BCE，由BD∥CE，可得∠BCE＝∠DBC，进而tan∠BCE＝tanA＝tan∠DBC，设CD＝a，BC＝2a，AC＝4a，AD＝3a，由勾股定理可得AB．再由BD∥CE，可列比例式，解得a，AB＝3，AD，BC，CF，故BF，由tanA，可得cosA，AH＝AD×cosA，BH＝AB﹣AH＝3，故BFBH，CF∥DH，可得DGDB．又由DB＝DC ，可得DG．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CF⊥AB于点F，
∴∠CFO＝90°．
∵OC＝OA，
∴∠COF＝2∠A，
∵∠FCE＝2∠A，
∴∠COF＝∠FCE．
∵∠COF+∠OCF＝90°，
∴∠FCE+∠OCF＝90°，
即∠OCE＝90°，
又∵OC为半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°．
作DH⊥AB于点H，连接BC，如图所示，
∵∠ACB＝∠OCE，
∴∠ACO＝∠BCE，
∴∠A＝∠ACO＝∠BCE，
∵BD∥CE，
∴∠BCE＝∠DBC，
∴tan∠BCE＝tanA＝tan∠DBC，
设CD＝a，BC＝2a，AC＝4a，AD＝3a，
由勾股定理可得AB．
∵BD∥CE，
∴，即，解得a，
故AB＝3，AD，BC．
又∵CF，
故BF，
∵tanA，
∴cosA，AH＝AD×cosA，
故BH＝AB﹣AH＝3，
∵BFBH，CF∥DH，
∴DGDB，
又∵DB＝DC ，
故DG．
【点评】本题考查了圆的切线的证明，圆周角定理推论，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识点内容是解题关键．
16．（2025 威海）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AP＝4，sin∠C，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OB，根据垂直的定义得到∠ADF＝∠DEB＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠FAD，根据切线的性质得到∠CAP＝90°，得到∠OBE＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到PC＝6，根据勾股定理得到AC2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵DF⊥AB，作DE⊥BP，
∴∠ADF＝∠DEB＝90°，
在Rt△BDE与Rt△AFD中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△AFD（HL），
∴∠DBE＝∠FAD，
∵PA是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠CAP＝90°，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBA+∠ABE＝90°，
∴∠OBE＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAP＝90°，AP＝4，sin∠C，
∴PC＝6，
∴AC2，
∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C，
∴△CBO∽△CAP，
∴，
∴，
∴OB，
即⊙O的半径为．专题二十一 圆（切线、圆与多边形、扇形面积、弧长）
【题型一】切线的性质
【例1】（2025 福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB＝∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
故选：C．
【变式1】（2025 自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．50°或130°
【变式2】（2025 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【变式3】（2025 海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【题型二】切线的判定
【例1】（2025 东营）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，，DF⊥BC于点F，延长FD交BA的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理、等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠FBD，得到OD∥DF，证明DF⊥OD，根据切线的判定证明；
（2）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠FBD，
∴OD∥DF，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵，
∴∠DOE＝180°60°，
∴DE＝OD tan∠DOE，
∴S阴影部分＝S△EOD﹣S扇形AOD1．
【变式1】（2025 南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD．
（1）求证：ME是⊙O的切线．
（2）若CF＝3，sinB，求OM的长．
【变式2】（2025 湖北模拟）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）过D作EF∥AB，求证：EF是⊙O的切线；
（2）求CD的长．
【题型三】切线的判定与性质
【例1】（2025 济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP＝∠BOP，进而证明△COP≌△BOP（SAS），推出∠OCP＝∠OBP＝90°，即可证明PC与⊙O相切；
（2）由△COP≌△BOP（SAS）可推出OP垂直平分BC，利用等面积法求出BD，进而求出BC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP，
∴∠COP＝∠BOP，
∵OP＝OP，OC＝OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：连接BC交OP于点D，
∵△COP≌△BOP，
∴PC＝PB，OB＝OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°，
∴．
【变式1】（2025 淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠CBD＝∠CAB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠CAB＝30°，AB＝4，求扇形OBD的面积．
【变式2】（2025 苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB，sin∠AED，求BE的长．
【变式3】（2025 青海）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：直线BD是⊙O的切线；
（2）已知BC＝2，求的长（结果保留π）．
【题型四】切线长定理
【例1】（2025 东莞市校级二模）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．
故选：B．
【变式1】（2025 晋安区校级模拟）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　）
A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm
【变式2】（2025 西宁）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　 　 ．
【题型五】三角形的内切圆与内心
【例1】（2025 滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若AB＝17，EF＝13，则△GCH的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设△GCH的内切圆圆心为点I，⊙I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，由正方形的性质得AD＝CD＝CB＝AB＝17，∠A＝∠BCD＝90°，设AF＝BG＝CH＝DE＝m，则CG＝AE＝17﹣m，所以GH2＝CG2+CH2＝AE2+AF2＝EF2＝132＝169，则（17﹣m）2+m2＝169，GH＝EF＝13，求得m＝5或m＝12，可证明m＝5及m＝12时，△GCH的形状和大小相同，连接IP、IQ、IR、IC、IG、IH，设IP＝IQ＝IR＝r，令CH＝5，CG＝12，由S△GCH12r5r13r5×12，求得r＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：设△GCH的内切圆圆心为点I，⊙I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝17，EF＝13，
∴AD＝CD＝CB＝AB＝17，∠A＝∠BCD＝90°，
设AF＝BG＝CH＝DE＝m，则CG＝AE＝17﹣m，
∴GH2＝CG2+CH2＝AE2+AF2＝EF2＝132＝169，
∴（17﹣m）2+m2＝169，GH＝EF＝13，
解得m＝5或m＝12，
当m＝5时，则CH＝5，CG＝12，
当m＝12时，则CH＝12，CG＝5，
∴m＝5及m＝12时，△GCH的形状和大小相同，
连接IP、IQ、IR、IC、IG、IH，则IP⊥CG，IQ⊥CH，IR⊥GH，设IP＝IQ＝IR＝r，令CH＝5，CG＝12，
∵S△CIG+S△CIH+S△GIH＝S△GCH，
∴12r5r13r5×12，
解得r＝2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故选：B．
【变式1】（2024 滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
【变式2】（2025 宁夏）如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝54°，则∠BOC＝ 　 　 °．
【变式3】（2025 攀枝花）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°．
（1）求△ABC的三个内角的大小；
（2）设⊙O的直径为d，证明：d＝AB+AC﹣BC．
【题型六】圆与圆的位置关系
【例1】（2025 虹口区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，如果以点B为圆心的⊙B与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙B的半径长是 　 　 ．
【变式1】（2025 广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′（5，5）为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A，B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【变式2】（2025 包河区一模）如图，以O1，O2为圆心，O1O2为半径的两个圆相交于点A，B，BC为O1的直径，若O1O2＝1，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【变式3】（2025 嘉定区二模）如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（　　）
A．0＜r＜2 B．2＜r＜8
C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8
【题型七】相切两圆的性质
【例1】（2025 新昌县一模）如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接三个圆心，构造了一个等边三角形，其边长是1，则它的高是，则雕塑的最高点到地面的距离为1．
【解答】解：连接三个圆心，
∴△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝BC＝1，
∴它的高是：，
∴雕塑的最高点到地面的距离为：1．
故选：A．
【变式1】（2025 杨浦区二模）如图，已知线段AB的长为10，圆A的半径为2，点P是线段AB上一点，以B为圆心、BP为半径作圆，将圆B绕点P旋转180°得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2025 江阳区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．10 B． C． D．5π
【题型八】相交两圆的性质
【例1】（2025 长宁区二模）如图，已知∠AOB＝30°，⊙O的半径为3．点P在射线OB上，⊙P的半径为r．如果直线OA与⊙P相切，且⊙P与⊙O相交，那么r的值可以是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．求出两圆相交时r的取值范围即可判断．
【解答】解：如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．
∵∠PTO＝90°，∠POT＝30°，
∴OP＝2PT，
∴3+r＝2r，
∴r＝3，
当两圆内切时，同法可得3﹣r＝2r，解得r＝1，
∵⊙P与⊙O相交，
∴1＜r＜3，
故选：C．
【变式1】（2025 松江区二模）已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　）
A． B． C．10 D．12
【变式2】（2025 闵行区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（　　）
A．0＜AP＜8 B．1＜AP＜5 C．1＜AP＜7 D．4＜AP＜8
【变式3】（2025 浦东新区校级一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　 　 ．
【题型九】正多边形和圆
【例1】（2025 自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可．
【解答】解：如图，
正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°，
∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵α＝∠1，β＝∠2，
∴α+β＝150°，
故选：B．
【变式1】（2025 山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
【变式2】（2025 德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长AB＝1，那么图中四边形GCHF的面积是（　　）
A． B． C．2 D．3
【变式3】（2025 宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 　 　 °．
【题型十】弧长的计算
【例1】（2025 湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°，
∴2πRπR（千米）．
∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米．
故选：C．
【变式1】（2025 盐城）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
【变式2】（2025 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．5
【题型十一】扇形面积的计算
【例1】（2025 山西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝ACBC，进而由S阴影BC＝2（S扇形BCD﹣S△ABC）解答即可求解，
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BC＝4，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】（2025 济南模拟）如图⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E的半径都是1，顺次连接这些圆心得到五边形ABCDE，则图中的阴影部分面积之和为（　　）
A．π B． C．2π D．
【变式2】（2025 沙坪坝区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．48﹣25π
【题型十二】圆的综合题
【例1】（2025 巴中）如图，P为⊙O外一点，PA和PB为⊙O的两条切线，A和B为切点，BC为直径．
（1）求证：①△APO≌△BPO．
②PO∥AC．
（2），求OP的长．
【分析】（1）①根据切线的性质，即可证明Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
②根据全等三角形的性质即可得证；
（2）连接AB，根据圆周角定理证明△ACB∽△AOP，列出比例式求解即可．
【解答】（1）证明：①∵PA、PB是⊙O切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
又∵AO＝BO，PO＝PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）；
②∵点C在⊙O上，
∴∠AOB＝2∠C，
由（1）知Rt△PAO≌Rt△PBO，
∴，
∴∠BOP＝∠C，
∴AC∥PO；
（2）解：如图，连接AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
又∵∠PAO＝90°，∠AOP＝∠C，
∴∠ACB＝∠APO，
∴△ACB∽△AOP，
∴，
∴，
∴OP＝5．
【例2】（2025 盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，，求BC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，∠CBD＝∠CDB，求得∠CBD＝∠ADO，得到∠CBO＝90°，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切；
（2）根据三角函数的定义得到OD＝1，设CB＝CD＝x，求得OC＝x+1，根据勾股定理得到结论．
【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，
理由：∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ADO＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠ADO，
∵∠AOC＝90°，
∴∠A+∠ADO＝90°，
∴∠OBD+∠CBD＝90°，
∴∠CBO＝90°，
∴OB⊥EF，
∵OB是⊙O的直径，
∴直线EF与⊙O相切；
（2）∵∠AOC＝90°，，
∴，
∵⊙O的半径为3，
∴OA＝3，
∴OD＝1，
设CB＝CD＝x，
∴OC＝x+1，
∵∠OBC＝90°，
∴CB2+OB2＝OC2，
∴x2+32＝（x+1）2，
∴x＝4，
∴BC＝4．
【变式1】（2025 大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）证明：OE2＝OB OC；
（3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值．
【变式2】（2025 乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
【变式3】（2025 贵州）如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为的中点，DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E．连接CD，BD．
（1）点O与AB的位置关系是 　 ，线段CD与线段BD的数量关系是 ；
（2）过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长．
【课后练习】
1．（2025 青岛）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝90°，DC＝BC，直线EA与⊙O相切于点A．若∠BCD＝128°，则∠DAE的度数为（　　）
A．52° B．54° C．64° D．74°
2．（2025 滨湖区二模）下列判断正确的是（　　）
A．弧长相等的弧是等弧
B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等
D．垂直于半径的直线是圆的切线
3．（2025 威海一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，点D是⊙O上的一个点，且BD＝BC，E是DB延长线上的一点，连接CE，若CB恰好平分∠DCE．
（1）求证：CE为⊙O的切线．
（2）已知DE＝5，BC＝3，求CE的长．
4．（2025 山东）如图，在△OAB中，点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C，AD⊥OB于点D．AC是∠BAD的平分线．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠AOB＝45°，求CB的长．
5．（2025 齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径．
6．（2024 烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
7．（2024 上海）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在ABC内，分别以ABP为圆心画圆，圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
8．（2024 松江区二模）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（　　）
A．5＜r＜6 B．5＜r＜6.5 C．5＜r＜8 D．5＜r＜12
9．（2025 陕西）如图，将正五边形绕着它的中心O旋转n°（0＜n＜360）后，能够与原来的图形完全重合，则n的值可以是　 　 （写出一个符合题意的数即可）．
10．（2025 成都）正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为　 ．
11．（2025 无锡）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为90°，则这条弧的长为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
12．（2025 苏州）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为　 　 m．（结果保留π）
13．（2025 青岛）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，OA＝2，点C在OB上，且OC＝AC．延长CB到D，使CD＝CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）．
14．（2025 长春）扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 　 　 °．
15．（2025 新疆）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CF⊥AB于点F，∠FCE＝2∠A，BD∥CE交CF于点G，交AC于点D．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCE，BE＝1，求DG的长．
16．（2025 威海）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AP＝4，sin∠C，求⊙O的半径．

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