资源简介

专题03相交线与平行线新课闯关预习讲义
1.理解定义、命题、真命题、假命题、平移的基本概念，能准确区分相关概念。 2.掌握命题的构成（题设与结论），能将简单命题改写为“如果……那么……”的形式。 3.了解平移的性质，能识别生活中的平移现象，初步掌握平移作图的基本思路。 4.通过预习梳理知识框架，明确本节课的重点和难点，为课堂学习做好铺垫。
预习必备 知识点梳理 1.定义与命题 2.平移的定义与性质
3.平移的作图步骤 4.知识点辨析
常考题型 精讲精炼 1.命题的判定 2.命题的题设与结论拆分
3.命题真假性判断 4.真假命题的示例说明
5.假命题的反例构造 6.逻辑推理与命题论证
7.生活中的平移现象举例 8.图形平移的概念辨析
9.平移性质的应用计算 10.平移在实际问题中的解决
11.平移图形的作图方法
强化通关 (15题)
【知识点01.定义与命题】
1.定义
*概念：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句，叫做这个概念的定义。
*作用：明确研究对象的本质属性，区分不同的数学概念。
*举例
(1)有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。（明确直角三角形的定义）
(2)含有未知数的等式叫做方程。（明确方程的定义）
*注意：定义必须是准确、严谨的，不能存在歧义。
2. 命题
*概念：判断一件事情的语句叫做命题。
*结构：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。
题设：已知事项（命题中的 “如果” 部分）
结论：由已知事项推出的事项（命题中的 “那么” 部分）
形式：可改写成 “如果……，那么……” 的形式
*举例
原命题：对顶角相等
改写后：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等
*分类
(1)真命题：题设成立时，结论一定成立的命题。例：两直线平行，同位角相等
(2)假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题。例：相等的角是对顶角（反例：两个直角三角形的直角相等，但不是对顶角）
3. 定理
*概念：经过推理证实的真命题叫做定理。
*特点
(1)定理是真命题，但真命题不一定是定理（定理需要经过严格证明）。
(2)定理可以作为推理论证其他命题的依据。
*举例
(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。
4. 证明
*概念：在数学中，判断一个命题是真命题，需要通过推理的方法证实，这个推理过程叫做证明。
*证明步骤
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)写出证明过程（每一步推理都要有依据，如定义、公理、定理等）。
【知识点02.平移】
1.平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
*关键词：平面内、沿某个方向、移动一定距离
*注意：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。
2. 平移的性质
(1)平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
(2)平移后，对应角相等。
(3)平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
(4)平移后，新图形与原图形是全等图形。
3. 平移的作图步骤
(1)确定平移的方向和距离（关键步骤）。
(2)找出原图形的关键点（如顶点、端点、交点等）。
(3)过关键点作平移方向的平行线，在平行线上截取与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点。
(4)按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到平移后的图形。
4. 平移的应用
*解决几何图形的位置变换问题，如求平移后图形的坐标（平面直角坐标系中）。
*利用平移求不规则图形的周长或面积（通过平移转化为规则图形）。例：求曲折小路的长度，可通过平移线段转化为矩形的边长计算。
【知识点03.知识点辨析】
1.定义、命题、定理的区别
概念 本质 特征
定义 对概念的描述 / 规定 无真假之分，只用于明确概念
命题 判断一件事情的语句 有真、假之分
定理 经过证明的真命题 是真命题，可作为推理依据
2.平移与其他图形变换的区别
平移：沿直线方向移动，无旋转、无翻转；
旋转：绕定点转动一定角度；
轴对称：沿对称轴折叠，对应点到对称轴的距离相等。
【题型1.命题的判定】
【典例】下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号）
①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
【跟踪专练1】下列语句中，是真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补
C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等
【跟踪专练2】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）．
【题型2.命题的题设与结论分析】
【典例】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
【跟踪专练1】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【跟踪专练2】对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
【题型3.命题真假性判断】
【典例】下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪专练1】有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，同位角相等；④互补的两个角中一定有一个角为钝角，另一个角为锐角．其中是真命题的是 （填序号）．
【跟踪专练2】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
【题型4.真假命题的实例说明】
【典例】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为 ．
【跟踪专练1】下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）．
A． B． C． D．
【跟踪专练2】可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ．
【题型5.假命题的反例构造】
【典例】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（ ）
A．， B．，
C． D．，
【跟踪专练1】请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例
【跟踪专练2】对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【题型6.逻辑推理与命题论证】
【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ．
【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下：
甲：“乙、戊作案了”；
乙：“甲、丁作案了”；
丙：“乙、己作案了”；
丁：“甲、丙作案了”；
戊：“甲、己作案了”．
已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（ ）
A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊
【跟踪专练2】小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表：
参赛者 比赛项目
A B C 总分
小明 2
小亮 3
小颖 1
已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛 是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”）
【题型7.生活中的平移现象举例】
【典例】为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　）
A． B． C． D．
【跟踪专练1】如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案．
【跟踪专练2】如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（ ）平方米．
A．42 B．45 C．48 D．50
【题型8.图形平移的概念辨析】
【典例】在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ．
【跟踪专练1】下列关于平移的说法正确的是（ ）
A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化
B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位
C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化
D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变
【跟踪专练2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．

【题型9.平移性质的应用计算】
【典例】某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【跟踪专练1】如图，沿方向平移到 的位置，若，则 ．
【跟踪专练2】如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型10.平移在实际问题中的解决】
【典例】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
【跟踪专练1】如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪专练2】某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线．
①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ；
②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ．
【题型11.平移图形的作图方法】
【典例】如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪专练1】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为）
【跟踪专练2】数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
1．画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念）
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
3．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列命题可以称为定理的有（ ）
①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ）
A．16 B．15 C．24 D．42
6．如图，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为，则这块菜地的面积是 ．
7．如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为 ．
8．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ．
9．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ．
10．小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论：
小明：这个月有5个星期二；
小李：这个月所有星期二的日期之和不为75；
请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期）
11．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求：
(1)这座桥的面积是多少？
(2)管理员准备投放多少条金鱼？
12．如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．

(1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分．
(2)求出阴影部分的面积．
13．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
14．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
15．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为．
(1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5．
(2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由．专题03相交线与平行线新课闯关预习讲义
1.理解定义、命题、真命题、假命题、平移的基本概念，能准确区分相关概念。 2.掌握命题的构成（题设与结论），能将简单命题改写为“如果……那么……”的形式。 3.了解平移的性质，能识别生活中的平移现象，初步掌握平移作图的基本思路。 4.通过预习梳理知识框架，明确本节课的重点和难点，为课堂学习做好铺垫。
预习必备 知识点梳理 1.定义与命题 2.平移的定义与性质
3.平移的作图步骤 4.知识点辨析
常考题型 精讲精炼 1.命题的判定 2.命题的题设与结论拆分
3.命题真假性判断 4.真假命题的示例说明
5.假命题的反例构造 6.逻辑推理与命题论证
7.生活中的平移现象举例 8.图形平移的概念辨析
9.平移性质的应用计算 10.平移在实际问题中的解决
11.平移图形的作图方法
强化通关 (15题)
【知识点01.定义与命题】
1.定义
*概念：对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句，叫做这个概念的定义。
*作用：明确研究对象的本质属性，区分不同的数学概念。
*举例
(1)有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形。（明确直角三角形的定义）
(2)含有未知数的等式叫做方程。（明确方程的定义）
*注意：定义必须是准确、严谨的，不能存在歧义。
2. 命题
*概念：判断一件事情的语句叫做命题。
*结构：命题通常由题设（条件）和结论两部分组成。
题设：已知事项（命题中的 “如果” 部分）
结论：由已知事项推出的事项（命题中的 “那么” 部分）
形式：可改写成 “如果……，那么……” 的形式
*举例
原命题：对顶角相等
改写后：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
题设：两个角是对顶角；结论：这两个角相等
*分类
(1)真命题：题设成立时，结论一定成立的命题。例：两直线平行，同位角相等
(2)假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题。例：相等的角是对顶角（反例：两个直角三角形的直角相等，但不是对顶角）
3. 定理
*概念：经过推理证实的真命题叫做定理。
*特点
(1)定理是真命题，但真命题不一定是定理（定理需要经过严格证明）。
(2)定理可以作为推理论证其他命题的依据。
*举例
(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180°。
4. 证明
*概念：在数学中，判断一个命题是真命题，需要通过推理的方法证实，这个推理过程叫做证明。
*证明步骤
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)写出证明过程（每一步推理都要有依据，如定义、公理、定理等）。
【知识点02.平移】
1.平移的定义
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
*关键词：平面内、沿某个方向、移动一定距离
*注意：平移不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。
2. 平移的性质
(1)平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
(2)平移后，对应角相等。
(3)平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
(4)平移后，新图形与原图形是全等图形。
3. 平移的作图步骤
(1)确定平移的方向和距离（关键步骤）。
(2)找出原图形的关键点（如顶点、端点、交点等）。
(3)过关键点作平移方向的平行线，在平行线上截取与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点。
(4)按原图形的连接顺序，依次连接各对应点，得到平移后的图形。
4. 平移的应用
*解决几何图形的位置变换问题，如求平移后图形的坐标（平面直角坐标系中）。
*利用平移求不规则图形的周长或面积（通过平移转化为规则图形）。例：求曲折小路的长度，可通过平移线段转化为矩形的边长计算。
【知识点03.知识点辨析】
1.定义、命题、定理的区别
概念 本质 特征
定义 对概念的描述 / 规定 无真假之分，只用于明确概念
命题 判断一件事情的语句 有真、假之分
定理 经过证明的真命题 是真命题，可作为推理依据
2.平移与其他图形变换的区别
平移：沿直线方向移动，无旋转、无翻转；
旋转：绕定点转动一定角度；
轴对称：沿对称轴折叠，对应点到对称轴的距离相等。
【题型1.命题的判定】
【典例】下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号）
①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离．
【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥
【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决．
【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义；
②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题；
③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题；
④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题；
⑤对顶角不相等；不是定义，是命题；
⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题；
属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥；
故答案为：②⑥；①②⑤⑥．
【跟踪专练1】下列语句中，是真命题的是（ ）
A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补
C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题主要考查真命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据锐角与钝角的和、同旁内角性质、命题的定义及补角的性质进行判断即可．
【详解】解：两个锐角的和可能是锐角，直角，钝角，故选项A为假命题；
两直线平行，同旁内角互补，故选项B为假命题；
过一点作直线的垂线不是命题，故选项C错误；
同角的补角相等，故选项D为真命题；
故选D．
【跟踪专练2】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）．
【答案】
【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义．
【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题；
两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题；
三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题；
设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则，
根据定义，，，，
∴，
∴是的倍数；是真命题；
故答案为：．
【题型2.命题的题设与结论分析】
【典例】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
【答案】D
【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面．
命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设．
【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．
故选：D．
【跟踪专练1】命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
【跟踪专练2】对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
【答案】B
【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性．
根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可．
【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【题型3.命题真假性判断】
【典例】下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了真假命题判断、对顶角等知识，根据对顶角的定义，结合题意逐项分析判断即可．
【详解】解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意；
B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意；
D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意．
故选：A．
【跟踪专练1】有下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③两直线平行，同位角相等；④互补的两个角中一定有一个角为钝角，另一个角为锐角．其中是真命题的是 （填序号）．
【答案】
③
【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的定义，互补角的定义．根据平行线的性质、对顶角的定义、互补角的定义逐一判断各命题的真假
【详解】解：命题①：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，此命题成立的前提是两条直线平行，否则不成立，故为假命题；
命题②：相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故为假命题；
命题③：两直线平行，同位角相等，这是平行线的性质定理，故为真命题；
命题④：互补的两个角之和为，但可能均为直角，不一定一个为钝角一个为锐角，故为假命题；
故答案为：③．
【跟踪专练2】下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义．
分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D．
【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意；
B、若，则，并非，此选项不符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意；
D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意；
故选：C．
【题型4.真假命题的实例说明】
【典例】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为 ．
【答案】2（答案不唯一，即可）
【分析】本题考查了举反例．要判断命题为假命题，需举出反例， “如果，那么”，其反例为大于0的数而且能使．
【详解】解：当，则 ，条件成立；
故 为反例．
故答案为2（答案不唯一，即可）．
【跟踪专练1】下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查假命题的反例判断，关键是确保前提成立但结论不成立．
要证明命题“若，则”是假命题，需找反例，即x满足但．
【详解】解：A、时，，且，不符合反例；
B、时，，前提不成立，不符合反例；
C、时，，且，不符合反例；
D、时，，但，即，结论不成立，符合反例，
故选：D．
【跟踪专练2】可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：∵当时，，但是，
∴是假命题的反例．
故答案为：．
【题型5.假命题的反例构造】
【典例】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的是（ ）
A．， B．，
C． D．，
【答案】C
【分析】本题考查判断命题的真假，角度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．要说明命题是假命题，需找到满足条件但结论不成立的反例．
【详解】解：A、，其和为90°，但，符合原结论，不能说明命题是假命题；
B、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题；
C、，和为且，能说明命题是假命题；
D、，，和为，不符合命题的条件，不能作为反例说明命题是假命题．
故选：C．
【跟踪专练1】请你举出一个能说明命题“若，则”是假命题的反例
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查假命题问题，掌握命题，真命题与假命题的区别与联系，会举反例证明叫命题是解题关键．
验证一个命题是假命题，只需举反例即可．
【详解】解：当时，满足，此时，但不满足．
故答案为：（答案不唯一）．
【跟踪专练2】对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例．
根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可．
【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意；
B． 当时，且，命题成立，不符合题意；
C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意；
D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意；
故选：D．
【题型6.逻辑推理与命题论证】
【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ．
【答案】623
【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键．
【详解】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符，
∴个位数为3，
∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的，
∴百位数字为6，
∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2，
∴这个密码锁的密码是623．
故答案为：623
【跟踪专练1】甲、乙、丙、丁、戊、己是六名嫌疑犯，审讯他们时，他们的供词如下：
甲：“乙、戊作案了”；
乙：“甲、丁作案了”；
丙：“乙、己作案了”；
丁：“甲、丙作案了”；
戊：“甲、己作案了”．
已知案件是由两人共同作案的，这些供词中有一人是假话，其余四人都是一半真一半假．则作案的两人是（ ）
A．甲、丙 B．乙、戊 C．丁、己 D．甲、戊
【答案】D
【分析】本题考查了推理与论证，合理的分析与推理排除是解题关键．根据证词中各人出现次数，判断出只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，再逐一判断，最终确定答案．
【详解】解：根据条件，5份供词中一份假的，其余都是一真一假，且这4份供词都有一个罪犯的名字．
两个罪犯的名字在五份供词中一共出现了四次．
在供词中，甲出现了3次，乙出现了2次，丙出现了1次，丁出现了1次，戊出现了1次，己出现了2次，
因此只能是甲与丙或甲与丁或甲与戊或乙与己合伙作案，
当甲与丙合伙作案时，则丁的供词全对，与已知矛盾；
当甲与丁合伙作案时，则乙的供词全对，与已知矛盾；
当乙与己合伙作案时，则丙的供词全对，与已知矛盾；
当甲与戊为作案人时，丙的供词为全假，甲、乙、丁、戊的供词均为一真一假，符合题意．
只能是甲与戊合伙作案．
故选：D．
【跟踪专练2】小明、小亮、小颖三人参加一项比赛，比赛包括A，B，C三个项目，每个项目三人都要排出名次，第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，不存在并列情况．经过比赛，三人的部分得分见表：
参赛者 比赛项目
A B C 总分
小明 2
小亮 3
小颖 1
已知小亮在两个项目中得分相同，并且三人的总分各不相同，此次比赛 是冠军．（填“小明”、“小亮”、或“小颖”）
【答案】小亮
【分析】本题主要考查了逻辑推理．根据比赛规则和已知条件，小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同，因此他在另一个项目（B或C）中也得3分．通过分析各种可能的情况，计算三人的总分，发现小亮的总分总是最高，因此小亮是冠军．
【详解】解：∵小亮在项目A中得3分，且他在两个项目中得分相同，
∴小亮在项目B或项目C中不可能得2分或1分，只能得3分，
∴小亮的总分至少为分，
∵小明在项目B中得2分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况，
∴小明的总分至多为分，
∵小颖在项目C中得1分，且每个项目三人都要排出名次，不存在并列情况，
∴小颖的总分至多为分，
∵三人的总分各不相同，
∴小亮的总分总是高于小明和小颖，即小亮是冠军．
故答案为：小亮．
【题型7.生活中的平移现象举例】
【典例】为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建甬道，道路的宽忽略不计，若草坪周长为，则道路的总长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了长方形周长公式的应用及图形的平移思想，熟练掌握长方形周长公式并利用平移简化计算是解题的关键．
通过平移道路，将其转化为长方形的长与宽的和，结合长方形周长公式计算道路总长．
【详解】解：设长方形草坪的长为，宽为．
长方形周长公式：，
∴．
平移道路后，道路总长等于．
故答案为：B．
【跟踪专练1】如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案．
【答案】
【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可．
【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置，
由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案，
故答案为：．
【跟踪专练2】如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（ ）平方米．
A．42 B．45 C．48 D．50
【答案】C
【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案．
【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，
则其面积为：．
故选：C ．
【题型8.图形平移的概念辨析】
【典例】在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键．
根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案．
【详解】解：把路移到右边和上面，
路的宽度是，
草地可以看成长是，宽是，
故草地的面积是．
故答案为：．
【跟踪专练1】下列关于平移的说法正确的是（ ）
A．几何图形平移后，面积可能会发生一点变化
B．将平移时，可以将点向左平移个单位，将点向左平移个单位
C．几何图形平移后，形状可能会发生一点变化
D．几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变
【答案】D
【分析】本题考查平移，根据平移前后的图形形状、大小不变解答即可．
【详解】解：A. 几何图形平移后，面积不发生变化，原说法错误；
B. 将平移时，可以将点向左平移个单位，同时将点向左平移个单位，原说法错误；
C. 几何图形平移后，形状不变，原说法错误；
D. 几何图形无论作何种平移，它的几何特性都不会发生改变，说法正确；
故选：D．
【跟踪专练2】如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题．
【详解】解：由平移可知，
，，
的周长为16cm，
，
，
即四边形的周长为．
故答案为：．
【题型9.平移性质的应用计算】
【典例】某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
【答案】D
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形，据此可得答案．
【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为a，宽为b的长方形，
所以三个图形所用的铁丝长度一样．
故选：D．
【跟踪专练1】如图，沿方向平移到 的位置，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，直接利用平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：∵沿方向平移到的位置，
∴，
故答案为：．
【跟踪专练2】如图，在三角形中，，，，.将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接．给出下列结论：①，；②；③四边形的周长是16；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】此题考查了平移的性质，先求解，再根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可．
【详解】解：∵，
将三角形沿直线向右平移2个单位得到三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，故①和②正确；
∵四边形的周长，
∴四边形的周长，故③正确；
∵，
∴，故④正确，
故选：A．
【题型10.平移在实际问题中的解决】
【典例】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽为2米，其侧面如图，则购买地毯至少需要 元．
【答案】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图象的大小和形状．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，
即可得地毯的长度为米，地毯的面积为（平方米），
故买地毯至少需要（元）．
故答案为：．
【跟踪专练1】如图，长方形花园中，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积．
结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：长方形花园中，，
将可绿化部分平移到一起，
可得绿化部分的面积为，
故选：C．
【跟踪专练2】某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线．
①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ；
②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键．
①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可；
②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可．
【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积，
②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线，
∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，
∴草坪的面积；
当，时，．
故答案为：，，．
【题型11.平移图形的作图方法】
【典例】如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵，向右平移距离为，点的对应点为点，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键．
【跟踪专练1】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为）
【答案】
【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键．
【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，
∴如图，
根据图形可得正方形与重叠部分面积为，
故答案为：．
【跟踪专练2】数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可．
【详解】解：利用平移的性质得到，
可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行，
故选：B．
1．画示意图表示下列概念之间的关系：多边形；正五边形；四边形；梯形；等腰三角形；直角三角形（示意图中用序号表示对应概念）
【答案】见解析
【分析】本题考查多边形及其相关特殊图形（正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形 ）的概念及分类关系．解题关键是明确各图形概念，依据包含关系绘制示意图来准确呈现它们之间的逻辑联系．
牢记多边形、正五边形、四边形、梯形、等腰三角形、直角三角形的定义．确定多边形包含其他各类图形；四边形是多边形的一类，梯形属于四边形；等腰三角形和直角三角形是三角形的不同类型，且都属于多边形 ．用图形直观呈现上述包含关系，大圈表示多边形，内部嵌套表示不同层级包含关系的小圈．
【详解】解：示意图如下：
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查几何命题的真假判断，了解平行公理、邻补角性质、垂线段最短等知识是解题的关键．
选项A为平行公理，正确；选项B中，邻补角的角平分线互相垂直，正确；选项C为垂线段最短性质，正确；选项D中，当两条直线重合时，该命题不成立，因此是假命题．
【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意；
B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意；
D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意．
故选：D．
3．下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了命题的真假识别，假命题的定义，熟悉掌握命题的构造是解题的关键．
把和的值分别代入式子中寻找满足，不满足的值即可．
【详解】A：把，代入可得：，成立；此时不符合，故A是反例；
B：把，代入可得：，不成立，故B不是反例；
C：把，代入可得：，成立；此时符合，故C不是反例；
D：把，代入可得：，不成立，故D不是反例；
故选：A．
4．下列命题可以称为定理的有（ ）
①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义．
【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理；
命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理；
命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理；
命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理；
命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理；
综上，命题④和命题⑤是定理，共个．
故选：A．
5．已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（ ）
A．16 B．15 C．24 D．42
【答案】D
【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可．
【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意；
B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意；
C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意；
D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意．
故选：D．
6．如图，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为，则这块菜地的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质；由平移可知，小路面积为宽为，长为的长方形的面积，进而根据大长方形的面积减去小路的面积即可求解．
【详解】解：如图，由平移可知，小路面积为宽为，长为的长方形的面积，
∵路的宽度是1米，
∴这条小路的面积是，
这块菜地的面积是
故答案为：．
7．如图，在中，，，将沿射线方向平移2个单位后，得到，连接．若，则的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了平移的性质，熟知图形平移后新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键．根据平移的性质，求出的三条边，进而求得其周长．
【详解】解：由题意知，，
∴，
由平移的性质可知：，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：12．
8．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ．
【答案】
【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案．
【详解】解：根据题意，，
如图所示，连接，
设，
在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，
，，，
，
设点到的高为，点到的高为，
∴，
∴，
，
，
又，
，，
，
故答案为：．
9．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ．
【答案】
【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论．
【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；
由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了，
故答案为：．
10．小明和小李研究某一年阳历6月份的日历，并且分别发表了自己的研究结论：
小明：这个月有5个星期二；
小李：这个月所有星期二的日期之和不为75；
请根据小明和小李两位同学的研究结论，判断这个月第三个星期二是6月 号．（填日期）
【答案】16
【分析】本题考查推理与论证和有理数加法的应用，理解题意是解决本题的关键．
根据6月有30天，再由小明条件可知，若有5个星期二，则第一个星期二必须在1日或2日；分别计算两种情况下星期二日期之和，判断是否满足小李条件（和不为75），从而确定第一个星期二为2日，进而找到第三个星期二日期即可．
【详解】解：6月有30天，若有5个星期二，则第一个星期二可能为1日或2日，
若1日为星期二，则星期二日期为1、8、15、22、29，
和为，与小李条件矛盾；
若2日为星期二，则星期二日期为2、9、16、23、30，
和为，符合小李条件．
∴第一个星期二为2日，第三个星期二为16日．
故答案为：16．
11．如图，公园里有一个长方形湖泊，湖上架有一座观景桥(桥墩忽略不计)．已知湖泊长米，宽米，桥面的宽度为米．公园管理人员计划在湖内喂养金鱼，每平方米水面投放条金鱼．求：
(1)这座桥的面积是多少？
(2)管理员准备投放多少条金鱼？
【答案】(1)平方米
(2)条
【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，平移的性质，正确计算是解题的关键．
（1）观景桥经过平移，根据“长方形面积=长×宽”，桥的面积是用长方形湖泊的面积减去长是米，宽是米的长方形面积，即可解答；
（2）用湖泊的面积乘每平方米投放金鱼的条数即可；
【详解】（1）解：
（平方米），
∴这座桥的面积是平方米；
（2）（条），
∴管理员准备投放条金鱼．
12．如图1，在等腰梯形中，上底长，下底长，高是；左边有一边长是的正方形以每分钟的速度沿梯形下底向右匀速运动．

(1)当正方形运动到第10分钟时，在图2中画出正方形的位置，用阴影表示出等腰梯形与正方形的重叠部分．
(2)求出阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)阴影部分的面积是900平方厘米
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，平移的性质，正方形的性质等知识﹒
（1）根据正方形移动时间与速度得到正方形10分钟向右移动了厘米，结合厘米，得到此时点B到达C点，即可得到阴影部分是一个上底是20厘米，下底是40厘米，高是30厘米的直角梯形；据此即可画出图形；
（2）根据梯形面积公式即可求解﹒
【详解】（1）解：如图：
正方形10分钟向右移动了（厘米），因为厘米，因此点B到达C点，阴影部分是一个上底是20厘米，下底是40厘米，高是30厘米的直角梯形，
（2）解：（平方厘米）﹒
答：阴影部分的面积是900平方厘米﹒
13．补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
14．已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”．
(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
(2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例．
【答案】(1)真命题，证明见解析
(2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析
【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理；
（1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可；
（2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可．
【详解】（1）解：真命题，证明如下：
设这两个三角形分别为，，
的底为a，高为h，的底为，高为，
∴，
∵，，
∴，
故命题为真命题；
（2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，
此命题是假命题；
举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形，
故逆命题为假命题．
15．“九宫格”源于我国古代的“洛书”，九宫格的上面三格称为“上三宫”，下面三格称为“下三宫”，中间一小格称为“中宫”，左右两格称为“左宫”和“右宫”．如图，九宫格中分别对应着从九个数字，并且无论纵向、横向、斜向三条线上的三个数字之和皆相等．设“九宫”中九个数字分别为．
(1)证明：九宫格中“中宫”的数字一定是5．
(2)判断“左宫”和“右宫”的位置上能否是偶数，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不能是偶数，理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，逻辑推理：
（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为，根据题意，分别对应中的一个数字，得到9个数之和为，根据纵向、横向、斜向3个数字之和相同，得到，进而得到，求解即可；
（2）假设“左宫”数字为偶数，则“右宫”数字也为偶数，推出与中4个偶数5个奇数相矛盾，即可．
【详解】（1）设纵向、横向、斜向3个数字之和均为．
因为，
所以
所以，
又因为，
所以，
所以，
即“中宫”的数字一定是5．
（2）假设“左宫”数字为偶数，
因为纵向、横向、斜向3个数字之和均为，中宫数字是5，为奇数；
则“右宫”数字也为偶数，
则数字必为一奇一偶，
不妨设为奇数，为偶数，
则必为偶数，为奇数，
这与中4个偶数5个奇数相矛盾，
所以“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．
根据九宫格的对称性知为偶数，为奇数，也会产生矛盾．
奇 偶 偶
偶 5奇 偶
偶 偶 奇
故“左宫”和“右宫”的位置上不能是偶数．

展开更多......

收起↑