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专题01 相交线新课闯关预习必备讲义
1.理解相交线的定义，能识别相交线形成的邻补角和对顶角。 2.掌握对顶角的性质并能进行简单计算。 3.认识垂线的定义和性质，会用三角尺或量角器画垂线。
预习必备 知识点梳理 1.相交线的定义 2.相交线形成的角
3.对顶角相等 4.垂线的定义及性质
常考题型 精讲精炼 1.对顶角的概念解析 2.对顶角的性质:对顶角相等
3.邻补角的定义深度理解 4.邻补角的识别方法
5.借助邻补角的互补关系计算角度 6.垂线的的定义与内涵解析
7.垂线的规范画法 8.垂线的性质:垂线段最短
9.点到直线的距离:定义与计算 10.同位角.内错角.同旁内角的识别与区分
分层强化 题型通关 强化题(14)
【知识点01.相交线的概念】
相交线定义:同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线，这个公共点叫做交点。
补充说明
1.前提条件：“同一平面内” 是关键，空间中两条直线没有公共点时，可能是异面直线，而非相交线。
2.核心特征：两条直线有且只有一个公共点，若有两个或更多公共点，则这两条直线重合，不属于相交线范畴。
【知识点02.相交线形成的角】
两条直线相交，会形成4 个角，这 4 个角两两之间存在两种特殊关系：邻补角、对顶角。
角的类型 定义 图形特征 数量关系
邻补角 两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线 有公共顶点、一条公共边，另一边成直线 邻补角之和为180 （互补）
对顶角 两个角有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线 有公共顶点，无公共边，两边互为反向延长线 对顶角相等
【知识点03.对顶角相等】
对顶角的定义：两条直线相交时，具有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等
一、 性质的严谨证明
已知：直线AB与直线CD相交于点O。
求证：∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
证明过程：
1.因为直线AB是一条直线，根据平角定义，∠AOC+∠COB=180。
2.同理，直线CD是一条直线，∠BOD+∠COB=180。
3.根据同角的补角相等，可得 ∠AOC=∠BOD。
4.同理可证，∠AOD=∠BOC。
二、 性质的应用场景
1.直接计算角度
例：两条直线相交，若其中一个角为65，则它的对顶角为65。
结合邻补角计算角度
例：两条直线相交，若一个角的对顶角是70，求这个角的邻补角度数
解：∵ 对顶角相等，∴ 这个角为70
∵ 邻补角之和为180，∴ 邻补角的度数为 180 70=110
3.解决几何推理题
关键思路：先根据对顶角相等转化角度，再结合其他几何性质（如垂线、平行线性质）求解。
常见误区提醒 误区 1：相等的角一定是对顶角反例：两直线平行时，同位角相等，但同位角不是对顶角。 误区 2：有公共顶点的角就是对顶角反例：邻补角有公共顶点，但不是对顶角（对顶角无公共边）。
【知识点04.重点拓展:垂线】
1.垂线定义
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号表示：直线AB⊥CD，垂足为O，记作AB⊥CD于O。
2.垂线的性质
（1）基本性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）拓展性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（3）垂线段定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3.动手操作：用三角尺画已知直线l的垂线
步骤 1：把三角尺的一条直角边与直线l重合；
步骤 2：沿着直线l移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外一点P（或直线上一点O）；
步骤 3：沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线l的垂线。
【题型1.对顶角的概念解析】
【典例】下列图形中，和是对顶角的是（ ）
B．
C． D．
【跟踪专练1】已知与是对顶角，的补角是，则 ．
【跟踪专练2】6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角．
A．30 B．42 C．36 D．40
【题型12.对顶角的性质:对顶角相等】
【典例】已知和是对顶角，和互为补角，若，则 ．
【跟踪专练1】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪专练2】如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ．
【题型3.邻补角的定义深度理解】
【典例】下列各图中，和是邻补角的是（ ）
B．
C． D．
【跟踪专练1】．和是邻补角，且比大，则 度， 度．
【跟踪专练2】如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（ ）
A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对
【题型4.邻补角的识别方法】
【典例】如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ．
【跟踪专练1】如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【跟踪专练2】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ．
【题型5.借助邻补角的互补关系计算角度】
【典例】如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪专练1】如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ．
【跟踪专练2】如图，交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【题型6.垂线的定义与内涵解析】
【典例】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
【跟踪专练1】如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪专练2】如图，已知直线，作，垂足为O，在内部，在内部，且，，则的度数为 ．
【题型7.垂线的规范画法】
【典例】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【跟踪专练1】如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ．
【跟踪专练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8.垂线的性质:垂线段最短】
【典例】如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【跟踪专练2】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ．
【题型9.点到直线的距离:定义与计算】
【典例】如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【跟踪专练1】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ．
【跟踪专练2】设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于
【题型10.同位角.内错角.同旁内角的识别与区分】
【典例】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ．
【跟踪专练1】如图，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪专练2】如图，则图中内错角共有 对．
1．下列图形中，和互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，和是邻补角的为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　）
A．和 B．
C．和 D．和
5．如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）．
6．如图，过直线上一点作直线，已知，（ ）
A． B． C． D．
7．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度．
8．为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
9．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ．
10．如图，点在直线上，与互补，平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，求的度数．
11．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图1，图中共有 对对顶角；
（2）如图2，图中共有 对对顶角；
（3）如图3，图中共有 对对顶角；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
12．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
13．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
14．已知：如图，，点B为上一点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数．专题01 相交线新课闯关预习必备讲义
1.理解相交线的定义，能识别相交线形成的邻补角和对顶角。 2.掌握对顶角的性质并能进行简单计算。 3.认识垂线的定义和性质，会用三角尺或量角器画垂线。
预习必备 知识点梳理 1.相交线的定义 2.相交线形成的角
3.对顶角相等 4.垂线的定义及性质
常考题型 精讲精炼 1.对顶角的概念解析 2.对顶角的性质:对顶角相等
3.邻补角的定义深度理解 4.邻补角的识别方法
5.借助邻补角的互补关系计算角度 6.垂线的定义与内涵解析
7.垂线的规范画法 8.垂线的性质:垂线段最短
9.点到直线的距离:定义与计算 10.同位角.内错角.同旁内角的识别与区分
分层强化 题型通关 强化题(14)
【知识点01.相交线的概念】
相交线定义:同一平面内，只有一个公共点的两条直线叫做相交线，这个公共点叫做交点。
补充说明
1.前提条件：“同一平面内” 是关键，空间中两条直线没有公共点时，可能是异面直线，而非相交线。
2.核心特征：两条直线有且只有一个公共点，若有两个或更多公共点，则这两条直线重合，不属于相交线范畴。
【知识点02.相交线形成的角】
两条直线相交，会形成4 个角，这 4 个角两两之间存在两种特殊关系：邻补角、对顶角。
角的类型 定义 图形特征 数量关系
邻补角 两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线 有公共顶点、一条公共边，另一边成直线 邻补角之和为180 （互补）
对顶角 两个角有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线 有公共顶点，无公共边，两边互为反向延长线 对顶角相等
【知识点03.对顶角相等】
对顶角的定义：两条直线相交时，具有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，叫做对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等
一、 性质的严谨证明
已知：直线AB与直线CD相交于点O。
求证：∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
证明过程：
1.因为直线AB是一条直线，根据平角定义，∠AOC+∠COB=180。
2.同理，直线CD是一条直线，∠BOD+∠COB=180。
3.根据同角的补角相等，可得 ∠AOC=∠BOD。
4.同理可证，∠AOD=∠BOC。
二、 性质的应用场景
1.直接计算角度
例：两条直线相交，若其中一个角为65，则它的对顶角为65。
结合邻补角计算角度
例：两条直线相交，若一个角的对顶角是70，求这个角的邻补角度数
解：∵ 对顶角相等，∴ 这个角为70
∵ 邻补角之和为180，∴ 邻补角的度数为 180 70=110
3.解决几何推理题
关键思路：先根据对顶角相等转化角度，再结合其他几何性质（如垂线、平行线性质）求解。
常见误区提醒 误区 1：相等的角一定是对顶角反例：两直线平行时，同位角相等，但同位角不是对顶角。 误区 2：有公共顶点的角就是对顶角反例：邻补角有公共顶点，但不是对顶角（对顶角无公共边）。
【知识点04.重点拓展:垂线】
1.垂线定义
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。符号表示：直线AB⊥CD，垂足为O，记作AB⊥CD于O。
2.垂线的性质
（1）基本性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）拓展性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（3）垂线段定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3.动手操作：用三角尺画已知直线l的垂线
步骤 1：把三角尺的一条直角边与直线l重合；
步骤 2：沿着直线l移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外一点P（或直线上一点O）；
步骤 3：沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是直线l的垂线。
【题型1.对顶角的概念解析】
【典例】下列图形中，和是对顶角的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可．
【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意；
C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意；
故选：B．
【跟踪专练1】已知与是对顶角，的补角是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查补角的定义，对顶角的性质及角的单位与角度制，由补角的定义可求出，再根据对顶角的性质即可解答．
【详解】解：，
∵与是对顶角，
∴．
故答案为：．
【跟踪专练2】6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角．
A．30 B．42 C．36 D．40
【答案】A
【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题．
【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角；
三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角；
四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角；
条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角；
6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角；
故选：A．
【题型12.对顶角的性质:对顶角相等】
【典例】已知和是对顶角，和互为补角，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角、补角的定义．根据对顶角相等、互为补角的两角和为计算即可．
【详解】解：∵和互补，，
∴，
∵和是对顶角，
∴．
故答案为：．
【跟踪专练1】光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，，
∴，
故选：D．
【跟踪专练2】如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得，解答即可．
本题考查了对顶角相等，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
故答案为：．
【题型3.邻补角的定义深度理解】
【典例】下列各图中，和是邻补角的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可．
【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意；
B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意．
C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意；
D．符合邻补角的定义，故D符合题意；
故选D．
【跟踪专练1】．和是邻补角，且比大，则 度， 度．
【答案】
【分析】本题考查了邻补角的性质：邻补角互补，即和为．也考查了一元一次方程的解法，根据邻补角性质列出方程是解题的关键．设，，根据和是邻补角列出方程，解方程即可．
【详解】解：设，，
根据题意得，
解得．
．
，．
故答案为：；．
【跟踪专练2】如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（ ）
A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对
【答案】B
【分析】本题考查了余角和补角的判断，掌握根据角的和为找互余的角，和为找互补的角是解题的关键；
先根据已知的直角条件，找出互余的角，即和为的角对；再找出互补的角，即和为的角对，然后统计对数．
【详解】解：已知，
∴，，，，
∴，，
由此可知：
互余的角有：与，与，与，与，共对；
互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共对
故选：B．
【题型4.邻补角的识别方法】
【典例】如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是 ．
【答案】和
【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可．
【详解】解：∵，
∴的邻补角是和，
故答案为：和．
【跟踪专练1】如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可．
【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意；
B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意；
C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意；
D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意；
故选：A．
【跟踪专练2】如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ．
【答案】和
【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得．
【详解】解：的邻补角为和，
故答案为：和．
【题型5.借助邻补角的互补关系计算角度】
【典例】如图，点O在直线上，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的定义，余角和补角，先由邻补角的性质求出，再由角平分线的定义即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
故选：D．
【跟踪专练1】如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键．
由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：，
，
射线平分，
，
，
射线平分，
，
，
的度数为，
故答案为：．
【跟踪专练2】如图，交于点O，平分，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了邻补角定义，以及角平分线定义．根据平角、角平分线定义求得，结合求出，利用平角的定义求解，即可解题．
【详解】解：∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【题型6.垂线的定义与内涵解析】
【典例】如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为．
【跟踪专练1】如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键．
由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可．
【详解】解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
【跟踪专练2】如图，已知直线，作，垂足为O，在内部，在内部，且，，则的度数为 ．
【答案】/151度
【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，得出是解题的关键．
由得出，即，，根据可以得出，结合即可求出的度数，从而求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型7.垂线的规范画法】
【典例】在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（ ）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
【答案】A
【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断．
【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段，
故选：A．
【跟踪专练1】如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ．
【答案】
【分析】根据垂线的定义作图，然后求解即可．
【详解】如图所示，过点A作的垂线段，垂足为D，
∴点D的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂线段的概念，坐标系中点的坐标，解题的关键是正确找到垂足．
【跟踪专练2】利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案．
【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线，
∴C选项的画法正确，
故选：C．
【题型8.垂线的性质:垂线段最短】
【典例】如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
【答案】 C 点到直线，垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
故答案为垂线段最短．
【跟踪专练1】如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答．
【详解】解：当时，最小，
此时，
∴，
∴，
即的最小值为．
故选：A．
【跟踪专练2】如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ．
【答案】 垂线段最短
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是，点到的距离是，
∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴，
故答案为：，，垂线段最短．
【题型9.点到直线的距离:定义与计算】
【典例】如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离．
根据高的定义作答即可．
【详解】解：∵，
∴点B到的距离是线段的长度．
故选：C．
【跟踪专练1】如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ．
【答案】 4 3
【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中．
根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可．
【详解】解：∵，
∴A，B两点之间的距离为，
∵，，
∴点A到直线的距离为的长，即，
∵，，
∴点C到直线的距离为的长，即．
故答案为：4；；3
【跟踪专练2】设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于
【答案】C
【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长．
【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长．
故选：C．
【题型10.同位角.内错角.同旁内角的识别与区分】
【典例】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解．
【详解】解：，
∠3的同位角等于，
∠3的内错角等于，
∠3的同旁内角等于，
故答案为：，，，．
【跟踪专练1】如图，和是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可．
【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意，
故选：A．
【跟踪专练2】如图，则图中内错角共有 对．
【答案】4
【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
根据内错角的定义确定内错角的对数即可．
【详解】解：如图：和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；和是一对内错角；即内错角共4对．
故答案为4．
1．下列图形中，和互为对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键．
根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解．
【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角，
故选：C．
2．下列图形中，和是邻补角的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了了邻补角的定义，根据邻补角的定义进行判断即可，掌握邻补角的定义是解题的关键．
【详解】解：A、和是邻补角，故选项符合题意；
B、和不是邻补角，故选项不符合题意；
C、和不是邻补角，故选项不符合题意；
D、和不是邻补角，故选项不符合题意；
故选：A．
3．如图，直线，相交于点，平分，，则度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线，掌握对顶角、邻补角以及角平分线的定义是正确解答的关键．根据邻补角的定义，角平分线的定义进行计算即可．
【详解】解：，而，
，
又平分，
．
故选：C．
4．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　）
A．和 B．
C．和 D．和
【答案】A
【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键．
根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解；
【详解】解：是平角，
的邻补角是；
是平角，
的邻补角是；
综上所述：的邻补角是和；
故选：A
5．如图，直线，直线所截，与是 （填“同位角”“内错角”或“同旁内角”）．
【答案】同旁内角
【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角定义，根据同位角，内错角，同旁内角定义结合图形进行判断，即可解题．
【详解】解：根据与都在直线，之间，并在直线左侧，
所以与是同旁内角，
故答案为：同旁内角．
6．如图，过直线上一点作直线，已知，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：C．
7．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度．
【答案】
【分析】根据垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，解答即可．
本题考查了垂直的定义，对顶角相等，角的平分线定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：55．
8．为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
【答案】 垂线段最短
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可．
【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，
∴当时，，
∵垂线段最短，
∴当不与直线l垂直时，，
∴．
故答案为：；垂线段最短．
9．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ．
【答案】4.8
【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，
根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，
，
，
，，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
10．如图，点在直线上，与互补，平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线和邻补角、补角问题，关键是根据互补的关系和邻补角以及角平分线的定义解答．
（1）根据互补的关系和邻补角以及角平分线的定义解答即可；
（2）根据互补的关系和角平分线的定义列出方程解答即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，，
∴，
∵与互补，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵点在直线上，
∴与互补，
∵与互补，
∴，
∵平分，
∴，
设为，可得：，
解得：，
∴．
11．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图1，图中共有 对对顶角；
（2）如图2，图中共有 对对顶角；
（3）如图3，图中共有 对对顶角；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
【答案】 2 6 12 4098600
【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键．
根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得．
（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角；
（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；
（4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数；
（5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．
【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角；
故答案为：2；
（2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角；
故答案为：6；
（3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角；
故答案为：12；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
2条直线相交于一点，形成对对顶角；
3条直线相交于一点，形成对对顶角；
4条直线相交于一点，形成对对顶角；
……；
n条直线相交于一点，形成对对顶角；
∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；
故答案为：；
（5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角．
故答案为：4098600．
12．如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和．
【答案】(1)
(2)的所有内错角为，，同旁内角，
【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分，
求的度数即可；
（2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可．
本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据对顶角相等，得，
∵平分，
∴．
（2）解：根据题意，得的所有内错角为，，
同旁内角，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分．
(1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数．
(2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数．
(3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)的度数是或或或
【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果；
（2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果；
（3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴．
（3）解：①当，在直线的上方时，如图所示：
，
∵平分，
∴，
即．
②当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即．
③当，在直线的上方时，如图所示：
，
，
∵平分，
∴，
即．
④当，在直线的下方时，如图所示：
∵，
，
∵平分，
∴，
即．
综上分析可知， 或或或．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键．
14．已知：如图，，点B为上一点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
（1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论；
（2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论；
（3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图：分别过点作的平行线，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴；
（3）解：设，则，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，，
∴，
如图，过点P作，过点H作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

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