资源简介

21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
课题 矩形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第54-55页的内容
教学目标 1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法． 2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能力． 3.能应用矩形的定义、判定等知识解决简单的证明和计算问题，进一步培养学生的分析能力．
教学重难点 教学重点：矩形的判定定理及其应用． 教学难点：综合运用矩形的性质和判定及其相关结论解决问题．
教 学 过 程 备 注
1.复习反思，情境引入 【复习反思】（1）什么是矩形？矩形有哪些性质？ （2）说说矩形与平行四边形之间的联系：有什么共同点？不同点？矩形与平行四边形的从属关系是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师点拨分析矩形与平行四边形及四边形的从属关系． 【情境引入】 小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的相框是矩形？看看谁的方法可行？ 师生活动:可布置学生课前用两对长短不一的木条制作简易矩形框架，用于课堂模拟. 2.实践探究，学习新知 【问题1】工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，采用了一种方法：量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道这是为什么吗？ 师生活动:教师分析，两组对边相等的四边形是平行四边形.引导学生继续猜想：对角线相等的平行四边是矩形. 教师追问：如何证明这一猜想 师生活动:教师指导学生画出图形，写出已知、求证，学生观察思考后尝试证明;教师巡视指导，辅助学生;展示学生成果，教师规范板书证明过程. 已知：如图，在 ABCD中，AC＝DB. 求证： ABCD是矩形． 证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC. ∵AC＝DB，BC＝CB. ∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC＝∠DCB. ∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴∠ABC＝90°.∴ ABCD是矩形． 矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 【问题2】我们知道，矩形的四个角都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 师生活动：学生先独立思考，再讨论交流，得出有三个角是直角的四边形是矩形. 教师追问：如何证明这个结论？ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形． 几何语言：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形． 3.学以致用，应用新知 考点1 判定矩形的条件 【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 答案：D 【方法归纳】判定矩形的基本思路： ①若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角； ②若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形； ③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等． 【例2】如图，平行四边形各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形为矩形. 证明：在中，∵， ∴， 又平分，平分， ∴， ， ∴，即， 同理， ∴, ∴四边形是矩形. 考点2 矩形判定与性质的综合应用 【例3】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数． 分析：先证明 ABCD是矩形，再根据矩形的四个内角均为90°，即可求出∠OAB的度数． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. 又∵OA＝OD，∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠DAB＝90°.又∵∠OAD＝50°，∴∠OAB＝40°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ ①有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ②有四个角是直角的四边形是矩形. (√) ③四个角都相等的四边形是矩形. (√) ④对角线相等的四边形是矩形. (×) ⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形. (√) ⑥对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形. (×) ⑦一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形. (√) ⑧两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形. (√) （2）已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积． 分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC，BO=BD. ∵AO=BO，∴AC=BD． ∴ ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm， ∴BC=（cm）． ∴S ABCD=AB·BC=4×4=16（cm2）. （3）如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H． 求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． ∴∠DAB＋∠ABC=180°． 又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ， ∴∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．∴∠AFB=90°． 同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°． ∴四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）． 5.课堂小结，自我完善 矩形的三种判定方法． 方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 方法2：对角线相等的平行四边形是矩形； 方法3：有三个角是直角的四边形是矩形． 6.布置作业 教材P71练习第1-3题； 教材P78习题21.3第1，2题. 复习矩形的定义和性质，凸显平行四边形和矩形之间的联系，为新问题的提出做好准备. 通过实际问题引发学生思考，让学生感受判定矩形的必要性，体会数学在实际生活中的应用． 通过探究活动为学生提供充分发挥创造力的空间，调动学生的积极性． 由矩形性质的逆命题成立与否提出猜想，目标明确，容易获取结论. 设置例题帮助学生掌握矩形的判定，并综合运用矩形的性质和判定解决问题． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，及时获知学生对所学知识的掌握情况，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会数学思想方法. 课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 矩形的判定 1.对角线相等的平行四边形是矩形 2.有三个角是直角的四边形是矩形 3.判定矩形的基本思路 例题 练习
教学反思 以问题的形式展开对矩形的判定方法的探究，师生总结问题结论后，教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学以致用..在本课时的教学中，教师应最大限度地将课堂交给学生，提高学生学习的积极性与主动性.

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