资源简介

21.3.2 菱形
第2课时 菱形的判定
课题 菱形的判定 课型 新授课
教学内容 教材第74-75页的内容
教学目标 1.掌握菱形的判定定理及其证明方法． 2.能利用菱形的判定定理解决一些简单的问题． 3.在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及推理能力．
教学重难点 教学重点：菱形的判定定理及其应用． 教学难点：探究菱形的判定条件．
教 学 过 程 备 注
1.复习回顾，导入新课 【问题1】（1）矩形的定义、性质和判定定理分别是什么？ 矩形的定义、性质矩形的判定有一个角是直角的平行四边形叫作矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等对角线相等的平行四边形是矩形四个角都是直角有三个角是直角的四边形是矩形
（2）回顾菱形的定义及性质，填表： 菱形的定义、性质菱形的判定一组邻边相等的平行四边形叫作菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角？四条边都相等？
教师追问：你能通过类比发现菱形的判定定理吗？ 师生活动：教师出示问题，学生填写表格，通过类比引起对菱形判定定理的思考． 2.实践探究，获取新知 【问题2】如图，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 师生活动：学生猜想， 当两个木棒之间的夹角等于90度时，得到的图形是菱形.请学生代表利用学具展示说明. 教师追问：你能证明这个猜想吗 师生活动:学生思考后小组内交流证明思路，教师引导学生规范的文字题证明，然后学生写出证明过程并简明的点评. 已知：在□ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD，∴BA=BC.∴□ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：对角线互相垂直度平行四边形是菱形. 【问题3】拿出课前准备的两个全等的等腰三角形纸板（不等边），动手拼一拼，看看可以拼出几种平行四边形. （1）当两底边重合时拼出的四边形是什么图形？它的四条边有什么样的数量关系？ （2）你能得到什么结论？ 师生活动：学生代表展示作品，并利用作品说明结论，最后得出：四条边相等的四边形是菱形.教师指导学生规范完成几何论证过程. 已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明:∵AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形. 归纳菱形的判定定理：四条边都相等的四边形是菱形. 数学语言：∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形. 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的判定 【例1】如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AECF， ∴∠EAO＝∠FCO. ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF. 又AO＝CO， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形. 【例2】如图，在△ABC中，AB=BC，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.求证：四边形BDEF是菱形. 证明：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴DE=AB，EF=BC，BF=AB，BD=BC. 又AB=BC，∴DE=EF=BF=BD.∴四边形BDEF是菱形. 考点2 菱形判定与性质的综合 【例3】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若BF＝BA，AD＝4，DF＝2，求BF的长． 解：(1)证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD. 又∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形． (2)∵DE＝DF＝2，∴EF＝2DF＝4. 设BE＝x，则BD＝BE＋DE＝x+2，BA＝BF＝BE＋EF＝x+4. 在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2＋BD2＝BA2， 即42＋(x＋2)2＝(x＋4)2，解得x＝1. ∴BF＝x＋4＝5，即BF的长为5. 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO.添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是 ( ) A.AB=AD　　　B.AC=BD C.AC⊥BD D.∠ABO=∠CBO 答案：B （2）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，则四边形周长为 ，面积为 ． 答案：20，24 （3）如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形． 证明：∵AB∥DM， ∴∠BAM＝∠AMD. 由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM. ∴∠DAM＝∠AMD. ∴AD＝DM＝AB＝BM. ∴四边形ABMD是菱形． （4）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°. ①求证： ABCD是菱形； ②求BD的长． 解：①证明：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC.∴ ABCD是菱形． ②∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD. ∵AB＝AC＝4，∴AO＝2.∴BO＝2，BD＝2OB＝4. （5）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证： ABCD是菱形． 分析：在△AOB中，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再结合四边形ABCD是平行四边形即可得证． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴AB2＝AO2＋BO2. ∴△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°. ∴ ABCD是菱形． 5.课堂小结，自我完善 （1）本节课你学习了几种判定菱形的方法？ （2）你是怎样得到这些判别方法的？ （3）对本节课的学习你有什么感受和想法？ 6.布置作业 教材P75练习第1-3题； 教材P78习题21.3第5,10题. 回顾矩形的定义、性质及判定，菱形的定义、性质，通过类比，建立知识之间的联系，激发学生的求知欲，为突破本节课重难点做准备. 引导学生认识菱形的判定定理与菱形的性质定理是互逆定理后，让学生独立思考，逐步锻炼学生的推理论证能力． 这一探究活动贴近生活、轻松自然.学生利用平行四边形的判定和菱形的定义，演示说明自己的作品就是菱形，进一步培养了推理论证能力，体验了数学与生活的密切联系，产生了极大的成就感. 设置例题帮助学生掌握菱形的两个判定定理，并综合运用菱形的判定和性质来解决问题． 通过随堂训练，巩固课堂所学内容，检测学习效果，进一步培养根据已知条件和对图形的观察进行合情推理，选择合适的判定方法进行推理论证的能力. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会知识之间的联系. 课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 菱形的判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.四条边相等的四边形是菱形 例题 练习
教学反思 学生获得知识，建立在自己体验和思考的基础上；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生通过自主、合作、探究的学习方式，亲身经历观察、实验、猜想、推理、论证、展示、交流等活动，才能在数学思考、问题解决、数学素养等方面得到发展.

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