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21.3.3 正方形
课题 正方形 课型 新授课
教学内容 教材第75-77页的内容
教学目标 1.掌握正方形的性质和判定以及正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的关系． 2.运用正方形的性质及判定进行简单的计算、推理、论证． 3.让学生感受从一般到特殊，化未知为已知的数学思想及转化的数学思想方法．
教学重难点 教学重点：探索正方形的性质及判定定理． 教学难点：理解正方形与平行四边形、菱形、矩形之间的内在联系及正方形的性质和判定的应用.
教 学 过 程 备 注
1.创设情境，引入课题 （1）观察图片：正方形的地板砖、印章、钟表、包装盒等． （2）在小学，什么样的四边形是正方形？正方形与矩形和菱形分别有什么关系？ 师生活动：教师出示图片和问题，学生回答，四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫正方形． 2.探究性质，深化认知 【问题1】（1）做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 师生活动：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． （2）做一做：观看电动伸缩门的开合.如图，某一拉门在关闭时，其相应的菱形变成正方形．说说图中∠1的变化过程. 师生活动：老师引导学生观察，伸缩门在关闭的过程中，图中的四边形的形状是如何改变的？∠1的变化的过程如何. 教师追问1：通过前面的探究，我们知道正方形既是矩形，又是菱形，还是平行四边形，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有怎样的关系？ 师生活动：学生先自主思考，再合作交流，填写关系图.老师鼓励学生进行小组内部及小组之间的交流与合作，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 教师追问2：如何给出正方形的定义？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．其定义包括了两层意思： ⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 【问题2】正方形既是矩形又是菱形.所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.正方形的边，角，对角线有哪些性质？是不是轴对称图形？ 平行四边形菱形矩形正方形边角对角线轴对称图形对称轴(条数)
师生活动:学生自主完成后，小组内、小组间交流改错.老师检查，在学生遇到困难时，及时给与帮助. 【问题3】在小组内说一说，证明一下： （1）正方形的四个角都是直角，四条边相等； 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边都相等，四个角都是直角. （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分. 已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD. 思考：从上题图可看出: （1）正方形的一条对角线把正方形分割成什么图形？ （2）正方形的两条对角线把正方形分割成什么图形？ 学生自主思考后总结： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形. 老师点拨说明：这是正方形的特殊性质，有关正方形的问题可以利用对角线转化到直角三角形中解决.从而达到把未知问题转化为已知问题来解决. 【问题4】在问题1的做一做中，为什么可以折出正方形纸片？猜想：满足怎样条件的矩形是正方形. 请证明：对角线互相垂直的矩形是正方形． 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 【问题5】把能活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状．量量看是不是正方形．猜想：满足什么条件的菱形是正方形？ 请证明：对角线相等的菱形是正方形． 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝DB. 求证：四边形ABCD是正方形． 总结:要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是先证明它是矩形(或菱形)，再证明这个矩形(或菱形)有一组邻边相等(或有一个角是直角)，其实质就是根据正方形的定义来判定.也可以先证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一个角是直角，或证这个平行四边形的两条对角线相等并且互相垂直. 3.学以致用，应用新知 考点1 正方形性质的应用 【例1】如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF的长是 ( ) A.1 B. C. D.2 答案:C 【例2】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：如图，四边形是正方形，对角线相交于点． 求证：是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形是正方形， ∴AC=BD,AC⊥BD, ∴，， 并且． 考点2正方形的判定 【例3】如图1，在正方形中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且，求证：四边形是正方形. 证明：∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴四边形是正方形. 4.随堂训练，巩固新知 （1）正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直 C.对角互补 D.对角线相等 答案:B （2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A.4个 B．6个 C．8个 D．10个 答案：C （3）四边形ABCD的对角线交于点O，下列选项中不能判定其是正方形的是 ( ) A.AB∥CD，AB=AD，∠BAD=90° B.AB=BC=CD=AD，∠ABC=90° C.∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AC=BD D.AO=CO=BO=DO，AC⊥BD 答案：C （4）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥CD，则OE＝ ． 答案：2 （5）如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E，F. ①当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形 试说明理由; ②在①中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形 为什么 答案:①AD=2AB，理由略.　②BC的中点，理由略. （6）如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°. 求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°. ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°. ∴△AEB≌△AFD(AAS).∴AB＝AD. ∴矩形ABCD是正方形． 5.课堂小结，自我完善 （1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？运用到了哪些数学思想方法？说出来与大家分享！还有什么困惑？ （2）展示平行四边形、菱形、矩形、正方形四种图形的包含关系图,引导学生回顾正方形的定义和性质,并说出这几种图形之间的联系与区别. 6.布置作业 教材P76练习第1-3题；教材P78练习第1-3题； 教材P78习题21.3第6，7,12,15,16题. 欣赏生活中常见的图形或图片，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生强烈的好奇心和求知欲. 通过折叠裁剪得出正方形，观察其图形特征，明白制作原理:邻边相等的矩形是正方形. 观察伸缩门在关闭的过程中，四边形的形状及∠1的变化，找到其中蕴含的数学原理：一个角为直角的菱形是正方形. 通过以上问题情境的创设，使学生经历从现实生活中抽象出数学问题的过程，激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索学习的氛围. 体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系． 通过自主归纳总结，不仅回顾了所学知识，而且培养了归纳概括的能力，学生的发散思维能力和创新能力得到了加强. 老师引导学生独立思考，设置例题，帮助学生掌握正方形的性质和判定，进一步培养学生逻辑思维能力和推理论证能力． 应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果，使每个学生都能有所收获、有所提高. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，体会知识之间的联系. 课后练习巩固，让所学知识得以运用.
板书设计 正方形 （1）正方形的定义和性质 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形． 对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角． （2）正方形的判定 例题 练习
教学反思 在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，问题的提出应引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强认识真实世界、解决真实问题的能力，树立学好数学的自信心，养成良好的学习习惯. 在课堂教学中,要注意发挥学生的主体作用,团队作用,让学生通过独立思考,合作交流等方式,积极参与到课堂的教学活动中,真正做课堂的主人,学习的主人.

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