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人教版高考数学讲义——外接球球心模型
（原卷版）
球与多面体的外接关系是空间中一种比较特殊的位置关系，因为较难画出直观图形而使得问题变得抽象难懂，故多面体的外接球问题常常成为考察空间想象能力的重要载体，能全方位、多角度、深层次地考察学生的直观想象素养。实际上，解决此类问题的关键在于准确定外接球球心的位置，我们无须画出外接球，即可准确、有效地定位球心。
1、外心垂线交点法：但知截面圆心在，两条垂线定球心
在平面几何中，根据圆的垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，故而过两条弦中点分别作这两条弦的垂线，这两条垂线的交点就是圆心。类似地，在立体几何中，球的截面性质告诉我们，球心与截面圆心的连线垂直于截面，因而过两个截面圆圆心分别作这两个截面的垂线，其交点即为球心。我们知道，多面体的任一表面多边形的外接圆都是其外接球的一个截面，此截面圆圆心即表面多边形的外心。在确定外接球球心位置时，只需要选取多面体的某两个表面，分别过其外心（即截面圆圆心）作此平面的垂线，这两条垂线的交点即为多面体外接球的球心。
例1 、已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，，，，是等边三角形，若四棱锥体积的最大值为，则此时球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
例2 、已知三棱锥中，，，点是的中点，点在平面上的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为。
2、坐标法：建系设点列方程，水落石出现真身
上述外心垂线交点法是确定外接球球心位置的一类通法，但其缺点较为明显：对空间想象能力要求较高，且求解程序较为复杂，不易于学生掌握。基于这样的认识，我们还可以利用坐标法来简单、粗暴地计算外接球球心位置：先根据多面体的结构特征，建立适当平面直角坐标系；接着设出球心坐标为，根据球心到球面每一点距离相等列出方程组；最后求解方程组，水落石出，即得球心的坐标。
例3、正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为。
例4、在三棱锥中，二面角、和的大小均等于，。设三棱锥外接球的球心为，直线与平面交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
3、特殊模型法：透视特殊几何体，轻松玩转外接球
不论是外心垂线交点法还是坐标法，都属于通性通法的范畴：前者注重从“形”的角度切入，后者更重视以“数”解“形”。实际上，对于某些特殊的多面体，往往有更为特殊而简单的方法来快速锁定其外接球球心的位置。
3.1长方体模型
我们知道，长方体的四条体对角线具有长度相等、相交于一点且互相平分等性质，其交点到长方体八个顶点的距离相等，故长方体的体对角线就是其外接球的一条直径，体对角线的中点即为外接球球心。也就是说，若长方体的长、宽、高，分别为，，，则外接球直径为，半径为。充分利用长方体的这一特性，可以轻松解决一些多面体的外接球问题。
3.1.1墙角模型
如图6所示，三棱锥在点处的三条棱两两垂直，其形状颇似房间的墙角，不妨称之为墙角模型。对于墙角模型，我们可以将其补形为长方体，从而将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球问题。其中，点处的三条两两垂直的棱就是长方体的长、宽、高，分别记为，，，则外接球直径为，半径为。
例5 、半径为2的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，，面积之和的最大值为________。
3.1.2鳖臑模型
我国古代数学著作《九章算术》将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）。不难发现，鳖臑就是底面为直角三角形，且一个锐角顶点处的侧棱垂直于底面的四面体。对于鳖臑模型，也可以补形、复原成长方体，再得到其外接球。如图7所示，鳖臑中，底面直角三角形的两条直角边，是长方体的长和宽，垂直于底面的侧棱就是长方体的高，故其外接球的半径为。
例6 、
如图8，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积是。
3.1.3对棱相等模型
如图9，四面体的六条棱分别为长方体上、下、前、后、左、右六个面的对角线，具有对棱长度相等这一特性。因而，当四面体的三对对棱长度分别对应相等时，可以通过补形、复原手段将四面体外接球转化为长方体外接球。具体来说，当四面体的三对对棱长度相等、分别为，，时，可设长方体的长、宽、高分别为，，，则，三式相加得，故其外接球的直径为，半径。
例7、在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为。
3.2直棱柱模型
对于直棱柱，上、下底面外心的连线段的中点到各顶点的距离相等，故此中点即为直棱柱外接球的球心。如图10所示，若直棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则外接球球心到底面的距离等于的一半，故
外接球的半径为．
特别地，前述长方体模型就是更为特殊的直棱柱模型，借助长方体模型解决外接球问题更为简洁一点．
需要注意的是，当某棱锥的一条侧棱垂直于底面时，可以将此棱锥补形、复原成直棱柱，从而将棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球问题．
例8、已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A． B．
C． D．
3.3共斜边拼接模型
如图12，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
特别的，前述鳖臑模型也可以看成是共斜边拼接模型．比如，对于图7中的鳖臑，就是由有一条公共斜边的与拼接而成的，故公共斜边就是外接球的直径．
例9、在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
3.4侧棱相等模型
我们知道，当棱锥的侧棱长度相等时，棱锥顶点在底面上的射影是底面多边形的外心，故棱锥的外接球球心必在棱锥的高所在的直线上. 如图14和图15所示，棱锥的侧棱长均相等，记棱锥的高为，底面外接圆的半径为，棱锥外接球的半径为. 当时（图14），根据勾股定理得，则. 同理，当时（图15），，也可得到. 所以，不论与的大小关系如何，总有.
若棱锥的侧棱长为，则，故棱锥外接球的半径为.
例10 、
已知，，，是球表面上四点，点为的中点，若，，，，，则球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.人教版高考数学讲义——外接球球心模型
（解析版）
球与多面体的外接关系是空间中一种比较特殊的位置关系，因为较难画出直观图形而使得问题变得抽象难懂，故多面体的外接球问题常常成为考察空间想象能力的重要载体，能全方位、多角度、深层次地考察学生的直观想象素养。实际上，解决此类问题的关键在于准确定外接球球心的位置，我们无须画出外接球，即可准确、有效地定位球心。
1、外心垂线交点法：但知截面圆心在，两条垂线定球心
在平面几何中，根据圆的垂径定理，圆心与弦中点的连线垂直于弦，故而过两条弦中点分别作这两条弦的垂线，这两条垂线的交点就是圆心。类似地，在立体几何中，球的截面性质告诉我们，球心与截面圆心的连线垂直于截面，因而过两个截面圆圆心分别作这两个截面的垂线，其交点即为球心。我们知道，多面体的任一表面多边形的外接圆都是其外接球的一个截面，此截面圆圆心即表面多边形的外心。在确定外接球球心位置时，只需要选取多面体的某两个表面，分别过其外心（即截面圆圆心）作此平面的垂线，这两条垂线的交点即为多面体外接球的球心。
例1 、已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，，，，是等边三角形，若四棱锥体积的最大值为，则此时球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
解析 如图1，在等腰梯形中，设，结合可得，，且梯形的高为；。
在等边中，取中点，连接，则，且）。
显然，四棱锥体积最大时，平面平面，则平面。此时，，解得。
对于等腰梯形而言，其外接圆与的外接圆重合，故等腰梯形的外心即为的外心，即边的中点。因此，过作平面的垂线，则外接球球心在这条垂线上。
对于等边而言，其外心即为中心，即上靠近点的一个三等分点，记为点。过作平面的垂线，则外接球球心也在这条垂线上。
易知，四边形为矩形，则。
在中，求得外接球的半径为。
所以，球的表面积为，正确选项为。
点评 利用外心垂线交点法解决外接球问题的核心步骤是选取两个表面多边形，并确定其外心的准确位置，这就要求学生具备较为扎实的平面几何知识。
例2 、已知三棱锥中，，，点是的中点，点在平面上的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为。
解析 因为，，故为等腰直角三角形，其外心为斜边的中点。如图2所示，记外接球球心为，则平面。
根据题意，是边长为2的等边三角形，故其外心即为上靠近点的一个三等分点，平面，且，。
又点在平面上的射影恰好为的中点，记为，则，故，，，，，共面。在中，，，则。因而，在中，，则，故。
在中，。所以，三棱锥外接球半径，外接球的表面积为。
点评 计算外接球半径的过程中，很重要的一步就是求球心到截面的距离，比如本题中求（当然也可以求得）。求得后，由勾股定理即得外接球的半径（为截面圆半径）。
2、坐标法：建系设点列方程，水落石出现真身
上述外心垂线交点法是确定外接球球心位置的一类通法，但其缺点较为明显：对空间想象能力要求较高，且求解程序较为复杂，不易于学生掌握。基于这样的认识，我们还可以利用坐标法来简单、粗暴地计算外接球球心位置：先根据多面体的结构特征，建立适当平面直角坐标系；接着设出球心坐标为，根据球心到球面每一点距离相等列出方程组；最后求解方程组，水落石出，即得球心的坐标。
例3、正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为。
解析 建立平面直角坐标系，如图3所示，则，，，。
设外接球球心坐标为，则球心到，，，四点的距离相等，都等于半径，即
解得
故外接球的半径为，外接球的体积为。
点评 本题采用坐标法计算球心的位置，简便易行。相比较而言，避免了找外心、作垂线、定交点、求点面距离等较为繁琐的程序，从而有效降低了对空间想象能力的要求。
例4、在三棱锥中，二面角、和的大小均等于，。设三棱锥外接球的球心为，直线与平面交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
解析 如图4所示，设点在底面内的射影为，作、、，垂足分别为，，，连接，，，则二面角、和的平面角依次为，，，故。显然，，，两两全等，故，即点为底面的内心。
因为，不妨设，，，由平面几何知识可得，底面的内切圆半径为，即，故。
如图5所示，建立空间直角坐标系，则，，，。
过点作平面，垂足为，则为的中点。可设，由得，解得，故。
显然，，则，故，正确选项为。
点评 上述求解过程在设球心的坐标时，并未直接设为，而是考虑到平面，即轴，故而点与的横、纵坐标均相同，这样仅需设出一个未知数，达到了简化运算的目的。
3、特殊模型法：透视特殊几何体，轻松玩转外接球
不论是外心垂线交点法还是坐标法，都属于通性通法的范畴：前者注重从“形”的角度切入，后者更重视以“数”解“形”。实际上，对于某些特殊的多面体，往往有更为特殊而简单的方法来快速锁定其外接球球心的位置。
3.1长方体模型
我们知道，长方体的四条体对角线具有长度相等、相交于一点且互相平分等性质，其交点到长方体八个顶点的距离相等，故长方体的体对角线就是其外接球的一条直径，体对角线的中点即为外接球球心。也就是说，若长方体的长、宽、高，分别为，，，则外接球直径为，半径为。充分利用长方体的这一特性，可以轻松解决一些多面体的外接球问题。
3.1.1墙角模型
如图6所示，三棱锥在点处的三条棱两两垂直，其形状颇似房间的墙角，不妨称之为墙角模型。对于墙角模型，我们可以将其补形为长方体，从而将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球问题。其中，点处的三条两两垂直的棱就是长方体的长、宽、高，分别记为，，，则外接球直径为，半径为。
例5 、半径为2的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，，面积之和的最大值为________。
解析
由，，两两垂直可知，四面体即为墙角模型。
设，，，则外接球直径为，故。
所以，，，面积之和为，即当时，面积之和取得最大值8。
点评 墙角模型的结构特征明显，较为容易识别。
3.1.2鳖臑模型
我国古代数学著作《九章算术》将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）。不难发现，鳖臑就是底面为直角三角形，且一个锐角顶点处的侧棱垂直于底面的四面体。对于鳖臑模型，也可以补形、复原成长方体，再得到其外接球。如图7所示，鳖臑中，底面直角三角形的两条直角边，是长方体的长和宽，垂直于底面的侧棱就是长方体的高，故其外接球的半径为。
例6 、
如图8，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积是。
解析 因为底面为菱形，故，即为直角三角形，为直角顶点，又平面，故三棱锥是一个鳖臑模型。
在中，，，则。
所以，三棱锥的外接球的半径为，外接球的体积为。
点评 由求解过程可知，本题中所给的条件“”是多余的，因为无须单独计算与的长度。
3.1.3对棱相等模型
如图9，四面体的六条棱分别为长方体上、下、前、后、左、右六个面的对角线，具有对棱长度相等这一特性。因而，当四面体的三对对棱长度分别对应相等时，可以通过补形、复原手段将四面体外接球转化为长方体外接球。具体来说，当四面体的三对对棱长度相等、分别为，，时，可设长方体的长、宽、高分别为，，，则，三式相加得，故其外接球的直径为，半径。
例7、在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为。
解析 因为四面体具有对棱相等的特征，三对棱长分别为、、，故其外接球的半径，外接球的表面积为。
点评 实际上，当四面体的三对对棱长度对应相等时，其外接球问题并不容易解决，将其补形成长方体的思路虽然较为隐蔽，但掌握了模型的结构特征，即可进行快速识别并破解之。
3.2直棱柱模型
对于直棱柱，上、下底面外心的连线段的中点到各顶点的距离相等，故此中点即为直棱柱外接球的球心。如图10所示，若直棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则外接球球心到底面的距离等于的一半，故
外接球的半径为．
特别地，前述长方体模型就是更为特殊的直棱柱模型，借助长方体模型解决外接球问题更为简洁一点．
需要注意的是，当某棱锥的一条侧棱垂直于底面时，可以将此棱锥补形、复原成直棱柱，从而将棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球问题．
例8、已知三棱锥中，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球半径为（ ）
A． B．
C． D．
解析 如图11所示，根据三棱锥的棱长，易知，，则平面．分别过，作平面的垂线段，其长与相等，则可将三棱锥补形、复原成直三棱柱．显然，直三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球．
设的外接圆半径为，则，即．又直棱柱的高为，故其外接球的半径为，正确选项为A．
点评 多面体的结构特征是选择解题方法与策略的出发点，本题中发现“平面”这一特殊的位置关系就是解题的切入点．
3.3共斜边拼接模型
如图12，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．
特别的，前述鳖臑模型也可以看成是共斜边拼接模型．比如，对于图7中的鳖臑，就是由有一条公共斜边的与拼接而成的，故公共斜边就是外接球的直径．
例9、在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
解析 如图13，在中，斜边．
在中，，故．
所以，三棱锥即为共斜边拼接模型，与的公共斜边就是三棱锥外接球的直径，故其半径，
外接球的表面积为，正确选项为D.
点评 本题在求解过程中，需要从边长关系出发来认识三棱锥模型，把握 “共斜边的两个直角三角形” 这一典型几何特征.
3.4侧棱相等模型
我们知道，当棱锥的侧棱长度相等时，棱锥顶点在底面上的射影是底面多边形的外心，故棱锥的外接球球心必在棱锥的高所在的直线上. 如图14和图15所示，棱锥的侧棱长均相等，记棱锥的高为，底面外接圆的半径为，棱锥外接球的半径为. 当时（图14），根据勾股定理得，则. 同理，当时（图15），，也可得到. 所以，不论与的大小关系如何，总有.
若棱锥的侧棱长为，则，故棱锥外接球的半径为.
例10 、
已知，，，是球表面上四点，点为的中点，若，，，，，则球的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
解析 如图16所示，因为，，，则. 同理，求得. 注意到，故四面体可以视为以为底面的侧棱相等模型，其侧棱长.
在中，，，故由余弦定理可得，.
在底面中，，，则，. 记底面的外接圆的半径为，则，即.
所以，球的半径为，其表面积为，正确选项为B.
点评 当棱锥的侧棱长度相等时，只须求出底面多边形的外接圆半径与棱锥的高或者侧棱长，代入公式或，即可一蹴而就求得外接球半径。
从以上10例的分析可以看出，不论是外心垂线交点法、坐标法，还是特殊模型法，在求解外接球问题时，其关键一步是认清多面体的结构特征。能否准确把握的多面体结构特征，直接决定着解题的成败。因此，对于一个具体的多面体外接球问题，到底应该选用什么样的解题策略与方法，依赖于我们对其模型识别的结果。

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