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3.1列代数式表示数量关系 教学设计
一、核心素养目标
1.数学抽象：通过分析具体情境中的数量关系，抽象出代数式的概念，能将实际问题中的数量关系转化为数学符号表达式，发展抽象思维能力。
2.数学建模：经历“实际问题—数量分析—代数式表示”的建模过程，建立实际问题与代数式的联系，提升用数学语言刻画现实世界的能力。
3.运算能力：理解代数式的书写规范，能根据数量关系准确列出代数式，掌握代数式中简单的符号运算逻辑，为后续整式运算奠定基础。
4.逻辑推理：在分析数量关系、列代数式的过程中，梳理数量之间的内在联系，发展初步的逻辑推理能力，能清晰阐述列代数式的依据。
5.数学表达：能准确运用字母、数字、运算符号表示数量关系，规范书写代数式，提升数学语言的表达能力和严谨性。
6.直观想象：借助具体实例、图形等直观载体，理解字母表示数的意义，感知代数式与数量关系的对应关系，增强几何直观与数感。
二、教学重难点
1.重点：理解字母表示数的意义；掌握代数式的概念及书写规范；能根据具体情境（文字描述、实际问题、图形信息）准确列出代数式表示数量关系。
2.难点：分析复杂实际问题中的数量关系（如和差倍分、打折销售、行程问题等）并转化为代数式；处理含多个未知量的数量关系，明确字母表示的对象；区分代数式与等式、不等式。重难点突破策略：通过丰富的生活实例和动手操作活动，强化字母表示数的直观认知；设计分层递进的数量关系分析练习，从简单到复杂逐步提升；总结“找关键词—析数量关系—选运算符号—列代数式”的四步方法；结合师生互动讨论，拆解复杂问题中的数量逻辑，助力学生建立解题思路。
三、教学过程
（一）情境导入：字母表示数，感知符号价值
1.趣味情境呈现：出示儿歌《数青蛙》：“1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿……”2.师生互动探究：提问：“如果有n只青蛙，应该怎么唱呢？”引导学生思考，当青蛙数量为不确定的n时，嘴的数量、眼睛的数量、腿的数量与n的关系。学生发言后，教师总结：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿。3.概念铺垫：提问：“这里的n表示什么？用n表示青蛙数量有什么好处？”引导学生得出：n表示任意正整数，用字母表示数可以简洁地表示出数量之间的普遍规律，避免重复描述。4.拓展延伸：展示生活中字母表示数的实例，如扑克牌中的J、Q、K分别表示11、12、13，汽车牌照中的字母表示地区，数学中的π表示圆周率等，让学生感受字母表示数的广泛性和实用性。5.引出课题：告知学生，用字母表示数是数学表达的重要工具，本节课我们将学习如何用含有字母的式子（代数式）表示数量关系。
（二）新知探究一：字母表示数的意义与简单数量关系
1.实例分析，理解字母表示数的灵活性
1.实例1：苹果每千克5元，买3千克需要多少元？买x千克需要多少元？师生互动：先让学生计算买3千克的费用（5×3=15元），再提问：“买x千克时，费用怎么计算？”引导学生得出：5×x元，可简写成5x元。强调x表示购买苹果的重量，是正实数。2.实例2：小明今年12岁，爸爸的年龄比小明大28岁，爸爸今年多少岁？n年后爸爸多少岁？互动分析：先计算爸爸今年的年龄（12+28=40岁），再讨论n年后的年龄。提问：“n年后小明的年龄是多少？爸爸的年龄呢？”引导学生得出：n年后小明12+n岁，爸爸40+n岁（或12+28+n岁）。强调n表示年数，是正整数。3.实例3：一个长方形的长为a，宽为b，这个长方形的周长和面积分别是多少？互动引导：回忆长方形周长和面积公式，周长=2×（长+宽），面积=长×宽。提问：“用a和b分别表示长和宽，如何表示周长和面积？”学生回答后，教师规范：周长为2(a+b)，面积为ab。强调a和b表示正数。
2.小结：字母表示数的意义
教师总结：字母可以表示任意符合实际意义的数（整数、分数、小数等），用字母表示数能把数量关系一般化、简洁化，便于表达和研究规律。
（三）新知探究二：代数式的概念与书写规范
1.代数式的概念形成
1.呈现式子：结合上述实例，列出式子：5x、12+n、40+n、2(a+b)、ab。2.师生互动讨论：提问：“这些式子有什么共同特点？它们与我们之前学过的等式（如5×3=15）有什么区别？”引导学生观察得出：这些式子都是由字母、数字和运算符号（加、减、乘、除、乘方等）组成，没有等号。3.概念定义：教师给出代数式的定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。4.概念辨析：出示一组式子让学生判断是否为代数式：①3x+2②5=2+3③7④a⑤x-3>0⑥。师生互动：让学生逐一判断并说明理由，教师点评纠正，强调代数式中不含等号和不等号，单独的数或字母也是代数式。
2.代数式的书写规范
1.师生互动探究：出示不规范的式子，如“5×x”“x÷3”“a×b”“1×x”“x元”，让学生讨论：“这些式子在书写上有什么问题？应该如何规范书写？”2.规范总结（结合学生讨论结果）：①数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“·”表示，但数字要写在字母前面。如5×x应写成5x或5·x，a×b应写成ab或a·b。②数字与数字相乘时，乘号不能省略，也不能用“·”代替，必须写成“×”。如3×5不能写成35或3·5。③除法运算一般写成分数形式，被除数作为分子，除数作为分母。如x÷3应写成。④当字母与1或-1相乘时，1可以省略不写。如1×x写成x，-1×x写成-x。⑤当式子后面有单位时，若式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来，再写单位。如“(12+n)岁”“(a-b)米”，若式子是积或商的形式，可直接写单位，如“5x元”“千克”。3.即时练习：让学生将下列不规范的式子改写成规范的代数式：①x×5②m÷n③3×a+b④1×t⑤(x+y)元。邀请学生上台展示改写结果，教师点评纠正。
（四）新知探究三：列代数式表示数量关系
1.简单数量关系（和差倍分）
1.方法梳理：教师总结列代数式的基本步骤：①找关键词：明确数量之间的运算关系（如“和”“差”“倍”“分”“多”“少”“积”“商”等）；②析数量关系：确定已知量、未知量，明确字母表示的未知量；③选运算符号：根据关键词选择对应的运算符号；④列代数式：将数量关系转化为数学式子。2.实例讲解：例1：设某数为x，用代数式表示：①比x大5的数；②比x小3的数；③x的2倍；④x的；⑤x与3的和的平方；⑥x的平方与3的差。师生互动：逐题引导学生分析关键词，如“比x大5”即x+5，“x的2倍”即2x，“x与3的和的平方”即(x+3) （强调先求和再平方，需加括号）。教师板书规范的代数式，强调括号的正确使用。3.即时练习：让学生设某数为a，用代数式表示：①a的3倍与5的和；②比a小的数；③a与2的差的5倍；④a的平方与a的的和。学生独立完成后，同桌互查，教师抽查并讲解。
2.结合实际情境的数量关系
1.情境1：打折销售问题例2：一件商品原价为m元，现打8折销售，这件商品的现价是多少元？若再在此基础上打9折，最终售价是多少元？师生互动分析：提问：“打8折是什么意思？”引导学生得出：打8折即按原价的80%销售，现价=原价×80%，即0.8m元。再打9折，即在前现价的基础上×90%，最终售价=0.8m×0.9=0.72m元。2.情境2：行程问题例3：小明骑自行车的速度为v千米/小时，他骑行t小时的路程是多少千米？若他骑行10千米，需要多少小时？互动分析：回忆行程问题公式“路程=速度×时间”，则骑行t小时的路程为vt千米；“时间=路程÷速度”，骑行10千米需要的时间为小时。3.情境3：图形问题例4：如图，一个三角形的底为a，高为h，这个三角形的面积是多少？若底增加2，高不变，新的三角形面积是多少？互动分析：三角形面积公式为“面积=×底×高”，则原面积为ah；底增加2后变为a+2，新面积为(a+2)h。4.小组合作练习：将学生分成小组，每组给出一个实际情境问题（如“某班有学生x人，男生占，男生有多少人？”“一个正方形的边长为a，边长增加3后，周长是多少？”），小组内讨论分析数量关系，列出代数式，然后每组派代表分享成果，教师点评。
3.复杂数量关系（含多个未知量）
1.例5：甲、乙两地相距s千米，一辆汽车从甲地出发，以v千米/小时的速度行驶了t小时后，距离乙地还有多少千米？师生互动分析：提问：“汽车行驶t小时的路程是多少？”（vt千米），“总路程是s千米，剩余路程怎么计算？”引导学生得出：剩余路程为(s-vt)千米。强调这里有三个字母，分别表示不同的量，需明确每个字母的意义。2.例6：用代数式表示“a的2倍与b的和的一半”。互动分析：先找关键词“a的2倍”（2a），“b的和”（2a+b），“一半”（(2a+b)），最终代数式为(2a+b)。强调运算顺序，先乘后加再除以2，需加括号保证运算顺序正确。3.即时练习：用代数式表示：①x的3倍与y的2倍的差；②m与n的和的平方减去m与n的平方和；③比a的倒数大2的数（a≠0）。学生独立完成后，教师详细讲解，纠正错误。
（五）重点知识归纳概括
1.字母表示数的意义：字母可表示任意符合实际意义的数，能简洁、一般化地表示数量关系和规律。
2.代数式的概念：用基本运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（不含等号、不等号）。
3.代数式书写规范：①数字在前，字母在后，乘号省略或用“·”；②除法写成分数形式；③1或-1与字母相乘，1省略；④和差形式带单位需加括号。
4.列代数式的步骤：①找关键词（和、差、倍、分等）；②析数量关系（明确已知量、未知量）；③选运算符号；④列代数式（注意运算顺序，正确使用括号）。
5.常见数量关系模型：①和差倍分：比a大b的数是a+b，a的n倍是na，a比b小c是a=b-c；②打折销售：现价=原价×折扣（折扣化为小数）；③行程问题：路程=速度×时间，时间=路程÷速度；④图形问题：三角形面积=底×高，长方形周长=2(长+宽)、面积=长×宽。
6.易错提醒：①代数式书写不规范（如乘号未省略、除法未写成分数）；②忽略运算顺序，未正确使用括号（如“a与b的和的平方”写成a+b ）；③未结合实际意义确定字母的取值范围；④混淆代数式与等式、不等式。
（六）课堂练习
1．下列式子中，属于代数式的是（）
A．3x+2=5
B．2<5
C．0
D．x-4≥0
2．用代数式表示“比x的平方小3的数”，正确的是（）
A．x -3
B．3-x
C．(x-3)
D．x-3
3．某商品原价为a元，连续两次降价10%，则第二次降价后的售价是（）
A．0.1a元
B．0.9a元
C．0.81a元
D．0.8a元
4．若一个长方形的长为(2x+1)，宽为x，则这个长方形的周长是（）
A．3x+1
B．6x+2
C．3x+2
D．6x+1
5．设某数为x，用代数式表示下列数量关系：
（1）x的与5的差；
（2）x与2的和的3倍；
（3）比x的倒数小4的数（x≠0）。
6．某中学组织学生参加社会实践活动，原计划租用45座客车m辆，但有15名学生没有座位；若租用60座客车，则可少租1辆，且刚好坐满。用代数式表示该中学参加社会实践活动的学生人数。
四、练习答案及解析
1．答案：C
解析：本题考查代数式的概念。代数式不含等号和不等号。A含等号，是等式；B含不等号，是不等式；C是由数字和运算符号组成的式子，是代数式；D含不等号，是不等式。故选C。
2．答案：A
解析：本题考查列代数式表示和差倍分关系。“x的平方”是x ，“比x的平方小3”即x -3。B表示“3比x的平方小”，C表示“x与3的差的平方”，D表示“x比3的平方小”，均不符合题意。故选A。
3．答案：C
解析：本题考查打折销售问题的代数式表示。第一次降价10%后，售价为a×(1-10%)=0.9a元；第二次在0.9a元的基础上再降价10%，售价为0.9a×(1-10%)=0.81a元。故选C。
4．答案：B
解析：本题考查长方形周长公式及代数式化简。长方形周长=2×(长+宽)，已知长为(2x+1)，宽为x，则周长=2×[(2x+1)+x]=2×(3x+1)=6x+2。故选B。
5．答案：
（1）x-5；（2）3(x+2)；（3）-4
解析：本题考查简单数量关系的代数式表示。（1）“x的”是x，“与5的差”即x-5；（2）“x与2的和”是x+2，“3倍”即3(x+2)（注意先求和再乘，需加括号）；（3）“x的倒数”是，“比倒数小4”即-4。
6．答案：45m+15（或60(m-1)）
解析：本题考查结合实际情境列代数式。方法一：原计划租用45座客车m辆，每辆坐45人，坐满的人数为45m人，还有15人无座位，故总人数为45m+15；方法二：租用60座客车少租1辆，即租用(m-1)辆，刚好坐满，故总人数为60(m-1)。两个代数式表示的是同一批学生人数，本质相等。
五、教学总结
本节课围绕“列代数式表示数量关系”展开，从趣味儿歌《数青蛙》导入，让学生直观感受字母表示数的简洁性和实用性，进而抽象出代数式的概念；重点讲解了代数式的书写规范，通过实例辨析和练习强化规范意识；核心环节是列代数式，总结了“找关键词—析数量关系—选运算符号—列代数式”的四步方法，结合和差倍分、打折销售、行程问题、图形问题等不同情境，层层递进地引导学生掌握列代数式的技巧。整个教学过程注重师生互动，通过观察、讨论、练习、小组合作等活动，让学生主动参与知识的形成过程，不仅理解了字母表示数的意义和代数式的相关知识，更提升了用数学语言刻画实际问题中数量关系的能力。本节课是后续学习整式、一元一次方程等知识的基础，为学生搭建了从算术思维到代数思维的桥梁。
六、教学反思
1.亮点之处：①情境导入生动有趣，能快速吸引学生的注意力，有效激发学生的学习兴趣，帮助学生顺利进入字母表示数的学习状态；②注重知识的生成过程，通过大量实例分析和学生动手练习，让学生逐步理解代数式的概念和列代数式的方法，符合七年级学生从具体到抽象的认知规律；③列代数式的四步方法总结清晰，能为学生提供明确的解题思路，降低学习难度；④练习设计层次分明，涵盖了不同类型的数量关系，能全面检验学生的学习效果。
2.不足之处：①对代数式书写规范的讲解虽然详细，但部分学生在实际练习中仍存在不规范的问题（如括号使用不当、除法未写成分数形式），后续需加强针对性练习；②复杂实际问题的分析环节，部分学生难以快速梳理数量关系，对多个未知量的处理存在困难，需要增加更多分层例题，逐步引导学生拆解问题；③师生互动的广度有待提升，部分内向学生参与度不高，后续需设计更多小组合作任务，鼓励全体学生参与；④对字母取值范围的强调不够，学生可能忽略字母在实际情境中的意义（如人数、重量等应为正数），后续教学中需补充这一知识点。
3.改进方向：①增加代数式书写规范的专项练习，针对常见错误进行集中讲解和纠正；②设计更多梯度化的实际问题，从单变量到多变量，从简单情境到复杂情境，逐步提升学生的分析能力；③采用多样化的互动形式，如小组竞赛、抢答等，提高学生的参与度；④补充字母取值范围的相关内容，结合实际情境让学生理解字母表示数的局限性，培养严谨的数学思维。

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