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7.3 定义、命题、定理
知识点 相关题型
定义与命题 判断命题的真假
分析命题的题设和结论
定理与证明 给证明过程补充依据
进行简单的推理证明
通过举反例说明一个命题是假命题
定义与命题
（1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition).
（2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a =b ,那么a=b.
易错点：假命题也是命题，譬如“如果a =b ,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题.
（3）题设和结论
数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.
易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
2.定理与证明
（1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据
（2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.
【题型1】判断命题的真假
【例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行
【题型2】写出命题的题设和结论
【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ．
【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·月考）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【题型3】补充证明依据
【例3】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，，求证：
证明：∵（已知）
∴____________________（ ）
∴ (内错角相等，两直线平行)
∴___________=____________（ ）
又（已知）
∴____________（ ）
∴（ ）
∴ （ ）
【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整．
（已知），
( )，
( )．
（已知），
( )．
故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换．
【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容．
如图，已知，分别平分和求证：
证明：（已知），
（已知），
（角平分线的定义），
同理， ．
（等量代换），
（ ）．
【题型4】进行简单的推理证明
【例4】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【变式1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，点、、分别在的三条边上，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【变式2】（18-19七年级下·北京西城·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
(1)求证：；
(2)若于点，平分，，求的度数．
【题型5】举反例说明一个命题是假命题
【例5】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于．
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ．
8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
9．（24-25七年级下·北京·单元测试）按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，且．

请说明：．
解：∵（已知），
∴_____________（_______________），
∴_____________，
∵（已知），
∴_____________=_____________（_____________），
∴（__________________________）．
10．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题．
(1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号）
(2)请证明你选择的命题．
11．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）在下面的括号内填上相应的结论或推理的依据，完成证明过程．
已知：如图，于点D，于点，．
求证：是的平分线．
证明：，（已知），
_______（________）．
________（________）．
（________），
_______（________）．
（已知），
______________．
是的平分线（角平分线的定义）．
12.（24-25七年级下·贵州·月考）如图，，，求证：．
13．（24-25七年级下·广东·期末）如图，已知，，．求证：
(1)；
(2)．
14．（22-23七年级下·山东日照·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)证明：；
(2)若，且，求的度数．
15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：．
16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．7.3 定义、命题、定理
知识点 相关题型
定义与命题 判断命题的真假
分析命题的题设和结论
定理与证明 给证明过程补充依据
进行简单的推理证明
通过举反例说明一个命题是假命题
定义与命题
（1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition).
（2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a =b ,那么a=b.
易错点：假命题也是命题，譬如“如果a =b ,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题.
（3）题设和结论
数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.
易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
2.定理与证明
（1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据
（2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.
【题型1】判断命题的真假
【例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可．
【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意；
、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查几何命题的真假判断，了解平行公理、邻补角性质、垂线段最短等知识是解题的关键．
选项A为平行公理，正确；选项B中，邻补角的角平分线互相垂直，正确；选项C为垂线段最短性质，正确；选项D中，当两条直线重合时，该命题不成立，因此是假命题．
【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意；
B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意；
D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意．
故选：D．
【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行
【答案】A
【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理．
【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题；
两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题；
若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题；
故选：A．
【题型2】写出命题的题设和结论
【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的改写．原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式即可．
【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”，
因此可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·月考）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
【答案】如果两个角相等，那么它们的余角相等
【分析】本题考查了改写命题．
将命题改写成“如果…那么…”的形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论．
【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设是“两个角相等”，结论是“它们的余角相等”，
因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”．
故答案为：如果两个角相等，那么它们的余角相等．
【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
【题型3】补充证明依据
【例3】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，，求证：
证明：∵（已知）
∴____________________（ ）
∴ (内错角相等，两直线平行)
∴___________=____________（ ）
又（已知）
∴____________（ ）
∴（ ）
∴ （ ）
【答案】；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．先求出，两直线平行可判断出，进而得到，可判断出，由平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：与相等，理由如下：
（已知），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；；同角的补角相等；；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整．
（已知），
( )，
( )．
（已知），
( )．
【答案】 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换
【分析】本题考查平行线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．由，根据平行线的性质，得，，再根据，等量代换即可使题目得证．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
（等量代换）．
故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换．
【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容．
如图，已知，分别平分和求证：
证明：（已知），
（已知），
（角平分线的定义），
同理， ．
（等量代换），
（ ）．
【答案】；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质，以及判定方法是解题的关键．
根据平行线的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定进行作答即可．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
（角平分线的定义），
同理，．
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行
【题型4】进行简单的推理证明
【例4】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且．
求证：．
证明：．
．
又和是同位角，
∴．
【变式1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，点、、分别在的三条边上，，．
(1)求证：；
(2)若，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，根据平行线的判定得出结论即可；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（18-19七年级下·北京西城·期末）如图，点在线段上，点，在线段上，，．
(1)求证：；
(2)若于点，平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质，由得到角相等关系，再结合已知，通过等量代换得出内错角相等，从而证明．
（2）根据，利用平行线同旁内角互补求出，再由角平分线定义得出相关角的度数，结合，利用直角三角形两锐角互余求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型5】举反例说明一个命题是假命题
【例5】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于．
【答案】（1）假命题；举例见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题设和结论．
（1）根据一个命题可以举例推翻的原则来判断假命题，进而当a为正数和b为负数是就可推翻此命题；
（2）先假设与题设相反的结论，中三个内角都小于，然后根据三角形内角和为，证明假设错误，即可得出原结论正确．
【详解】解：（1）此命题是假命题；
如，，符合，但不满足；
（2）假设中没有一个角大于或等于，即三个内角都小于，
∴三个内角和小于，
∵三角形的内角和为，
∴假设不成立，
∴中至少有一个角的度数大于等于．
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查几何命题的真假判断，了解平行公理、邻补角性质、垂线段最短等知识是解题的关键．
选项A为平行公理，正确；选项B中，邻补角的角平分线互相垂直，正确；选项C为垂线段最短性质，正确；选项D中，当两条直线重合时，该命题不成立，因此是假命题．
【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意；
B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意；
D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义．
分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D．
【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意；
B、若，则，并非，此选项不符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意；
D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意；
故选：C．
3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可．
【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意；
、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 同旁内角互补 两直线平行
【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可．
【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
【答案】 两个角是等角的余角 这两个角相等
【分析】本题主要考查了命题的结构，
根据命题是由条件和结论两部分组成，再将条件和结论写成由“如果”，“那么”引领即可.
【详解】解：把命题“等角的余角相等”改写成：“如果两个角是等角的余角”，那么“这两个角相等”.
故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等.
7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ．
【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”，
逆命题为“两直线平行，同位角相等”，
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可．
【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
9．（24-25七年级下·北京·单元测试）按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形中，于点，是上一点，且．

请说明：．
解：∵（已知），
∴_____________（_______________），
∴_____________，
∵（已知），
∴_____________=_____________（_____________），
∴（__________________________）．
【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解．
【详解】解：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
∵（已知），
∴（同角的余角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
10．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题．
(1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号）
(2)请证明你选择的命题．
【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，②
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案；
（2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得．
【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是；
（2）解：①如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③如果，，那么；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
11．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）在下面的括号内填上相应的结论或推理的依据，完成证明过程．
已知：如图，于点D，于点，．
求证：是的平分线．
证明：，（已知），
_______（________）．
________（________）．
（________），
_______（________）．
（已知），
______________．
是的平分线（角平分线的定义）．
【答案】；垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；
【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义以及平行线的性质与判定，根据已知条件逐步证明即可．
【详解】证明：，（已知），
（垂直的定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
．
是的平分线（角平分线的定义）．
12.（24-25七年级下·贵州·月考）如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由两直线平行，内错角相等可得，结合题意可得，再由平行线的判定定理即可得证，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．（24-25七年级下·广东·期末）如图，已知，，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质；
（1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出；
（2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可证出．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
14．（22-23七年级下·山东日照·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，，．
(1)证明：；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明，得到，再证明，得到；
（2）由平行线的性质得到，再证明，得到，再根据，即可得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
，
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得到，即可得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）利用邻补角的性质求得，求得，利用“内错角相等，两直线平行”即可得到；
（2）由得到，由，得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

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