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圆：切线的证明、切线的性质、切线长定理、正多边形与圆期末培优复习讲义
考点目录
切线的证明 切线的性质
切线长定理 正多边形与圆
【知识点解析】
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．
3.证明切线的基本思路：
（1）思路一：若已知切点，则连接切点与圆心的半径，证明与切点相连的半径垂直于直径.（连半径，证垂直）
（2）思路一：若不知道切点，则过圆心作切线的垂线，证明该垂线段的长度等于半径.（作垂直，证半径）
4.与角度相关的证明思路：
（1）基础图形中的角度计算：三角形内角和为，四边形内角和为，边形内角和为.
（2）特殊三角形：等腰三角形两个底角相等、三线合一；直角三角形两个锐角互余；等边三角形三个角均为.
※圆中任意两条半径可构成等腰三角形
（3）圆周角定义及其推论
①同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半；
②同弧（等弧）所对的圆周角相等；
③直径所对的圆周角为直角；
④圆的内接四边形对角互补.
（4）平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
（5）全等三角形对应角相等
※证明全等的方法：、、、、
（6）等量代换
①若，，则；
②若，，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，
①求的直径；
②求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：①如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径是；
②如图，连接，
由（）知，，
∴四边形是直角梯形，
又由①可得，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知中，，，经过点和点，与交于点，且的圆心在边上．
(1)尺规作图：请依题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)若，则的面积为_________．
【答案】(1)见解析
(2)与直线相切，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：由题意作图如下：
（2）解：与直线相切，
理由：如图，连接
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
直线是的切线；
（3）解：如图，连接，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
的面积
故答案为：．
例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，点在的平分线上，与相切于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)的延长线与交于点．若的半径为．求弦的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，作于点，如图所示：
与相切于点，
，
点在的平分线上，，
，
直线与相切；
（2）解：设交于，连接，如图所示：
与相切于点，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
则，
又，
，
则，
设，则，
在中，，则由勾股定理可得，
即
解得，
则．
例4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点．
(1)若，求证：是⊙的切线；
(2)若是的中点，且，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，，连接并延长交于，
，
直线是的垂直平分线，
直线．
，
．
是⊙的半径，
是⊙的切线；
（2）解：连接，交于点，连接，，
是的中点，
，
．
在中，，，
，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
即，解得，即半径为10．
，
，
，
，
，
．
例5．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，在中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)分别延长，相交于点，，的半径为4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：，
是等边三角形，
∴，
∵，，
，
，
，
，
．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是的弦，延长至，过作交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若的半径为2时，求长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
，，
是的中位线
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：设交于，连接，
∵的半径为2，
∴，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
，，，
，
，，
，
，
．
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的直径，
，
平分，
，
，
，
，即，
又是半径，
∴是的切线；
（2）解：是的平分线，
，
，，
，
，，
，
．
变式3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
，
，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，
．
变式4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）知，，
，
，
设的半径为，
，
，
∵，
∴阴影部分的面积三角形的面积扇形的面积．
变式5．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
．
【知识点解析】
1. 基本性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（核心！）
（1）符号语言：若直线切⊙O 于点，则（为半径）；
（2）关键：必须是“经过切点”的半径，否则不垂直.
2. 定位性质（推论）：
（1）过圆心且垂直于切线的直线，必过切点（找切点）；
（2）过切点且垂直于切线的直线，必过圆心（找圆心）；
（3）逻辑：三者知二推一（垂直切线、过圆心、过切点）.
3. 距离性质：圆心到切线的距离 = 圆的半径（与切线判定定理互逆）.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵、是的切线，
∴，，
∴．
故选：．
例2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，的直径与的夹角为，切线与的延长线交于点D，若的半径为3，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．9
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
是直径，则，
，
，
．
故选：B．
例3．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，如下图，
∵是的切线，点A，B，E是切点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
例4．（2025·四川南充·模拟预测）如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
∵过点C作的切线交的延长线于点P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
例5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵与相切于点E，
∴，
∵交于点F，
∴是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，即
∴,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
例6．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，，分别与相切于，两点，连接，．如果，那么的度数为 ．
【答案】/20度
【详解】解：∵，分别与相切于，两点，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
(1)连接和，若，则_______；
(2)已知，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵都是的切线，
∴，
∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵都是的切线，
∴，
∴的周长
．
例8．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知，．
(1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）；
(2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________；
(3)若，则所作内切圆半径___________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2
【详解】（1）解：如图，点O即为的内切圆圆心，
（2）解：连接，，
由切线长定理得，，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：；
（3）解：设内切圆的半径为r，
∵在中，，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：2．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：，是的切线，是的直径，
，，
，
，
，
，
故选：A．
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是的切线，是的直径，
，
，
，
，
故选：C．
变式3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵切于点，
∴．
设半径为，
在中，
，
解得．
所以的半径等于．
故选：C．
变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，与相切于点A，与交于点，连接，若，则 ．
【答案】/
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
变式5．（25-26九年级上·河南周口·月考）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一副三角板，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得，则铁环的半径 cm．
【答案】2.5
根据切线的性质得，证明四边形是正方形，即可得出答案．
【详解】解：连接，
由题意可得：，
，
，
∴四边形是正方形，
，
，
，
∴铁环的半径为．
故答案为：．
变式6．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，为切点，
∴，即，
∵点为上一点，，
∴，
在四边形中，．
故答案为： ．
变式7．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，．
(1)连接，，则四边形的形状为______；
(2)若与相切于点，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)正方形
(2)1
(3)
【详解】（1）解：∵与直角边，相切于点，，，
∴，，
∴四边形的形状为正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：如图，连接、、，
∵与直角边，相切于点，，与相切于点，
∴，，，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
由（1）知四边形的形状为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：阴影部分的面积为：
．
变式8．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，．
(1)尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，设与三边、、的切点分别为F，E，D，连接，设的半径为r，
∵，
∴，
∵与三边、、都相切，
∴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即的半径为2．
【知识点解析】
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.
3. 图示、符号表示与推论
（1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、.
（2）.
（3）、.
（4）.
（5）
（6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设与、直线分别相切于点D、E、F、H，
∵的周长为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴剪下的三角形的周长为，
故选：C．
例2．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：是的切线，切点分别为A、B，
，
，
，
，
，
，
，
解得（负值舍去）；
故选：A．
例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，与分别相切于点，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：∵与分别相切于点，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴．
故选：A．
例4．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ．
【答案】10
【详解】解：∵切于点A，B，切于点E，
，
的周长是20，
，
，
，
，
故答案为：10．
例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ．
【答案】9
【详解】解：∵，，是的切线，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：9．
例6．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，切⊙O于点A、B，，那么弦的长是 ．
【答案】8
【详解】解：由题意得：，
∵
∴是等边三角形；
∴，
故答案为：
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：由题意可得：．．
同理，，是的切线，切点分别为，，
．
．
．
又，
．
△的周长为12，即，
，可得，
解得．
故选：B．
变式2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：均为的切线，分别为切点，
由切线长定理可知，
的周长
（），
故选：D．
变式3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：连接，，
∵为的切线，
∴，
∵为的切线，，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理得
,
∴
故选：B．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为 .
【答案】1
【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴内切圆的半径为，
故答案为：1．
变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ．
【答案】12
【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长；
故答案为：12．
变式6．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，的半径为2，，是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为 ．
【答案】
【详解】解：，是半径为2的的两条切线，
、、
是等边三角形
平分
在中，由勾股定理得，
的周长为
故答案为：．
【知识点解析】
1. 多边形的内角和.
2. 正多边形的中心角.
3. 正多边形的每一个内角.
4. 边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形每条边的距离成为边心距.
※计算边心距时可结合勾股定理或锐角三角函数进行计算.
【例题分析】
例1．（2025·四川雅安·模拟预测）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，点是它的中心，
，
，
是正三角形，
，
，
在中，，，
．
故答案为：D．
例2．（2025·四川绵阳·一模）如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接，，则，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
例3．（25-26九年级上·新疆伊犁·月考）如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】正六边形内接于圆，其中心角，且半径．
∴．
故选：D．
例4．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∵点F是劣弧的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
例5．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）如图，五边形为的内接正五边形，连接，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，连接，，
∵五边形是正五边形，
∴
∴
∵，
∴
故答案为：．
例6．（25-26九年级上·河南安阳·月考）正六边形的半径为，则该正六边形的边心距为 ．
【答案】
【详解】解：如图，圆为正六边形的外接圆，过点作，连接，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由，可得，，
故边心距为．
故答案为：．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：圆的内接正八边形的面积可以看成8个全等的等腰三角形组成，
∴等腰三角形的顶角为，
设圆的半径为1，
如图为其中一个等腰三角形，
过点作交于点，
∵，
∴，
则中，，
∵，
∴，
即，
∴
故正八边形的面积为，
圆的面积为，
用圆内接正八边形面积近似估计的面积可得的估计值为．
故选：．
变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵圆内接正六边形的半径为，
∴每个等边三角形的边长为．
∵等边三角形的面积公式为 ，
∴一个三角形的面积为 = = ．
∴正六边形的面积为 ．
故答案为 C．
变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，正六边形的边长为，则其周长为．
故选：D．
变式4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °．
【答案】45
【详解】解：如图，连接，，
∵正方形内接于，
∴=，
∴．
故答案为45．
变式5．（25-26九年级上·广东·期中）如图，若的半径为3，则其内接正六边形的边长为 ．
【答案】
【详解】解：连接、，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，
∴.
故答案为：．
变式6．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ．
【答案】//
【详解】解：如图，连接，
∵点O为正六边形的中心，正六边形的边长为3，
∴ ，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】点O 为正六边形的 中心，
，
，
为等边三角形，
，
过点作，
，
，
，
．
故选．
2．（24-25九年级下·河南周口·月考）如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：、分别与相切，
，
，
，
，
，
故选：B ．
3．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点是切点，
∴，，，，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，，过作于点，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故选：．
5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示：
设，
∵的内切圆分别与、相切于点、点，
∴,，，
则，
在中，，
∴，
解得，
即的长度为．
故答案为：．
6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ．
【答案】10
【详解】解：直线、、分别与相切于点、、，，
，，，
的周长为：
，
．
故答案为：10．
7．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，正六边形内接于，与交于点H，若，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵正六边形内接于，
∴中心角，，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ．
【答案】/72度
【详解】解：如图，连接，，，
∵正五边形内接于，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)的长为
．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
是直径，是的中点，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
（2）解：设，则，
在中，，
，解得，
，
，
．
10．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，
又点为上一点，
与相切；
（2）解：如下图所示，过点作，过点作，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
11．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)的半径为6
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵D为的下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，
∵，
∴，
∴（不合题意舍去），，
∴的半径为6．
12．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于，如果，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图1，连接，
是的切线，
，
是的直径，
，
，
，
，
∴垂直平分，
，，
，
，
，
半径于点，
是的切线；
（2）解：和都是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴由勾股定理得：，
即，
．圆：切线的证明、切线的性质、切线长定理、正多边形与圆期末培优复习讲义
考点目录
切线的证明 切线的性质
切线长定理 正多边形与圆
【知识点解析】
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．
3.证明切线的基本思路：
（1）思路一：若已知切点，则连接切点与圆心的半径，证明与切点相连的半径垂直于直径.（连半径，证垂直）
（2）思路一：若不知道切点，则过圆心作切线的垂线，证明该垂线段的长度等于半径.（作垂直，证半径）
4.与角度相关的证明思路：
（1）基础图形中的角度计算：三角形内角和为，四边形内角和为，边形内角和为.
（2）特殊三角形：等腰三角形两个底角相等、三线合一；直角三角形两个锐角互余；等边三角形三个角均为.
※圆中任意两条半径可构成等腰三角形
（3）圆周角定义及其推论
①同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半；
②同弧（等弧）所对的圆周角相等；
③直径所对的圆周角为直角；
④圆的内接四边形对角互补.
（4）平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
（5）全等三角形对应角相等
※证明全等的方法：、、、、
（6）等量代换
①若，，则；
②若，，则.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，
①求的直径；
②求阴影部分的面积．
例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知中，，，经过点和点，与交于点，且的圆心在边上．
(1)尺规作图：请依题意，作出并补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(3)若，则的面积为_________．
例3．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，点在的平分线上，与相切于点．
(1)求证：直线与相切；
(2)的延长线与交于点．若的半径为．求弦的长．
例4．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在四边形中，，的外接圆⊙交于点．
(1)若，求证：是⊙的切线；
(2)若是的中点，且，，求的长．
例5．（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，在中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)分别延长，相交于点，，的半径为4，求阴影部分的面积．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，是的直径，是的弦，延长至，过作交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若的半径为2时，求长．
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点E，交于点M．的平分线交于点D，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
变式3．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，四边形的顶点，，在上，，直径与弦相交于点，点是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
变式4．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点是上一点，以为直径作交中点于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
变式5．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的弦，平分，过点B作的切线交的延长线于点C，连接，延长交于点E，交于点F，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
【知识点解析】
1. 基本性质：圆的切线垂直于经过切点的半径（核心！）
（1）符号语言：若直线切⊙O 于点，则（为半径）；
（2）关键：必须是“经过切点”的半径，否则不垂直.
2. 定位性质（推论）：
（1）过圆心且垂直于切线的直线，必过切点（找切点）；
（2）过切点且垂直于切线的直线，必过圆心（找圆心）；
（3）逻辑：三者知二推一（垂直切线、过圆心、过切点）.
3. 距离性质：圆心到切线的距离 = 圆的半径（与切线判定定理互逆）.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，、是的切线，、为切点，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
例2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，的直径与的夹角为，切线与的延长线交于点D，若的半径为3，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．9
例3．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，是的切线，是切点，分别交线段于两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2025·四川南充·模拟预测）如图，是的直径，点C，D均在上，过点C作的切线交的延长线于点P，连接．若，则的度数为 ．
例5．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，O是上一点，与相切于点E，交于点F，连接，若，则的度数是 ．
例6．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，，分别与相切于，两点，连接，．如果，那么的度数为 ．
例7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E．
(1)连接和，若，则_______；
(2)已知，求的周长．
例8．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知，．
(1)在图中，用尺规作出的内切圆的圆心（保留痕迹，不必写作法）；
(2)画出与边，，的切点、、，连接，，若则___________；
(3)若，则所作内切圆半径___________．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，为切点，连接并延长交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（ ）
A． B．3 C．4 D．
变式4．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，是的直径，与相切于点A，与交于点，连接，若，则 ．
变式5．（25-26九年级上·河南周口·月考）为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一副三角板，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得，则铁环的半径 cm．
变式6．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ．
变式7．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，．
(1)连接，，则四边形的形状为______；
(2)若与相切于点，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
变式8．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，．
(1)尺规作图：求作，使它与三边、、都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求的半径．
【知识点解析】
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.
3. 图示、符号表示与推论
（1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、.
（2）.
（3）、.
（4）.
（5）
（6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，是的切线，切点分别为A、B，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，与分别相切于点，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．
例4．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ．
例5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为 ．
例6．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）如图，切⊙O于点A、B，，那么弦的长是 ．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若△的周长为12，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
变式2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，，是的切线，切点分别为A，B，若，，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为 .
变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ．
变式6．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，的半径为2，，是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为 ．
【知识点解析】
1. 多边形的内角和.
2. 正多边形的中心角.
3. 正多边形的每一个内角.
4. 边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形每条边的距离成为边心距.
※计算边心距时可结合勾股定理或锐角三角函数进行计算.
【例题分析】
例1．（2025·四川雅安·模拟预测）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
例2．（2025·四川绵阳·一模）如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（ ）
A． B． C． D．
例3．（25-26九年级上·新疆伊犁·月考）如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
例4．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，则的度数是 ．
例5．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）如图，五边形为的内接正五边形，连接，则的度数为 ．
例6．（25-26九年级上·河南安阳·月考）正六边形的半径为，则该正六边形的边心距为 ．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·福建福州·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）已知圆内接正六边形的半径为，则该内接正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）“正六边形”在一些地区园林窗洞的设计中有着广泛的应用．已知半径为的正六边形的窗洞如图所示，那么它的周长是（ ）．
A． B． C． D．
变式4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °．
变式5．（25-26九年级上·广东·期中）如图，若的半径为3，则其内接正六边形的边长为 ．
变式6．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，点O为正六边形的中心，连接，若正六边形的边长为3，则点O到的距离的长为 ．
1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点O 为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·河南周口·月考）如图、分别与相切，切点分别为，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，、、是的切线，点A、B、E是切点，分别交、B于C、D两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为 ．
6．（25-26九年级上·北京·月考）如图，分别与相切于点三点．若，则的周长为 ．
7．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，正六边形内接于，与交于点H，若，则的长为 ．
8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为 ．
9．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
10．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，是的直径，为上一点，为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
11．（25-26九年级上·河南驻马店·月考）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于点F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
12．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，是的直径，，是弦，过点作交于点，过点作的切线与的延长线交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接交于，如果，求的长．

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