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圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
期末培优复习讲义
考点目录
垂径定理 圆周角定理
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
【知识点解析】
1.垂径定理
（1）定理内容：垂直于弦的直径，平分这条弦，且平分弦所对的两条弧（劣弧和优弧）.
（2）图形与符号语言：中，直径弦于点，则，,.
2.垂径定理的推论
垂径定理的逆定理有多个等价表述，本质是 “知二推三”，只要满足以下 5 个条件中的任意 2 个，就能推出另外 3 个.
（1）过圆心（直线是直径 / 半径所在直线）；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦（非直径）；
（4）平分弦所对的劣弧；
（5）平分弦所对的优弧
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】C
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵的直径为5，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
弧的长为．
故选：C．
例3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在菱形中，边长，对角线，交于点E，过B，C，D的圆O交延长线于点F．若O为的中点，则圆O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解∶连接，设，
因为O为的中点，
所以，
又四边形是菱形，、是对角线，
所以，，
又半径，
所以，
又，，
所以，
所以，
解得：或（舍去），
所以，
故选：C．
例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：，是 半径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
例5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
由垂径定理得，半径，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
例6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ．
【答案】5
【详解】解：连接，
∵为的直径，，
∴，
在中，，
∴，即．
解得，．
故答案为：5．
例7．（25-26九年级上·福建福州·期中）连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径．
【答案】圆形拱门的直径为
【详解】解：连接，如图所示：
设为，则，
由，得，
为的中点，，
，
为半径，为弦的中点，
，
在中，根据勾股定理得：，
则，
解得：，
．
答：圆形拱门的直径为．
例8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：∵点、、在上，于点，
∴，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：∵点在圆上，是的直径，
∴，
∵点在上，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．12
【答案】A
【详解】解：∵，圆心角与圆周角所对的弧都为弧，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
变式2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点作半径于，如图，
∴，
在中，，
∴，
故选B．
变式3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】C
【详解】解：连接OA．
因为，根据垂径定理，，
由圆周角定理，
已知，故．
在中，，，
是等腰直角三角形，
因此，
即圆的半径为．
故选C．
变式4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留)
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∵是弦的中点，在上，，
∴延长可得在上，，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
变式5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵与y轴相切于点C，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴圆心P的坐标是．
故答案为：．
变式6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为多少？
【答案】截面圆中弦的长为
【详解】解：根据题意可知，，
又∵
∴
∴
∵是半径，
∴
答：截面圆中弦的长为．
变式7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，
设的半径为，
，
，
在中，，
，
，
的半径为．
【知识点解析】
1.圆心角与圆周角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.几个常见的定理：
(1)在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
4.圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角相等.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.内接多边形与外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：C．
例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点A，B，C在上，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
例3．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据圆周角定理，
故选：B．
例4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °．
【答案】45
【详解】解：如图，连接，，
∵正方形内接于，
∴=，
∴．
故答案为45．
例5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °．
【答案】30
【详解】解：为直径，
，
，
，
∵，
．
故答案为：．
例6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ．
【答案】/125度
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
变式3．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，
∴，
故选：．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ．
【答案】2
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：2．
变式5．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：四边形内接于，，
，
是所对的圆周角，是所对的圆心角，
；
故答案为：．
变式6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留）
【答案】
【详解】解：如图：连接，
，四边形内接于，
∴
，
的半径为2，
弧的长为．
故答案为：．
【知识点解析】
1.点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则
（1）点在圆外.
（2）点在圆上.
（3）点在圆内.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：∵的半径为，点A到圆心O的距离为，，
∴点A与的位置关系是点A在圆内，
故选：B．
例2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知圆O的半径为4，点A在圆内，则的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【详解】解：∵圆的半径为，点在圆内，
∴，
选项中只有，
故选：A．
例3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ．
【答案】外
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，即的半径为4，
，
点在外，
故答案为：外．
例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点C与的位置关系是 ．
【答案】点在圆内．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点与⊙的位置关系是点在圆内．
故答案为：点在圆内．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．点在上 B．点在上
C．点在内 D．点在内
【答案】C
【详解】在中，由勾股定理得：．
点到的距离是，因，故点在内；
点到的距离是，因，故点在外．
故选C．
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：如图，∵在中，，，
∴点到圆心的距离．
∵的半径，且，
∴点在外，
故选：C．
变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ．
【答案】圆外
【详解】由的面积是，得，解得．
∵，
∴点在外．
故答案为圆外．
变式4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
取中点，连接，则，
以点为圆心，长为半径画圆，如图所示：
由图可知，点都在内，
∴这三栋楼中在该基站覆盖范围内，
故答案为：．
【知识点解析】
1.相交、相切与相交：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
2.直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则
（1）直线与圆相交.
（2）直线与圆相切.
（3）直线与圆相离.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【答案】B
【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r，
∵在中，，，
∴，
由三角形面积公式得：，
解得：，
∵，
∴，
∴点D在内，
∵，
∴点A在内，
∴与线段无交点；
∵，
∴点B在外，
∴与线段有一个交点．
综上，与边有一个交点．
故选：B．
例2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，，
∴直线和圆相交，
故这条直线可能是；
故选B．
例3．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ．
【答案】相交或相切
【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为，
∴圆心到直线的距离d满足，
∴，
∴直线和圆的位置关系是相交或相切．
故答案为：相交或相切．
例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ．
【答案】相交
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，即．
∵圆心到直线的距离小于半径，
∴直线与相交．
故答案为：相交．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ）．
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】C
【详解】解：∵的直径为6，
∴半径，
∵点O到直线l的距离为4，
∴，
∴直线l与相离；
故选：C．
变式2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，若的半径为6，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B． C． D．都不是
【答案】A
【详解】解：∵的半径为6，圆心O到一条直线的距离为4，
∴与该直线相交，
∴这条直线可能是，
故答案为：A．
变式3．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相离
【详解】解：∵圆的直径为，
∴其半径．
∵圆心到直线的距离，
∴，
∴直线和圆相离．
故答案为：相离．
变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点 个．
【答案】2
【详解】解：∵的半径，点O到直线l的距离，
∴，故直线l与相交，有两个公共点，
故答案为：2．
1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接，
∵，
∴，
设圆形框架的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴圆形框架的半径为，
故选：．
2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在内，弦，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．5
【答案】A
【详解】解：连接，如图所示：
∵弦，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
即半径的长为5，则直径的长为10，
故选：A．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，连接
∵，是的中点，
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：C．
4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
故选：．
5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，
，
，，
，
，
．
故选：C
6．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与所对的弧为同一弧，
∴，
故选：D．
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ）
A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定
【答案】B
【详解】解：∵，的半径，且，
∴点在外，
故选：．
8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，若的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，且，
∴这条直线与相交，
由图可知，只有直线与相交，
故选：B．
9．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ．
【答案】8
【详解】解：∵的半径为10，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：8．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ．
【答案】5
【详解】解：如图，，过圆心O，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故答案为：5．
11．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
是的直径，
，
又，，
，
，
是的切线，
，
又，
，
．
故答案为：．
12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：连接、，
，
，
，
，，
，
解得，，
的度数为，
故答案为：．
13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ．
【答案】50
【详解】解：连接，
是中点，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
14．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）．
【答案】110
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴．
故答案为：110
15．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若的半径为，点与点的距离为，则点在 (填“内”“外”或“上”)．
【答案】内
【详解】解：的半径，点到圆心的距离，
，故点在内．
故答案为：内．
16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ．
【答案】在圆上
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
∴点P到圆心O的距离为5，
∵的半径为5，
∴点P在圆上，
故答案为：在圆上．
17．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，的半径为2，求弦的长．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，；
（2）解：如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∴．
18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
由（1）知，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
连接，
设，则，
在中，，即，
解得，即；
在中，，即，
解得，即；
在中，．圆：垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
期末培优复习讲义
考点目录
垂径定理 圆周角定理
点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系
【知识点解析】
1.垂径定理
（1）定理内容：垂直于弦的直径，平分这条弦，且平分弦所对的两条弧（劣弧和优弧）.
（2）图形与符号语言：中，直径弦于点，则，,.
2.垂径定理的推论
垂径定理的逆定理有多个等价表述，本质是 “知二推三”，只要满足以下 5 个条件中的任意 2 个，就能推出另外 3 个.
（1）过圆心（直线是直径 / 半径所在直线）；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦（非直径）；
（4）平分弦所对的劣弧；
（5）平分弦所对的优弧
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
例2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，是圆的直径，弦，且，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
例3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在菱形中，边长，对角线，交于点E，过B，C，D的圆O交延长线于点F．若O为的中点，则圆O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
例4．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，点、、在圆上，且，垂足为，若，，则的长为 ．
例5．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ．
例6．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ．
例7．（25-26九年级上·福建福州·期中）连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示．小明同学只用了一把1米长的直尺，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺水平放在圆形拱门内，取直尺的中点，定位后测量点到圆的最低点的距离为米，根据圆的相关性质可知圆心，中点，最低点在同一条直线上．请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径．
例8．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·黑龙江·月考）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．12
变式2．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ）
A． B．6 C． D．4
变式4．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，长为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，，“会圆术”给出的长l的近似值s的计算公式：，当时， (结果保留)
变式5．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是 ．
变式6．（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为多少？
变式7．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【知识点解析】
1.圆心角与圆周角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
2.几个常见的定理：
(1)在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
(2)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
(3)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
4.圆周角定理的推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角相等.
(2)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.内接多边形与外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
6.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角对角互补，且内接四边形任意一个角的外角都等于这个角的对角.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江西赣州·月考）如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
例3．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
例4．（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °．
例5．（25-26九年级上·河北唐山·月考）如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °．
例6．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，是半圆的直径，，则的度数为 ．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，，，都是的半径，连接，，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ．
变式5．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，已知四边形内接于，，则的度数为 ．
变式6．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留）
【知识点解析】
1.点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则
（1）点在圆外.
（2）点在圆上.
（3）点在圆内.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）⊙O的半径是，点A到圆心O的距离是，则点A与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
例2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知圆O的半径为4，点A在圆内，则的长可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
例3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在 ．
例4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点C与的位置关系是 ．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角三角形中，，，．若以点为圆心，画一个半径为3.5的圆，下列说法正确的是（ ）
A．点在上 B．点在上
C．点在内 D．点在内
变式2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）在中，，，，以点为圆心，以为半径画圆，则点与的位置关系是（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
变式3．（25-26九年级上·山东东营·期中）点P是所在平面内的一点，的面积是，若，则点P与的位置关系是：点P在 ．
变式4．（25-26九年级上·北京·期中）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在中点D处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是 ．
【知识点解析】
1.相交、相切与相交：
（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
（2）直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.
2.直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，则
（1）直线与圆相交.
（2）直线与圆相切.
（3）直线与圆相离.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
例2．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若的半径为4，圆心O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
例3．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是 ．
例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，并且方程无实数根，则直线l与的位置关系是 ．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）已知的直径为6，点O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（ ）．
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
变式2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，若的半径为6，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（ ）
A．l1 B． C． D．都不是
变式3．（25-26九年级上·云南·期中）已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 ．（填“相交”、“相切”或“相离”）．
变式4．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知半径为5，点O到直线l的距离为3，则直线l与有公共点 个．
1．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在内，弦，若，，则的直径为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．5
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图所示，点，，在圆上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ）
A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定
8．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，若的半径为7，圆心到一条直线的距离为4，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ．
10．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ．
11．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，是的切线，切点为D，直线与的延长线交于点C，若，，则的长度为 ．
12．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，、、、在上，，、的延长线交于点，且，则弧的度数为 ．
13．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，是内接三角形，D是中点，若，则的度数为 ．
14．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，四边形内接于，连接，若，，则的大小为 （度）．
15．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）若的半径为，点与点的距离为，则点在 (填“内”“外”或“上”)．
16．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）的半径为5，点P到圆心O的距离满足方程，则点P与的位置关系为 ．
17．（25-26九年级上·天津红桥·月考）已知为的直径，点，在上，．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，的半径为2，求弦的长．
18．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，是的直径；弦，垂足为点，弦与相交于点，且点是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．

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