资源简介

4.1 相交线
【基础巩固篇】
【题型1】相交线中的对顶角、同位角、内错角、同旁内角识别
1.核心知识点总结
对顶角：
定义：具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。
性质：对顶角相等（仅由位置关系决定，与角的大小无关）。
三线八角（同位角、内错角、同旁内角）：
前提：两条被截直线被第三条截线所截，形成8个角。
分类特征：
角的类型 位置特征 图形特征
同位角 截线同侧，被截直线同一方 形如“F”
内错角 截线两侧，被截直线之间 形如“Z”
同旁内角 截线同侧，被截直线之间 形如“U”
2.高频考点梳理
直接识别复杂图形（如多线相交、含射线/线段）中的对顶角、三类角。
结合实际模型（风筝骨架、“垃圾入桶”标志、几何网格）识别目标角。
区分对顶角与邻补角、三类角之间的位置关系。
3.易错点警示
对顶角误判：混淆“有公共顶点”与“两边互为反向延长线”，忽略无公共边的关键特征。
三线八角误判：
错定截线与被截直线（截线是与另外两条直线都相交的直线）；
漏数或重复计数（未按“截线分段”逐一识别）。
混淆角的类型：将同位角与同旁内角、内错角与邻补角混淆。
4.解题技巧拆解
对顶角识别：两步法①找公共顶点；②延长两边验证是否互为反向延长线（模型记忆：“X”型交点处的相对角）。
三线八角识别：三步法①先确定截线（标记为“中间线”）；②标注两条被截直线；③按“F/Z/U”形状特征匹配角的类型。
辅助手段：
图形标注：用不同弧线标记目标角，明确位置关系；
手势辅助：大拇指代表被截直线，食指代表截线，模拟角的位置特征快速判断。
【例题1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A．B． C． D．
【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，两条直线相交，请再画一条直线c，构成八个角，并分别找出与是对顶角、同位角、内错角和同旁内角的角．
【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和和各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？
【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角．
【题型2】邻补角的角度计算
1.核心知识点总结
定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°，互为邻补角。
性质：邻补角的和为180°（互补）。
2.高频考点梳理
已知一个角求其邻补角。
结合对顶角性质间接计算邻补角。
3.易错点警示
漏算邻补角：一条直线与另一条直线相交，一个角的邻补角有2个。
混淆“互补”与“邻补角”：互补的角不一定是邻补角（需满足位置关系）。
4.解题技巧拆解
公式法：若∠α与∠β互为邻补角，则∠β=180°-∠α。
图形标注法：在图中用弧线标注已知角，再找出与其有公共边的反向延长线夹角。
【例题2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数．
【变式题2-2】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，．
(1)的度数为___________．；
(2)若，则是否平分？并说明理由．
【变式题2-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若，求的度数．
【题型3】垂线的判定与符号表示
1.核心知识点总结
定义：两条直线相交，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直（记作），交点为垂足。
判定依据：四个交角中任意一个为90°，即可判定垂直。
2.高频考点梳理
根据角度判定两直线垂直。
规范书写垂直符号及文字表述。
3.易错点警示
忽略“同一平面内”的前提（异面直线无垂直关系）。
混淆“垂线”与“垂直”：垂线是直线，垂直是位置关系。
4.解题技巧拆解
关键标志：图中直角符号“┐”直接提示垂直。
逆向思维：若，则四个交角均为90°，可用于角度计算。
【例题3】.（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段
C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段
【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线．
【变式题3-2】.（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【变式题3-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥．
(1)量出点到的图上距离．
(2)量出点到的图上距离．
(3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离．
【能力提升篇】
【题型4】对顶角与垂线结合的角度计算
1.核心知识点总结
综合应用：对顶角相等+垂线的直角性质（90°）+邻补角互补。
关键关系：垂直→直角→角度和差计算。
2.高频考点梳理
多线相交（如3条直线交于一点）中，结合垂直求未知角（如2024山东临沂期末题）。
含射线（如OE、OF）的垂直计算。
3.易错点警示
忽略对顶角的转化作用：复杂图形中先找对顶角简化计算。
漏用直角条件：看到“⊥”直接标注90°，再推导其他角。
4.解题技巧拆解
标注法：在图中标注已知角、直角（90°）、对顶角，建立等式。
方程思想：设未知角为x，利用邻补角或对顶角关系列方程。
【例题4】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，直线相交于点，垂足为点O．
(1)若，求的度数；
(2)若与的度数比为，则的度数是
【变式题4-2】.（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，证明：．
【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点放置在直线上．
(1)如图，且射线平分，则的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数；
(3)若将三角板绕点旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ．
【题型5】垂线段最短的实际应用
1.核心知识点总结
基本事实：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：垂线段的长度（非垂线段本身）。
2.高频考点梳理
实际场景应用：如铺设管道、修建公路、测量跳远成绩（2025湖南衡阳期末题）。
比较线段长度。
3.易错点警示
混淆“垂线段”与“点到直线的距离”：距离是长度（数值），垂线段是图形。
误用“两点之间线段最短”：直线外一点到直线的最短路径用“垂线段最短”。
4.解题技巧拆解
作图法：过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段即为最短路径。
验证法：计算多条线段长度，对比垂线段长度是否最短。
【例题5】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
B．
C． D．
【变式题5-1】.（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【变式题5-2】.（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式题5-3】.（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点；
(1)过点P画的垂线，垂足为H；
(2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接）
【题型6】点到直线距离的辨析与计算
1.核心知识点总结
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
直角三角形中：斜边上的高=两直角边乘积÷斜边（面积法）。
2.高频考点梳理
识别能表示点到直线距离的线段。
结合直角三角形计算距离。
3.易错点警示
误将非垂线段当作距离（如斜线段长度）。
忽略单位：计算结果需带单位（如cm、m）。
4.解题技巧拆解
定位法：先确定“点”和“直线”，再找垂线段，计算其长度。
面积法：直角三角形中，利用面积公式反向求高（距离）。
【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到）
【变式题6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式题6-2】.（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．

(1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________．
(2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离．
【拓展培优篇】
【题型7】n条直线相交的对顶角/邻补角对数规律探究
1.核心知识点总结
规律推导：
直线条数 交点个数（最多） 对顶角对数 邻补角对数
2 1
3 3
4 6
... ... ... ...
n
2.高频考点梳理
探究n条直线相交的对顶角/邻补角对数。
结合实际场景（如多条管道交汇）的规律应用。
3.易错点警示
忽略“最多交点”条件：直线两两相交且无三线共点时，交点个数最多。
规律记忆混淆：对顶角对数=直线条数×(直线条数-1)，邻补角是对顶角的2倍。
4.解题技巧拆解
特殊到一般法：先计算2、3、4条直线的情况，推导通用公式。
验证法：用n=3代入公式，验证是否符合实际计数结果。
【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图1，图中共有 对对顶角；
（2）如图2，图中共有 对对顶角；
（3）如图3，图中共有 对对顶角；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
【变式题7-1】.（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ）
A． B． C． D．
【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程．
【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角．
【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角．
【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·江西景德镇·期中）观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程．
【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角．
【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角．
【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角
【题型8】相交线与角平分线的综合
1.核心知识点总结
综合应用：角平分线定义（把角分成两个相等的角）+对顶角/邻补角性质+垂直判定。
关键：角平分线→∠1=∠2，结合垂直条件推导90°。
2.高频考点梳理
已知角平分线和角度，求未知角。
证明两直线垂直（如通过角平分线推导交角为90°）。
3.易错点警示
角平分线与对顶角混淆：先明确角的拆分关系，再应用对顶角转化。
推理不严谨：每一步推导需标注依据（如“角平分线定义”“对顶角相等”）。
4.解题技巧拆解
标注法：用弧线标注相等的角（角平分线拆分的角），建立等量关系。
逆向思维：若要证明垂直，需推导交角为90°，结合角平分线逐步推导。
【例题8】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【变式题8-1】.（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比小，求的度数．
【变式题8-2】.（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ．
（2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ．
【变式题8-3】.（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
同步练习
一、单选题
1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
2．（2025·吉林辽源·三模）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ）
A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补
3．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（ ）
A．与互余 B．与互余
C．与互补 D．与互补
4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间线段叫做这两点之间的距离
B．如果，那么余角的度数为
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，射线平分．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，点在直线上，若，则的度数为 ．
7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
8．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ．
9．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ．
10．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知直线与直线相交于点O，，平分，，则的度数是 °．
三、解答题
11．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线相交于点，，若，求的度数．
12．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数．
13．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分．
(1)如果，则______；
(2)如果，则______（用含n的代数式表示）；
(3)如果比大，求的度数．
14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
15．（2025七年级上·全国·专题练习）小明利用一块含的三角尺进行数学探究活动：如图，O为直线上一点，将一三角尺的直角顶点放在点O处，平分．
(1)初步探究：如图①，若，求和的度数；
(2)深化研究：如图②，若平分，直接写出的度数．4.1 相交线
【基础巩固篇】
【题型1】相交线中的对顶角、同位角、内错角、同旁内角识别
1.核心知识点总结
对顶角：
定义：具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。
性质：对顶角相等（仅由位置关系决定，与角的大小无关）。
三线八角（同位角、内错角、同旁内角）：
前提：两条被截直线被第三条截线所截，形成8个角。
分类特征：
角的类型 位置特征 图形特征
同位角 截线同侧，被截直线同一方 形如“F”
内错角 截线两侧，被截直线之间 形如“Z”
同旁内角 截线同侧，被截直线之间 形如“U”
2.高频考点梳理
直接识别复杂图形（如多线相交、含射线/线段）中的对顶角、三类角。
结合实际模型（风筝骨架、“垃圾入桶”标志、几何网格）识别目标角。
区分对顶角与邻补角、三类角之间的位置关系。
3.易错点警示
对顶角误判：混淆“有公共顶点”与“两边互为反向延长线”，忽略无公共边的关键特征。
三线八角误判：
错定截线与被截直线（截线是与另外两条直线都相交的直线）；
漏数或重复计数（未按“截线分段”逐一识别）。
混淆角的类型：将同位角与同旁内角、内错角与邻补角混淆。
4.解题技巧拆解
对顶角识别：两步法①找公共顶点；②延长两边验证是否互为反向延长线（模型记忆：“X”型交点处的相对角）。
三线八角识别：三步法①先确定截线（标记为“中间线”）；②标注两条被截直线；③按“F/Z/U”形状特征匹配角的类型。
辅助手段：
图形标注：用不同弧线标记目标角，明确位置关系；
手势辅助：大拇指代表被截直线，食指代表截线，模拟角的位置特征快速判断。
【例题1】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列图形中，和是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义 “有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角”逐项进行判断即可．
【详解】解：A、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
B、符合对顶角的定义，是对顶角，符合题意；
C、两角的两条边其中一条不互为反向延长线，不符合题意；
D、两角没有共同顶点，不是对顶角，不符合题意；
故选：B．
【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，两条直线相交，请再画一条直线c，构成八个角，并分别找出与是对顶角、同位角、内错角和同旁内角的角．
【答案】图见解析；与是对顶角；与是同位角；与是内错角；与是同旁内角
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角定义，熟练掌握有关定义是解决问题的关键．先画直线c与b相交，构成八个角，再按同位角、内错角、同旁内角以及对顶角定义写出结论即可．
【详解】解：画直线c与b相交，构成八个角，如图所示：
则与是对顶角；与是同位角；与是内错角；与是同旁内角．
【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和和各是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？
【答案】和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角；和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角
【分析】本题考查了内错角，根据两直线被第三条直线所截，两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角即可．
【详解】解：和是两条直线被直线所截形成，它们是内错角；
和是两条线直线被直线所截形成，它们是内错角．
【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角．
【答案】见解析
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键．
“同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别．
【详解】（1）同位角：和，和，和，和，
内错角：和，和，
同旁内角：和，和．
（2）同位角：和，和，
内错角：和，和，
同旁内角：和，和，和，和．
【题型2】邻补角的角度计算
1.核心知识点总结
定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为180°，互为邻补角。
性质：邻补角的和为180°（互补）。
2.高频考点梳理
已知一个角求其邻补角。
结合对顶角性质间接计算邻补角。
3.易错点警示
漏算邻补角：一条直线与另一条直线相交，一个角的邻补角有2个。
混淆“互补”与“邻补角”：互补的角不一定是邻补角（需满足位置关系）。
4.解题技巧拆解
公式法：若∠α与∠β互为邻补角，则∠β=180°-∠α。
图形标注法：在图中用弧线标注已知角，再找出与其有公共边的反向延长线夹角。
【例题2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对．
【答案】12
【分析】本题主要考查了邻补角的定义；
根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对．
【详解】解：∵直线、、相交于点，
∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；
∴共12对邻补角，
故答案为：12．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·江苏泰州·月考）如图，直线、相交于点 ，平分，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线、邻补角、对顶角，关键是找到角之间的关系；
设，利用列方程即可求得结果．
【详解】解：设，，
∵，
平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【变式题2-2】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，直线相交于点．平分，．
(1)的度数为___________．；
(2)若，则是否平分？并说明理由．
【答案】(1)
(2)平分，理由见详解；
【分析】本题考查角平分线、对顶角，角的和差运算，掌握角平分线的定义，理解对顶角相等是正确解答的关键．
（1）根据对顶角的性质求出，再根据角平分线的定义即可求出；
（2）根据角的和差运算，和邻补角求得，即可解答．
【详解】（1）解：∵与互为对顶角,
∴
∵平分
∴，
故答案为：．
（2）解：平分，
理由：由（1）得
∵
∴
∴
∵
∴
∴
则平分．
【变式题2-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）点是直线上一点，线段绕点旋转，平分，过点作（在的右侧），平分．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．
（1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可；
（2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
平分，
，，
，
平分，
，
．
【题型3】垂线的判定与符号表示
1.核心知识点总结
定义：两条直线相交，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直（记作），交点为垂足。
判定依据：四个交角中任意一个为90°，即可判定垂直。
2.高频考点梳理
根据角度判定两直线垂直。
规范书写垂直符号及文字表述。
3.易错点警示
忽略“同一平面内”的前提（异面直线无垂直关系）。
混淆“垂线”与“垂直”：垂线是直线，垂直是位置关系。
4.解题技巧拆解
关键标志：图中直角符号“┐”直接提示垂直。
逆向思维：若，则四个交角均为90°，可用于角度计算。
【例题3】.（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段
C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线段的概念．
根据垂线段的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、根据条件无法得到，点B到的垂线段是线段，该选项错误，符合题意；
B、该选项正确，不符合题意；
C、该选项正确，不符合题意；
D、该选项正确，不符合题意；
故选：A．
【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线和点E，过点E分别画出直线的垂线．
【答案】作图见详解
【分析】本题考查了垂线的概念和基本作图方法，属于初中几何的基础知识点，解题的关键是理解垂线的定义（两条直线相交成角），并掌握过一点作已知直线垂线的操作步骤；易错点在于作图时可能未准确保证垂直关系，或垂线未经过给定点，导致作图失误．明确垂线的几何性质：过点作直线的垂线，需作一条通过点且与垂直的直线；同理作的垂线．
【详解】
作的垂线：
①将三角板的一条直角边紧贴直线；
②平移三角板，使另一直角边恰好经过点；
③沿三角板的这条直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线．
作的垂线：
①将三角板的一条直角边紧贴直线；
②平移三角板，使另一直角边经过点；
③沿直角边画直线，该直线即为过点且垂直于的垂线．
最终，两条垂线应分别通过点，且与、垂直（相交成角）．
【变式题3-2】.（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为邻补角
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】C
【分析】本题主要考查垂线、邻补角等概念，熟练掌握相关概念是解题的关键；因此此题可根据垂线、邻补角等概念进行排除选项即可．
【详解】解：A、两条直线相交有一个角为直角时，其余角也为直角，则这两直线垂直，故原说法正确；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，故原说法正确；
C、两个角的和是180度时，它们互为补角，但邻补角必须相邻（即共享一条边），例如，两个不相邻的角和为180度是补角但不是邻补角，故原说法错误；
D、垂线段最短是几何基本性质，故原说法正确；
故选C．
【变式题3-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点表示村庄，，是两条互相垂直的公路，是河流，点和点处各有一座小桥．
(1)量出点到的图上距离．
(2)量出点到的图上距离．
(3)如果此图是按的比例画出的，计算（1）和（2）中的实际距离．
【答案】(1)厘米
(2)厘米
(3)（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米
【分析】本题主要考查点到直线的距离，垂线的定义，比例尺，理解相关知识是解答的关键．
（1）根据题意和图，测量出线段的长度即可求解；
（2）先过点作于点，再测量出线段的长度即可求解；
（3）根据图上距离实际距离比例尺，即可求解．
【详解】（1）解：由题意和图可得，
点到的图上距离即线段的长度，
测量可得，点到的图上距离是厘米．
（2）解：如图，
过点作于点，
点到的图上距离即线段的长度，
测量可得，点到的图上距离是厘米．
（3）解：由题意得，
（厘米），厘米千米；
（厘米），厘米千米．
答：（1）中的实际距离为千米，（2）中的实际距离为千米．
【能力提升篇】
【题型4】对顶角与垂线结合的角度计算
1.核心知识点总结
综合应用：对顶角相等+垂线的直角性质（90°）+邻补角互补。
关键关系：垂直→直角→角度和差计算。
2.高频考点梳理
多线相交（如3条直线交于一点）中，结合垂直求未知角（如2024山东临沂期末题）。
含射线（如OE、OF）的垂直计算。
3.易错点警示
忽略对顶角的转化作用：复杂图形中先找对顶角简化计算。
漏用直角条件：看到“⊥”直接标注90°，再推导其他角。
4.解题技巧拆解
标注法：在图中标注已知角、直角（90°）、对顶角，建立等式。
方程思想：设未知角为x，利用邻补角或对顶角关系列方程。
【例题4】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ．
【答案】/55度
【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为．
【变式题4-1】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，直线相交于点，垂足为点O．
(1)若，求的度数；
(2)若与的度数比为，则的度数是
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂直的定义以及邻补角和对顶角，掌握垂直的定义以及邻补角和对顶角的定义是解题关键．
（1）由，得出，根据余角的定义作答即可；
（2）直接利用垂直的定义得出，进而利用，得出的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
∴
，
设，，
则，
解得：，
故，
则，
的度数为．
【变式题4-2】.（2025七年级上·重庆·专题练习）已知直线，，交于点，是的角平分线．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先利用两角之差算出，然后利用互补计算出即可；
（2）先算出，再算出即可论证结果．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的和差倍分、角平分线、垂直的定义、邻补角的定义，关键是角的和差倍分．
【变式题4-3】.（2025七年级上·全国·专题练习）将三角板的直角顶点放置在直线上．
(1)如图，且射线平分，则的大小为 ；
(2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数；
(3)若将三角板绕点旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的关键．
（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
∵平分，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵平分，
∵平分，
，
；
（3）解：∵射线平分，射线平分，
，，
，
故答案为：．
【题型5】垂线段最短的实际应用
1.核心知识点总结
基本事实：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：垂线段的长度（非垂线段本身）。
2.高频考点梳理
实际场景应用：如铺设管道、修建公路、测量跳远成绩（2025湖南衡阳期末题）。
比较线段长度。
3.易错点警示
混淆“垂线段”与“点到直线的距离”：距离是长度（数值），垂线段是图形。
误用“两点之间线段最短”：直线外一点到直线的最短路径用“垂线段最短”。
4.解题技巧拆解
作图法：过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段即为最短路径。
验证法：计算多条线段长度，对比垂线段长度是否最短。
【例题5】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识．根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可．
【详解】解：A、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”；
B、两钉子固定木条用到的是两点确定一条直线；
C、木板上弹墨线用到的是两点确定一条直线；
D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短；
故选：A．
【变式题5-1】.（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，，，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】A
【分析】根据垂线段最短，得出的取值范围，再据此判断选项．本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴（垂线段最短）．
∵，
∴．
，不满足，故A项错误；
，满足，故B项正确；
，满足，故C项正确；
，满足，故D项正确．
故选：A．
【变式题5-2】.（2025九年级·江西·专题练习）如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可．
【详解】解：垂线段最短，
点P到直线l的距离小于4，
故选：D．
【变式题5-3】.（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，点P是的边上的一点；
(1)过点P画的垂线，垂足为H；
(2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接）
【答案】(1)图见解析
(2)，
【分析】（1）根据过一点作垂线段的基本作图，解答即可；
（2）根据点到直线的距离，垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段的基本作图，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握基本作图，垂线段最短是解题的关键．
【详解】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下：
则点H即为所求．
（2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得，
故答案为：，．
【题型6】点到直线距离的辨析与计算
1.核心知识点总结
定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
直角三角形中：斜边上的高=两直角边乘积÷斜边（面积法）。
2.高频考点梳理
识别能表示点到直线距离的线段。
结合直角三角形计算距离。
3.易错点警示
误将非垂线段当作距离（如斜线段长度）。
忽略单位：计算结果需带单位（如cm、m）。
4.解题技巧拆解
定位法：先确定“点”和“直线”，再找垂线段，计算其长度。
面积法：直角三角形中，利用面积公式反向求高（距离）。
【例题6】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，经过点画的垂线段．请分别量出点到的距离．（结果精确到）
【答案】图见解析；点A到线段的距离约为；点D到线段的距离约为
【分析】本题考查的是垂线的画法、垂线段定义及点到直线距离的定义，首先分别画出，然后再量出长即可．
【详解】解：如下图，过点A作交于点E，则就是过点A画线段的垂线段，量出点A到线段的距离约为；
过点D作交于点F，则就是过点D画线段的垂线段，量出点D到线段的距离约为；
【变式题6-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，
∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个，
故选：D．
【变式题6-2】.（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论：
①点在运动过程中，使直线的点有两个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】②④
【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个；
②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确；
③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍；
④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确．
综上，正确的是②④，
故答案为：②④．
【变式题6-3】.（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图，从点A向引三条线段，且，．

(1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________．
(2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离．
【答案】(1)，垂线段最短
(2)
【分析】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据垂线段最短判断即可；
（2）根据点到直线的距离的定义和等面积法求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴、、中最短的是；判定理由是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短；
（2）解：∵，，，，，
∴，即，
∴，
∴点A到线段的距离为．
【拓展培优篇】
【题型7】n条直线相交的对顶角/邻补角对数规律探究
1.核心知识点总结
规律推导：
直线条数 交点个数（最多） 对顶角对数 邻补角对数
2 1
3 3
4 6
... ... ... ...
n
2.高频考点梳理
探究n条直线相交的对顶角/邻补角对数。
结合实际场景（如多条管道交汇）的规律应用。
3.易错点警示
忽略“最多交点”条件：直线两两相交且无三线共点时，交点个数最多。
规律记忆混淆：对顶角对数=直线条数×(直线条数-1)，邻补角是对顶角的2倍。
4.解题技巧拆解
特殊到一般法：先计算2、3、4条直线的情况，推导通用公式。
验证法：用n=3代入公式，验证是否符合实际计数结果。
【例题7】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图1，图中共有 对对顶角；
（2）如图2，图中共有 对对顶角；
（3）如图3，图中共有 对对顶角；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
【答案】 2 6 12 4098600
【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键．
根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得．
（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角；
（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；
（4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数；
（5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．
【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角；
故答案为：2；
（2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角；
故答案为：6；
（3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角；
故答案为：12；
（4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
2条直线相交于一点，形成对对顶角；
3条直线相交于一点，形成对对顶角；
4条直线相交于一点，形成对对顶角；
……；
n条直线相交于一点，形成对对顶角；
∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；
故答案为：；
（5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角．
故答案为：4098600．
【变式题7-1】.（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图在同一平面内，有条直线与直线平行，也有条直线与直线平行，直线，不平行，当时共有多少对内错角？（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平行线的性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是知道内错角的概念以及通过找规律来计算内错角的数量．
内错角是指两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．先分析前几个值时内错角数量的计算规律，再根据规律计算时内错角的数量．
【详解】解：当时，有对内错角，
当时，有对内错角，
当时，有对内错角，
当时，有对内错角．
故选：A．
【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）观察系列图形，补全探究过程．
【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角．
【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角．
【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角．
【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对
【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．
（1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角；
（2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．
（3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可．
【详解】解：（1）对图形进行点标注．

图①中对顶角有与，与，共2对；
图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对；
图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对；
故答案为： 2；6；12；
（2）①，②，③，
则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角，
故答案为：．
（3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角，
当时，共有条对顶角．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·江西景德镇·期中）观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程．
【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角．
【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角．
【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角
【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】
【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．
规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角；
归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角．
规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可．
【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角；
作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角；
作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角；
故答案为：；；；
归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角，
故答案为：；
规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角．
【题型8】相交线与角平分线的综合
1.核心知识点总结
综合应用：角平分线定义（把角分成两个相等的角）+对顶角/邻补角性质+垂直判定。
关键：角平分线→∠1=∠2，结合垂直条件推导90°。
2.高频考点梳理
已知角平分线和角度，求未知角。
证明两直线垂直（如通过角平分线推导交角为90°）。
3.易错点警示
角平分线与对顶角混淆：先明确角的拆分关系，再应用对顶角转化。
推理不严谨：每一步推导需标注依据（如“角平分线定义”“对顶角相等”）。
4.解题技巧拆解
标注法：用弧线标注相等的角（角平分线拆分的角），建立等量关系。
逆向思维：若要证明垂直，需推导交角为90°，结合角平分线逐步推导。
【例题8】.（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，直线相交于点，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键．
（1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可；
（2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解．
【详解】（1）解：因为，平分，
所以；
（2）解：因为，
所以．
因为平分，
所以．
【变式题8-1】.（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若比小，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角的和差运算、角平分线的定义，利用“平角、直角的度数关系”结合角平分线的定义进行角度计算是解题关键．
（1）先由平角求出，再用角平分线得，最后结合直角，通过角的和差求出．
（2）设未知数表示和，利用平角关系列方程求解，再通过平角、角平分线求出．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
．
答：．
（2）解：设，
比小，
，
，
，
，解得：，
，
，
平分，
．
答：．
【变式题8-2】.（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ．
（2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案；
（2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案．
【详解】解：（1）设，
平分，
，，
，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
（2）设，
∵射线垂直于，
，
，
∵射线平分，
，
，
∵直线、相交于点O，
，
又，
，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键．
【变式题8-3】.（23-24七年级下·广西河池·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分．
(1)【探究发现】若时，则的度数是 ；
(2)【类比延伸】若时，求的度数 ；
(3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键．
（1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解；
（2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可；
（3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
即，
解之得：，
即．
（3）解：猜想：
理由：设
∵
∴
∵
∴
又∵平分，
∴，
∴
∴ ，
则，
解之得，
即．
同步练习
一、单选题
1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
【答案】D
【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可．
【详解】解：测量的依据是垂线段最短．
故选：D．
2．（2025·吉林辽源·三模）如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是（ ）
A．同位角相等 B．对顶角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等解答即可．
【详解】解：∵与是对顶角，
∴，
∴依据是对顶角相等．
故选：B．
3．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（ ）
A．与互余 B．与互余
C．与互补 D．与互补
【答案】C
【分析】本题主要考查互余、互补的概念及计算，掌握互余、互补的概念，结合图形分析是关键．
互余：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；互补：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据定义，结合图形分析即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴与互余，故正确；
B、∵，
∴，
∴与互余，故正确；
C、∵，
∴与互补，
∵无法确定，
∴与不一定互补，故错误；
D、∵，
∴与互补，
∵，
∴与互补，故正确；
故选：C．
4．（25-26七年级上·江苏泰州·月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．两点之间线段叫做这两点之间的距离
B．如果，那么余角的度数为
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【分析】本题考查距离定义、角度计算及余角补角性质，需注意单位换算和定义细节；A选项错误，因为两点之间的距离是线段的长度，而非线段本身；B选项错误，的余角应为，换算后约为，而非；C选项正确，余角总比补角小；D选项错误，相等的角不一定是对顶角，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：A、两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离，故该选项不符合题意；
B、如果，的余角，故该选项不符合题意；
C、设角为，余角，补角，则余角-补角，得余角总比补角小，故该选项符合题意；
D、对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，相等的角不一定满足此条件，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点O在直线上，射线平分．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，然后根据邻补角的定义可进行求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴；
故选A．
二、填空题
6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，点在直线上，若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了求一个角的邻补角，根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：∵点在直线上，若，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ．
【答案】 C 点到直线，垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可．
【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
故答案为垂线段最短．
8．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点．
根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵与是对顶角，
∴．
故答案为：．
9．（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，为直线上一点，射线平分，射线平分，且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键．
由邻补角互补可得，由射线平分可得，由邻补角互补可得，由射线平分可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：，
，
射线平分，
，
，
射线平分，
，
，
的度数为，
故答案为：．
10．（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知直线与直线相交于点O，，平分，，则的度数是 °．
【答案】20或160
【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角互补，以及角平分线的性质．先求得的度数，再根据角平分线的性质，求出的度数．根据的位置求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
①当在上方时，如图1，
，
∴，
∵，
∴；
②当在下方时，如图2，
，
∴，
又，
∴；
综上，的度数为：或，
故答案为：20或160．
三、解答题
11．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线相交于点，，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差倍运算，属于基础题；由对顶角相等得，进而求得，再由即可求解．
【详解】解： 因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
12．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）如图，直线相交于点，若平分平分，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查图形中求角度，涉及平角定义、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角是解决问题的关键．
先由，结合，求出，再由角平分线的定义得到，，进而数形结合，表示出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
13．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，，平分．
(1)如果，则______；
(2)如果，则______（用含n的代数式表示）；
(3)如果比大，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可；
（2）根据角平分线的定义，对顶角的性质，垂直的定义解题即可；
（3）设，则，由角平分线的定义得，根据列方程并解方程，再由邻补角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据对顶角相等得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的度数为．
14．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线经过点O，平分，平分，若，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，角度的和差计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据邻补角得到，根据角平分线得到即可；
（2）根据角平分线得到，，利用平角定义即可得到即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
15．（2025七年级上·全国·专题练习）小明利用一块含的三角尺进行数学探究活动：如图，O为直线上一点，将一三角尺的直角顶点放在点O处，平分．
(1)初步探究：如图①，若，求和的度数；
(2)深化研究：如图②，若平分，直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，角度的和差计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）先求出，进而得，根据平分得，再根据即可得出答案；
（2）设，则，，由平分得，进而得，再由平分，得，然后根据即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点O为直线上一点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵点O为直线上一点，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．

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