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专题5 一次函数中的面积问题（5种题型）
一、题型突破
题型一 求一次函数与坐标轴围成的三角形面积
例1.在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点A(3，n)将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标是-2，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的表达式；
（2）求三角形BDC的面积．

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标.
（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
题型二 利用一次函数求不规则四边形的面积
例2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．
(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积．
【变式2】如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
例3.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点和点是坐标轴上两点，点为坐标轴上一点，若三角形的面积为，则点坐标为__________.
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣2，0），与y轴交点为B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，4）
(1)求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式；
(2)若P是x轴上一点，且△PBC的面积是6，直接写出点P的坐标．
题型四 由图形面积间的关系求函数解析式或坐标
例4.如图，直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D．
（1）求点D的坐标；
（2）设点P（t，0），且t＞3，若△BDP和△CEP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，以CP为一腰作等腰△CPQ，且点Q在坐标轴上，请直接写出点Q的坐标．
【变式4】在直角坐标系中，已知，且a，b满足．
(1)如图1，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)已知，当三角形的面积等于三角形面积时，求点的坐标；
(3)如图2，已知点为线段上的一动点，过点作交于点，点是线段上的一点，连接、、，若，求点的坐标．
题型五 一次函数平分图形面积问题
例5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式.
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，－6)，点B(3，0)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C(m，n)是直线AB上的一个动点．
①将的面积记作S，请求出S与m之间的函数关系式；
②连结OC，若直线OC把的面积分为1∶2两部分，请求出此时点C的坐标．专题5 一次函数中的面积问题（5种题型）
一、题型突破
题型一 求一次函数与坐标轴围成的三角形面积
例1.在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点A(3，n)将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标是-2，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的表达式；
（2）求三角形BDC的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把x=3代入，得y=1，求出A（3，1）．根据平移规律得出直线l3的解析式为，求出B（0，-5）、C（9，-2）．设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式；
（2）根据直线l2的解析式求出D（0，），得出BD=，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积．
【详解】（1）把x=3代入，得y=1，
∴A的坐标为（3，1）．
∵将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为，
∴x=0时，y=-5，
∴B（0，-5）．
将y=-2代入，得x=9，
∴点C的坐标为（9，-2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（3，1）、C（9，-2），
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为；
（2）∵，
∴x=0时，y=，
∴D（0，）．
∵B（0，-5），
∴BD=，
∴△BDC的面积==．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求出求出直线l2的解析式是解题的关键．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标.
（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
【答案】（1）y=-x+4，y=x；（2）点D为（6，-2）；（3）12.
【详解】试题分析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx即可得到结论；
（2）由二直线平行，得到直线CD为y=x+4，解方程组得到点D为（6，-2）；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx得1=-3+b，1=3k，
解得：b=4，k=，
∴y=-x+4，y=x；
（2）∵二直线平行，CD经过C（0，-4），
∴直线CD为y=x+4，
由题意得：
解之得，
∴点D为（6，-2）；
（3）由y=x+4中，令x=0，则 y=4，
∴A（0，4），
∴AC=8，
∴S△BCD=S△ACD-S△ABC=×8×6-×8×3=12．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．
题型二 利用一次函数求不规则四边形的面积
例2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．
(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)8
【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识；
（1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可．
（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题．
（3）可将四边形的面积转化为与的面积之差．
【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，
，
所以点A的坐标为．
将点A的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
（2）由所给函数图象可知，
当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值，
所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为：
．
（3）由（1）知，
一次函数的解析式为，
所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为
．
由得，
，
所以点E的坐标为．
将代入得，
，
所以点D的坐标为．
将代入得，
，
所以点C的坐标为．
所以，
所以．
【变式2】如图，直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
【分析】（1）先求直线AC：yx+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA＝OB得点坐标，代入直线BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：yx+2联立即可求出点E的坐标．
（2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y＝x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积．
【解答】解：（1）∵直线AC：yx+2分别交x轴和y轴于A，C两点，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝4，B（4，0），
∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，D（0，4）
∴直线BD：y＝﹣x+4．
解得
∴E（，）
综上，直线 直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为（，）．
（2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（，），
且由，得点F（2，2），
∴S四边形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE
＝4×2÷2﹣（4﹣2）2
＝4
故四边形ECOF的面积为．
【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
例3.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点和点是坐标轴上两点，点为坐标轴上一点，若三角形的面积为，则点坐标为__________.
【答案】或
解：
∵A点的坐标为 ,B点的坐标为
∴OA=3，OB=2 ,
设C点在x轴上的坐标为
BC=
∴S△ABC= ×3×=3
=2
=4， =0
∵（0,0）点是坐标原点，
∴C点在x轴上的坐标为 ；
设C点在y轴上的坐标为
S△ABC=× ×2=3
=3
解得： =6， =0，
∵（0,0）点是坐标原点，
∴C点在y轴上的坐标为
∴C点坐标为（4，0）或（0，6）.
故答案为（0，6）或（4，0）．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（﹣2，0），与y轴交点为B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，4）
(1)求m的值及一次函数y＝kx+b的表达式；
(2)若P是x轴上一点，且△PBC的面积是6，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)m=2，一次函数的表达式为：y=x+2；
(2)点P 的坐标为（-8，0）或（4，0）．
【分析】（1）把点C（m，4）代入正比例函数y=2x即可得到m的值，把点A和点C的坐标代入y=kx+b求得k，b的值即可；
（2）点C的坐标为（2，4），说明点C到x轴的距离为4，根据△BPC的面积为6，由S△BPC=S△APC-S△ABP=6求得AP的长度，进而求出点P的坐标即可．
（1）
∵点C（m，4）在正比例函数的y=2x图象上，
∴2m=4，
∴m=2，
∴点C坐标为（2，4），
∵一次函数 y=kx+b经过A（-2，0）、点C（2，4），
∴，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y=x+2；
（2）
把x=0代入y=x+2得：y=2，
即点B的坐标为（0，2），
∵点P是x轴上一点，且△BPC的面积为6，
∴S△BPC=S△APC-S△ABP=×AP×4-×AP×2=6，
∴AP=6，
又∵点A的坐标为（-2，0），
∴点P 的坐标为（-8，0）或（4，0）．
【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，分析图象并结合题意列出符合要求的等式是解题的关键．
题型四 由图形面积间的关系求函数解析式或坐标
例4.如图，直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E，直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D．
（1）求点D的坐标；
（2）设点P（t，0），且t＞3，若△BDP和△CEP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，以CP为一腰作等腰△CPQ，且点Q在坐标轴上，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）12；（3）Q或（-12,0）或（0,2）或
【分析】（1）两直线联立解方程组即可 ；
（2）点P（t，0），且t＞3，先求出E、C、B的坐标，用t表示两个三角形面积，S△PBD=，S△ECP=，由△BDP和△CEP的面积相等构造方程，解方程即可；
（3）点Q在x坐标轴上设Q（x，0），点Q在y坐标轴上设Q（0，y）求出CP=，以PC为腰，分类PQ=PC， PC =QC讨论，分别求出x或y即可．
【详解】解：（1），
解得，
D（1，），
（2）点P（t，0），且t＞3，
直线y＝x﹣4分别与x轴、y轴交于点B和点E，
当x=0时，y=-4，E（0，-4），当y=0时，x=3，B（3，0），
直线y＝﹣x﹣2与y轴交于点C，且两直线的交点为D．
当x=0时，y=-2，C（0，-2），
S△PBD=，S△ECP=，
由△BDP和△CEP的面积相等，
，
；
（3）点Q在x坐标轴上设Q（x，0），
CP=，
以PC为腰，PQ=PC，x-12=,x=12+;12-x=,x=12-，
PC =QC,x=-12，
点Q坐标为（-12，0），（12±，0），
点Q在y坐标轴上设Q（0，y），
CQ=CP,y+2=,y=-2，
-2-y=,y=-2-，
QP=CP，
y=2，
点Q的坐标（0，2），（0，±-2），
点Q的坐标为（12±，0）或（-12，0）或（0，2）或（0，±-2）．
【点睛】本题考查解方程组，三角形面积，一元一次方程，等腰三角形的性质，掌握解方程组的解法，会用含t的式子表示三角形面积，利用面积相等构造一元一次方程，会利用等腰三角形的性质，分类讨论PC=PQ或PC=CQ求解点的坐标，注意点Q可以在x轴，也可以在y轴是解题关键．
【变式4】在直角坐标系中，已知，且a，b满足．
(1)如图1，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)已知，当三角形的面积等于三角形面积时，求点的坐标；
(3)如图2，已知点为线段上的一动点，过点作交于点，点是线段上的一点，连接、、，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出a、b，即可求出点A和点B的坐标；
（2）首先根据三角形面积公式求出三角形面积，然后分两种情况，分别根据列方程求解即可；
（3）连接，作，分别交于点M和点N，首先根据题意得到，然后结合得到，根据，求出，然后求出直线的解析式，将代入即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，，
∴，；
（2）∵，
∴
∴
∴当时，
∴
∴解得
∴点的坐标为；
∴当时，
∴
∴解得
∴点的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）如图所示，连接，作，分别交于点M和点N，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴设直线的解析式为
∴将代入得，，解得
∴
∴将代入得，
∴解得
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积计算、一次函数、坐标与图形性质，掌握坐标与图形性质及三角形的面积公式是解题的关键．
题型五 一次函数平分图形面积问题
例5.如图，在平面直角坐标系中，直线AC：yx+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式.
【分析】（1）根据△OBC的面积是△OAC面积的3倍，A（﹣4，0），可得OB＝12，点B的坐标（12，0）；
（2）将A（﹣4，0）代入yx+b可得yx+4，则C（0，4），OC＝4，即得S△ABCAB OC＝32，由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4，设P（m，m+4），可得（12+4）×（m+4）＝16，解得P（6，2），设直线AP的解析式为y＝nx+b'，用待定系数法即得直线AP的解析式为yx；
【解答】解：（1）∵△OBC的面积是△OAC面积的3倍，
∴OB＝3OA，
∵A（﹣4，0），
∴OB＝12，
∴点B的坐标（12，0）；
（2）如图：
将A（﹣4，0）代入yx+b得：
﹣4b＝0，
∴b＝4，
∴yx+4，
令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
∴S△ABCAB OC（12+4）×432，
由B（12，0），C（0，4）可得直线BC解析式为yx+4，
设P（m，m+4），
∵直线AP把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ABPS△ABC＝16，
∴（12+4）×（m+4）＝16，
解得m＝6，
∴P（6，2），
设直线AP的解析式为y＝nx+b'，将A（﹣4，0），P（6，2）代入得：
，
解得，
∴直线AP的解析式为yx；
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，－6)，点B(3，0)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）已知点C(m，n)是直线AB上的一个动点．
①将的面积记作S，请求出S与m之间的函数关系式；
②连结OC，若直线OC把的面积分为1∶2两部分，请求出此时点C的坐标．
【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x－6．（2）①当时，；当时，．②点C的坐标是或．
【分析】（1）使用待定系数法将A，B坐标代入解析式中得到二元一次方程组求解即可；
（2）①使用含m的式子表示的高，再根据三角形面积公式求解即可；
②根据三角形面积公式求出的面积，再根据直线OC把的面积分为1∶2两部分，确定的面积为3或6，然后根据三角形面积公式求出点C的纵坐标，最后把纵坐标代入解析式中可得到横坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)．
将(0，－6)，(3，0)代入y=kx+b中，得解得
∴直线AB的解析式为y=2x－6．
（2）①当点C在x轴上方时，即当时，
=3m－9；
当点C在x轴下方时，即当时，
=9－3m．
综上所述，当时，；当时，．
②∵A(0，－6)，点B(3，0)，
∴OA=6，OB=3．
∴．
∵直线OC将的面积分为1∶2两部分，
∴的面积为3或6，点C的纵坐标为负数．
∴或．
∴或．
当时，，解得，此时．
当时，，解得，此时．
∴点C的坐标是或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点是解题关键．

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