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专题5 二次函数中的线段比和面积比转化问题（2个知识点3种题型）
一、方法梳理
1.线段比的转化
知的比值作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比.
2.面积比的转化
知的比值先用面积转化为,再作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比.
二、题型突破
题型一、二次函数中线段比的转化
例1.已知：抛物线经过，，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上任意一点，连，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
(3)如图2，是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，连结，将沿翻折，M的对应点为．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；
(3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标．
题型二、二次函数中面积比的转化
例2.如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接．
（1）试确定抛物线的解析式；
（2）当时，请求出点的坐标；
（3）如图2，连接，设点横坐标为，求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标．
【变式2-1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若＝3：5，求点P的坐标．
【变式2-2】如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
(3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．
题型三、二次函数中求面积比最值
例3.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的表达式和所在直线的表达式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上？若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线：交轴于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．
【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点C．
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）点是第一象限抛物线上的一个动点，连接，交直线于点．
①若，试求四边形的面积；
②设的面积为，的面积为，求的最大值．专题5 二次函数中的线段比和面积比转化问题（2个知识点3种题型）
一、方法梳理
1.线段比的转化
知的比值作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比.
2.面积比的转化
知的比值先用面积转化为,再作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比.
二、题型突破
题型一、二次函数中线段比的转化
例1.已知：抛物线经过，，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上任意一点，连，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值；
(3)如图2，是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，连结，将沿翻折，M的对应点为．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)k取得的最大值是，此时
(3)存在，或
【分析】（1）根据抛物线经过，，设，将代入，求得：，得到 ；
（2）过点P作轴交直线于点H，得到，，根据，，得到，求出直线的解析式， 设点，，得到，得到 ，得到k取得最大值，；
（3）由折叠知，，，根据时，判断四边形为菱形，设，，得到，，推出， 解得：或，得到点D坐标为或．
(1)
解：∵抛物线经过，，，
∴设，
将代入，得，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：如图1，过点P作轴交直线于点H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则，
∴，
∴，
∴当时，k取得最大值，此时，，
(3)
由折叠知，，，
∴当时，四边形为菱形，
设，则，
∴，
∴，，
解得：或，
综上所述：点D坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数，相似三角形，二次函数的最值，折叠，菱形．熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，作辅助线构建相似三角形，用配方法将二次函数解析式化为顶点式，求二次函数的最值，折叠图形的全等性，菱形的判定，是解决问题的关键．
【变式1】如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由；
(3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点不在对称轴上，理由见解析
(3)，
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据中点坐标公式求得点的坐标即可；
（3）过点，分别作轴的垂线，交直线于点，先求得直线的解析式，根据题意设设，则，则根据，求得关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得的最大值，即可求得的坐标．
（1）
抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
物线的解析式为 ，
即，；
（2）
点不在对称轴上，理由如下，
，
，
，，
，
，
是直角三角形，
将沿直线BC折叠，得到，点A的对应点为点D，
，
，
设，则，
解得，
，
故点不在对称轴上；
（3）
如图，过点，分别作轴的垂线，交直线于点，
，
，
，
,，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
令，则，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，最大值为，
．
此时．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质求最值，第三问中转化线段的比是解题的关键．
题型二、二次函数中面积比的转化
例2.如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接．
（1）试确定抛物线的解析式；
（2）当时，请求出点的坐标；
（3）如图2，连接，设点横坐标为，求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标．
【答案】（1）（2）（3），
【详解】：（1）将点、坐标代入二次函数表达式得：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图，即：，
过点分别作、轴的垂线交于点、，
则，故，
同理可得：，故点；
（3）由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
故点作轴交于点，
设点的坐标为，则点，
设四边形的面积为，
则，
故当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为，．
【变式2-1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若＝3：5，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）周长的最大值为，；（3）
【分析】
将、、代入中，建立方程组求解即可；
（2）延长DM交x轴于点H，通过分析证明是等腰直角三角形，得到，用待定系数法求得直线AC的解析式，设，点，求得DM的表达式，配方求得DM最大值，分析得到周长的最大值和点D的坐标；
（3）过点Q作轴于点E，由面积比求得，由平行线段分线段成比例得到，从而知道点Q的横坐标，代入直线AC求得纵坐标，用待定系数法求得直线OQ的解析式，与抛物线建立方程组即可求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点
∴将、、代入中得：
解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）如图1，延长DM交x轴于点H
∵、
∴
又∵，
∴
∵轴
∴，
∴
∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形
∴
设直线AC的解析式为
将、两点坐标代入得：
解得：
∴直线AC的解析式为：
设，则点
∴
∴当时，取的最大值2，此时
∵ 为等腰直角三角形
∴
∴周长的最大值为：，此时
（3）如图2：过点Q作轴于点E
∵
∴
∵轴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴ ,即
∵点Q在直线AC上
∴
∴
设直线OQ的解析式为：
将点Q代入得：
∴直线OQ的解析式为：
又∵点P是直线OQ与抛物线的交点
∴
∴
即或
解得：
又∵P为抛物线第一象限上的点
∴点P的横坐标为：
∴
∴
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质，二次函数的最值求法等知识点，能够数形结合分析是解题关键．
【变式2-2】如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．
(3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3．
(2)P点的横坐标为或或．
(3)△ABN的面积不变，为4．
【分析】（1）将A，B点坐标代入即可求出二次函数的表达式；
（2）分类讨论：当P在x轴上方和在x轴下方，运用高相等的两个三角形的面积比等于底边比这一概念进行求解；
（3）找出N点的运动轨迹为平行于x轴的一条直线即可．
(1)
解：∵二次函数经过A（﹣1，0），（3，0），
∴代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
(2)
解：①如图所示，当P在x轴上方时，
过点P作PF⊥x轴于点F，过点E作QE⊥x轴于点E，过点B作BG⊥AP于点G，
可得△AQE∽△APF，
∴．
∵，
∴，
∴，
设点P（a，﹣a2+2a+3），
∴OF＝a，PF＝﹣a2+2a+3，
∴AF＝a﹣（﹣1）＝a+1，，
∴，
∴，
∴Q点的坐标可表示为（，）．
∵B（3，0），C为二次函数与y轴交点，
∴C（0，3），
可得BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵Q在BC上，
∴，
解得或；
②如图所示，当P在x轴下方时，
同理①可求出P点的横坐标为或，
∵，
∴当P点横坐标为时，P在抛物线的AC段，
不合题意，舍去，
综上所述，P点的横坐标为或或；
(3)
解：如图所示，以AB为底在x轴上方作等腰直角三角形ABK，连接NK，过点K作KH⊥x轴于点H，
∵△AMN和△ABK均为等腰直角三角形，
∴，∠NAM＝∠BAK，
∴∠NAM+∠MAK＝∠BAK+∠MAK，
∴∠NAK＝∠MAB，
∴△NAK∽△MAB，
∴∠NKA＝∠MBA，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OC＝OB，
∴∠MBA＝45°＝∠NAK＝∠KAB，
∴，
∵两条平行线之间的距离相等，
∴N在运动时，N到AB的距离保持不变，其距离都等于KH的长，
∵在等腰直角三角形KAB中，AB＝4，
∴，
∴．
综上所述，△ABN的面积不变，为4．
【点睛】本题是二次函数综合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解．
题型三、二次函数中求面积比最值
例3.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的表达式和所在直线的表达式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上？若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标．
【答案】（1）（2）见解析（3）的最大值为，此时点坐标为
【详解】：（1）抛物线过点，，
，解得：．
抛物线的表达式为．
设直线的表达式为，则
，解得：．
直线的表达式为．
（2）点不在抛物线的对称轴上，理由是：
抛物线的表达式为，
点坐标为．
，，
．
又，
．
．
，
．
将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，
延长至，使，过点作轴交轴于点，如图1．
又，
．
，则点横坐标为，
抛物线的对称轴为直线．
故点不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点、的直线表达式为，
，，
，解得：．
过点、的直线解析式为．
过点作轴的垂线交的延长线于点，点坐标为，
过点作轴的垂线交于点，垂足为，如图2．
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
．
．
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即．
．
，
当时，的最大值为，此时点坐标为．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线：交轴于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，若，求点的坐标；
（3）如图2，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）（2）（3）
【详解】：（1）依题意，设，
代入得：，
解得：，
；
（2），
设为，，
，
，
解得：，（舍，
，，
过点作平行于，
，
，
，
，
解得：，
，
，，
直线的解析式为，
的延长线交抛物线于点，
，
解得：，（舍，
当时，，
；
（3）如图所示，延长于点，轴，过点作于点，作轴交于点，过点作于点，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，将，两点代入得，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
设，
，
，
，
．
【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点C．
（1）求点的坐标和抛物线的解析式；
（2）点是第一象限抛物线上的一个动点，连接，交直线于点．
①若，试求四边形的面积；
②设的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1），（2）①8；②
【详解】：（1）令，则，
，
将，代入到抛物线解析式中得，
，
解得，
抛物线的解析式为，；
（2）①如图1，过作于，设，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
或，
在第一象限，
，
，
，
又，
，
四边形的面积为；
②如图2，过作轴交于，过作轴交于，
则，
，
，
设直线为，
代入点得，，
，
直线为，
设，则，
，
当时，，
，
，
，
是第一象限的点，
，
时，的最大值为．

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