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16.2 平行线判定与性质(综合)
知识点 相关题型
易错点：三线八角 三线八角的辨析与理解
重 点：判定与性质的综合 先判定后性质的综合
先性质后判定的综合
判定-性质的灵活运用
难 点：平行线导角的几种模型 反证法 内拐模型外拐模型
用反证法证明
1.三线八角
定义：两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”.没有公共顶点的两个角中有同位角、内错角、同旁内角.
易错点：这两条直线不一定平行,所以以下命题都是错误的：
①同位角相等；(╳)理由：两直线不平行时，同位角不相等。改正：两直线平行，同位角相等。
②内错角相等；(╳)理由：两直线不平行时，内错角不相等。改正：两直线平行，内错角相等。
③同旁内角互补.(╳)理由：两直线不平行时，同旁内角不互补。改正：两直线平行，同旁内角互补。
2.平行线的判定与性质综合
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。
平行公理推论：在同一平面上，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）平行线的判定与性质
判定与性质是互逆命题，由角的关系得到平行属于判定，由平行得到角的关系属于性质.
平行线的几种拐角模型
平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐.
内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360
外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D
共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明
4.反证法的证题步骤：
先假设求证的结论是错误的；
由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；
(3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性.
【题型1】三线八角的辨析与理解
【例1】（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法中正确的是（　　）
A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等
C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角、对顶角的知识，解决本题的关键是注意结合定义及定理判断．
根据对顶角定义，邻补角定义，两条直线的位置关系，平行线的性质逐一进行判断即可．
【详解】A、在同一平面内，两条直线不一定互相平行，也可能相交，故此选项不正确；
B、两直线平行，内错角相等，故此选项不正确；
C、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，故此选项不正确；
D、对顶角相等，故此选项正确；
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）在下列说法中，正确的个数有（ ）
①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线及对顶角的知识，掌握其定义及性质是解决此题的关键．
根据平行线的定义及性质可以判定①③④；根据对顶角的性质可以判断②．
【详解】解：对于①，只有当两直线平行时，同位角才相等，说法错误；
对于②，根据对顶角的性质，对顶角相等，说法正确；
对于③，只有当两直线平行时，同旁内角才互补，故同旁内角不一定互补，说法正确；
对于④，根据平行线的定义，平行线是在同一个平面上定义的，故④错误；
正确说法的有②③．
故选：C．
【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【答案】B
【分析】本题考查三线八角，涉及三线八角定义及图形，根据定义及图形逐项验证即可得到答案，熟记三线八角定义、识别图形是解决问题的关键．
【详解】解：A、与是同位角，说法正确，不符合题意；
B、与是同位角，说法错误，符合题意；
C、与是内错角，说法正确，不符合题意；
D、与是内错角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【题型2】先判定后性质的综合
【例2】如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度
【详解】：∵∠1=∠2
∴a//b
∴∠ABC=∠ 3=50.
【题型3】先性质后判定的综合
【例3】 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗 为什么
【解析】；∵a//b
∴∠1=∠2
∵∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴c//d
【题型4】判定与性质的灵活运用
【例4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：．
证明：，
______
，
____________．
即______．
______
【答案】两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【详解】证明：，
两直线平行，内错角相等．
，
．
即．
（内错角相等，两直线平行．
【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：．
证明：∵，
∴____________，（______）．
∴______，（______），
∵平分，平分，
∴，∠______．
∴．
∴．
【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据，即可得到结果．
【详解】证明：∵，
∴，（同旁内角互补，两直线平行）．
∴，（两直线平行，同位角相等），
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由．
【答案】见详解
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据两直线平行，内错角相等得，则，即，运用内错角相等，两直线平行得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
【题型5】拐角模型
【例5】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作，根据平行线的性质求出，，进而可求出的度数．
【详解】解：如图，作
∵
∴
∴，
∴
∴
【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键．
过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案．
【详解】解：如图，过C作直线，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
【实际运用】
（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°．
【深入探索】
（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒
【分析】本题主要考查了旋转的定义、平行线的性质、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
（1）如图，过E点作，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答；
（2）如图：延长相交于点P，过P作，易得则、，由垂直的定义可得，然后根据角的和差以及平行线的性质即可解答；
（3）将直线的点M平移与直线的N点重合，然后根据题意分情况画出图形，根据旋转的性质列出关于t的方程求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
如图，过E点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图：延长相交于点P，过P作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）将直线的点M平移与直线的N点重合，
根据题意得，，
∴，
由题意可得：，
∴，解得：；
根据题意得，，
由题意可得：，
∴，
∴，解得：；
根据题意得，，
由题意可得：，
∴，
∴，解得：（不符合题意）；
综上所述，运动时间秒为3或9．
【题型6】反证法
【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：．
证明：假设 ，过点N画一条直线，使得，
如图2所示，根据 ，可得，
又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾．
说明假设不成立，所以 ．
【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得，
又因为，这样直线、都过点N，
这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾．
说明假设不成立，所以，
故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，．
【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设 ，那么它们相交于一点．
因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以．
【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可．
【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点．
，，过点的两条直线、都与直线垂直．
这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，
故假设不成立．
所以．
故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查了定理的概念，定理是经过逻辑推理为真命题的陈述句．
根据定理是真命题进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，是假命题，不是定理，不符合题意；
C、 同位角相等，是命题；同位角不一定相等，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键．
【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意；
B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意；
C、与是同位角，故不符合题意；
D、与同旁内角，故符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可．
【详解】解：如图，是南北方向，则，
由题意可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数．
【详解】解：由题意可知：，，
而，，
，
，
．
故选：D．
5．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
7.（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：．
证明：
____________（______）
____________（______）
（______）
【答案】 内错角相等，两直线平行 平行于同一直线的两条直线互相平行 两直线平行，内错角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．
【详解】证明：，
（内错角相等，两直线平行），
，
（平行于同一直线的两条直线互相平行），
（两直线平行，内错角相等），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等．
8．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证．
把以下证明过程补充完整．
证明：∵平分，∴，
又∵，∴____________________．
∴____________________（__________）．
∴____________________（__________）．
∴．
【答案】；；；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明得到，据此可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴．
9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
．
，
，
．
【答案】同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：如图，将与相邻的补角记为．
，
．
同位角相等，两直线平行．
，
平行于同一直线的两条直线互相平行
两直线平行，同位角相等
，
．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；；平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同位角相等；．
10．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定及性质．过点P作，可得，根据平行线的性质求出，，进而根据角的和差即可求解．
【详解】解：过点P作，
∵，，
∴，
∴，
，
∴．
11．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．

(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
（1）根据平行线的性质可得，即可算出的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质即可得出答案；
（2）根据平行线的性质可得，由已知和三角形的内角和可得，即可算出的度数，根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：．
步骤一、
假设，则______（______）
∵，
∴________
∴________________
这与________矛盾，
即不等于．
步骤二、（请自己写出后面的证明过程）
【答案】见解析
【分析】本题考查反证法，平行线的判定与性质，假设，得出，再证明得出，这与直线交的延长线于点M矛盾，即不等于．假设，则，得出，与矛盾，即不小于．
【详解】步骤一、假设，则（等边对等角）
∵，
∴
∴，
这与直线交的延长线于点M矛盾，
即不等于．
步骤二、
假设，则，
∵，
∴
∵，
∴
与矛盾
即不小于．
13.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动．
(1)如图1，已知，．
①求证：；
②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由：
(2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为
【答案】(1)①见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，添加平行线求解是解答的关键．
（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证；
②过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而即可求解；
（2）过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∴
∵
∴
∴；
②，理由如下，
如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴；
（2）解：如图所示，过点作，
依题意，，
∴
∴，，
∵，，
∴．16.2 平行线判定与性质(综合)
知识点 相关题型
易错点：三线八角 三线八角的辨析与理解
重 点：判定与性质的综合 先判定后性质的综合
先性质后判定的综合
判定-性质的灵活运用
难 点：平行线导角的几种模型 反证法 内拐模型外拐模型
用反证法证明
1.三线八角
定义：两条直线被第三条直线所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角”.没有公共顶点的两个角中有同位角、内错角、同旁内角.
易错点：这两条直线不一定平行,所以以下命题都是错误的：
①同位角相等；(╳)理由：两直线不平行时，同位角不相等。改正：两直线平行，同位角相等。
②内错角相等；(╳)理由：两直线不平行时，内错角不相等。改正：两直线平行，内错角相等。
③同旁内角互补.(╳)理由：两直线不平行时，同旁内角不互补。改正：两直线平行，同旁内角互补。
2.平行线的判定与性质综合
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有1条直线与该直线平行。
平行公理推论：在同一平面上，如果直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
（3）平行线的判定与性质
判定与性质是互逆命题，由角的关系得到平行属于判定，由平行得到角的关系属于性质.
平行线的几种拐角模型
平行的拐角模型很多，名称很复杂概括起来实则就两种：内拐和外拐.
内拐 结论：∠BOD=∠B+∠D 结论：∠BOD+∠B+∠D=360
外拐 结论：∠BOD=∠D-∠B 结论：∠BOD=∠B-∠D
共性 过拐点作平行，利用平行公理的推论及平行线的判定与性质证明
4.反证法的证题步骤：
先假设求证的结论是错误的；
由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；
(3)从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性.
【题型1】三线八角的辨析与理解
【例1】（25-26七年级下·辽宁·期中）下列说法中正确的是（　　）
A．同一平面内，两条直线一定互相平行 B．内错角相等
C．有一条公共边的角叫邻补角 D．对顶角相等
【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·月考）在下列说法中，正确的个数有（ ）
①同位角相等；②对顶角相等；③同旁内角不一定互补；④两条不相交的直线叫做平行线．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是内错角
【题型2】先判定后性质的综合
【例2】如图,∠1=∠2,∠3=50°,∠ABC等于多少度
【题型3】先性质后判定的综合
【例3】 如图已知直线a//b,∠1=∠3,那么直线c与d平行吗 为什么
【题型4】判定与性质的灵活运用
【例4】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：．
证明：，
______
，
____________．
即______．
______
【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知：平分，平分，，求证：．
证明：∵，
∴____________，（______）．
∴______，（______），
∵平分，平分，
∴，∠______．
∴．
∴．
【变式2】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，点P在上，已知，，请说明的理由．
【题型5】拐角模型
【例5】（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，，，，求的度数．
【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期中）【问题背景】
同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由．
【实际运用】
（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°．
【深入探索】
（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值．
【题型6】反证法
【例6】（25-26八年级上·全国·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法．
如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：．
证明：假设 ，过点N画一条直线，使得，
如图2所示，根据 ，可得，
又因为，这样直线、都过点N，这与 矛盾．
说明假设不成立，所以 ．
【变式1】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么．
证明：假设______ ，那么它们相交于一点．
因为，，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
2．（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（ ）

A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·山西临汾·二模）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ）
B．
C． D．
7.（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，求证：．
证明：
____________（______）
____________（______）
（______）
8．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知点D、E在线段上，点F在线段上，射线、相交于点M，平分，，求证．
把以下证明过程补充完整．
证明：∵平分，∴，
又∵，∴____________________．
∴____________________（__________）．
∴____________________（__________）．
∴．
9．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，已知直线、、被直线所截．若，，且，求的度数．把以下解答过程补充完整．
解：如图，将与相邻的补角记为．
，，
．
．
，
，
．
10．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知，与交于点，，，则的度数为多少？
11．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在四边形中，，平分，E是上一点，交于点F．

(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
12.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，已知，直线交线段的延长线于点M，按下列步骤完成证明：．
步骤一、
假设，则______（______）
∵，
∴________
∴________________
这与________矛盾，
即不等于．
步骤二、（请自己写出后面的证明过程）
13.（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动．
(1)如图1，已知，．
①求证：；
②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由：
(2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为_____

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