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16.3 命题与证明
知识点 相关题型
命题 判断命题的真假
分析命题的题设和结论
写出命题的逆命题
证明 给证明过程补充依据
证明一个真命题
通过举反例说明一个命题是假命题
命题
定义
用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a =b ,那么a=b.
易错点：假命题也是命题，譬如“如果a =b ,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题.
题设和结论
数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.
易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题.
易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.如：“对顶角相等”但“相等的角是对顶角”却是假命题.
2.证明
证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程.
【题型1】判断命题的真假
【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
B．相等的两个角是对顶角
C．同位角相等
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．同位角相等 D．相等的角是对顶角
【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行
【题型2】写出命题的题设和结论
【例2】（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ．
【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ．
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【题型3】写出一个命题的逆命题
【例3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）．
【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）．
【题型4】补充证明依据
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明．
如图，平分，平分，且．
求证：．证明：平分（已知），
（　　　　　　）．
平分（已知），
　　　　　　（角平分线的定义）．
（）．
（已知），
（　　　　　　）．
∴（　　　　　　）．
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）填写证明过程中的推理或根据：
如图所示，已知：，，．求证：．
证明：，
．（____________）
，
．（____________）
_________（____________）
又，
．（____________）
_________（____________）
．（____________）
．
【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容．
如图，已知，分别平分和求证：
证明：（已知），
（已知），
（角平分线的定义），
同理， ．
（等量代换），
（ ）．
【题型5】进行简单的推理证明
【例5】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）(1)求证“两条平行线被第三条直线直线所截，内错角的平分线互相垂直”.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）：
①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题；
②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题．
【题型6】举反例说明一个命题是假命题
【例6】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于．
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ．
8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
9．（22-23七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
10．（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
11．（25-26七年级下·山东·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
12.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：．
13．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知于点，，，求证：．
15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：．
16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．16.3 命题与证明
知识点 相关题型
命题 判断命题的真假
分析命题的题设和结论
写出命题的逆命题
证明 给证明过程补充依据
证明一个真命题
通过举反例说明一个命题是假命题
命题
定义
用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a =b ,那么a=b.
易错点：假命题也是命题，譬如“如果a =b ,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题.
题设和结论
数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论.
易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等.
逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题.
易错点：原命题是真命题，逆命题不一定是真命题.如：“对顶角相等”但“相等的角是对顶角”却是假命题.
2.证明
证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”，再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”；
（3）写出由条件推出结论的完整过程.
【题型1】判断命题的真假
【例1】（25-26七年级上·上海·期中）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离
B．相等的两个角是对顶角
C．同位角相等
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键．
根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可．
【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意；
B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意；
C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意；
D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意．
故选A．
【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．同位角相等 D．相等的角是对顶角
【答案】A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，解决本题的关键是判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据对顶角、平行线的性质、平方的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、如果，则，成立，该选项符合题意；
B、如果，则，不一定，该选项不符合题意；
C、同位角相等的前提是两直线平行，该选项不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角，该选项不符合题意．
故选A．
【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行
【答案】A
【分析】本题考查判断命题的真假．选项A中点到直线的距离定义错误，应为垂线段的长度，而非任意线段的长度；其他选项均为真命题，符合平行线的性质与公理．
【详解】解：点到直线的距离是指从点向直线作垂线，垂线段的长度才叫点到直线的距离，而选项A中未指定垂线段，故A为假命题；
两直线平行，同旁内角互补，故B为真命题；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C为真命题；
若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行，故D为真命题；
故选：A．
【题型2】写出命题的题设和结论
【例2】（24-25八年级上·上海松江·月考）把命题“全等三角形的对应高线相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ．
【答案】如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等
【分析】此题考查命题的结构，根据命题的改写规则，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论．原命题的条件是两个三角形全等，结论是它们的对应高线相等．
【详解】原命题“全等三角形的对应高线相等”中，“全等三角形”是条件，“对应高线相等”是结论．
因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等．
故答案为如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应高线相等．
【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）将“同角的补角相等”改写成“如果...那么....”的形式： ．
【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，把一个命题写成“如果…那么…”形式是解决问题的关键．把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式即可．
【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等；
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
【变式2】（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角
【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面．
【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角
故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角．
【题型3】写出一个命题的逆命题
【例3】（24-25七年级下·上海·期中）命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ．（用“如果…那么…”的形式写出）．
【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余
【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答．
【详解】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”．
故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余．
【变式1】（24-25七年级下·上海·期中）命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
【分析】本题考查命题与定理，根据逆命题定义把题设和结论互换得到逆命题．
【详解】解：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．
【变式2】（24-25七年级下·上海·期中）命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是 （用“如果…那么…”的形式写出）．
【答案】如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形
【分析】本题考查了命题的逆命题．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答．
【详解】解：命题“等边三角形有三条对称轴”的逆命题是“如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形”．
故答案为：如果三角形有三条对称轴，那么这个三角形是等边三角形．
【题型4】补充证明依据
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明．
如图，平分，平分，且．
求证：．证明：平分（已知），
（　　　　　　）．
平分（已知），
　　　　　　（角平分线的定义）．
（）．
（已知），
（　　　　　　）．
∴（　　　　　　）．
【答案】角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题考查角平分线的定义、等量代换以及平行线的判定等知识点，掌握角平分线的定义、平行线的判定是解题关键．
利用角平分线的性质得到与、与的关系，再结合已知条件推出，最后根据同旁内角互补，两直线平行的定理判断与是否平行．
【详解】证明：平分（已知），
（角平分线的定义）．
平分（已知），
（角平分线的定义）．
（）．
（已知），
（等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义 ； ；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）填写证明过程中的推理或根据：
如图所示，已知：，，．求证：．
证明：，
．（____________）
，
．（____________）
_________（____________）
又，
．（____________）
_________（____________）
．（____________）
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质及垂线的定义，根据平行线的判定性质即可解答．
【详解】证明：，
．（垂线的定义）
，
．（同位角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
又，
．（等量代换）
．（同位角相等，两直线平行）
．（两直线平行，同位角相等）
．
【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容．
如图，已知，分别平分和求证：
证明：（已知），
（已知），
（角平分线的定义），
同理， ．
（等量代换），
（ ）．
【答案】；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握平行线的性质，以及判定方法是解题的关键．
根据平行线的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定进行作答即可．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
平分（已知），
（角平分线的定义），
同理，．
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；平分；；内错角相等，两直线平行
【题型5】进行简单的推理证明
【例5】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且．
求证：．
证明：．
．
又和是同位角，
∴．
【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
【答案】见解析
【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图，，是邻补角，，分别平分，．
【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期中）(1)求证“两条平行线被第三条直线直线所截，内错角的平分线互相垂直”.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）：
①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题；
②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题．
【分析】本题考查了命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分．求证：
证明：∵，
∴，
∵平分，平分．
∴，，
∴，
∴；
（2）①如图，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题．
故答案为：真．
②如图，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题．
故答案为：假．
【题型6】举反例说明一个命题是假命题
【例6】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举反例．
（2）用反证法证明：中至少有一个角的度数大于等于．
【答案】（1）假命题；举例见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查真假命题的判断，假命题只要举出反例即可，反证法的应用，命题的改写要区分题设和结论．
（1）根据一个命题可以举例推翻的原则来判断假命题，进而当a为正数和b为负数是就可推翻此命题；
（2）先假设与题设相反的结论，中三个内角都小于，然后根据三角形内角和为，证明假设错误，即可得出原结论正确．
【详解】解：（1）此命题是假命题；
如，，符合，但不满足；
（2）假设中没有一个角大于或等于，即三个内角都小于，
∴三个内角和小于，
∵三角形的内角和为，
∴假设不成立，
∴中至少有一个角的度数大于等于．
1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【分析】本题考查几何命题的真假判断，了解平行公理、邻补角性质、垂线段最短等知识是解题的关键．
选项A为平行公理，正确；选项B中，邻补角的角平分线互相垂直，正确；选项C为垂线段最短性质，正确；选项D中，当两条直线重合时，该命题不成立，因此是假命题．
【详解】A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，正确，故该选项不符合题意；
B．两个角互为邻补角，则两角之和为，它们的角平分线之间的角为两角和的一半，即，故互相垂直，正确，故该选项不符合题意；
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段最短性质，正确，故该选项不符合题意；
D．垂直于同一条直线的两条直线可能重合，而重合的直线不平行（初中定义中平行线不包括重合），故该命题不总是成立，是假命题，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则
C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义．
分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D．
【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意；
B、若，则，并非，此选项不符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意；
D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意；
故选：C．
3．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可．
【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意；
、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意；
、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意；
、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意；
故选：．
4．（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行
【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．
【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”．
5．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
【答案】 同旁内角互补 两直线平行
【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可．
【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
6．（22-23八年级上·海南海口·期中）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”．
【答案】 两个角是等角的余角 这两个角相等
【分析】本题主要考查了命题的结构，
根据命题是由条件和结论两部分组成，再将条件和结论写成由“如果”，“那么”引领即可.
【详解】解：把命题“等角的余角相等”改写成：“如果两个角是等角的余角”，那么“这两个角相等”.
故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等.
7．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ．
【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可．
【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”，
逆命题为“两直线平行，同位角相等”，
故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等．
8．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可．
【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．
9．（22-23七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（　同位角相等，两直线平行　），
∴（　两直线平行，同位角相等　），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（　内错角相等，两直线平行　）．
10．（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程：
如图，已知，，试说明：，
解：∵（已知）
（______）
（已知）
（______）
（______）
（______）
（______）
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（对顶角相等），
．
11．（25-26七年级下·山东·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
12.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明．
【详解】证明：∵，与互为补角，
∴，
∴．
13．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解；
（2）根据角的和差求得，即可解答．
【详解】（1）解：∵平分，
，
，
．
（2）解：平分，理由如下：
理由：∵，
，
，
平分．
14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，已知于点，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定及垂直的传递性，解题的关键是通过平行线性质进行角的等量代换，证明FG与AD平行．
由得；结合，得，证得；再由，推出．
【详解】证明：∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∵ ，
∴ （等量代换），
∴ （同位角相等，两直线平行），
∵ ，
∴ （一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）．
15．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，点B、C、E、F共线，，．求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先证明，得到，即可得出结论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
16．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
（1）利用邻补角的性质求得，求得，利用“内错角相等，两直线平行”即可得到；
（2）由得到，由，得到，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

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