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2025秋季初三数学同步讲义17-圆（2）
【基础巩固】
1、与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明；
2、尺规作图——三角形内切圆圆心（角平分线交点）、外接圆圆心（垂直平分线交点）；
3、隐圆有关的最值问题（定长、定角）。
【精准突破】
一．与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明
例1．（切线的证明）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线．
例2．（第二问长度求解）如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
例3．（特殊平行四边形证明）如图，以为直径的交的角平分线于，过作于，交的延长线于．已知．
(1)求证：为的切线．
(2)连接，，请判断四边形的形状并证明．
【实战演练】
1．如图，在中，，以为直径作，G为的中点，连接交于E点，过E点作，D为垂足，延长交于点F．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
2．如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，，求的长．
3．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数；
(3)若，求图中阴影部分的面积．
4．如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
5．如图，过的顶点，，与交于点，连接，．
(1)求证：是的切线
(2)若，，则________．（结果保留和根号）
6．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
7．如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求弦的长．
8．如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点．
(1)求证：是的切线．
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
9．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，半径为4，求长．
10．如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
11．如图，已知是的直径，直线与相切于点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为______．
12．如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求：
(1)的度数；
(2)的长；
(3)的半径．
二．尺规作图
例1．已知：如图，△．
求作：，使圆心在边的中线上，且圆与、边相切．
【实战演练】
1．已知：，半径为r，求作：圆内接，使得，．
2．已知：如图：四边形，点为上一点．
求作：，使，且，与相切．
结论：____________．
3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：是上一点．
求作：与的平分线相切于点的．
4．（1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
（2）如图，已知：．
求作：，使点O在上，，且与相切．
5．作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：及边上一点D．
求作：，使与边相切，点D为切点，且圆心O到两边的距离相等．
三．隐圆有关的最值问题（定长、定角）
例1．（定长）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
例2．（定角）如图，在矩形中，，F为边的中点，E为矩形外一动点，且，则线段长度的最大值为 ．
【实战演练】
1．如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ．
2025秋季初三数学同步讲义17-圆（2）
【基础巩固】
1、与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明；
2、尺规作图——三角形内切圆圆心（角平分线交点）、外接圆圆心（垂直平分线交点）；
3、隐圆有关的最值问题（定长、定角）。
【精准突破】
一.与圆有关的大题——切线的证明、长度求解、特殊平行四边形证明
例1．（切线的证明）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E，求证：是的切线．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
例2．（第二问长度求解）如图，在中，点E是直径与弦的交点，点F为直径延长线上一点，且，若．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，如图1所示，
，
，
，
，
，
，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，过点E作于点H，如图2所示：
，
，
∵为的直径，
，
，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
，
，
∴，
即，
解得： ，
故的长为．
例3．（特殊平行四边形证明）如图，以为直径的交的角平分线于，过作于，交的延长线于．已知．
(1)求证：为的切线．
(2)连接，，请判断四边形的形状并证明．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
【详解】（1）证明：连接
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：四边形是菱形，
理由：连接，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是菱形．
【实战演练】
1．如图，在中，，以为直径作，G为的中点，连接交于E点，过E点作，D为垂足，延长交于点F．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接．
为斜边的中点，
．
，
为等边三角形，
．
，
是等边三角形，
．
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：，O为的中点，
为的中点．
如图，作交于M．
为的中点，
为的中位线，
．
是的切线，
．
是含角的直角三角形，
，
．
2．如图，点为半圆的圆心，，为半圆上的两点，且．连接并延长，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为4，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【详解】（1）连接，
是半圆的直径，
．
，
，
．
，，
，
，
．
（2）连接，交于点，
，
，且点为的中点．
令的长为，
则．
在中，
．
在中，
，
，
解得，
即．
又点为中点，点为中点，
为△的中位线，
．
3．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数；
(3)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：，
，
；
（2）解：连接，，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扇形的面积，的面积，
阴影部分的面积扇形的面积的面积．
4．如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
，
∵，
∵，
，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：由（1）知，，
∴在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，为的直径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得：．
5．如图，过的顶点，，与交于点，连接，．
(1)求证：是的切线
(2)若，，则________．（结果保留和根号）
【答案】(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接并延长交于点，交于点，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如下图所示，过点作，
，
，
在中，，
又，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如下图所示，连接、，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
．
故答案为：．
6．如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)半径为．
【详解】（1）证明：连接，．
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点O作于G，连接，．
可得四边形为矩形．
∴．
设半径为r，则，
∴，
在中，，
∴，即半径为．
7．如图，是的直径，弦于点，过作的切线，交的延长线于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求弦的长．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：切于点，是半径，
，
，
，
，
；
（2）解：连接
是直径，
∴，弧弧
．
是直径，
．
∵，
，
．
8．如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点．
(1)求证：是的切线．
(2)判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)平行四边形；理由见解析
【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
，
又，
为的直径，
为的切线；
（2）解：四边形为平行四边形．
理由如下：把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，
，，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
9．如图，是的外接圆，为的直径，与交于点，为延长线上一点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，半径为4，求长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，，如图：
，，，
，
，，
，
，
为的直径，
，
,
,
；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
为的平分线，
，，，
，
，
，
，，
，
．
10．如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：过点作直径，连接，如图所示，
，
，
，
为的直径，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
∵，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：过点作直径交于，连接，过作于，如图所示，
则，
∵，
，
，
由（）可知，，
在中，，
设，
，
，
，
为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
又∵，
∴，
在中，，
，
，
∴，
．
11．如图，已知是的直径，直线与相切于点，平分．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，
直线与相切于点，
，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：．
12．如图，为的直径，点D为上一点，点C在的延长线上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
又,
，
即，
是的半径，
为的切线．
（2），
，
，
，
，
，
由，
可得，
即，
，
，
，
即，
解得，
．
13．如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求：
(1)的度数；
(2)的长；
(3)的半径．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：根据切线长定理得，；
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，．
∵，，
由勾股定理得到：，
根据切线长定理得，，
；
（3）解：连接，
与相切于点，
，
，
即．
．
二．尺规作图
例1．已知：如图，△．
求作：，使圆心在边的中线上，且圆与、边相切．
【答案】见解析
【详解】解：如图，先作线段的垂直平分线，交于点，连接，再作的平分线，交于点，过点作，垂足为，以点为圆心，的长为半径画圆，
则即为所求．
【实战演练】
1．已知：，半径为r，求作：圆内接，使得，．
【答案】见解析
【详解】解：如图，即为所作．
∵为的直径，
∴，，
∵，
∴．
2．已知：如图：四边形，点为上一点．
求作：，使，且，与相切．
结论：____________．
【答案】见解析，则即为所求
【详解】如下图，
则即为所求．
3．用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：是上一点．
求作：与的平分线相切于点的．
【答案】图见解析
【详解】解：如下图，即为所求作．
4．（1）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：．
求作：点P，使，且点P在边的高上．
（2）如图，已知：．
求作：，使点O在上，，且与相切．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）如图，点P为所作．
；
解：（2）如图，为所作，
．
5．作图题：请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：及边上一点D．
求作：，使与边相切，点D为切点，且圆心O到两边的距离相等．
【答案】见解析
【详解】解：过点D作的垂线交的角平分线于O，以点O为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．
三．隐圆有关的最值问题（定长、定角）
例1．（定长）如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是 ．
【答案】/
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵E是CD边上的中点，
∴
∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到，
∴，
∴当点，，三点共线时，最小，如图，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴的最小值为．
例2．（定角）如图，在矩形中，，F为边的中点，E为矩形外一动点，且，则线段长度的最大值为 ．
【答案】9
【详解】解：连接AC，取AC的中点O，连结OF，OE，如图所示：
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，F为CD的中点，
∴AC＝，
∵AO＝OC，CF＝FD，
∴OF＝AD＝BC＝4，
∵∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝＝5，
由三角形的三边关系得，O、E、F三点共线时EF最大，
此时EF最大＝OF+OE=4+5＝9．
故答案为：9．
【实战演练】
1．如图所示，在扇形中，，半径．点位于的处、且靠近点的位置，点、分别在线段、上，．为的中点．连接、．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，阴影部分的周长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，，，取的中点，连接．
，，
，
的长，
，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，此时点与点重合，
此时，
，，
是等边三角形，
，
，
，
此时阴影部分的周长为．
故答案为：．

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