资源简介

教学设计
课题 正弦定理(第一课时）
课型 新授课
授课教师 于**
教材分析
《正弦定理》选自人教A版必修第二册第六章“平面向量及其应用”。 从知识上讲：正弦定理属于三角学知识，既是初中“三角形边角关系”的拓展与延续；也为后续解三角形问题奠定基础，同时在高考中有着重要的地位。 从方法上来讲，运用“向量法”和“作高法”分别推导出“正弦定理”，其中渗透了数形结合、类比推理、转化化归的数学思想，有着启发和示范的作用；此外正弦定理是解决生活实际问题的重要工具，体现了数学的应用价值和核心地位。 通过探索——发现——证明三个层次，从实际中来，到实际中去，体会直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证、实际应用的学习过程。
学情分析
正弦定理的学习是在学习了向量的相关知识以及余弦定理内容的基础上学习的，所以学生还是能接受的，虽然对于学生来说，有一定的观察、分析、解决问题的能力，但是正弦定理的发现、探索、证明还是有一定的难度，同时学生受初中知识范围的限制和影响对解三角形的知识面比较窄，通过学习正余弦定理以后，解三角形的思路与方法有了质的深化。但是由于学生第一次接触正弦定理，所以知识的应用层面还有待加强，所以教师一定要在关键的题目的思路上对学生加以引导，达到理想的目的。
教学目标
《课标》要求： 1.从已学知识出发，通过观察、实验、猜想、证明，推导出正弦定理，并熟练运用正弦定理解三角形； 2.通过自主探索、合作交流、亲身体验数学规律的发现过程，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理的数学学科核心素养； 3.充分揭示“数”与“形”的内在联系，让学生体会正弦定理的美感；通过课程思政，让学生在感受祖国的强大与繁荣的同时激发学生的爱国主义精神； 4.通过对实际问题的探索，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的创新意识。
学习重点难点
1.学习重点：正弦定理的内容及其基本应用. 2.学习难点：正弦定理的探索及证明.
教学方法和手段
学法：实验——探究——归纳——应用. 教法:主体采用讲解法，以研究法和发现法为辅助.
教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复 习 回 顾 情 境 引 入 “测量距离和事物高度”、九章算术中引申的古诗：“近测高塔远看山，量天度海只等闲，古有九章勾股法，今看三角正余弦”，引出本堂课内容——正弦定理 内容1.回顾复习 教师活动：教师提出以下问题帮助学生回忆旧知识 余弦定理的内容； 余弦定理成立的条件； 余弦定理可以解决哪几类解三角形问题。 内容2.创设情境，引发思考 【实际情境】无人机从临时基地A点起飞，向正东方向飞行100米抵达B点后，通过热成像技术探测到一处刚刚发现的受灾点C。控制系统显示，无人机在B点测得∠BAC为45°，且此时无人机与基地A的连线AB与受灾点C的连线BC形成的∠ABC为75°。请计算临时基地A到受灾点C的直线距离AC，以便规划最短救援路线。 算一算 将实际问题转化为数学问题，抽去实际背景，建立数学模型，如何使用我们所学的平面向量的方法来解决本问题？ 猜一猜 这个式子对于所有的三角形都适用吗？ 内容1： 学生任务：在教师的引导下回顾温习旧知识（获得基本知识） 教师提问：有些解三角形问题，余弦定理是无法解决的，是否还会有其他定理帮助我们解决三角形问题（获得基本思想） 内容2：从实际情景中引导学生去思考解决，将生活问题进行数学化。 在思考的过程中让学生发现问题-提出问题-分析问题-解决问题。 1.设计意图：激发学生“来生还在种花家”的自豪之情，继而以九章算术中引申的古诗将学生的思维带入到本堂课的教学过程中。 2.设计意图：温故知新并带着问题学习，目标明确同时有助于学生更牢固的掌握知识，培养学生的基本思想。利用萍洲大桥这一实例以及复习余弦定理，让学生感受余弦定理的局限性以及引入新的定理的必要性，同时调动学生学习的兴趣，培养学生对家乡的了解。发展了学生直观想象的核心素养。
新定理探究 内容3.探究：正弦定理的证明 （1）教师活动：回顾直角三角形中边角关系，如图:在中，，则 经过学生思考、交流、讨论得出 .（提高学生发现规律的能力） （2）正弦定理在锐角三角形里的推导 教师活动： 在中，有此式子成立. 在斜三角形中，上述关系式是否成立 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量的方法来研究。 先看在锐角三角形中： 证明思路：利用向量法，通过作垂直的单位向量构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。 证明过程：如上图，在锐角三角形ABC中，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为 . 因为，所以，. 由分配律，得， 即 也即.所以. 同理，过点C作与垂直的单位向量m,可得 . 因此，. 再看在钝角三角形中： 同理可得：. 内容4.正弦定理的结构特征 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 （１）正弦定理展现了三角形边角关系的和谐美和对称美； （２)解三角形：　一般地,我们把三角形的三个角和它的对边分别叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 （３)思考：直接应用正弦定理至少需要已知三角形中的几个元素才能解三角形 内容3：引导学生自主探究对于一般的三角形是否仍然成立 分类讨论 （１）在锐角三角形中,等式是否成立？ (２）在钝角三角形中,等式是否成立？ （３)如何证明？ 让学生分组讨论自主探究,教师注意巡视指导，引导学生思考。 在教师对该问题的思路方向的指引下，引导学生大胆的猜想，师生共同去证明斜三角形中锐角三角形的情形. 在此过程中，学生思考：向量的数量积中出现的是角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 诱导公式. 内容4：引导学生充分理解正弦定理,掌握正弦定理的结构特征，启发学生思考正弦定理可以那些解决解三角问题 3.教师设计意图：通过回顾初中的知识引出正弦定理，初步了解正弦定理的含义。通过学生观察式子的特征引起学生的学习兴趣，培养学生分析问题，总结规律的能力，发展学生的逻辑推理的核心素养。 4.通过在锐角三角形中对正弦定理的证明（采取向量的方法）引导学生树立知识的迁移和应用，同时引入了数学的类比推理，由特殊到一般的数学思想，拓宽了学生的逻辑思维。 目标评价： 让学生学会用向量的方法解决此问题，发现锐角三角形中的正弦定理关系式。发展了学生逻辑推理的核心素养。 5.引导学生体会正弦定理所体现的美学价值，挖掘正弦定理的应用．
联 练习巩固 无人机从临时基地A点起飞，向正东方向飞行100米抵达B点后，通过热成像技术探测到一处刚刚发现的受灾点C。控制系统显示，无人机在B点测得∠BAC为45°，且此时无人机与基地A的连线AB与受灾点C的连线BC形成的∠ABC为75°。请计算临时基地A到受灾点C的直线距离AC，以便规划最短救援路线。 我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？ ①已知三角形的任意两个角与一边，解三角形； 例1.在△ABC中，已知,,,解这个三角形. 教师活动： 问题1：解此三角形，哪些边和角是已知的，哪些边和角是未知需要求解的，从而确定解题方向； 问题2：如何去求三角形中的其他未知边与角？ 解：由三角形内角和定理，得 . 由正弦定理，得 , . 方法小结：基本步骤 （1）作图标已知；（2）求第三个角；（3）根据正弦定理求另外两边； ②已知三角形任意两边与其中一边的对角，解三角形。 例2：在△ABC中，已知，，，解这个三角形. 教师活动： 问题：已知三角形的两条边及一边的对角，如何去求其他未知的边与角？ 解：由正弦定理，得 因为，， 所以. 于是，或. （1）当时，. 此时 . （2）当时，. . 变式2：（1）在 ABC中，已知B=30°，b=3，c=2，此三角形有 个解； （2）在 ABC中，已知B=30°，b=，c=2，此三角形有 个解； （3）在 ABC中，已知B=30°，b=0.5，c=2，此三角形有 个解； 方法小结：基本步骤 （1）作图标已知；（2）利用正弦定理求另一对角；（可能出现多解） （3）求第三个角； （4）利用正弦定理求第三边； 1.学生活动： （1）思考教师提出的问题； （2）学生分组进行讨论，研究解决该问题的方法，然后选取一名代表上黑板进行成果展示。最后，教师将学生展示的结果进行点评，总结规律，达到活学活用的目的。 2.学生活动： 在教师指导下完成例题2的分析，尤其该题相对比较复杂，分两种情况讨论，学生容易忽略，还要结合初中三角形的相关知识，学生仍然需要分组集体讨论，形成一个统一的结论，然后展示给大家，教师进行最后的小结。 在通过小题巧作口答的形式熟练运用。 1.教师设计意图： 通过计算家乡标志性建筑的长度，激发学生的学习兴趣的同时。培养学生对家乡建筑物的了解，树立文化自信，对家乡文化做到心中有数，争做家乡文化的继承者和宣传者！ 2.通过例题1，一是使学生明白已知三角形的任意两个角与一边，只有利用正弦定理才能够求出其他未知的边与角；二是使学生体会正弦定理在解三角形中的作用。 目标评价： 根据学生完成问题的情况，让学生达成正确理解正弦定理在解三角形的目标。 发展学生逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养。 3.例2教师设计意图：本题具有隐蔽性和迷惑性，对学生的要求相对较高，尤其是要分情况讨论学生有时候想不到，这是老师重点指导和强调的问题。 目标评价： 学生达成能用正弦定理和三角形的相关知识去灵活的解决解三角形的问题。 发展学生的逻辑推理，数学运算等核心素养。
课堂总结
归 师生共同总结本节课收获。 引导学生学会自己总结,让学生进一步(回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程。
作业设计
作 业 设 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A=45°，a=6，b=3，则B的大小为（ ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 2.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　) A． C． 3.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A．， ， B．，， C．，，D．，， 4.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得有两个解的是（ ） A．， ， B．，， C．，， D．，， 5.在△ABC中，若B＝，b＝a，则A＝________． 6.在△ABC中, 已知a=2, A=30°, B=45°, 则c= ; 7.在△ABC中，a＝，A＝，试求△ABC的周长的取值范围． 8.探究证明正弦定理的其他方法. 采用分层作业布置巩固新知。 巩固深化：进一步培养自主探究能力．
板书设计
一个正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 两类应用：（1）两角一边：（2）两边及一边对角（注意解的个数问题）。 三种思想：（1）由特殊到一般； （2）数形结合； （3）分类讨论；
拓展延伸
通过拓展延伸珠穆朗玛峰事例，让学生了解正弦定理在天文地理方面的重要应用，同时引导学生要向登山队员学习永不言弃的攀登精神。
教学反思
这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明,定理应用,让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力.通过学习和运用,进一步使学生体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。

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