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课时名称 双曲线及其标准方程 学科 数学 课时 1
使用年级 高二 班额 36 课程类型 新授课
设计者
教学内容分析 双曲线是第二种圆锥曲线,与椭圆"同构”,因此其研究的内容、方法与椭圆完全类似,当然双曲线也有自身的特点. 教科书中双曲线的定义是其“个性定义”,与椭圆定义相比，二者相同之处在于它们都是平面内与两个定点的距离具有某种确定关系的点的轨迹,而且这种确定关系是通过代数运算得到的;不同的是所用的运算方法.从数学研究的角度,在研究了椭圆之后,一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么 问题中这个“常数”可以分为三类;正数、负数和零,经过探索发现,差的绝对值是一个非零常数时,得到的点的轨迹是双曲线;常数等于0时,点的轨迹是定点组成的线段的垂直平分线.因此在双曲线定义的形成过程中蕴含着分类讨论的思想. 双曲线方程的推导过程与椭圆完全类似,但二者的标准方程的结构特征不同,通过比较可以认识各自的结构特点.
学情分析 1.知识结构:再此之前学生已经学习了椭圆，对学习双曲线方程已经有了一定基础和方法，运用类比的学习方法得到双曲线的定义及标准方程不太困难。 2.认知结构:高二学生已具备一定的类比转化及分析问题的能力，但对于复杂问题的处理还不够灵活，因此在课堂上要注意发挥学生的主体作用，体现教师的点拨引领效果。
课时目标 1、通过作图、信息技术等方法认识双曲线的几何特征和图象，从而能用自己语言准确描述双曲线的定义。 2、通过类比椭圆标准方程的建立过程，能推导出双曲线的标准方程，并且用于解决实际问题。
课时教学重点、难点 (1)教学重点:双曲线的定义,双曲线的标准方程. (2)教学难点:双曲线的几何特征。
评价设计 本节课以探究性教学法和启发式教学法为主、讲授法为辅的教学方法，学生主要通过自主探究和小组协作的方法完成学习。
学与教活动设计 教学环节清楚，有利于学生的学习；预设的评价任务必须镶嵌在教学过程中，而且安排合理；学习活动设计与安排聚焦课时目标达成，学习方式多样；凸显课堂中的“在学习，真学习”。填写下表: 教师活动学生活动 环节一：创设情境，提出问题教师活动1 导航定位技术在军事、科技、民生等领域有重要作用. 假设两个导航台F1、F2,距离为10km，车M在行驶中，定位仪显示，F1发来的信号到达时间始终比F2发来的信号晚2×10^ 5s，已知无线电波在空气中传播的速度是3×10^5km/s. （1）在这个过程中，哪些量是定量 (2) 车M满足什么条件 （3）若令F1、F2距离为2c，点M到F1、F2的距离差为2a(0<2a<2c),请你列出关系式，大胆猜测动点M的轨迹是什么？并且尝试求出点M所在的曲线方程. 学生活动1 学生回答问题1、2，老师提问问题3，该题目中动点M轨迹是什么？为什么不是椭圆？让学生进一步感受椭圆和双曲线的区别和联系，进而通过类比椭圆研究双曲线。活动意图说明： 通过实际问题引入新课，激发学生的兴趣。 环节二：实验探究，形成定义 教师活动2 探究1：你能类比椭圆的生成过程，利用网络、动画、信息技术或者自己动手等方式画出双曲线么？ 注意作图过程中体会与椭圆的区别，认识双曲线的几何特征，得出双曲线的定义。 探究2：为了更严谨得到双曲线的图象和定义，老师借助信息技术跟同学们一起研究： 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 问题1：当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|<|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是什么 问题2：当点P在线段AB上运动时，如果|F1F2|>|AB|，两圆相离，其交点M的轨迹是什么？ 问题3：如果在|F1F2|>|AB|的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件 两圆的交点M的轨迹是什么形状 追问：你能根据刚才双曲线生成的过程总结双曲线的定义吗？ 学生活动2 探究1的学生活动：找小组同学类比得到椭圆的方式展示双曲线是如何得到。 探究2的学生活动：老师通过提出问题，并且借助信息技术，跟同学们一起探究双曲线的生成，进而让学生自己总结双曲线的定义： 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)点的轨迹叫做双曲线. 活动意图说明： 首先借助椭圆的形成过程,学生通过手工绘图法得到双曲线,然后老师转化为用信息技术软件绘图，以实现动态变化，让学生先用“几何眼光”感知双曲线,之后通过3个问题引导学生写出其中的几何关系,即双曲线的几何特征,追问引导学生在自主梳理的基础上获得定义的准确表述。在这样的过程中,让学生经历从不严谨到严谨的过程,再次体验精确定义一个数学对象的数学方式,培养学生思维的严谨性和数学抽象素养. 环节三：代数运算，建立方程 教师活动3 回忆求椭圆标准方程的过程？类比椭圆，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 追问1：你能否求出双曲线与x轴的交点坐标？ 追问2：你能在y轴上找到一点B，使得|OB|=b吗？ 追问3：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程,焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 学生活动3 老师带领学生回忆推导椭圆方程的过程：建系—设点—找关系式—坐标化—化简；然后通过小组合作，一起完成双曲线方程的推导；最后找小组同学展示成果。 追问1学生活动：学生自主完成。 追问2学生活动：老师提示，类比椭圆，引导学生分析 的几何意义。 追问3学生活动：学生类比椭圆，自主完成焦点在y 轴的双曲线方程。 活动意图说明： 类比求椭圆标准方程方法的过程,用坐标法求双曲线的标准方程,通过小组合作讨论，以及总结求椭圆标准方程中优化计算的经验,帮助学生顺利求出双曲线的标准方程,并且通过3个追问，加深学生对双曲线方程理解。在这样的过程中培养学生数学运算素养,渗透数形结合思想方法,通过比较理解不同研究对象差异,培养学生批判性思维品质。 环节四：例题练习，巩固理解 教师活动4 例题1：回到最开始题目，完善前3问，并且提出第4问： 判断该题中车M在什么样的曲线上？并且求出该曲线的方程. 例2：求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x 轴上，a=4，b=3; (2)焦点为（0，-6），（0，6），且经过（2，-5）； (3)焦点在x轴上,经过. 变式：焦点在坐标轴上，经过. 学生活动4 例1学生活动： 老师板书详细过程，强调求方程的步骤和得分点。 例2学生活动：学生自主完成，并找同学交流做题方法。 变式活动：学生类比椭圆，总结双曲线的一般形式，并且学生黑板展示做题过程。活动意图说明： 通过例题1首尾呼应，既完善课堂最开始的问题，体会双曲线在实际应用中的应用，又能通过第4小问总结求双曲线方程的方法和步骤。通过例题2进一步帮助学生理解双曲线的标准方程的结构特征，进而类比椭圆总结得出双曲线的一般形式。 环节五：小结提升，形成结构 1.这堂课你收获了什么知识？ 2.你是怎样获得这些知识的？ 3.在获得这些知识过程中用到了哪些思想方法？ 4.你还有哪些疑惑？ 活动意图说明： 及时梳理、提炼所学知识、技能,感悟数学思想,体会数学研究方法。 环节六：布置作业，应用迁移 1、课后练习1.2.3.4以及相应的分层作业 2、拓展探究： （1）如图设 A，B 两点的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是4/9 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？ 活动意图说明： 作业1：通过习题巩固对双曲线定义和方程的理解； 作业2：与椭圆3.1例题3呼应，经过计算得出该轨迹是双曲线，培养学生从具体到抽象思考问题。
板书设计 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、双曲线的定义： 例题1： 双曲线的方程：
作业与拓展学习设计 1、课后练习1.2.3.4以及相应的分层作业 2、拓展探究： （1）如图设 A，B 两点的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是4/9 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？
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教学反思与改进 1.教学过程的着力点放在了如何激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣上，这是唤 醒学生主体认识的关键。 2.教学过程的基本点放在了夯实基础知识和训练基本技能上，基础知识的教学注重了层 次性、针对性。 3.在小组合作和学生展示方面还需要进一步优化。
备注
五、课堂教学实施所需要的教学课件、微课视频等资源。

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