资源简介

6.1.2 导数及其几何意义
一．教材分析
本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所B版教材）选择性必修第三册中第6章6.1.2节，它是学均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容.
二．教学目标
1. 掌握导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线方程；
2.体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
3.渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.
三．教学重难点
重点：导数的几何意义，曲线切线概念.
难点：导数的几何意义及其简单应用.
教学过程设计
【情境引入】
思考：求函数处导数分哪几步？
第一步：求增量
第二步：求平均变化率；
第三步：求瞬时变化率.
前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”的角度来解读导数，即导数的几何意义.
【设计意图】：由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题.
【探索建构】
探究1.切线的定义
问题1：平均变化率 的几何意义是什么？
【学情预设】：平均变化率表示的是割线的斜率.
活动1：拖动点沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势图. 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？
切线定义：在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点时，割线趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线y=f(x)在点处的切线.
【设计意图】：让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生、发展过程，上升理性思维，形成切线定义，体会“逼近”思想.
问题2：瞬时变化率表示什么？
【学情预设】：瞬时变化率表示的是点处的切线斜率.
追问1：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？
【学情预设】：（1）逼近的方法（2）圆的切线与圆只有一个公共点.
追问2：圆的切线定义适合于任意曲线吗？
活动2：小组合作列举必修一中基本初等函数的图象，探究圆的切线定义是否适合以上函数？
【学情预设】：先感知后发现，当，随着点P沿着圆逼近点，割线无限趋近于点处的切线.
【设计意图】：带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当，割线的变化趋势.
追问3：今天对切线的定义符合初中圆的切线定义吗？
【学情预设】：符合
探究2.导数的几何意义
问题3：曲线上两点，，割线点P处的切线，那么：，割线的斜率？你能发现导数的几何意义吗？
【学情预设】：点处的切线斜率；函数在处的导数就是曲线在该点处的切线斜率，即：
【设计意图】：结合动画中具体函数，由切线的定义观察平均变化率的极限即处的切线的斜率.
追问4：你能求出曲线y=f (x)在点处的切线方程是什么吗？
例1. 求曲线 f(x)= 在点P(1,f (1))处的切线的斜率与方程．
探究3. 了解以直代曲思想
问题4：图中哪条直线最贴近点附近的曲线？
以直代曲：在点附近，曲线可以用点处的切线T近似代替
例2：图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图像，请描述、比较曲线在附近的变化情况.
活动3：小组合作根据图像，请描述、比较曲线在附近的变化情况.
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减；
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
跟踪练习: 比较曲线在附近的变化情况.
【设计意图】：要求学生动脑(审题)、动手(画切线)、动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用“以直代曲”的思想方法.
【课堂小结】
【当堂检测】
【课后作业】
一．选择题
1.已知y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
2.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A.－4 B.3 C.－2 D.1
3.(多选题)曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( )
A.y＝9x B.y＝9x－26
C.y＝9x＋26 D.y＝9x＋6
二、填空题
4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.
5.若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________.
三、解答题
6.求过点P(－1，2)且与曲线f(x)＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线.
课后反思：
1. 使用信息技术让学生直观感知无限逼近过程，让学生理解切线定义的本质，重视对概念的深度剖析，从而使学生对核心概念切线定义的理解能一步到位；
2. 注重让学生意识到数与形的结合，获得导数的几何意义，动态演示增强几何意义的视觉效果，利用动画演示并结合导数定义和切线定义搭建数与形的联系.
3. 例题及其活动目的是使学生体会“以直代曲”的方法，加深学生对导数几何意义的理解、掌握和应用，同时注意将导数多方面的意义联系起来，有效突破难点.课堂中学生数学符号的表达及数形结合的水平、读图的水平还需提高，希望在以后的教学中不断提高教学理念，让学生有效的“动”起来.

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