资源简介

☆　问题解决策略：反思
1.经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力．
2.积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力．
重点：培养学生发现问题和提出问题，分析问题和解决问题的能力，引导学生探索学习新知的方法和路径．
难点：提炼出“分析线段所在三角形→寻找全等条件→证明线段相等”的通用解题模型，并应用于新问题解决．
知识链接
　　1.等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定方法有哪些？
　　2.证明线段相等的方法有哪些？
创设情境——见配套课件
问题情境：某建筑师在设计一座对称的屋顶结构，屋顶的框架由等腰三角形ABC构成，其中两侧斜梁AB和AC长度相等．为了确保屋顶的稳定性，需要在两腰AB和AC的中点分别安装支撑梁CE和BD，这两根支撑梁长度相等吗？
问题1：以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？
以BD为边的三角形有△ABD，△CBD．以CE为边的三角形有△ACE，△BCE．△ABD和△ACE，△CBD和△BCE可能全等．
问题2：AB和AC长度相等，两腰AB和AC的中点分别为E，D，我们可以得到什么结论？
∠ABC=∠ACB，AE=BE=AD=CD．
问题3：如果要证明△ABD和△ACE全等，有哪些边或角相等？
AB=AC，∠A=∠A，AD=AE．
问题4：如果要证明△CBD和△BCE全等，有哪些边或角相等？
CD=BE，∠DCB=∠EBC，CB=BC．
思考：此题说明等腰三角形两腰上的中线相等，反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
求证：如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC和AB上的中线，CE=BD，求证：△ABC是等腰三角形．
　　　　　　　　
证明：连接DE延长至F，使DE=FE，连接BF．∵CE是边AB上的中线，∴AE=BE．又∵∠AED=∠BEF，∴△AED≌△BEF（SAS）．∴∠A=∠FBE，AD=BF．∵BD是边AC上的中线，∴AD=DC=BF．∵∠BDC=∠A＋∠ABD，∠DBF=∠FBE＋∠ABD．∴∠BDC=∠DBF．∵DC=BF，∠BDC=∠DBF，BD=DB，∴△BDC≌△DBF（SAS）．∴∠CBD=∠FDB．∴FD∥BC．延长BC至点G，使CG=DE，连接DG．∵FD∥BG，∴∠EDC=∠GCD．∴△EDC≌△GCD（SAS）．∴EC=GD，∠ECD=∠GDC．∴GD=BD，EC∥DG．∴∠ECB=∠G=∠DBC．∵CE=BD，BC=CB，∴△EBC≌△DCB（SAS）．∴∠EBC=∠DCB．∴△ABC是等腰三角形．
思考：如果把问题情境中的等腰三角形ABC换成任意三角形ABC，CE和BD还相等吗？
不能确定
拓展：如果把问题情境中的“BD，CE分别是边AC和AB上的中线”换成“BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线”，CE和BD还相等吗？
相等．理由：设BD，CE相交与点O．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBO=∠CBO=∠OCB=∠OCD．∴OB=OC．∵∠EOB=∠DOC，∴△EOB≌△DOC（ASA）．∴EO=DO．∵EO＋OC=DO＋OB．∴CE=BD．
讨论：尝试适当改变条件，编写出一道题看是否成立，和同伴交流讨论．
证明命题“全等三角形对应边上的中线相等”．
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．求证：AD=A′D′．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′．∵AD，A′D′是BC和B′C′上的中线，∴BD=BC，B′D′=B′C′．∴BD=B′D′．∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）．∴AD=A′D′．
将0~9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大．
解：如图所示（答案不唯一）．
1.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b，利用这个图证明勾股定理．
证明：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（a－b）2，∴c2=4×ab＋（a－b）2，即c2=a2＋b2.在每个直角边为a，b斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．
2.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，点E在BC的延长线上，且∠EDC=30°．求证：△BDE是等腰三角形．
解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=∠BCA=60°，∠DBC=∠ABC=30°．∵∠EDC=30°，∴∠E=∠ACB－∠EDC=60°－30°=30°．∴∠DBC=∠E=30°．∴BD=DE．∴△BDE是等腰三角形．
分析线段所在三角形→寻找全等条件→证明线段相等
后续教学中，将以“解题模型深化”“学生差异兼顾”“知识体系整合”为核心，持续优化课堂．通过更具针对性的分层教学、更开放的方法探究、更系统的知识关联梳理，让不同水平学生都能在几何学习中，提升逻辑思维与解决问题的能力，真正掌握“中线与全等”的核心本质，为后续几何综合学习筑牢基础．

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