资源简介

(共20张PPT)
1.2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
1. 掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点）
2. 理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明.（难点）
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
已知：在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB =AC.
A
B
C
证明：作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB =∠ADC = 90°.
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS）.
∴AB = AC.
D
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
等腰三角形的判定定理：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2, ∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠ADB=∠DAC.
∴AE=ED（等角对等边）.
∴△AED 是等腰三角形.
例2 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC 且∠1=∠2．求证：AB=AC．
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵ AD∥BC ，
∴∠1 =∠B，∠2=∠C.
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C.
∴AB = AC.
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
A
B
C
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
A
B
C
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证明的一般步骤
1.假设:先假设命题的结论不成立;
2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°.
于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
2．下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，CB＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为13
B
A
4.用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（　　）
A．假设三角形中至少有两个钝角
B．假设三角形中最多有两个钝角
C．假设三角形中最少有一个钝角 D．假设三角形中没有钝角
A
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是
△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
A
B
C
D
72°
③如果 AD =4 cm，则BC = cm；
5.已知: 如图, ∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°
①∠1= , ∠2= ；
②图中有 个等腰三角形；
72°
36°
3
4
5
（
（
（
36°
36°
（
（
E
④如果过点 D 作 DE∥BC,交AB于点E,则图中有 个等腰三角形.
1
2
6. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设结论不成立，
即：∠A＞60°，∠B ＞60°，∠C＞60°,
则∠A +∠B +∠C ＞180 °.
这与三角形内角和定理相矛盾.
所以假设不成立，所求证的结论成立.
7.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
A
B
C
D
E
O
证明:
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB.
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.第一章 三角形的证明及其应用
1.2 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
教学设计
课题 第2课时 等腰三角形的判定 授课人
教学目标 1.学生能理解并掌握等腰三角形的判定定理，能运用该定理进行简单的证明和计算；了解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，会用反证法证明一些简单的命题. 2.通过对等腰三角形判定定理的探索和证明，培养学生的逻辑推理能力和观察、分析、归纳能力；在学习反证法的过程中，体会逆向思维，提高学生的思维能力和解决问题的能力. 3.在探究活动中，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心；培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神，激发学生对数学的兴趣.
教学重点 理解等腰三角形的判定定理.
教学难点 了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 知识点1 等腰三角形的判定 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 已知：在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC. 证明：作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB =∠ADC = 90°. 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）. ∴AB = AC. 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 应用格式： 在△ABC中， ∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边). 辨一辨：如图,下列推理正确吗 ∵∠1=∠2 , ∴ BD=DC. （等角对等边）. 错，因为不是在同一个三角形中. ∵∠1=∠2, ∴ DC=BC. （等角对等边）. 错，因为不是在同一个三角形中. （链接例1、例2、针对练习） 知识点2 反证法 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. 小明是这样想的: 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等. 假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 用反证法证明的一般步骤： 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. （链接例3） 教师引导学生进行思考和猜想.根据学生的发言，引导学生总结出等腰三角形的判定定理及反证法的步骤.
典例精析 【例1（教材P12例题）】 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED 是等腰三角形. 【证明】∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA， ∴△ABD≌△DCA（SSS）. ∴∠ADB=∠DAC. ∴AE=ED（等角对等边）. ∴△AED 是等腰三角形. 【例2】已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC 且∠1=∠2．求证：AB=AC． 【证明】∵ AD∥BC ， ∴∠1 =∠B，∠2=∠C. 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C. ∴AB = AC. 【针对练习】在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（ B ） A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40° C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60° 【例3（教材P13例题）】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角. 【证明】假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角， 不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°，∠B = 90°. 于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 学生先进行证明，教师再进行指导和规范讲解，帮助学生规范证明过程.
随堂检测 1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为（　B　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列条件中能判定△ABC是等腰三角形的是（　B　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80° C．AB＝AC＝2，CB＝4 D．AB＝3，BC＝7，周长为13 3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别是△ABC，△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( A ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4.用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是（　A　） A．假设三角形中至少有两个钝角 B．假设三角形中最多有两个钝角 C．假设三角形中最少有一个钝角 D．假设三角形中没有钝角 5.已知:如图, ∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72° ①∠1= 72° , ∠2= 36° ； ②图中有 3 个等腰三角形； ③如果 AD =4 cm，则BC = 4 cm； ④如果过点 D 作 DE∥BC,交AB于点E,则图中有 5 个等腰三角形. 6. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 【证明】假设结论不成立， 即：∠A＞60°，∠B ＞60°，∠C＞60°, 则∠A +∠B +∠C ＞180 °. 这与三角形内角和定理相矛盾. 所以假设不成立，所求证的结论成立. 7.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O.求证：△OBC为等腰三角形. 【证明】∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠DBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB. 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.等腰三角形的判定定理是什么？ 2.什么是反证法？反证法的一般步骤是什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 等腰三角形的判定 1 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 2 反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
教学反思

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