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5　角平分线
第1课时　角平分线的性质与判定
1.复分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理．
2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．
3.通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
重点：角平分线的性质与判定的证明及运用．
难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题．
知识链接
　　想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么？角的平分线除了平分角之外，还具有其他的性质吗？让我们在这节课中展开探索吧．
创设情境——见配套课件
　探究点一：角平分线的性质
操作：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，测量PD，PE．
思考：比较PD，PE的长度，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试．通过测量，你发现了什么？
PD=PE．在OC上再取几个点试一试，发现上述结论依然成立．
猜想：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
证明：如上图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD=PE．
证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°．∵∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）．
如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．
解：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，
∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）．∴BE=CF．
　探究点二：角平分线的判定
思考：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等，如果交换这个命题的条件和结论，你能得到什么新结论？
新结论：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
探索：这个新结论成立吗？请按照上节课总结的证明几何命题的一般步骤，自己证一证这个结论．
已知：如图，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°．∵PD=PE，OP=OP，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．∴∠DOP=∠EOP．∴点P在∠AOB的平分线上．
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置）？
解：集贸市场应建在S区内，公路和铁路夹角的平分线上，且在图上距离公路和铁路交点处500÷250=2个单位长度的位置，如图中点P所示．
（教材P41例1）在配套课件中展示．
1.如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PD⊥OA于点D．若PD=6，则点P到OB的距离为　6　．
第1题图　　　　
第2题图　　　　
第3题图
2.如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN．若∠BOC=30°，则∠AOB的度数是　60°　．
3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC=2AD，点D到BC的距离为5，则AC=　15　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
角平分线的性质与判定
本节课运用动手操作、讨论交流法，增强学生对角及角平分线性质的感性认识，助力知识理解掌握，达成教学目标．同时，借直观模型引导学生自主探究、合作交流，得出角平分线判定定理，提升教学效果．其性质与判定为证线段、角相等开辟新路径，是全等三角形知识的延续，为后续学习奠基．第2课时　三角形三边的垂直平分线与作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题．
2.能够利用尺规过直线外一点作直线的垂线．
重点：利用三角形三边垂直平分线的性质解决问题．
难点：尺规作图的规范与合理性．
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　　上节课我们学习了垂直平分线的性质，我们一起来回顾一下．
创设情境——见配套课件
　探究点一：尺规作等腰三角形
前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，如果已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？能作出多少个？
无数个
思考：如果已知等腰三角形的底边及底边边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作出多少个？与同伴进行交流．
能作出1个
如图，已知线段a和h．求作：用尺规作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h．
作法：如图，①作线段BC=a，再作线段BC的垂直平分线，交BC于点D；②以点D为圆心，线段h的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于点A；③连接AB，AC，则△ABC即为所求．
已知：线段a，b，求作：等腰三角形ABC，使线段a为底，线段b为腰．（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
解：如图，△ABC即为所求．
　探究点二：过直线外一点，用尺规作已知直线的垂线
操作：点A在直线l上，作直线AB，使得AB⊥l．
　　　　　　　　
作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于C，D两点；②分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧在直线l一侧相交于点B；③作直线AB．
思考：如果点A在直线l外呢？
　　　　　　　　
作法：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点B，C；②分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D；③作直线AD．则AD⊥l．
讨论：操作和思考中的作图有什么异同？与同学讨论，交流．
作三角形ABC中BC边上的高AD（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
　　　　　　　　
解：如图所示，线段AD即为所求．
　探究点三：三角形三边的垂直平分线的性质的应用
问题情境：如图，有三个村庄分别是A，B，C，现计划修建一个居民活动中心P，要求到三个村庄的距离相等，请在图中确定活动中心P的位置．
问题1：P到A和P到B的距离相等，那么点P和线段AB有什么关系？
点P在AB的垂直平分线上．
问题2：P到A和P到C的距离相等，那么点P和线段AC有什么关系？
点P在AC的垂直平分线上．
操作：根据问题1和问题2画出相应的垂直平分线，并思考点P与线段BC有什么关系？
P在BC的垂直平分线上，P是AB，AC，BC三条线段的垂直平分线的交点．
（教材P36例2）在配套课件中展示．
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BE=6，则CE的长为（B）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.某等腰三角形的顶角为100°，其中两边的垂直平分线交于点P，则点P在（C）
A．三角形底边上　　B．三角形内
C．三角形外　　D．无法确定
3.在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PA，PB，PC的大小关系是　PA=PB=PC　．
4.在△ABC中，∠C=90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
解：如图所示，点P即为所求．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
三角形三边的垂直平分线与作图
本节课学习了用尺规作三角形，作图时要学会分析．一般先画一个满足题目已知条件的草图，有时结合基本作图和已知条件可作一个与求作三角形相关联的三角形，然后运用有关条件结合基本作图作出其余的图形．第2课时　等腰三角形的判定与反证法
1.掌握等腰三角形的判定定理并运用其解决问题．
2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．
3.通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力．
重点：1.等腰三角形判定方法的运用．
2.反证法的基本步骤．
难点：等腰三角形判定方法的运用．
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　　上一堂课，我们学习了等腰三角形的性质，我们一起来回顾一下．
创设情境——见配套课件
　探究点一：等腰三角形的判定
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探究：如图，在△ABC中，∠B=∠C．AB与AC的数量关系如何呢？
如图，从点A作一条辅助线：角平分线AD，然后用全等三角形的知识进行证明．
求证：作∠BAC的平分线AD，你能证明AB=AC吗？试一试．
如图，作△ABC的角平分线AD．在△BAD和△CAD中，
∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB=AC．
归纳总结：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）．
思考：你还有其他方法证明吗？与大家讨论并尝试做一做．
可过点A作BC的高线或中线，进一步通过全等来证明．
讨论：“等边对等角”与“等角对等边”的区别是什么？
等腰三角形的性质：两边相等，这两边所对的角相等．
等腰三角形的判定：两角相等，这两角所对的边相等．
如图所示，∠1=∠2，AE∥BC，求证：△ABC是等腰三角形．
证明：∵AE∥BC，∴∠2=∠C，∠1=∠B．∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．
（教材P16例1）在配套课件中展示．
　探究点二：反证法
思考：我们学习了等腰三角形的性质和判定，知道等边对等角，等角对等边．如果在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边相等吗？与同伴交流讨论．
小明说：“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC．”他说的对吗？
问题：假设AB=AC，你可以得到什么结论？
假设AB=AC，则∠B=∠C．这与已知条件∠B≠∠C矛盾，因此AB≠AC，小明说的对．
归纳总结：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
（教材P17例2）在配套课件中展示．
1.在△ABC中，∠B=∠C．若AC=4，则AB的长为（C）
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB．若OD=3 cm，则CD的长为（A）
A.3 cm　　B.4 cm　　C.1.5 cm　　D.2 cm
第2题图　　　　　　第3题图
3.把两个全等的含30°角的直角三角板按如图所示的方式拼在一起，其中等腰三角形有（D）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
4.用反证法证明“等角对等边”，应先假设　某三角形中的两个角相等，这两个角所对的边不相等　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
等腰三角形的判定与反证法
本节课结合三角形全等的知识，得出了等腰三角形的判定方法，并将这一结论用于各种计算和证明，提高了学生对等腰三角形知识的综合运用能力．学生判定等腰三角形时，对于各种条件的运用还不是很熟练，今后要多加强练习．第3课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
1.学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题．
2.理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．
3.通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力．
重点：等边三角形的判定．
难点：等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用．
知识链接
　　上一堂课，我们学习了等腰三角形的判定，我们一起来回顾一下．
创设情境——见配套课件
　探究点一：等边三角形的判定
思考：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判定一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？
通过之前的学习，我们很容易联想到：三个角都相等的三角形是等边三角形．
论证：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．
证明：由∠A=∠B，得BC=AC．由∠B=∠C，得AC=AB．所以AB=AC=BC．所以△ABC是等边三角形．
猜想：有一个角是60°的等腰三角形是什么三角形？你能证明吗？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
论证：如上图，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∠A=60°，∴60°＋2∠B=180°．∴∠B=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形．
讨论：上图中若AB=AC，∠B=60°，△ABC还是等边三角形吗？若∠C=60°呢？
思考：结合以上探究过程，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定方法．
图形 等腰三角形 等边三角形
判定 从边看 两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形
从角看 两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形
边角结合 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E，∠BCE=60°．求证：△BCE是等边三角形．
证明：∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB．∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B．∴CB=CE．又∵∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形．
　探究点二：含30°角的直角三角形的性质
我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角．量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜．
情境探究：如图，将两个含30°角的全等的三角板摆放在一起．你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题1：两个三角板构成的图案，恰好是一个三角形吗？
是的．∠ACB＋∠ACD=90°＋90°=180°，所以点B，C，D在同一条直线上．所以两个三角板构成的图案恰好是一个三角形．
问题2：△ABD是不是等边三角形？说明理由．
是．因为两个三角形全等，所以AB=AD．因为∠ABC=60°，所以△ABD是等边三角形．
问题3：你能说说BC与AB的长度关系吗？
BC=AB．理由：因为BC=CD，所以BC=BD．因为△ABD是等边三角形，所以BD=AB．所以BC=AB．
论证猜想：已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC=AB．
证明：如图，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD．∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB=AD．在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=180°－30°－90°=60°．∴△ABD是等边三角形．∴BC=AB．
归纳总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
（教材P19例3）在配套课件中展示．
1.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，AB=6，则AC的长为（B）
A.4　　B.6　　C.8　　D.10
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB的长为（A）
A.4　　B．　　C．　　D．
3.如图，在△ABC中，AB=AC=12，∠BAC=120°，则底边上的中线AD=　6　．
4.下列三角形：①有两个内角是60°的三角形；②有两边相等且是轴对称的三角形；③有一个角是60°且是轴对称的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有　①③④　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质
本节课利用等腰三角形的知识，推出等边三角形的特殊性质和判定方法，巩固学生旧知的同时，也提升了学生的推理能力，并让他们掌握了有关等边三角形的新知识．部分学生在推导等边三角形的性质和判定方法时，依靠直观感受，欠缺用数学知识严格推理的理念，今后要对他们的思维习惯进行适当引导．
　　在探究30°角所对的直角边与斜边的关系时，学生说理的方法比较多样化，在教学中对于这种现象，要尽可能地对学生进行肯定．☆　问题解决策略：反思
1.经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力．
2.积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力．
重点：培养学生发现问题和提出问题，分析问题和解决问题的能力，引导学生探索学习新知的方法和路径．
难点：提炼出“分析线段所在三角形→寻找全等条件→证明线段相等”的通用解题模型，并应用于新问题解决．
知识链接
　　1.等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定方法有哪些？
　　2.证明线段相等的方法有哪些？
创设情境——见配套课件
问题情境：某建筑师在设计一座对称的屋顶结构，屋顶的框架由等腰三角形ABC构成，其中两侧斜梁AB和AC长度相等．为了确保屋顶的稳定性，需要在两腰AB和AC的中点分别安装支撑梁CE和BD，这两根支撑梁长度相等吗？
问题1：以BD为边的三角形有哪些？以CE为边的三角形呢？其中哪些三角形有可能全等？
以BD为边的三角形有△ABD，△CBD．以CE为边的三角形有△ACE，△BCE．△ABD和△ACE，△CBD和△BCE可能全等．
问题2：AB和AC长度相等，两腰AB和AC的中点分别为E，D，我们可以得到什么结论？
∠ABC=∠ACB，AE=BE=AD=CD．
问题3：如果要证明△ABD和△ACE全等，有哪些边或角相等？
AB=AC，∠A=∠A，AD=AE．
问题4：如果要证明△CBD和△BCE全等，有哪些边或角相等？
CD=BE，∠DCB=∠EBC，CB=BC．
思考：此题说明等腰三角形两腰上的中线相等，反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
求证：如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC和AB上的中线，CE=BD，求证：△ABC是等腰三角形．
　　　　　　　　
证明：连接DE延长至F，使DE=FE，连接BF．∵CE是边AB上的中线，∴AE=BE．又∵∠AED=∠BEF，∴△AED≌△BEF（SAS）．∴∠A=∠FBE，AD=BF．∵BD是边AC上的中线，∴AD=DC=BF．∵∠BDC=∠A＋∠ABD，∠DBF=∠FBE＋∠ABD．∴∠BDC=∠DBF．∵DC=BF，∠BDC=∠DBF，BD=DB，∴△BDC≌△DBF（SAS）．∴∠CBD=∠FDB．∴FD∥BC．延长BC至点G，使CG=DE，连接DG．∵FD∥BG，∴∠EDC=∠GCD．∴△EDC≌△GCD（SAS）．∴EC=GD，∠ECD=∠GDC．∴GD=BD，EC∥DG．∴∠ECB=∠G=∠DBC．∵CE=BD，BC=CB，∴△EBC≌△DCB（SAS）．∴∠EBC=∠DCB．∴△ABC是等腰三角形．
思考：如果把问题情境中的等腰三角形ABC换成任意三角形ABC，CE和BD还相等吗？
不能确定
拓展：如果把问题情境中的“BD，CE分别是边AC和AB上的中线”换成“BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线”，CE和BD还相等吗？
相等．理由：设BD，CE相交与点O．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠EBO=∠CBO=∠OCB=∠OCD．∴OB=OC．∵∠EOB=∠DOC，∴△EOB≌△DOC（ASA）．∴EO=DO．∵EO＋OC=DO＋OB．∴CE=BD．
讨论：尝试适当改变条件，编写出一道题看是否成立，和同伴交流讨论．
证明命题“全等三角形对应边上的中线相等”．
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．求证：AD=A′D′．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′．∵AD，A′D′是BC和B′C′上的中线，∴BD=BC，B′D′=B′C′．∴BD=B′D′．∴△ABD≌△A′B′D′（SAS）．∴AD=A′D′．
将0~9这10个数字填写到图中10个圆圈内，使得相邻两数差的绝对值的和最大．
解：如图所示（答案不唯一）．
1.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b，利用这个图证明勾股定理．
证明：∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（a－b）2，∴c2=4×ab＋（a－b）2，即c2=a2＋b2.在每个直角边为a，b斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．
2.如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，点E在BC的延长线上，且∠EDC=30°．求证：△BDE是等腰三角形．
解：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=∠BCA=60°，∠DBC=∠ABC=30°．∵∠EDC=30°，∴∠E=∠ACB－∠EDC=60°－30°=30°．∴∠DBC=∠E=30°．∴BD=DE．∴△BDE是等腰三角形．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
分析线段所在三角形→寻找全等条件→证明线段相等
后续教学中，将以“解题模型深化”“学生差异兼顾”“知识体系整合”为核心，持续优化课堂．通过更具针对性的分层教学、更开放的方法探究、更系统的知识关联梳理，让不同水平学生都能在几何学习中，提升逻辑思维与解决问题的能力，真正掌握“中线与全等”的核心本质，为后续几何综合学习筑牢基础．2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
1.探索并证明等腰三角形的性质．
2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算．
3.掌握等边三角形的性质，并能够利用性质解题．
4.经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性．
重点：1.探索并证明等腰三角形的性质．
2.运用等腰三角形和等边三角形的性质进行证明和计算．
难点：等腰三角形性质的证明．
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　　等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角．三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？
创设情境——见配套课件
　探究点：等腰三角形的性质
操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形．
操作2：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角．
（学生讨论回答）
思考：在等腰三角形ABC中，AD是什么特殊的线段？
既是顶角的平分线，又是底边上的中线，也是底边上的高．
猜想：等腰三角形有什么性质？说说你的猜想．
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）．
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合．
操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折．你的猜想仍然成立吗？
成立．
论证：如图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD．求证：∠B=∠C，AD平分顶角∠BAC，AD垂直于底边BC．
证明：在△BAD和△CAD中，∴△BAD≌△CAD（SSS）．∴∠B=∠C（这样，我们就证明了性质1）．由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而∠BDA=×180°=90°，故AD⊥BC．这也就证明了等腰三角形的性质2.
如图，△ABC中，AB=AC．
（1）已知AB=5，BC=6，若AD⊥BC，则AD=　4　；
（2）已知∠B=40°，若点D为BC边的中点，则∠CAD=　50　°；
（3）若AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABC的周长为　14　．
思考：若△ABC是等边三角形，它具有哪些特殊的性质呢？与同伴交流讨论．
归纳总结：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的所有性质．
（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°．
如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E在AC上，AD=AE，求∠EDC的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD=30°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED===75°．∴∠EDC=∠ADC－∠ADE=90°－75°=15°．
1.在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠C的度数是（A）
A.70°　　B.55°　　C.50°　　D.40°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（A）
A．AD=BD
B．BD=CD
C．∠1=∠2
D．∠B=∠C
3.已知等边三角形ABC的一边长为10，则它的周长为（C）
A.10　　B.20　　C.30　　D.40
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
等腰三角形的性质
　本节课通过折叠、裁剪引入等腰三角形，再根据轴对称的特点归纳出等腰三角形的性质，并利用三角形的全等对这些性质进行了证明，培养了学生的推理能力．在如何用几何语言表述要证明的命题时，学生缺乏自主意识，今后要在教学中有意识地对学生多进行这方面的培养．1　三角形内角和定理
第1课时　三角形的内角和
1.探索并证明三角形的内角和定理．
2.学会解决与求角度有关的实际问题，体会转化的数学思想．
3.复习全等三角形的性质和判定．
重点：三角形内角和定理及其运用．
难点：三角形内角和定理的推理过程．
知识链接
　　我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°．
　　思考：如何用推理的方法去验证呢？
创设情境——见配套课件
　探究点一：三角形内角和定理的证明
探究：我们在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？
　
思考：如果只把∠A移动到∠1的位置，使∠A=∠1，怎么操作？
过点C作CD∥BA即可
问题1：∠B和∠2有什么关系？为什么？
相等，两直线平行，同位角相等
问题2：你能通过这种方法证明三角形三个内角和是180°吗？
已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C=180°．
证明：如图，延长BC到D，过点C作射线CE，使CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B．∵点B，C，D在同一条直线上，∴∠1＋∠2＋∠ACB=180°．∴∠A＋∠B＋∠ACB=180°．
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理：三角形的内角和等于180°．
问题3：观察下图中的拼图方法，模仿前面的证明过程，还可以怎样证明三角形内角和定理？
如图，过点A作直线l，使l∥BC，则∠2=∠4，∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5=180°．∴∠1＋∠2＋∠3=180°．
问题4：除了上述证明方法，你还有其他方法可以证明三角形内角和为180°吗？与你的同桌讨论交流．
归纳总结：
　　　　　　
（教材P3例1）在配套课件中展示．
　探究点二：全等三角形的判定和性质
在前面课时我们已经证明了SSS，ASA，SAS的成立，怎么用这些定理证明AAS成立呢？
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF．
问题1：∠C和∠F有什么关系？为什么？
相等，因为三角形内角和是180°，∠A=∠D，∠B=∠E，所以∠C=∠F．
问题2：AAS和ASA有什么联系？
根据三角形内角和定理，已知两个角我们可以求出另外一个角的大小，因此我们可以利用ASA去证明AAS成立．
问题3：AB和DE有什么关系？AC和DF呢？
AB=DE，AC=DF．因为全等三角形的对应边相等．
如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（B）
A．BD=CD　　B．AB=AC　　C．∠B=∠C　　D．∠BAD=∠CAD
例2题图　　例3题图
如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是　72°　．
1.在△ABC中，∠A=72°，∠B=49°，则∠C的度数为（B）
A．49°　　B．59°　　C．69°　　D．79°
2.如图为撕去了一个角后的三角形纸片，其中∠A=30°，∠B=70°，则撕去的角的度数是（B）
A．100°　　B．80°　　C．70°　　D．90°
第2题图　　　
第3题图
3.如图，在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶7∶9，则△ABC是　直角　三角形．
4.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=45°，则∠B的度数为　67.5°　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
三角形内角和
本节课的设计是先让学生动手操作，使学生对三角形的内角和有一定的感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受．教师引导学生采用不同的方法，对三角形的三个内角进行拼合，这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力．第一章　三角形的证明及其应用
全章分析 本章是《平行线的证明》的继续．从《平行线的证明》开始，教材从几条基本事实出发展开了对平行线等图形性质的严格证明．本章将类比《平行线的证明》，对三角形的内角和定理及其推论、多边形的内角和与外角和、等腰三角形和直角三角形的性质、垂直平分线和角平分线的性质进行探索与证明．等腰三角形、直角三角形是最基本也是最重要的特殊几何图形，以它们为载体，借助全等的一些基本事实，能够培养学生的逻辑推理能力，也为后继学习平行四边形等几何图形打下基础．
学习目标 ①经历几何情境引出证明问题，探索并掌握三角形及特殊三角形的性质与判定，运用于证明和实际问题的过程，培养学生用数学知识解决问题的意识与能力． ②掌握三角形内角和定理及外角性质，能进行角度计算与证明． ③探索并掌握多边形内角和公式及外角和定理，能运用公式计算多边形内角和，解决多边形边数、角度相关的证明与计算问题． ④掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定及含30°角直角三角形的性质，会解决相关问题，了解并运用反证法． ⑤掌握直角三角形的性质、判定及“HL”判定全等，解决相关问题． ⑥掌握线段垂直平分线和角平分线的性质与判定，解决相关证明、作图及简单实际问题． ⑦感受逻辑推理的严谨性，激发学生的探究兴趣与对数学文化的热爱．
知识结构
课时规划 1　三角形内角和定理约4课时 2　等腰三角形约3课时 3　直角三角形约2课时 4　线段的垂直平分线约2课时 5　角平分线约2课时 ☆　问题解决策略：反思约1课时 小结　约1课时第2课时　三角形的三条内角平分线
1.在角平分线性质与判定的基础上探索三角形三条内角的平分线的相关性质．
2.能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．
重点：三角形三条内角平分线的性质．
难点：三角形三条内角平分线性质的实际应用．
知识链接
　　1.角平分线的性质是什么？
　　2.怎么判定角平分线？
创设情境——见配套课件
　探究点：三角形的角平分线
如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭P供大家休息，且凉亭P到草坪三边的距离相等，利用直尺和圆规，确定凉亭P的位置．
问题1：点P到BA和BC的距离相等，那么点P处于什么位置？
点P在∠ABC的平分线上．
问题2：点P到AB和AC的距离相等，那么点P处于什么位置？
点P在∠BAC的平分线上．
操作：根据问题1和问题2画出对应角的平分线，并思考：点P在∠ACB的平分线上吗？
点P在∠ACB的平分线上，P是∠BAC，∠ABC，∠ACB三个角的平分线的交点．
归纳总结：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
（教材P42例3）在配套课件中展示．
（教材P42例2）在配套课件中展示．
1.如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线．若∠BAC=52°，则∠BAO=（B）
A．25°　　B．26°　　C．30°　　D．32°
第1题图　　
第2题图　　
第3题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（C）
A．直角三角形　　B．等边三角形　　C．等腰三角形　　D．等腰直角三角形
3.如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO=8，则S△CAO=　14　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出三角形三条内角平分线的相关性质，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用三角形内外角平分线时，还存在问题，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练．第2课时　直角三角形全等的判定
1.掌握“斜边、直角边”的判定方法．
2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等．
3.使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维．
重点：“斜边、直角边”判定方法的使用．
难点：分析问题，探索直角三角形全等的条件．
知识链接
　　前面我们学习了三角形全等的4种判定方法，那么对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足哪些条件，这两个直角三角形就全等了？
创设情境——见配套课件
　探究点：直角三角形全等的判定
操作：已知线段a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=c，BC=a．
作法：①作射线CN；②过点C作射线CN的垂线CM；③在射线CM上截取CB=a；④以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；⑤连接AB．则△ABC即为所求．
问题1：把你所作的三角形和同伴作的三角形剪下来进行比较，它们全等吗？
全等
我们可以发现：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．你能证明这个结论吗？
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2－AC2.同理，B′C′2=A′B′2－A′C′2.∵AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
归纳总结：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．这一定理可简述为“斜边、直角边”或“HL”．
如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
证明：∵∠B=∠D=90°，∴△ABC和△ADC都是直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
（教材P30例）在配套课件中展示．
1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC，则能直接判定Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（A）
A．HL　　B．ASA　　C．SAS　　D．SSS
第1题图　　　　
第2题图　　　　
第3题图
2.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE．若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　AC=DE　．
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE．若BD=4 cm，CE=3 cm，则DE=　7　cm．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
直角三角形全等的判定
本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．第3课时　多边形的内角和
1.掌握多边形的内角和公式．
2.通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何证明中的运用，让学生体会从特殊到一般的思想方法．
3.会从不同的角度探索多边形的内角和公式．
重点：探索多边形的内角和公式．
难点：把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式．
知识链接
　　我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明任意四边形的内角和等于360°吗？同学们，你一定能猜到这个结论是正确的，为验证你的猜想，我们这节课将进一步探讨多边形相关知识——多边形的内角和．
创设情境——见配套课件
　探究点：多边形的内角和
问题1：三角形的内角和是多少度？
三角形内角和是180°．
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
都是360°．
问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度，并说明理由．
猜想：任意四边形ABCD的内角和是360°．如图，连接AC，则四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×2=360°．
思考1：你还有其他方法吗？与同伴进行交流．
①如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，则该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3－（∠AEB＋∠AED＋∠CED）=180°×3－180°=360°．
　　　
②如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE，BE，CE，DE，把四边形分成四个三角形：△ABE，△ADE，△CDE，△CBE．所以四边形ABCD的内角和为180°×4－（∠AEB＋∠AED＋∠CED＋∠CEB）=180°×4－360°=360°．
思考2：上面的三种求解方法有什么相同点？
都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化为已学的三角形内角和问题再求解．
（教材P8例4）在配套课件中展示．
问题4：你能仿照求四边形内角和的方法，求五边形和六边形的内角和吗？
填一填：
名称 图形 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 分割出三角形的个数 多边形内角和
三角形 0 1 1×180°=180°
四边形 1 2 2×180°=360°
五边形 2 3 3×180°=540°
六边形 3 4 4×180°=720°
… … … … …
n边形 n－3 n－2 （n－2） 180°
归纳总结：n边形的内角和等于（n－2）×180°．
思考3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？正n边形呢？
60°，90°，120°，135°；．
一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则（n－2） 180=360＋720，解得n=8.∵这个多边形的每个内角都相等，（8－2）×180°=1080°，∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
思考4：剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流．
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片可能是三角形，四边形或者五边形．它的内角和可能是180°，360°或540°．
深度思考：一个n边形剪掉一个角后，剩下的纸片是n边形吗？
（n－1）边形或n边形或（n＋1）边形
1.从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（A）
A.7　　B.8　　C.5　　D.6
2.八边形的内角和是（D）
A.360°　　B.540°　　C.900°　　D.1080°
3.一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数为（C）
A.7　　B.6　　C.5　　D．4
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性，规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．第2课时　三角形的外角
1.理解三角形的外角的概念．
2.掌握三角形内角和定理的推论．
3.经历由特殊到一般的数学思维过程，体会数学推理的严谨性．
重点：三角形外角的性质．
难点：运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确表达推理过程．
知识链接
　　
如图，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD．类比三角形的内角，我们该如何概括类似∠ACD这样的角呢？它又具有什么性质呢？
创设情境——见配套课件
　探究点一：三角形外角的概念
概念引入：三角形的外角：三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作三角形的外角．
问题1：三角形的外角有什么特征？请与同桌讨论交流．
（1）角的顶点是三角形的顶点；（2）角的一边是三角形的一边；（3）角的另一边是三角形某边的延长线．
问题2：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角．
问题3：如上图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角．
问题4：你能画出△ABC的所有外角吗？共有几个呢？
三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形共有6个外角，其中有三个与另外三个分别相等．研究时，通常只在每个顶点处取一个外角进行讨论．
　探究点二：三角形外角的性质
思考1：如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角．你能求出∠ACD的大小吗？∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
由∠A＋∠B＋∠ACB=180°，得∠ACB=180°－∠A－∠B=180°－70°－60°=50°．由∠ACB＋∠ACD=180°，得∠ACD=180°－∠ACB=180°－50°=130°．由以上计算结果发现：∠ACD=∠A＋∠B．
讨论：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都满足这种关系？请大家交流、讨论并证明．
思考2：你是否有其他方法证明？与大家讨论．
证明：如图，过点C作CE∥AB．则∠ACE=∠A，∠ECD=∠B．∴∠ACD=∠ACE＋∠ECD=∠A＋∠B．
拓展：∠ACD和∠A，∠B的大小关系如何？与你的同桌讨论，交流．
∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B
归纳总结：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，并且大于任何一个和它不相邻的内角．
（教材P5例2）在配套课件中展示．
（教材P5例3）在配套课件中展示．
1.如图，已知∠A=33°，∠B=75°，则∠BCD的度数为（B）
A.147°　　B.108°　　C.105°　　D．以上答案都不对
第1题图　　　第2题图　　　
第3题图　　　第4题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=70°，BD是角平分线，则∠BDA的度数是（B）
A．100°　　B．105°　　C．110°　　D．120°
3.如图，∠1　＞　∠2.（填“＞”“＜”或“=”）
4.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于　75　°．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
三角形的外角
在教学过程中，应让学生自主探索，同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学推理的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力．在教学设计上，关注学生自主学习，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究能力和创新能力．3　直角三角形
第1课时　直角三角形的性质与判定
1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定．
2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．
3.理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假．通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力．
4.能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯．
重点：掌握直角三角形的性质和判定定理，灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．
难点：能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形．
知识链接
　　直角三角形有哪些性质？
　　直角三角形的两个锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
创设情境——见配套课件
　探究点一：利用角判定直角三角形
填一填：在△ABC中，∠A=90°．
（1）∠B=　60　°，∠C=30°；（2）∠B=55°，∠C=　35　°；
（3）∠B=　47　°，∠C=43°；　　（4）∠B=76°，∠C=　14　°．
问题1：∠B和∠C的和有什么规律？你能根据规律再写出一个∠B和∠C的度数吗？
它们的和都是90°．例如∠B=45°，∠C=45°．
问题2：如果一个三角形的两个内角互余，那么这个三角形是什么三角形？
直角三角形
论证：在△ABC中，如果∠B和∠C互余，求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵∠B和∠C互余，∴∠B＋∠C=90°．∴∠A=180°－（∠B＋∠C）=90°．∴△ABC是直角三角形．
归纳总结：直角三角形的两个锐角互余，两个锐角之和是90°；有两个角互余的三角形是直角三角形．
下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（C）
A．∠B=2∠C　　B．∠A=36°，∠B=64°
C．∠A＋∠B=∠C　　D．∠A=∠B=60°
　探究点二：利用三边数量关系判定直角三角形
活动1：做一做
类似古埃及人画直角的故事，我们准备三根绳子来模仿操作，看看能否得到和古埃及人相同的结果．
（1）让一根绳子的一端与0刻度线重合，分别在3 cm，7 cm，12 cm处做标记，得到长度分别为3 cm，4 cm，5 cm的三段，然后以这三段为边围成一个三角形，量量看是不是直角三角形．
是直角三角形．
（2）类似（1）的操作，以2.5 cm，6 cm，6.5 cm和4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三段为边分别围成一个三角形，量量看是不是直角三角形．
是直角三角形．
思考：求出直角三角形各边长的平方，观察它们之间有什么关系．
归纳总结：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：BA∥DC．
证明：在△ADC中，AD=12，DC=9，CA=15.∴AD2＋DC2=225=CA2.∴△ADC是直角三角形．∴AD⊥CD．∵BA⊥DA，∴BA∥DC．
　探究点三：互逆命题和互逆定理
观察下面4个命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；　　（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（3）同位角相等，两直线平行；　　（4）两直线平行，同位角相等．
命题（1）和（2），（3）和（4），它们的条件和结论之间有怎样的关系？与同伴交流讨论．
上面各组中两个命题的条件和结论互换了位置．
问题1：在前面的学习中还有类似的命题吗？举例说明一下．
有，比如直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形．
总结：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题．
问题2：上面4个命题是真命题还是假命题？
（1）是真命题；（2）是假命题；（3）是真命题；（4）是真命题．
问题3：所有的互逆命题都是真命题或者都是假命题吗？
不一定，有可能一个是真命题，一个是假命题．
归纳总结：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0.
解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．
（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为真．
（3）如果a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假命题，而逆命题是真命题．
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（B）
A.66°　　B.36°　　C.56°　　D.46°
2.已知a，b，c是△ABC的三条边长，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（D）
A．a2=1，b2=2，c2=3　　B．a∶b∶c=3∶4∶5
C．∠A＋∠B=∠C　　D．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
3.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：　有两个角互余的三角形是直角三角形　．
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB．若∠1=50°，则∠B=　40　°．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
直角三角形的性质与判定
后续教学中，将持续以学生为中心，围绕知识本质与能力发展，优化教学环节．通过更精准的分层、更创新的方法、更深入的拓展，让不同水平学生都能在直角三角形知识的学习中，实现知识掌握与能力提升的双重突破，真正理解数学知识的逻辑与价值，为后续几何学习筑牢基础．4　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质与判定
1.掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．
2.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法．
重点：线段的垂直平分线的性质与判定．
难点：线段的垂直平分线的性质与判定的运用．
知识链接
　　等腰三角形顶角的角平分线和底边有什么关系？顶角的顶点到底边两个端点的距离有什么关系？
创设情境——见配套课件
　探究点一：线段的垂直平分线的性质
操作探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离．
问题1：观察量得的数据，你有什么发现？
P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…．
问题2：如果把问题1中的线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B、…都重合吗？
都重合．
问题3：上面的操作得到的结论，你能用所学知识进行证明吗？请你完成下面的证明．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．
证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．
归纳总结：由以上操作探究，我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21 cm，△ABD的周长为13 cm，求AE的长．
解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC．∵△ABC的周长为21 cm，∴AB＋BC＋AC=21 cm．∵△ABD的周长为13 cm，∴AB＋BD＋AD=AB＋BD＋DC=AB＋BC=13 cm．∴AC=8 cm．∴AE=4 cm．
　探究点二：线段的垂直平分线的判定
思考：在前面的探究中，我们得知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．反过来，到线段两个端点距离相等的点，是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？
探究：如图，PA=PB．点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
问题1：当P在AB上时，P为AB的中点，P在线段AB的垂直平分线上；当P在AB外时，我们要怎么说明呢？
可以先过点P作一条与AB垂直的直线，再说明这条直线平分线段AB．如图，先过点P作PC⊥AB，垂足为C，再说明AC=BC．
问题2：AC=BC吗？说明理由．
AC=BC．理由：如图，在Rt△PAC和Rt△PBC中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC=BC．
归纳总结：根据线段垂直平分线的性质和判定定理可以看出：在线段AB的垂直平分线l上的点到点A，B的距离相等；反过来，与点A，B的距离相等的点也都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点组成的．
（教材P33例1）在配套课件中展示．
1.已知PA=6，当PB=　6　时，点P在线段AB的垂直平分线上．
2.如图，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN上．若∠ACB=80°，则∠A的度数为　50°　．
第2题图　　　　　　　第3题图
3.如图，已知DE⊥BC于E，BE=CE，AB＋AC=15，则△ABD的周长为（A）
A.15　　B.20　　C.25　　D.30
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
线段的垂直平分线的性质与判定
本节课采用了直观操作和讨论交流等教学方法，有效增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．第4课时　多边形的外角和
1.探索多边形的外角和，进一步发展学生简单推理的意识及能力．
2.会用多边形的内角和公式解决相关问题．
重点：多边形外角和定理的探索和应用．
难点：灵活运用公式解决简单的实际问题．
知识链接
　　1.多边形的内角和公式是什么？
　　2.什么叫外角？
创设情境——见配套课件
　探究点：多边形的外角和
问题1：三角形的外角是什么？类比三角形的外角的定义给出多边形的外角的定义．
三角形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的外角．
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的外角．
问题2：三角形ABC的外角是哪些角（只研究每个顶点处的一个外角）？他们之和是多少度？怎么推出来的？
三角形ABC的外角是∠1，∠2，∠3.∵∠1＋∠5=180°，∠2＋∠4=180°，∠3＋∠6=180°，∴∠1＋∠5＋∠2＋∠4＋∠3＋∠6=540°．∵∠4＋∠5＋∠6=180°，∴∠1＋∠2＋∠3=360°．∴三角形ABC的外角和是360°．
问题3：四边形ABCD的外角是哪些角（只研究每个顶点处的一个外角）？它们之和是多少度？怎么推出来的？
四边形ABCD的外角是∠5，∠6，∠7，∠8.∵∠1＋∠5=180°，∠2＋∠6=180°，∠3＋∠7=180°，∠4＋∠8=180°，∴∠1＋∠5＋∠2＋∠6＋∠3＋∠7＋∠4＋∠8=720°．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4=360°，∴∠5＋∠6＋∠7＋∠8=360°．∴四边形ABCD的外角和是360°．
问题4：根据问题2和问题3的推导方法，你能确定五边形ABCDE的外角是哪些角吗？五边形的外角和是多少度？与你的同桌交流，讨论．
思考：六边形呢？n边形呢？你发现了什么规律？
填一填：
多边形的边数 3 4 5 … n
多边形的内角和 与外角和的和 3×180°=540° 4×180°=720° 5×180°=900° … n×180°=180n°
多边形的 内角和 （3－2）×180°= 180° （4－2）×180°=360° （5－2）×180°=540° … （n－2）×180°=（n－2）180°
多边形的外角和 360° 360° 360° … 360°
归纳总结：n边形的外角和等于360°，与边数无关．
思考：正n边形的每个外角是多少度？每个内角是多少度？
；180°－．
（教材P9例5）在配套课件中展示．
已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是7∶2，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的每个内角为7x°，每个相邻外角为2x°，根据题意得7x＋2x=180，解得x=20.即每个内角是140°，每个外角是40°．360°÷40°=9.
答：这个多边形的边数为9.
1.若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（C）
A.7　　B.8　　C.9　　D.10
2.内角和与外角和相等的图形是（B）
A．三角形　　B．四边形　　C．五边形　　D．六边形
3.已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个正多边形的每个外角的度数为　60°　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
n边形的外角和等于360°，与边数无关．正n边形的每个外角的度数是．
本课通过类比三角形外角和，推导多边形外角和，学生掌握“n边形外角和为360°”．例题练习巩固了知识，能解决边数计算问题．但对复杂情境渗透不足，后续可增加实例，提升知识迁移与应用能力．

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