资源简介

6.4平行线（4）-平行线的性质
【教学目标】
1.通过操作，直观发现并掌握平行线的性质定理1;探索并证明平行线的性质定理2.
2.通过平行线的性质定理2的探索过程，发展空间观念、推理能力以及有条理的表达能力。
【教学重点】
理解平行线的性质定理1、平行线的性质定理2.
【教学难点】
平行线的性质定理1的探索过程.
教学过程：
【情景创设】
我们已经知道了平行线的判定方法，例如“同位角相等，两直线平行”.反过来，如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等吗
【数学实验室】
活动一、平行线的性质定理1
如图，直线a//b，画一条直线c与它们相交，∠1=∠2吗？
(
把其中一个角剪下来，
移到另一个角的位置，
可以重合。
)
(
用量角器测量，
∠
1和
∠
2相等。
)
（利用《实验手册》实验23中的透明纸剪拼，比较角的大小）
事实上，可以通过证明得到（证明过程在书本P190阅读，学生了解即可）
平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．（简单说成：两直线平行，同位角相等．）
几何语言：因为a// b，所以∠1＝∠2
活动二、平行线的性质定理2
根据平行线的性质定理1，也可以得到内错角相等、同旁内角互补。
可以利用透明纸先操作剪拼，再进行证明。
如图，直线a,b被直线c所截，a//b。
因为a // b,
所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).
因为∠1与∠3是对顶角，
所以∠1=∠3.
这样，由∠1=∠2，∠1=∠3，可得∠2=∠3.
由∠1=∠2，∠1+∠4=180°，可得∠2+∠4=180° .
于是，我们得到平行线的性质定理2:
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．（简单说成：两直线平行，内错角相等．）
几何语言：因为a// b，所以∠2＝∠3
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．（简单说成：两直线平行，同旁内角互补．）
几何语言：因为a// b，所以∠2+∠4 =180°
2、小组讨论：平行线的性质与判定的区别与联系
平行线的条件是由“角的数量关系”得出“线的位置关系”，即把角的相等或互补作为判定两直线平行的依据，因此，角相等或互补是条件，两直线平行是结论；
平行线的性质是由“线的位置关系” 得出“角的数量关系”，即两直线平行是条件，角相等或互补是结论．
平行线的判定定理与性质定理是互逆的命题，学生初次接触，本节课未做强化，七下会专题研究。
活动三、平行线的性质定理的应用
如图，直线AB//CD，EF⊥AB.判断直线EF是否与CD垂直，并说明理由.
练习1.如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数．
如图，AB//CD,∠A=∠D.判断AF与ED 是否平行，并说明理由。
讨论：比较平行线的判定定理与性质定理，它们之间有什么关系？
练习：2.如图，点B,C,D在一条直线上，AB//EC，∠A=55°，∠B=60°.求∠1，∠2和∠ACB的大小。
3.如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与CF有怎样的位置关系？并证明；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？
【课堂反馈】
1．（2025秋 济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠D的度数为（　　）
A．65° B．57.5° C．50° D．45°
2．（2025秋 海淀区校级期中）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝52°，则下列结论正确的是（　　）
A．∠3＝48° B．∠4＝132° C．∠5＝48° D．∠2＝52°
3．（2025春 广东校级期中）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．45°
4．（2025秋 北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　　）
A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1
C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1
5.（2024秋 鼓楼区期末）如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是
　 　 ．
6．（2025 岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　 　 °．
7．（2025春 安国市期末）如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　 　 ．
8．（2024秋 通许县期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　 　 ．
9．（2024秋 酒泉校级期末）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数．
10．（2025春 怀化期末）如图，已知AB∥DE，∠BAE＝∠EDC，AD⊥AE，垂足为A．
填空并在括号内填写理由：∵AB∥DE（已知），
∴∠BAE＝　 　 （　 　 ），
∵∠BAE＝∠EDC（已知），
∴　 　 （等量代换）．
∴　 　 （　 　 ），
∴∠EAD+∠ADC＝180°（　 　 ），
又∵AD⊥AE（已知），
∴∠EAD＝　 　 （垂直的定义）．
∴∠ADC＝　 　 ．
11．（2024秋 阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
12．（2025春 濮阳期末）如图，∠AOB内部有一点P．请根据要求完成下列问题：
过点P画直线PC∥OB，交OA于点C；画直线PD∥OA′，交OB于点D．
（1）写出图中一个与∠O互补的角：　 　 ；
（2）图中与∠O相等的角（不包括∠O）有　 　 ；
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
（3）请证明∠CPD＝∠O，并写出每一步的理由．
平行线4例题和练习的答案
参考答案与试题解析
例4．如图，直线AB∥CD，EF上AB．判断直线EF是否与CD垂直，并说明理由．
解：EF⊥CD，理由如下：
∵EF⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠EPD＝∠EOB＝90°，
∴EF⊥CD．
练习1．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为点D，F，且∠1＝∠2．
（1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADG＝40°，求∠2的度数．
解：（1）DG∥BC，理由如下：
∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBD＝∠1，
∴DG∥BC；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ADG＝40°，
∴∠1＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠1＝50°．
例5．如图，AB∥CD，∠A＝∠D．试判断AF与ED是否平行，并说明理由．
解：AF∥ED，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AFC，
∵∠A＝∠D，
∴∠D＝∠AFC，
∴AF∥ED．
练习2．如图，点B，C，D在一条直线上，AB∥EC，∠A＝55°，∠B＝60°．求∠1，∠2和∠ACB的大小．
解：∵AB∥EC，
∴∠1＝∠A＝55°，∠2＝∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°．
3．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
解：（1）DE∥AB；理由如下：
∵AB∥CF，∠ACF＝80°，
∴∠BAC＝∠ACF＝80°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥AB．
（2）DE∥AB，∠CED＝71°，
∴∠B＝∠CED＝71°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．
6.4平行线（4）----性质课堂反馈
参考答案与试题解析
1．（2025秋 济南）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠D的度数为（　C　）A．65° B．57.5° C．50° D．45°
2．（2025秋 海淀区校级期中）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝52°，则下列结论正确的是（　D　）
A．∠3＝48° B．∠4＝132° C．∠5＝48° D．∠2＝52°
3．（2025春 广东校级期中）如图所示，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝50°，则∠2＝（　B　）
A．50° B．40° C．30° D．45°
4．（2025秋 北林区校级期中）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（　D　）
A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1
C．180°﹣∠1+∠2 D．180°﹣∠2+∠1
5．（2024秋 鼓楼区期末）如图，小明在纸上画了两条平行线a，b，又画了一条直线c与a相交于P，小明觉得直线c一定和b相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 　经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　 ．
6．（2025 岳阳楼区二模）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，点B在直线b上，若∠ACD＝55°，则∠1＝　35　 °．
7．（2025春 安国市期末）如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E，若∠1＝62°，则∠2的度数为 　31°　 ．
8．（2024秋 通许县期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，则∠2+∠3﹣∠1＝　180°　 ．
9．（2024秋 酒泉校级期末）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，求∠D的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，∠D＝∠BAD．
∴∠CAB＝180°﹣80°＝100°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC100°＝50°，
∴∠D＝∠BAD＝50°．
10．（2025春 怀化期末）如图，已知AB∥DE，∠BAE＝∠EDC，AD⊥AE，垂足为A．
填空并在括号内填写理由：∵AB∥DE（已知），
∴∠BAE＝　∠AED （　两直线平行，内错角相等　 ），
∵∠BAE＝∠EDC（已知），
∴　∠AED＝∠EDC （等量代换）．
∴AE∥DC （　内错角相等，两直线平行　 ），
∴∠EAD+∠ADC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ），
又∵AD⊥AE（已知），
∴∠EAD＝　90°　 （垂直的定义）．
∴∠ADC＝　90°　 ．
11．（2024秋 阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC；
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
（1）证明：∵AC∥EF，
∴∠1+∠FAC＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠FAC＝∠2，
∴FA∥CD，
∴∠FAB＝∠BDC；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠2，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠2∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠280°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．
48．（2025春 濮阳期末）如图，∠AOB内部有一点P．请根据要求完成下列问题：
过点P画直线PC∥OB，交OA于点C；画直线PD∥OA′，交OB于点D．
（1）写出图中一个与∠O互补的角：　∠OCP（或∠ODP）　 ；
（2）图中与∠O相等的角（不包括∠O）有C ；
A.4个 B.5个 C.6个 D.8个
（3）请证明∠CPD＝∠O，并写出每一步的理由．
解：（1）如图所示：
由条件可知∠O+∠OCP＝180°，
同理：∠O+∠ODP＝180°，
∴∠OCP与∠O互补，∠ODP与∠O互补；
（2）由条件可知∠O＝∠ACP，∠O＝2，
∵PD∥OA，
∴∠O＝∠BDP，∠O＝∠3，∠ACP＝∠CPD，∠ACP＝∠1，
∴∠O＝∠1，∠O＝∠CPD，
综上：图中与∠O相等的角（不包括∠O）有6个；
（3）∵PC∥OB（已知），
∴∠O＝∠ACP（两直线平行，同位角相等），
由条件可知∠ACP＝∠CPD（两直线平行，内错角相等），
∴∠O＝∠CPD（等量代换）．

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