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二次函数的实际应用期末培优复习讲义
考点目录
二次函数的应用：销售问题 二次函数的应用：图形问题
二次函数的应用：拱桥问题 二次函数的应用：投球问题
二次函数的应用：喷水问题 二次函数的应用：动态几何问题
二次函数的应用：材料阅读类问题
【知识点解析】
1. 销售问题核心公式
（1）总价=单价×数量
（2）单个利润=单个售价-单个成本
（3）总利润=总收入-总成本=单个利润×数量
2. 变量关联（核心条件）
销售问题中，售价变化会直接影响销量，这是建立函数的关键，常见表述如已知当售价为元时，销量为件，每涨价1元，销量上升件.
（1）若设涨价元，则售价为元，销量为件；
（2）若设售价元，则销量为件.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）设定变量
（2）表示调整后的售价、单件利润、销量
（3）建立总利润的二次函数模型
（4）确定自变量的取值范围
（5）求二次函数的最值或取值范围
（6）结合取值范围验证并作答
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·四川广元·期中）近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)．
(1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式；
(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式；
(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？
例2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元．
(1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？
(2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？
例3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表：
时间t（天） 1 2 5 10 20
日销售量 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克．
(1)直接写出m关于t的函数关系式______．
(2)求第30天当天的销售利润．
(3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润．
例4．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)当销售单价为80元时，每月的销售量为多少件？
(2)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元） 之间的函数关系式；（不要求自变量取值范围）
(3)若要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为多少元？
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·河北保定·月考）某公司推出一款每盒成本为100元的农特产礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒售价每降低1元，每天销量可增加10盒．设每盒售价降低元时，公司销售该礼盒每天所获利润为元．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)若要满足降价后每盒的利润不低于10元，且不高于30元，则当每盒售价降低多少元时，公司每天所获利润最大？最大利润为多少元？
变式2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题．
【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集．
【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是．
小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示．
每日生产量x 30 60 90 120
每千克的生产成本 55 50 45 40
小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）．
小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）．
【问题解决】
根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中．
(1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式．
(2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量．
(3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润．
变式3．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价分数据如表：
售价元/千克 50 60 65
销售量千克 100 80 70
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为元，求w与x之间的函数表达式利润=收入-成本；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【知识点解析】
二次函数在图形问题里的核心应用，是利用函数表达式刻画图形的边长、面积、周长等量的关系，进而求解图形的最值（如最大面积）、动点坐标或线段长度等问题，本质是将几何量转化为代数函数，再借助二次函数的性质求解.
1. 常见几何公式（基础工具）
（1）三角形的面积：；
（2）平行四边形的面积：；
（3）矩形的面积：；
（4）直角三角形勾股定理：直角边的平方和等于斜边平方；
（5）图形周长：各边长度之和（周长固定时，常用来建立边长的等量关系）.
2. 变量设定技巧
（1）若为动点问题：设动点的横坐标为，根据函数解析式表示出纵坐标，再计算线段长度；
（2）若为周长固定的图形面积问题：设其中一条边长为 x，利用周长公式表示出另一条边长.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）设定自变量
（2）用自变量表示相关几何量
（3）建立二次函数模型
（4）确定自变量的取值范围
（5）利用二次函数性质求解
（6）验证并作答
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长．
(1)若苗圃园的面积为，求x的值；
(2)求这个苗圃园可围建的最大面积．
例2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围
(2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少
例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆，围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的边为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当花圃面积为时，求的长；
(3)当取何值时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
例4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙的最大可用长度为），中间用一堵墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设饲养室的宽长，总占地面积为．
(1)求关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当的长为多少米时，围成的饲养室面积最大？最大面积是多少？
变式2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米．
(1)求矩形的另一边的长_____米（用含的式子表示）
(2)求关于的函数关系式；
(3)当为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？
变式3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为x米．
(1)当矩形菜地的面积为225平方米时，求x的值；
(2)求矩形菜地面积的最大值．
变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为．
(1)用含有的代数式表示边的长为______m；
(2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值．
【知识点解析】
二次函数在拱桥问题中的核心应用，是建立平面直角坐标系，用二次函数解析式刻画拱桥的曲线形状，进而求解拱桥的高度、跨度、允许通过的物体高度 / 宽度等实际问题。这类问题的本质是利用二次函数的图象与性质，解决几何曲线的度量计算.
1. 核心解题思路：坐标系建模
拱桥的轮廓通常是开口向下的抛物线，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将拱桥的关键点（如顶点、端点）转化为坐标，再代入函数解析式求解.
建模方式 坐标系特征 关键点坐标 适用场景
模型 1：顶点在原点 以拱桥的最高点（顶点）为原点，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向. 顶点； 拱桥两端点 、 （为半跨度，为拱高） 已知拱高和跨度， 求任意位置的高度
模型 2：顶点在轴上 以拱桥两端点所在直线为轴，两端点连线的垂直平分线为轴. 顶点（为拱高）；两端点、（为跨度） 已知跨度和拱高， 判断物体能否通过
注：无论哪种建模方式，拱桥对应的二次函数解析式通常为 （无一次项，对称轴为 y 轴），因为抛物线关于轴对称，简化计算.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）建立平面直角坐标系； （2）设二次函数解析式；
（3）代入已知点坐标，求解析式参数； （4）根据问题列方程 / 计算；
（5）结合实际意义验证作答.
【例题分析】
例1．（2025·新疆·模拟预测）赵州桥的历史距今已有多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面的宽为米，水面离桥拱顶点的高度米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，某悬索桥的主跨长（即），两桥塔高（即），主缆可视为抛物线，其最低处距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)现有两条吊索需要更换，点到这两条吊索的距离均为，则需要更换的吊索总长度为________米．
例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中门框高度，门框宽度，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点（拱门顶部最高点），以点为原点，所在直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点，如图2，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块，，若，求两个正方形装饰块的间距的长；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为，求的长．
例4．（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践
[素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择：
方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁；
方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥．
[素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面．
[问题解决]
(1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径；
(2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案．
变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由．
变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示．
(1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离．
(2)一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？
变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景 甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分．
建立方法 以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
收集信息 摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高．
建立模型 求该抛物线的解析式．
应用模型
（1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由；
（2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围．
【知识点解析】
1. 核心解题思路：坐标系建模
投球问题的关键是合理建立坐标系，将投球的起点、最高点、落地点等关键位置转化为坐标，再代入函数解析式求解.
经典坐标系建立方法
以投球点的正下方为原点，水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向。
若投球时的出手高度为 h（球离地面的高度），则投球点坐标为；
抛物线的顶点对应球的最大飞行高度 ，此时的水平距离为；
抛物线与 x 轴正半轴的交点对应球的落地点，即为球的飞行水平距离。
2. 通用解题步骤
（1）建立平面直角坐标系；
（2）选择合适的函数解析式形式并设式；
（3）代入已知点坐标，求解解析式参数；
（4）根据问题需求，利用函数性质计算；
问题类型 解题方法
求最大飞行高度 直接取顶点纵坐标.
求达到最大高度时的水平距离 直接取顶点横坐标.
求飞行的总水平距离 令，解一元二次方程，取正根即为水平距离.
判断能否命中目标 若目标坐标为，将代入解析式，计算值，与比较：相等则命中，不等则不命中
（5）结合实际意义验证作答.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
(1)当时，求的值；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求此抛物线的函数表达式．
例2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为．
(1)建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
(3)守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？
例3．（25-26九年级上·广东广州·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系．
【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离
高度
【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型及应用】
(1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ；
(2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
(3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由．
例4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）【研究背景】
中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋．
训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．
【建立模型】
已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
【解决问题】
(1)若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米．
①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）；
(2)该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数）
变式2．（25-26九年级上·山西晋城·月考）综合与实践
问题情境
在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内．
建模分析
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为）
（1）①求抛物线的解析式．
②求球员乙到点的距离．
问题解决
（2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号）
变式3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为x轴，过点A作的垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图3，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，篮球飞行的水平距离x（米）与篮球距离水平面的竖直高度y（米）的变化规律如下表：
水平距离x（米） 0 1 2
竖直高度y（米） 1 2 2
(1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式．
(2)在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为3米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度．
变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示：
信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 2 6
竖直距离
信息2：无锡市初中生实心球得分标准．
水平最大距离
男生得分 9 8 7
水平最大距离
女生得分 9 8 7
(1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由；
(2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：．
①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________；
②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度．
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
例2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为．
(1)当时，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值；
(2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围．
例3．（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由．
例4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m．
(1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式．
(2)计算水柱喷射的最大高度．
(3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围．
变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地而竖直高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为的地方正好有一个行人经过，试通过计算判断行人是否会被灌溉车淋到水？
(3)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
变式3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）研究发现：某烟花发射装置发射的烟花上升的高度满足关系式，其中是烟花发射后的时间，是烟花发射时的初速度．
(1)若在调试阶段设定，求烟花发射后达到的最大高度；
(2)若发射的烟花能达到的最大高度为，则烟花发射时的初速度是多少？
(3)按（2）中的初速度发射烟花，若烟花发射后的高度有两次达到，求这两次达到高度为之间的间隔时间．
变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度．
(1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式；
(2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值；
(3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米）
【知识点解析】
二次函数在动态几何问题中的核心应用，是用变量表示动点、动线段的位置或长度，结合几何性质建立二次函数模型，进而求解动图形的面积最值、线段长度最值、点的存在性等问题。这类问题的本质是几何动态变化的代数化，关键在于用一个自变量刻画所有相关几何量的变化.
1. 核心解题思路：“动中取静，以静制动”
动态几何问题的核心是存在一个运动的元素（如动点、动直线、动三角形），解题时需遵循以下思路：
（1）确定自变量：选择一个能刻画运动状态的变量作为自变量（通常是动点移动的距离、线段的长度、角度的大小等）；
（2）用自变量表示相关几何量：利用几何性质（如勾股定理、相似三角形、平行线分线段成比例），将题目中涉及的动线段长度、动图形的底和高用含 x 的代数式表示；
（3）建立二次函数模型：代入几何公式（如面积公式、周长公式），得到目标量（如面积 S、线段长度 L）关于 x 的二次函数；
（4）确定自变量的取值范围：根据动点的运动边界（如线段的两个端点），列出不等式确定 x 的取值范围；
（5）利用二次函数性质求解：结合开口方向和顶点位置，求函数的最值或判断点的存在性.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t．的面积S随出发时间t是怎样变化的？并当t取何值时，面积S最大，最大是多少？
例2．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在四边形中，，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由；
(2)当点M在边上运动时，求面积的最大值；
(3)是否存在的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
例3．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，平分，过点作，垂足为，点从点出发，以的速度沿边运动，同时点从点出发，沿运动，点在段以每秒的速度运动，在段以每秒的速度运动，当点与点重合时，两点同时停止运动．设点的运动时间为与重叠部分图形的面积为．
(1)请直接写出的长；
(2)求点到达点时，点和点的距离；
(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
例4．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在直线的同侧，且，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，直接用含的代数式表示线段的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式．
【变式训练】
变式1．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为．
(1)直接写出线段长．（用含的代数式表示）
(2)求当点落在线段上时的值．
(3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式．
变式2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
变式3．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为．
(1)当点F与矩形顶点重合时，______；
(2)求当且时，y关于x的函数解析式；
【知识点解析】
1. 题型共性特征
信息量大：材料通常包含背景描述、数据表格、新定义规则或几何图形说明；
本质隐蔽：表面是新情境，实质是二次函数的最值、解析式求解、与坐标轴交点等核心知识点；
步骤固定：无论材料如何变化，解题都遵循 “读材料→提关键→建模型→解问题” 的流程。
2. 通用解题步骤
（1）通读材料，明确问题目标
先快速浏览材料，判断核心是求解析式、最值，还是判断存在性；同时圈出关键数据（如坐标、长度、数量关系）和限制条件（如自变量取值范围）。
（2）剥离材料本质，转化数学语言
①若材料是实际应用类（如销售、拱桥、投球）：提取售价与销量、跨度与拱高、出手点与最高点等关系，转化为二次函数的已知点或等量关系；
②若材料是新定义类（如 “抛物线的伴随函数”“最优区间”）：严格按照新定义的规则，将文字描述转化为代数表达式；
③若材料是图表类（如函数图象、数据表格）：从图象中读取顶点、交点坐标，从表格中找变量间的对应关系。
3. 建立二次函数模型
4. 结合限制条件求解
代入数据求出解析式参数，再根据问题要求（如最值、取值范围、存在性），利用二次函数的性质计算；务必注意自变量的取值范围，这是这类题的高频易错点.
5. 验证答案，回归材料
检查计算结果是否符合材料中的实际意义（如长度为正、利润合理），确保答案与材料的限制条件不冲突.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 智能化驱动下，针对特定车型的零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售．
问题解决
任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________；
任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
例2．（25-26九年级上·吉林·月考）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 吉林高新区生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升． 8月份生产100个，同年10月份则生产144个．
素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元．则月销售量将减少10个．
问题解决 请回答下列问题
任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率．
任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？
任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于60元/个，请求出月销售利润最大值．
例3．（25-26九年级上·广东江门·期中）利用素材解决问题：
《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高．
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧型 抛物线型
任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式．
任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由．
例4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）为方便悬挂电子屏幕，物业公司需要在小区大门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动 主题 为小区大门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动 准备 1．去小区物业查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集 数据 图1是小区大门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为O，．
设计 方案 考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中．
确定 思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点E的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·广东广州·月考）乒乓球作为中国国球，承载着深厚的民族情怀与荣耀记忆．年月日第十五届全运会乒乓球男子团体决赛巅峰上演，更点燃了全民对乒乓球运动的热爱．根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线的一部分，且这条抛物线在与点P水平距离为的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．
任务二 击球点的确定 (2)当时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
变式2．（25-26九年级上·福建福州·期中）
制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为．
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
请根据活动过程完成任务一、任务二．
变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，并完成相应任务：
项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整
素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图．
素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述数值喷口离地面的高度2米水池边缘的池壁高度，0.8米水池的宽度1.5米水流达到的最高点的高度3.6米水流达到的最高点与喷口的水平距离2米步道宽度米
任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式．
任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围．二次函数的实际应用期末培优复习讲义
考点目录
二次函数的应用：销售问题 二次函数的应用：图形问题
二次函数的应用：拱桥问题 二次函数的应用：投球问题
二次函数的应用：喷水问题 二次函数的应用：动态几何问题
二次函数的应用：材料阅读类问题
【知识点解析】
1. 销售问题核心公式
（1）总价=单价×数量
（2）单个利润=单个售价-单个成本
（3）总利润=总收入-总成本=单个利润×数量
2. 变量关联（核心条件）
销售问题中，售价变化会直接影响销量，这是建立函数的关键，常见表述如已知当售价为元时，销量为件，每涨价1元，销量上升件.
（1）若设涨价元，则售价为元，销量为件；
（2）若设售价元，则销量为件.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）设定变量
（2）表示调整后的售价、单件利润、销量
（3）建立总利润的二次函数模型
（4）确定自变量的取值范围
（5）求二次函数的最值或取值范围
（6）结合取值范围验证并作答
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·四川广元·期中）近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)．
(1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式；
(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式；
(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)
(3)当时，取得最大值为万．
【详解】（1）解：由函数图像可知，当 时，与的关系式图像为 抛物线的一部分，
设此抛物线的解析式为：
把代入解析式为： 解得．
则
当时， ；
所以
（2）因为投入种植花卉万元，则投入种植树木万元．
当 时， ，
则 ；
当时，
则．
所以、的函数关系式为：；
（3）
根据二次函数的性质，
当 万元时，W取得最大值，
万．
例2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元．
(1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？
(2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件
(2)（）
(3) ，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元
【详解】（1）解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，
根据题意得，
解得，
则每件类腊肠的售价（元，
答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件；
（2）解：由题意得，
类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价，
，
答：；
（3）解：
，
，
当时，有最大值，
答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．
例3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表：
时间t（天） 1 2 5 10 20
日销售量 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克．
(1)直接写出m关于t的函数关系式______．
(2)求第30天当天的销售利润．
(3)这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润．
【答案】(1)（且t为整数）
(2)3600元
(3)第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元
【详解】（1）解：设m关于t的函数关系式为，
将，和，代入得：
，
解得，
∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）．
故答案为：（，且t为整数）；
（2）第30天价格（元/千克），销售量（千克），
故利润（元）．
答：第30天当天销售利润为3600元；
（3）①当时，
利润，
即，
二次函数开口向下，顶点横坐标，
故或16时，最大，为（元）；
②当时，利润，随t增大而增大，
故时，（元）；
比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元．
答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元．
例4．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)当销售单价为80元时，每月的销售量为多少件？
(2)求该商品每月的销售量（件）与销售单价（元） 之间的函数关系式；（不要求自变量取值范围）
(3)若要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为多少元？
【答案】(1)150
(2)
(3)80元
【详解】（1）解：（件）；
答：每月的销售量为150件；
（2）由题意，；
（3）设每月的销售利润为元，由题意，得：
，
∵，
∴当时，有最大值；
故要使该商品每月的销售利润最大，销售单价应定为80元．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·河北保定·月考）某公司推出一款每盒成本为100元的农特产礼盒，当每盒售价为150元时，每天可销售300盒，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据市场调查发现，每盒售价每降低1元，每天销量可增加10盒．设每盒售价降低元时，公司销售该礼盒每天所获利润为元．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)若要满足降价后每盒的利润不低于10元，且不高于30元，则当每盒售价降低多少元时，公司每天所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)
当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最大利润为15000元
【详解】（1）解：每盒利润为元，销量为盒，
则，
展开得：．
（2）解：由“降价后每盒利润不低于10元，且不高于30元”，
得，解得．
，
因为，抛物线开口向下，在时，随的增大而减小，
故当时，最大，
答：当每盒售价降低20元时，公司每天所获利润最大，最大利润为15000元．
变式2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题．
【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集．
【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是．
小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示．
每日生产量x 30 60 90 120
每千克的生产成本 55 50 45 40
小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）．
小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）．
【问题解决】
根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中．
(1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式．
(2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量．
(3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润．
【答案】(1)，
(2)30千克
(3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元
【详解】（1）解：设与x之间的函数关系式为，
将，代入，
得
解得
与x之间的函数关系式为．
当时，设与x之间的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
与x之间的函数关系式为．
（2）解：根据题意，得，即，
解得，（不合题意，舍去）．
答：当日该菜品的生产量为30千克．
（3）解：设该菜品日销售利润为元．
．
，
当时，有最大值，最大值为1350．
答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元．
变式3．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）某公司以元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查发现：若每千克的平均销售价为元时，则每天可售出千克，当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，假设日销售量为千克，日平均销售价格为元/千克．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)该公司应该如何确定这批产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若该公司每销售1千克这种产品需支出元（）的相关费用，当时，公司的日获利元的最大值为元，求的值．
【答案】(1)
(2)销售价格定为元/千克
(3)
【详解】（1）解：∵当每千克的平均销售价每提高元，每天就少卖出千克，
∴当销售价提高元，即（元）；每天就少卖出千克，即（千克）
由题意，设与的函数表达式为，且函数图象经过点，
，
解得，
∴；
（2）由题意得：日销售利润，
整理得：，
∵二次项系数，
∴当时，取得最大值，最大值为元，
答：这批产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大；
（3）由题意得：，
整理得：，
则其对称轴为，
由二次函数的性质，分以下两种情况：
①当，即时，
在内，随的增大而增大，
则当时，有最大值，最大值为，
因此有，
解得(不符题设，舍去)，
②当，即时(因为已知)，
在内，随的增大而增大；在内，随的增大而减小，
则当时，有最大值，最大值为，
因此有，
解得或(不符题设，舍去)，
综上，的值为．
变式4．（25-26九年级上·广东广州·期中）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价分数据如表：
售价元/千克 50 60 65
销售量千克 100 80 70
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为元，求w与x之间的函数表达式利润=收入-成本；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元
【详解】（1）解：设，由题意，
得，
解得，
所求函数表达式为；
（2）解：根据题意得：
，其中，
，
当时，W随x的增大而增大；
故当售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元．
【知识点解析】
二次函数在图形问题里的核心应用，是利用函数表达式刻画图形的边长、面积、周长等量的关系，进而求解图形的最值（如最大面积）、动点坐标或线段长度等问题，本质是将几何量转化为代数函数，再借助二次函数的性质求解.
1. 常见几何公式（基础工具）
（1）三角形的面积：；
（2）平行四边形的面积：；
（3）矩形的面积：；
（4）直角三角形勾股定理：直角边的平方和等于斜边平方；
（5）图形周长：各边长度之和（周长固定时，常用来建立边长的等量关系）.
2. 变量设定技巧
（1）若为动点问题：设动点的横坐标为，根据函数解析式表示出纵坐标，再计算线段长度；
（2）若为周长固定的图形面积问题：设其中一条边长为 x，利用周长公式表示出另一条边长.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）设定自变量
（2）用自变量表示相关几何量
（3）建立二次函数模型
（4）确定自变量的取值范围
（5）利用二次函数性质求解
（6）验证并作答
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）某小区准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为的篱笆围成，已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长．
(1)若苗圃园的面积为，求x的值；
(2)求这个苗圃园可围建的最大面积．
【答案】(1)x的值为12
(2)最大面积为
【详解】（1）解：由题意，平行于墙的边长为，
则面积方程为：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，．
墙长为，
，即，
舍去，取．
答：的值为12．
（2）解：设苗圃园面积为，则．
由墙长限制得：，
解得：．
，二次函数开口向下，对称轴为，
在内，随的增大而减小，
当时，．
答：苗圃园可围建的最大面积为．
例2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围
(2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少
【答案】(1)
(2)当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米
【详解】（1）解：，
，
则，
，
；
（2）解：，
，
当时，取得最大值为250，
答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米．
例3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆，围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的边为，面积为．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当花圃面积为时，求的长；
(3)当取何值时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)
(3)当取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是．
【详解】（1）解：设花圃的宽为，则，
根据题意得：，
，
．
（2）将代入，
得 ，
解得 ，（舍去），
的长为；
（3），
，，
当时，．
答：当取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是．
例4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为
(2)能围成一个面积为384的矩形花园，的长为8或12
【详解】（1）解：设边为x，，
∵四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）能围成一个面积为384的矩形花园．
令，则，
即，
∴，，
∴的长为8或12．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙的最大可用长度为），中间用一堵墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设饲养室的宽长，总占地面积为．
(1)求关于的函数表达式和的取值范围．
(2)当的长为多少米时，围成的饲养室面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值1800
【详解】（1）解：∵长，
∴，
∴，
，
解得，
的取值范围为；
（2）解：，
，
当时，有最大值为平方米．
变式2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：用长为米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为米，面积为平方米．
(1)求矩形的另一边的长_____米（用含的式子表示）
(2)求关于的函数关系式；
(3)当为何值时，矩形养鸡场的面积最大，并求出面积最大值？
【答案】(1)；
(2)（）；
(3)当时，取得最大值，最大值为36．
【详解】（1）解：∵ 矩形周长为24米，米，
∴ （米），
故答案为：；
（2）解：∵ ，，
∴ ，即 （）；
（3）解：，
∵ 二次项系数，抛物线开口向下，
∴ 当时，取得最大值，最大值为36．
变式3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为x米．
(1)当矩形菜地的面积为225平方米时，求x的值；
(2)求矩形菜地面积的最大值．
【答案】(1)15
(2)300平方米
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去；
答：矩形这块菜地的面积为225平方米时的值为15．
（2）解：设矩形菜地面积为，
则，
，
当时，，的最大值为300平方米，
∴矩形菜地的面积最大值是300平方米．
变式4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为．
(1)用含有的代数式表示边的长为______m；
(2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值．
【答案】(1)
(2)当时，矩形花圃面积最大，最大值为
【详解】（1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：设矩形花圃面积为，
∴，
∵，
∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为．
【知识点解析】
二次函数在拱桥问题中的核心应用，是建立平面直角坐标系，用二次函数解析式刻画拱桥的曲线形状，进而求解拱桥的高度、跨度、允许通过的物体高度 / 宽度等实际问题。这类问题的本质是利用二次函数的图象与性质，解决几何曲线的度量计算.
1. 核心解题思路：坐标系建模
拱桥的轮廓通常是开口向下的抛物线，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将拱桥的关键点（如顶点、端点）转化为坐标，再代入函数解析式求解.
建模方式 坐标系特征 关键点坐标 适用场景
模型 1：顶点在原点 以拱桥的最高点（顶点）为原点，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向. 顶点； 拱桥两端点 、 （为半跨度，为拱高） 已知拱高和跨度， 求任意位置的高度
模型 2：顶点在轴上 以拱桥两端点所在直线为轴，两端点连线的垂直平分线为轴. 顶点（为拱高）；两端点、（为跨度） 已知跨度和拱高， 判断物体能否通过
注：无论哪种建模方式，拱桥对应的二次函数解析式通常为 （无一次项，对称轴为 y 轴），因为抛物线关于轴对称，简化计算.
3. 通用解题步骤（结构化方法论）
（1）建立平面直角坐标系； （2）设二次函数解析式；
（3）代入已知点坐标，求解析式参数； （4）根据问题列方程 / 计算；
（5）结合实际意义验证作答.
【例题分析】
例1．（2025·新疆·模拟预测）赵州桥的历史距今已有多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面的宽为米，水面离桥拱顶点的高度米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明．
【答案】(1)（或）
(2)游船能顺利通过赵州桥
【详解】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度，
，
设抛物线的解析式为，
将点代入得，
将点代入得：，
解得，
（或）；
（2）解：水面离桥拱顶点的高度米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长米，宽米，高米的长方体）行驶在河面上，
，
，
解得：，
，
游船能顺利通过赵州桥．
例2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，某悬索桥的主跨长（即），两桥塔高（即），主缆可视为抛物线，其最低处距离桥面，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)现有两条吊索需要更换，点到这两条吊索的距离均为，则需要更换的吊索总长度为________米．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意可知，，，
点的坐标为，点的坐标为，
设该抛物线的表达式为，
将点和点代入得：
， 解得，
该抛物线的表达式为；
（2）解：由题意得，当时，，
此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为，
需要更换的吊索总长度为，
故答案为：．
例3．（25-26九年级上·广东广州·月考）游乐园的卡通拱门是一种兼具美观与实用的装饰结构，它的下方是矩形门框，上方是抛物线造型的装饰顶．如图1，某拱门的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中门框高度，门框宽度，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点（拱门顶部最高点），以点为原点，所在直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点，如图2，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图3，为了装饰拱门，要安装两个正方形的卡通装饰块，，若，求两个正方形装饰块的间距的长；
(3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时拱门截面的阴影为，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：在矩形中，，
∵，垂直平分，
∴，
，，，，
设抛物线表达式为，
将、、三点坐标代入表达式，得，解得．
抛物线表达式为；
（2）解：设，则，
，
解得（负值舍去），
；
（3）解：设最右侧光线与抛物线的交点为，如图4，则，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
设的解析式为，
，
整理得，
与抛物线有且只有一个交点，
，
解得，
直线的解析式为，
令，得,
解得，
．
．
例4．（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)能
【详解】（1）解：设 ，点，
代入得 ，
∵，
∴，
解得，
∴ ；
（2）解：，
，
∴，
∴ 船能安全通过．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与实践
[素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择：
方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁；
方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥．
[素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面．
[问题解决]
(1)求出方案1中圆弧形拱桥的半径；
(2)为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案．
【答案】(1)
(2)选择方案一，见解析
【详解】（1）解：如图，连接，
由题意得，
，
．
设，则．
在中，由勾股定理得，
∴，
解得．
此圆弧形拱桥的半径为．
（2）解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，
∵，
．
．
在中，由勾股定理得，
货船能顺利通过这座拱桥．
方案二：设抛物线解析式为，
把代入中得，
解得，
∴抛物线解析式为
当时，
解得
∵，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
综上所述，应该选择方案一．
变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）下面是某地的一座桥，其桥洞形状可以看作一条抛物线．拱顶点A与起拱线BC相距4米，桥的跨度BC为6m，现以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，过点B且垂直于BC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若观赏船宽为3m，船顶到船底的距离为3.8m，吃水深度为1m．请问该船能否安全通过此桥？说明理由．
【答案】(1)
(2)可以安全通过此桥
【详解】（1）解：由题意得：抛物线经过点，，
抛物线的对称轴为直线．
拱顶的坐标为，为抛物线的顶点．
设抛物线解析式为：．
经过点，
解得．
抛物线的函数表达式为：；
（2）如图，观赏船在抛物线的正中间，延长交抛物线于点．
根据吃水深度可知在起拱线下方处．
，
点的横坐标为：．
当时，，
即点到水面的高度为．
船顶到船底的距离为，吃水深度为，
观赏船在水面上方的高度为，
，
观赏船可以安全通过此桥．
变式3．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，抛物线可用表示．
(1)求抛物线的表达式和拱顶D到地面的距离．
(2)一辆货运汽车装载集装箱后高为，宽为．若隧道内设双向行车道，则这辆货运汽车是否可以通过？
【答案】(1)抛物线的表达式为，拱顶到地面的距离为
(2)这辆货运汽车可以通过
【详解】（1）解：根据题意，将，分别代入，得
解得，
∴抛物线的表达式为；
∵，
∴，
∴拱顶到地面的距离为．
（2）解：隧道内设双向行车道，车宽，对称轴为，取，代入抛物线解析式得
，
∴这辆货运汽车可以通过．
变式4．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某校组织跳长绳体育锻炼．某科技小组开展了以“摇绳中的数学”为主题的综合实践活动．
研究背景 甲，乙摇绳机的手柄高度相同，绳子摇到最高处的形状近似看作抛物线的一部分．
建立方法 以甲，乙摇绳机所在地面直线为x轴，甲摇绳机手柄A处作垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
收集信息 摇绳时，甲，乙摇绳机手柄A，B之间的水平距离是，手柄A，B离地面的高度，都是．当绳子上D点与原点O的水平距离是时，其离地面的高度是．学生跳绳时，为了安全，学生正上方的绳子距其头顶至少高．
建立模型 求该抛物线的解析式．
应用模型
（1）小明跳绳时，其头顶离地面的高度为，能否让他参加跳绳活动？请说明理由；
（2）某跳绳小组成员站成一排同时跳绳，他们跳绳时头顶离地面的高度都是，要求小组相邻成员之间的水平距离不低于，不超过，直接写出同时跳绳人数t的取值范围．
【答案】建立模型：；应用模型：（1）不能邀请小明参加跳绳活动，理由见解析；（2）（t为整数）
【详解】建立模型
解：设抛物线解析式为，将，，代入得，
解得
∴y与x的函数解析式是．
应用模型
解：（1）∵，
∴当时，y有最大值2.25．
∵，
∴不能邀请小明参加跳绳活动．
（2）令，即
解得，，
∴小组成员两端之间的水平距离为
∴
∴（t为整数）．
【知识点解析】
1. 核心解题思路：坐标系建模
投球问题的关键是合理建立坐标系，将投球的起点、最高点、落地点等关键位置转化为坐标，再代入函数解析式求解.
经典坐标系建立方法
以投球点的正下方为原点，水平向右为 x 轴正方向，竖直向上为 y 轴正方向。
若投球时的出手高度为 h（球离地面的高度），则投球点坐标为；
抛物线的顶点对应球的最大飞行高度 ，此时的水平距离为；
抛物线与 x 轴正半轴的交点对应球的落地点，即为球的飞行水平距离。
2. 通用解题步骤
（1）建立平面直角坐标系；
（2）选择合适的函数解析式形式并设式；
（3）代入已知点坐标，求解解析式参数；
（4）根据问题需求，利用函数性质计算；
问题类型 解题方法
求最大飞行高度 直接取顶点纵坐标.
求达到最大高度时的水平距离 直接取顶点横坐标.
求飞行的总水平距离 令，解一元二次方程，取正根即为水平距离.
判断能否命中目标 若目标坐标为，将代入解析式，计算值，与比较：相等则命中，不等则不命中
（5）结合实际意义验证作答.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
(1)当时，求的值；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求此抛物线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，，
将点代入得：，
解得：；
（2）解：将，代入可得，
解得：，
∴此抛物线的函数表达式为．
例2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为．
(1)建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？
(3)守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？
【答案】(1)抛物线解析式为：
(2)足球能射进球门
(3)他至少后退，才能阻止梅西的射门
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，，则可设抛物线的解析式是，
把代入，得，，
解得，
则抛物线解析式为：；
（2）解：由（1）可知：抛物线解析式为：，
当时，，
答：足球能射进球门．
（3）解：当时，，
守门员不能阻止梅西的此次射门，
当时，，
解得：，舍去，
，
答：他至少后退，才能阻止梅西的射门．
例3．（25-26九年级上·广东广州·期中）匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系．
【收集数据】某次匹克球飞行的高度（单位：）与它距发球点的水平距离（单位：）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离
高度
【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线的一部分．
【建立模型及应用】
(1)当时， ，这个值表示的实际意义是 ；
(2)求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
(3)匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由．
【答案】(1)，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米；
(2)；
(3)能达到，理由见解析．
【详解】（1）解：当时，，
∴这个值表示的实际意义是匹克球从发球点飞出时的初始高度是米；
故答案为：，匹克球从发球点飞出时的初始高度是米；
（2）解：把，代入，
得，
∴；
∴；
（3）解：由（）得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵，
∴匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能达到．
例4．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）【研究背景】
中国女排是国民心中当之无愧的骄傲！队员们以日复一日的刻苦训练夯实功底，将纯熟技能刻进肌肉记忆；赛场之上，她们敢拼敢打、永不言弃，用韧劲诠释体育力量．这份亮眼成绩从不是偶然，而是无数个日夜的汗水浇灌，如今姑娘们正全力以赴封闭集训，为新的赛事蓄力冲锋．
训练的排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．
【建立模型】
已知某队员利用空闲时间在场地独自练习发球．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系．
【解决问题】
(1)若该队员第一次在处正上方2米发球，当排球运行至离的水平距离为6米时，到达最大竖直高度2.8米．
①求排球运动过程中的竖直高度（单位：m）与距发球点的水平距离（单位：m）的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
②这次所发的球能否过网 （填“能”或“否”）；
(2)该队员第二次发球时，保持排球运动过程中对应的抛物线的形状不变（不变），改变发球方式，使其函数关系式变为，发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，落地点与球网的水平距离小于．求出的取值范围．
【答案】(1)①函数关系式为；②能
(2)b的取值范围为
【详解】（1）①解：根据题意水平距离为时，到达最大竖直高度，
即函数顶点坐标为，
故函数顶点式中，，
函数表达式为
将排球出手处点坐标代入上式，
得，解得，
所以函数关系式为．
②当时，函数值，
∵，
所以能过网．
（2）解：因为抛物线形状不变，故，
函数表达式为，
根据题意要求：
发球点与球网的水平距离是．若排球飞过球网正上方时，竖直的高度超过，
即当时，函数值，
解得；
落地点与球网的水平距离小于，即时，，
故当时，函数值，
解得；
综上所述，b的取值范围为．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数）
【答案】(1)；
(2)向前大约走米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解题的关键．
（）由题意得，抛物线顶点坐标为，然后利用待定系数法求解即可；
（）当时，，解得，（舍去），从而求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把代入解析式得，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得：，（舍去），
∴该队员应该向前走（米），
∴该队员应该向前大约走米．
变式2．（25-26九年级上·山西晋城·月考）综合与实践
问题情境
在一次足球训练时，守门员在距离地面点正上方的点处开出一高球，球的运动路线为抛物线．球员甲在距离点远的点处，当球运动到球员甲头顶的正上方处时，球到达最高点，且距离地面的高度为．球员乙在点处，当球运动到球员乙头顶的正上方处时，球距离地面的高度为，此时球员乙起跳后用头将球顶出，球的运动路线为，且在此过程中，球运动到最高点时距离地面的高度为．已知与的形状相同，且球的整个运动路线都在同一竖直平面内．
建模分析
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（单位长度为）
（1）①求抛物线的解析式．
②求球员乙到点的距离．
问题解决
（2）球员甲想提前跑到球的落地点处，求他需要跑的距离的长度．（结果保留根号）
【答案】（1）①；②；（2）
【详解】解：（1）①根据题意得，点的坐标为，点的坐标为，且点为抛物线的顶点．
设抛物线的解析式为，将点代入，得，
解得．
抛物线的解析式为，即．
②在中，当时，，
解得（舍去）．
由实际情境，球员乙应在球员甲之后（），故取，
点的横坐标为，即球员乙到点的距离为．
（2）根据题意得，设抛物线的顶点坐标为，
则解析式为，
将点代入，得．
解得（舍去）．
由顶球后球向前运动，顶点横坐标应大于点横坐标，
抛物线的解析式为．
当时，．
解得（舍去）．
∵落地点在前方，
．
．
答：他需要跑的距离的长度为．
变式3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1，图2是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为x轴，过点A作的垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图3，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，篮球飞行的水平距离x（米）与篮球距离水平面的竖直高度y（米）的变化规律如下表：
水平距离x（米） 0 1 2
竖直高度y（米） 1 2 2
(1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式．
(2)在研究中发现，投篮机支架的连接点D恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为3米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度．
【答案】(1)
(2)1米
【详解】（1）解：∵篮球的飞行路线可以用二次函数
∴，解得：，
∴篮球飞行路线的表达式为：．
（2）解：如图：作于点G，则，四边形是矩形，
，
∵，，
∴是等腰直角三角形
，
设点的坐标为，
，解得：，（不合题意，舍去），
，
由题意得：，
，
．
答：投篮机支架的长度为1米．
变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示：
信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 2 6
竖直距离
信息2：无锡市初中生实心球得分标准．
水平最大距离
男生得分 9 8 7
水平最大距离
女生得分 9 8 7
(1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由；
(2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：．
①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________；
②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度．
【答案】(1)分
(2)①，；②；
【详解】（1）解：得分为10分；
理由如下：
设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：，
将代入得： ，解得：，
∴；
令，解方程得：；
∴小明投掷时，最大水平距离为；
∴小明得分为分；
（2）解：①由题意得：，；
联立，得：；
故答案为：，；
②连接，作于点，作于点，如图所示：
则四边形为矩形，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
即：投掷距离为；
∵，
∴，，
联立，得：；
∵投掷距离为；
∴经过点，即：，解得：（舍），
∴，
∴出手速度
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为；
(2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内；
(3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过，
∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
（2）∵当时，代入得：，
，
，
，
，
∴解得：，(舍)．
∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内．
（3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
∵改造前，当时，，
又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，
∴．
∵改造前后喷出水柱形状不变，
∴，即．
∵水池的直径扩大到米，
∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于，
将代入得：
，
，
，
，
即．
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
例2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在节假日期间，万象汇广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀，随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为．
(1)当时，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值；
(2)当时，若要喷出的水不能触及岸边，请直接写出此时的取值范围．
【答案】(1)①抛物线形水线最大高度是米；②，
(2)
【详解】（1）解：∵
∴，
①∵喷出的水恰好达到岸边，
∴抛物线过，
∵抛物线过原点，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴当时，，
∴抛物线形水线最大高度是米；
②∵抛物线形水线最大高度达4米，
∴抛物线顶点的纵坐标为，
当时，，
解得：，
∴抛物线的顶点是，
∴，
∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴，
∴，．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
解得：或，
当时，抛物线的顶点在原点，不符合实际，
∴，
∵喷出的抛物线形水线不能到岸边，出水口离岸边，
∴，即，
解得．
例3．（25-26九年级上·河北·月考）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
由题意，得图象的顶点坐标为，
∴抛物线的关系式为．
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：不能，理由如下：
如图，延长交x轴于点H，则，
由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为，
∴，
∴．
∵，
∴．
当时，，
∵，
∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
例4．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不会喷射到护栏上，见解析
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为．
（2）水柱不会喷射到护栏上
理由如下：
当时，，
，
水柱不会喷射到护栏上．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立的平面直角坐标系，喷泉的初始高度为2m．经测量，当水柱的水平喷射距离为4m时，高度为14.8m；当水柱的水平喷射距离为6m时，高度为18.8m．
(1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式．
(2)计算水柱喷射的最大高度．
(3)现要在水池边缘安装一圈宽度为1m的环形观景台（内径20m，外径21m），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围．
【答案】(1)
(2)水柱喷射的最大高度为22m
(3)喷口高度的可调节范围为
【详解】（1）解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为．
将，代入，得，
解得，
∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为．
（2）解：．
，∴当时，取最大值22，
∴水柱喷射的最大高度为22m．
答：水柱喷射的最大高度为22m．
（3）解：设平移后的抛物线的函数解析式为．
将代入，得，解得，
将代入，得，解得，
，即．
答：喷口高度的可调节范围为．
变式2．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地而竖直高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)此时，距喷水口水平距离为的地方正好有一个行人经过，试通过计算判断行人是否会被灌溉车淋到水？
(3)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)该行人会被洒水车淋到水，过程见解析
(3)
(4)
【详解】（1）解：由题意知，，的纵坐标为，则，，
设上边缘抛物线的函数解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
∵，
∴该行人会被洒水车淋到水；
（3）解：由题意知，关于直线的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∵，
∴；
（4）解：将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，，
∴，
由下边缘抛物线可得，，
综上所述，．
变式3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）研究发现：某烟花发射装置发射的烟花上升的高度满足关系式，其中是烟花发射后的时间，是烟花发射时的初速度．
(1)若在调试阶段设定，求烟花发射后达到的最大高度；
(2)若发射的烟花能达到的最大高度为，则烟花发射时的初速度是多少？
(3)按（2）中的初速度发射烟花，若烟花发射后的高度有两次达到，求这两次达到高度为之间的间隔时间．
【答案】(1)当时，烟花发射后达到的最大高度是；
(2)烟花发射时的初速度是；
(3)这两次达到高度为之间的间隔时间为．
【详解】（1）解：当时，
可得：，
，
有最大值，
即当时，，
当时，烟花发射后达到的最大高度是；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
可得：当时，，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
烟花发射时的初速度是
（3）解：由（2）知，当时，
可得：，
由，
可得：，
解得：，
，
这两次达到高度为之间的间隔时间为．
变式4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度．
(1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式；
(2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值；
(3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米）
【答案】(1)
(2)喷泉跨度的最小值为3
(3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图，
∵抛物线经过点和，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵水柱最高点离地面，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图，
∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同，
∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：，
∴抛物线解析式为：，
∵喷水管最高时，的值最小，
∴抛物线经过点，即，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
当时，，
解得：（负值舍去），
∴；
答：喷泉跨度的最小值为3；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为，
由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上，
则，
∴，
，
，
，
解得：，
∴．
答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米．
【知识点解析】
二次函数在动态几何问题中的核心应用，是用变量表示动点、动线段的位置或长度，结合几何性质建立二次函数模型，进而求解动图形的面积最值、线段长度最值、点的存在性等问题。这类问题的本质是几何动态变化的代数化，关键在于用一个自变量刻画所有相关几何量的变化.
1. 核心解题思路：“动中取静，以静制动”
动态几何问题的核心是存在一个运动的元素（如动点、动直线、动三角形），解题时需遵循以下思路：
（1）确定自变量：选择一个能刻画运动状态的变量作为自变量（通常是动点移动的距离、线段的长度、角度的大小等）；
（2）用自变量表示相关几何量：利用几何性质（如勾股定理、相似三角形、平行线分线段成比例），将题目中涉及的动线段长度、动图形的底和高用含 x 的代数式表示；
（3）建立二次函数模型：代入几何公式（如面积公式、周长公式），得到目标量（如面积 S、线段长度 L）关于 x 的二次函数；
（4）确定自变量的取值范围：根据动点的运动边界（如线段的两个端点），列出不等式确定 x 的取值范围；
（5）利用二次函数性质求解：结合开口方向和顶点位置，求函数的最值或判断点的存在性.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点以的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t．的面积S随出发时间t是怎样变化的？并当t取何值时，面积S最大，最大是多少？
【答案】当时，的面积S随t的增大而增大，当时，的面积S随t的增大而减小，当为时的面积最大，最大面积是
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
的面积
，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，的面积S随t的增大而增大，
当时，的面积S随t的增大而减小，
∴当为时的面积最大，最大面积是．
例2．（25-26九年级上·天津·月考）如图，在四边形中，，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当时，判断线段与的长度是否相等，并说明理由；
(2)当点M在边上运动时，求面积的最大值；
(3)是否存在的值，使得的面积为？若存在，直接写出符合条件的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，线段与的长度相等，理由见解析
(2)
(3)存在的值为或，使得的面积为
【详解】（1）解：当时，线段与的长度相等，理由如下：
∵动点M从点B出发，以的速度沿边、边、边向终点C运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动，
∴当时，点运动的距离为，点运动的距离为，
由题意可得，，，
∴，
∴，
∴当时，线段与的长度相等；
（2）解：∵点M在边上运动，，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴的面积，
∵，对称轴为直线，
∴当时，的面积随着的增大而增大，
∴当时，的面积最大，为；
（3）解：当时，点在边上，的面积最大值为，故此时不存在的值，使得的面积为；
当时，点在边上，过点作，过点作于，交于点，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
令，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）
当时，点在边上，过点作，过点作于，过点作于，交于点，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积，
令，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去）；
综上所述，存在的值为或，使得的面积为．
例3．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，平分，过点作，垂足为，点从点出发，以的速度沿边运动，同时点从点出发，沿运动，点在段以每秒的速度运动，在段以每秒的速度运动，当点与点重合时，两点同时停止运动．设点的运动时间为与重叠部分图形的面积为．
(1)请直接写出的长；
(2)求点到达点时，点和点的距离；
(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，．
【详解】（1），，，
在中，，
，
即的长分别为；
（2），
，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴由得：，
解得：，
，，，
在中，，
即B点距离Q点的距离为；
（3）由（2）可知：，，
点Q在段以每秒的速度运动，
∴Q点由C至D所需时间为：，
∵P点的速度为1，
∴P点到达B点所需时间为，
分类讨论：
第一种情况：时，此时Q点在线段上上，
∴，，
，
，
，
，
，即，
与重叠部分就是，
，
第二种情况：时，此时Q点在线段上，
过Q作于M点，如图，
，，
，
，，
，
，即
与重叠部分就是，
，
综上所述，当时，；当时，．
例4．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边作矩形，使点、始终在直线的同侧，且，设点的运动时间为秒．
(1)当点在边上时，直接用含的代数式表示线段的长；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)设矩形与重叠部分的面积为，当重叠部分为四边形时，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【详解】（1）解：在中，，
∵，．
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴；
（2）解：如图，当点落在边上时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
（3）解：当点在边上即时，
；
当点在边上时，
如图，当点落在边上时，
由题意得，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
当点落在边上时，同理可得，
∴，
∴，
解得；
当时，．
【变式训练】
变式1．（24-25九年级下·吉林松原·期中）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，以3单位长度/s的速度沿方向运动，到点停止．当点与、两点不重合时，过点作交于点，点在点右侧，，以、为边作矩形．设点的运动时间为．
(1)直接写出线段长．（用含的代数式表示）
(2)求当点落在线段上时的值．
(3)设矩形与重叠部分图形面积为，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)当时，．当时，
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
当时，．
当时，．
（2）解：当点落在线段上时，．
，
解得；
（3）当时，如图，点在的左侧，设与交于点，重叠部分是，
这时，
∵，
∴，
∴，
．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，则重叠部分为五边形，
这时，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
当时，如图，点在的右侧，点在的左侧，设直线交矩形的两边长于点，，交于点，则重叠部分为五边形，
则，
．
∴．
变式2．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【详解】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
．
变式3．（2025·吉林·三模）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为．
(1)当点F与矩形顶点重合时，______；
(2)求当且时，y关于x的函数解析式；
【答案】(1)1或4
(2)当时，；当时，；当时，，；当时，
【详解】（1）解：如图1中，点在上，
∵四边形是矩形，
∴，
∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴时，点F与矩形顶点C重合．
如图：当点P运动到上时，此时都与点重合，
∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．
∴，
∴,
则,
∴
则
综上：当点F与矩形顶点重合时，或4；
故答案为：1或4
（2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为．
则
∴当时，如图所示：
过点作，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
则，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
则,
故；
∴当时，如图所示：
同理得是等腰直角三角形，
则
∴，
即，
∴当时，过点作，如图所示：
同理得是等腰直角三角形，
则，
∴，
即，
∴当时，如图所示：
同理得是等腰直角三角形，
则，
∴，
即，
综上：当时，；当时，；当时，，；当时，．
【知识点解析】
1. 题型共性特征
信息量大：材料通常包含背景描述、数据表格、新定义规则或几何图形说明；
本质隐蔽：表面是新情境，实质是二次函数的最值、解析式求解、与坐标轴交点等核心知识点；
步骤固定：无论材料如何变化，解题都遵循 “读材料→提关键→建模型→解问题” 的流程。
2. 通用解题步骤
（1）通读材料，明确问题目标
先快速浏览材料，判断核心是求解析式、最值，还是判断存在性；同时圈出关键数据（如坐标、长度、数量关系）和限制条件（如自变量取值范围）。
（2）剥离材料本质，转化数学语言
①若材料是实际应用类（如销售、拱桥、投球）：提取售价与销量、跨度与拱高、出手点与最高点等关系，转化为二次函数的已知点或等量关系；
②若材料是新定义类（如 “抛物线的伴随函数”“最优区间”）：严格按照新定义的规则，将文字描述转化为代数表达式；
③若材料是图表类（如函数图象、数据表格）：从图象中读取顶点、交点坐标，从表格中找变量间的对应关系。
3. 建立二次函数模型
4. 结合限制条件求解
代入数据求出解析式参数，再根据问题要求（如最值、取值范围、存在性），利用二次函数的性质计算；务必注意自变量的取值范围，这是这类题的高频易错点.
5. 验证答案，回归材料
检查计算结果是否符合材料中的实际意义（如长度为正、利润合理），确保答案与材料的限制条件不冲突.
【例题分析】
例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 智能化驱动下，针对特定车型的零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售．
问题解决
任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________；
任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？
任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）20%
（2）该零件的实际售价应定为元．
（3）售价定为元时，月销售利润最大，最大为元．
【详解】（1）设平均增长率为，根据题意可得
．
解得
，（舍去）．
故答案为：
（2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，设一次函数表达式为．
因为售价每上涨1元，月销售量将减少10个，则售价为元时，月销量（个），所以，点和在函数图象上，可得
解得
所以，月销售量与零件售价之间的函数表达式为．
所以，月销售利润．
根据题意，得
．
解得
，．
因为尽可能让车企得到实惠，所以该零件的实际售价应定为元．
答：该零件的实际售价应定为元．
（3）根据题意，得
．
该二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值，．
答：售价定为元时，月销售利润最大，最大为元．
例2．（25-26九年级上·吉林·月考）根据表中的素材，探索完成任务．
素材1 吉林高新区生产某款零部件的一间工厂因为引入一体化加工，生产效率提升． 8月份生产100个，同年10月份则生产144个．
素材2 该零部件成本为30元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元．则月销售量将减少10个．
问题解决 请回答下列问题
任务1 求该工厂8月份到10月份生产数量的月平均增长率．
任务2 批发商为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？
任务3 在上述条件下，如果实际售价不低于50元/个，但不高于60元/个，请求出月销售利润最大值．
【答案】任务1：；任务2：50元；任务3：12000元
【详解】解：任务1：设车间8月份到10月份生产数量的平均增长率x，
由题意得，
解得或(舍去)，
∴该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率，
答：该车间8月份到10月份生产数量的平均增长率；
任务2：设该零件的实际售价m元/个，
则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，
则月销售量为个，
∴，
整理得，
解得，，
∵要尽可能让消费者得到实惠，
∴，
∴该零件的实际售价应定为50元，
答：该零件的实际售价应定为50元；
任务3：设该零件的实际售价a元/个，月销售利润为y元，
则有
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，y随a的增大而增大，
∵实际售价不低于50元/个，但不高于60元/个，
∴，
当元/个时，y有最大值，最大值为元．
例3．（25-26九年级上·广东江门·期中）利用素材解决问题：
《桥梁的设计》
问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高．
设计方案 方案一 方案二
设计类型 圆弧型 抛物线型
任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式．
任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由．
【答案】任务一：①米②任务二：不能，理由见解析
【详解】解：任务一：
设计成圆弧型，
设的半径为，
∵米，
∴米，
∵，
∴米，
在中，，
，
解得：，
圆弧所在圆的半径为米；
②设计成抛物线型，
设抛物线的解析式为，
又抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
任务二：
在抛物线型拱桥中，
∵，
∴，
当时，，
货船不能顺利通过抛物线型拱桥．
例4．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）为方便悬挂电子屏幕，物业公司需要在小区大门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动 主题 为小区大门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动 准备 1．去小区物业查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集 数据 图1是小区大门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为O，．
设计 方案 考虑实用和美观等因素，在A，D间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，，立柱的另一端点，在抛物线形框架结构上，其中．
确定 思路 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，点E的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）．
【答案】(1)
(2)这根材料的长度不够用，计算见解析
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由题意，可知：，
∴关于轴对称，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度不够用．
【变式训练】
变式1．（25-26九年级上·广东广州·月考）乒乓球作为中国国球，承载着深厚的民族情怀与荣耀记忆．年月日第十五届全运会乒乓球男子团体决赛巅峰上演，更点燃了全民对乒乓球运动的热爱．根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线的一部分，且这条抛物线在与点P水平距离为的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 (1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．
任务二 击球点的确定 (2)当时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 (3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
【答案】（1）
（2）不能实现，理由见解析
（3）击球点与发球机水平距离的取值范围是
【详解】（1）解：抛物线顶点为，设表达式为，
代入得：，
解得，
故表达式为．
（2）解：令，由，
解得（取正数），即．
反弹后抛物线顶点，
设表达式为，
代入：，
解得，即．
直线的方程为，即，
当（球网处）时，（球网高度），故不能实现．
（3）解：反弹后顶点，设表达式为，
代入：，
解得，即，
由，得：
由于的最大值为40，故恒成立；
故只需解，
得，即，
∴，解得；
答：击球点与发球机水平距离的取值范围是．
变式2．（25-26九年级上·福建福州·期中）
制作简易水流装置
设计方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处．
示意图
已知 轴，，，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为．
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
请根据活动过程完成任务一、任务二．
【答案】任务一：；任务二：水流不能流到圆柱形水杯内
【详解】解：任务一：
∵轴，，点B为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为．
∴．
∴．
把点代入抛物线，得
．
把代入得
，解得．
∴．
∴抛物线的函数表达式为．
任务二：由题意得：圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
∵，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
变式3．（25-26九年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，并完成相应任务：
项目主题 喷泉步行通道的设计布局与调整
素材1 某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道，图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池．设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内．若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分．图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图．
素材2 相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下： 描述数值喷口离地面的高度2米水池边缘的池壁高度，0.8米水池的宽度1.5米水流达到的最高点的高度3.6米水流达到的最高点与喷口的水平距离2米步道宽度米
任务一：建立函数模型 （1）以喷口在水平地面上的垂直投影点为原点，以水平方向为轴，竖直方向为轴，建立坐标系．请求出此次设计中，水流高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的函数关系式．
任务二：优化设计位置 （2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内．在只调整的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过，
，
解得：，
所以水柱高度与水平距离之间的函数关系式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，
点关于直线对称的点的坐标为，
水柱在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米即，
，
又落水点必须位于水池之内，水池池壁高度米，
令，即，
解得，（舍去），
，
，
，
即步道宽度的范围为．

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