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第13讲 探索三角形全等的条件
一、核心知识点
（一）全等判定的探索思路：从“少条件”到“多条件”
三角形全等需满足“形状+大小完全相同”，仅1个或2个条件无法保证全等，需至少3个条件（边或角的组合）：
1个条件（1边或1角）：形状/大小可变化，不全等；
2个条件（2边、2角、1边1角）：仍无法固定形状和大小，不全等；
3个条件（3边、3角、2边1角、2角1边）：部分组合可判定全等，部分不可。
（二）三角形全等的判定定理（核心公理/推论）
1. SSS（边边边）—— 三边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“边边边”或“SSS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC ≌ △DEF（SSS）。
关键特征：三边确定→三角形的形状和大小唯一确定（三角形的稳定性），因此SSS是最基础的判定方法。
示例：已知△ABC中AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，△DEF中DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm，则△ABC ≌ △DEF（SSS）。
2. SAS（边角边）—— 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两条边和它们的夹角分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC ≌ △DEF（SAS）。
关键特征：必须是“两边的夹角”（夹在两条边之间的角），而非“两边的邻角”（非夹角）。
示例：△ABC中AB=2cm，∠A=60°，AC=3cm，△DEF中DE=2cm，∠D=60°，DF=3cm，则△ABC ≌ △DEF（SAS，∠A、∠D是两边夹角）。
3. ASA（角边角）—— 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两个角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC ≌ △DEF（ASA）。
关键特征：必须是“两角的夹边”（夹在两个角之间的边），而非“两角的对边”。
示例：△ABC中∠B=50°，BC=4cm，∠C=60°，△DEF中∠E=50°，EF=4cm，∠F=60°，则△ABC ≌ △DEF（ASA，BC、EF是两角夹边）。
4. AAS（角角边）—— 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC ≌ △DEF（AAS，BC是∠A的对边，EF是∠D的对边）。
关键特征：AAS是ASA的推论（由内角和180°可推出第三个角相等，转化为ASA），需保证“对边”与角对应。
5. HL（斜边、直角边）—— 直角三角形特有的全等判定
适用范围：仅直角三角形。
文字表述：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等（简记为“斜边、直角边”或“HL”）。
符号表示：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE（斜边），BC=EF（直角边），则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
关键特征：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能用HL；需满足“斜边+一条直角边”对应相等。
（三）不能判定三角形全等的组合
1. AAA（三个角对应相等）
特征：只能保证形状相同（相似），大小可不同（如两个大小不同的等边三角形），因此不能判定全等。
2. SSA（两边及其中一边的对角对应相等）
特征：两边和非夹角的角对应相等时，三角形形状不唯一（“边边角陷阱”），因此不能判定全等（直角三角形的HL是SSA的特殊情况，仅当角为直角时成立）。
示例：△ABC中AB=3cm，AC=2cm，∠B=30°；△DEF中DE=3cm，DF=2cm，∠E=30°，此时两个三角形可能不全等。
（四）全等判定的一般步骤
确定目标：明确要判定全等的两个三角形；
找条件：从已知中提取边、角对应相等的条件（公共边、公共角、对顶角优先利用）；
选定理：根据条件类型选择对应判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）；
验对应：确保边、角对应关系准确（如SAS的夹角、ASA的夹边）；
下结论：依据定理判定是否全等，写出全等符号及对应顶点。
二、常见易错知识
1. 误用SSA或AAA判定全等（最核心易错点）
错误表现：
用“三个角对应相等”判定全等（如认为两个等边三角形一定全等）；
用“两边及其中一边的对角对应相等”判定全等（如△ABC中AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，就判定△ABC ≌ △DEF）；
直角三角形中用“两条直角边对应相等”却错误标注HL（实际应按SAS判定）。
正确分析：
AAA仅相似不全等，SSA（非直角）形状不唯一；
直角三角形中，两条直角边对应相等应按SAS判定，HL仅针对“斜边+直角边”。
2. SAS中混淆“夹角”与“邻角”
错误表现：
把两边的邻角（非夹角）当作夹角用SAS判定，如△ABC中AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（∠A不是AB和BC的夹角），却用SAS判定全等。
正确分析：
SAS的核心是“两边的夹角”（夹在两条边之间的角），如AB和BC的夹角是∠B，而非∠A，必须确认角是两边的夹角才能用SAS。
3. 对应边/角匹配错误
错误表现：
判定时对应关系混乱（如△ABC ≌ △DEF，却将AB对应DF，BC对应DE）；
利用公共边/公共角时，未确认其在两个三角形中的对应角色（如公共边在△ABC中是AB，在△DEF中是DE，却未对应）。
正确分析：
判定前先固定对应顶点（如A对应D、B对应E、C对应F），再按顶点顺序匹配边和角，公共边/公共角必然是对应边/角。
4. HL的误用与滥用
错误表现：
非直角三角形用HL判定全等（如锐角三角形中用“斜边+直角边”的表述）；
直角三角形中用“一条斜边+一条直角边”但对应关系错误（如斜边对应直角边）；
直角三角形中两条直角边对应相等，却错误使用HL（实际应按SAS判定）。
正确分析：
HL的使用前提是“直角三角形+斜边+一条直角边对应相等”，缺一不可；两条直角边对应相等的直角三角形全等，依据是SAS而非HL。
5. 忽略判定定理的完整条件
错误表现：
ASA中把“两角的对边”当作“夹边”（如∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，却用ASA判定）；
AAS中角和对边不对应（如∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，却用AAS判定）；
SSS中遗漏一条边的对应条件（如仅两条边对应相等，就判定全等）。
正确分析：
每个判定定理的条件是“缺一不可”的：ASA必须是两角+夹边，AAS必须是两角+其中一角的对边，SSS必须是三边对应相等。
6. 混淆“全等判定”与“全等性质”
错误表现：
先判定全等，再用全等性质推导边/角相等，却颠倒顺序（如先写“AB=DE”，再判定△ABC ≌ △DEF）；
已知全等三角形，却错误用判定定理描述性质（如“∵△ABC ≌ △DEF，∴SSS”）。
正确分析：
判定是“由边/角相等推全等”，性质是“由全等推边/角相等”，因果关系不可颠倒；判定定理用于证全等，性质用于由全等得结论。
7. 图形变换后对应关系找错
错误表现：
三角形经过平移、旋转、翻折后，找不到对应的边/角（如△ABC绕点B旋转90°得到△DBE，却误将AB对应BE）；
忽略公共边、公共角、对顶角的隐含条件（如两个三角形共享边AC，却未将AC作为对应边）。
正确分析：
平移/旋转/翻折后的三角形，对应边/角的位置随变换轨迹确定（如旋转后顶点B不变，则∠B是公共角）；公共边、公共角、对顶角是天然的对应条件，优先利用。
8. 书写全等符号时对应顶点顺序错误
错误表现：
判定全等后，随意书写对应顶点（如△ABC ≌ △FED，实际A对应D、B对应E、C对应F）；
因顶点顺序错误，导致后续对应边/角推导错误（如由△ABC ≌ △FED，误推出AB=FE）。
正确分析：
全等符号的顶点顺序必须与对应关系一致（A对应D则写△ABC ≌ △DEF），这是保证对应边/角准确的关键。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
全等判定五定理：“边边边，边角边，角边角，角角边，直角HL”；
两个陷阱要避开：“AAA相似不全等，SSA形状不唯一”；
关键细节记牢：“SAS是夹角，ASA是夹边，HL只给直角用”。
2. 易错警示
判定前先看“对应”：边对边、角对角，夹角夹边别搞混；
非直角不用HL，SSA绝对不能用；
公共边/角优先用，顶点顺序别乱写。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
3．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（ ）
A．内角可发生变化 B．边长发生变化
C．周长发生变化 D．内角和发生变化
4．如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点E，且点E恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．20
6．年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
7．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容
下列说法正确的是（ ）
A．▲代表 B．■代表
C．★代表对应边 D．※代表
8．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ）
A．①②⑤ ④ B．①②④ ③
C．①③⑤ ② D．②③⑤ ①
二、填空题
9．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ．
10．桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ．
11．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
12．如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s．
13．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ．
14．如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ．
15．如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ．
16．如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
三、解答题
17．如图，相交于点O，，．求证：．
18．如图，在中，，是的中点．求证：．
证明：是的中点，
____________________．
在和中，
，________________，________________，
（__________）．
19．如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？

20．如图，C为上一点，点A，D分别在两侧，，，．试说明：．
21．如图，山脚下有A，B两点，要测出A，B两点的距离，可采取以下步骤：

(1)在地面上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，使，请完成接下来的步骤．
(2)求的长度．
22．如图，，，，，交于点，连接.求证：

(1)；
(2)平分.
23．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
(1)发现问题：如图1，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；
(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．
②并进行证明．
24．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长．第13讲 探索三角形全等的条件
一、核心知识点
（一）全等判定的探索思路：从“少条件”到“多条件”
三角形全等需满足“形状+大小完全相同”，仅1个或2个条件无法保证全等，需至少3个条件（边或角的组合）：
1个条件（1边或1角）：形状/大小可变化，不全等；
2个条件（2边、2角、1边1角）：仍无法固定形状和大小，不全等；
3个条件（3边、3角、2边1角、2角1边）：部分组合可判定全等，部分不可。
（二）三角形全等的判定定理（核心公理/推论）
1. SSS（边边边）—— 三边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“边边边”或“SSS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC ≌ △DEF（SSS）。
关键特征：三边确定→三角形的形状和大小唯一确定（三角形的稳定性），因此SSS是最基础的判定方法。
示例：已知△ABC中AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm，△DEF中DE=3cm，EF=4cm，DF=5cm，则△ABC ≌ △DEF（SSS）。
2. SAS（边角边）—— 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两条边和它们的夹角分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC ≌ △DEF（SAS）。
关键特征：必须是“两边的夹角”（夹在两条边之间的角），而非“两边的邻角”（非夹角）。
示例：△ABC中AB=2cm，∠A=60°，AC=3cm，△DEF中DE=2cm，∠D=60°，DF=3cm，则△ABC ≌ △DEF（SAS，∠A、∠D是两边夹角）。
3. ASA（角边角）—— 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两个角和它们的夹边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“角边角”或“ASA”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC ≌ △DEF（ASA）。
关键特征：必须是“两角的夹边”（夹在两个角之间的边），而非“两角的对边”。
示例：△ABC中∠B=50°，BC=4cm，∠C=60°，△DEF中∠E=50°，EF=4cm，∠F=60°，则△ABC ≌ △DEF（ASA，BC、EF是两角夹边）。
4. AAS（角角边）—— 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
文字表述：若两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，则这两个三角形全等（简记为“角角边”或“AAS”）。
符号表示：在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC ≌ △DEF（AAS，BC是∠A的对边，EF是∠D的对边）。
关键特征：AAS是ASA的推论（由内角和180°可推出第三个角相等，转化为ASA），需保证“对边”与角对应。
5. HL（斜边、直角边）—— 直角三角形特有的全等判定
适用范围：仅直角三角形。
文字表述：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形全等（简记为“斜边、直角边”或“HL”）。
符号表示：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE（斜边），BC=EF（直角边），则Rt△ABC ≌ Rt△DEF（HL）。
关键特征：仅适用于直角三角形，非直角三角形不能用HL；需满足“斜边+一条直角边”对应相等。
（三）不能判定三角形全等的组合
1. AAA（三个角对应相等）
特征：只能保证形状相同（相似），大小可不同（如两个大小不同的等边三角形），因此不能判定全等。
2. SSA（两边及其中一边的对角对应相等）
特征：两边和非夹角的角对应相等时，三角形形状不唯一（“边边角陷阱”），因此不能判定全等（直角三角形的HL是SSA的特殊情况，仅当角为直角时成立）。
示例：△ABC中AB=3cm，AC=2cm，∠B=30°；△DEF中DE=3cm，DF=2cm，∠E=30°，此时两个三角形可能不全等。
（四）全等判定的一般步骤
确定目标：明确要判定全等的两个三角形；
找条件：从已知中提取边、角对应相等的条件（公共边、公共角、对顶角优先利用）；
选定理：根据条件类型选择对应判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）；
验对应：确保边、角对应关系准确（如SAS的夹角、ASA的夹边）；
下结论：依据定理判定是否全等，写出全等符号及对应顶点。
二、常见易错知识
1. 误用SSA或AAA判定全等（最核心易错点）
错误表现：
用“三个角对应相等”判定全等（如认为两个等边三角形一定全等）；
用“两边及其中一边的对角对应相等”判定全等（如△ABC中AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，就判定△ABC ≌ △DEF）；
直角三角形中用“两条直角边对应相等”却错误标注HL（实际应按SAS判定）。
正确分析：
AAA仅相似不全等，SSA（非直角）形状不唯一；
直角三角形中，两条直角边对应相等应按SAS判定，HL仅针对“斜边+直角边”。
2. SAS中混淆“夹角”与“邻角”
错误表现：
把两边的邻角（非夹角）当作夹角用SAS判定，如△ABC中AB=DE，BC=EF，∠A=∠D（∠A不是AB和BC的夹角），却用SAS判定全等。
正确分析：
SAS的核心是“两边的夹角”（夹在两条边之间的角），如AB和BC的夹角是∠B，而非∠A，必须确认角是两边的夹角才能用SAS。
3. 对应边/角匹配错误
错误表现：
判定时对应关系混乱（如△ABC ≌ △DEF，却将AB对应DF，BC对应DE）；
利用公共边/公共角时，未确认其在两个三角形中的对应角色（如公共边在△ABC中是AB，在△DEF中是DE，却未对应）。
正确分析：
判定前先固定对应顶点（如A对应D、B对应E、C对应F），再按顶点顺序匹配边和角，公共边/公共角必然是对应边/角。
4. HL的误用与滥用
错误表现：
非直角三角形用HL判定全等（如锐角三角形中用“斜边+直角边”的表述）；
直角三角形中用“一条斜边+一条直角边”但对应关系错误（如斜边对应直角边）；
直角三角形中两条直角边对应相等，却错误使用HL（实际应按SAS判定）。
正确分析：
HL的使用前提是“直角三角形+斜边+一条直角边对应相等”，缺一不可；两条直角边对应相等的直角三角形全等，依据是SAS而非HL。
5. 忽略判定定理的完整条件
错误表现：
ASA中把“两角的对边”当作“夹边”（如∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，却用ASA判定）；
AAS中角和对边不对应（如∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，却用AAS判定）；
SSS中遗漏一条边的对应条件（如仅两条边对应相等，就判定全等）。
正确分析：
每个判定定理的条件是“缺一不可”的：ASA必须是两角+夹边，AAS必须是两角+其中一角的对边，SSS必须是三边对应相等。
6. 混淆“全等判定”与“全等性质”
错误表现：
先判定全等，再用全等性质推导边/角相等，却颠倒顺序（如先写“AB=DE”，再判定△ABC ≌ △DEF）；
已知全等三角形，却错误用判定定理描述性质（如“∵△ABC ≌ △DEF，∴SSS”）。
正确分析：
判定是“由边/角相等推全等”，性质是“由全等推边/角相等”，因果关系不可颠倒；判定定理用于证全等，性质用于由全等得结论。
7. 图形变换后对应关系找错
错误表现：
三角形经过平移、旋转、翻折后，找不到对应的边/角（如△ABC绕点B旋转90°得到△DBE，却误将AB对应BE）；
忽略公共边、公共角、对顶角的隐含条件（如两个三角形共享边AC，却未将AC作为对应边）。
正确分析：
平移/旋转/翻折后的三角形，对应边/角的位置随变换轨迹确定（如旋转后顶点B不变，则∠B是公共角）；公共边、公共角、对顶角是天然的对应条件，优先利用。
8. 书写全等符号时对应顶点顺序错误
错误表现：
判定全等后，随意书写对应顶点（如△ABC ≌ △FED，实际A对应D、B对应E、C对应F）；
因顶点顺序错误，导致后续对应边/角推导错误（如由△ABC ≌ △FED，误推出AB=FE）。
正确分析：
全等符号的顶点顺序必须与对应关系一致（A对应D则写△ABC ≌ △DEF），这是保证对应边/角准确的关键。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
全等判定五定理：“边边边，边角边，角边角，角角边，直角HL”；
两个陷阱要避开：“AAA相似不全等，SSA形状不唯一”；
关键细节记牢：“SAS是夹角，ASA是夹边，HL只给直角用”。
2. 易错警示
判定前先看“对应”：边对边、角对角，夹角夹边别搞混；
非直角不用HL，SSA绝对不能用；
公共边/角优先用，顶点顺序别乱写。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
【详解】在与，
∵，
∴，
∴与全等的依据是，
故选：．
2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：A．
3．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（ ）
A．内角可发生变化 B．边长发生变化
C．周长发生变化 D．内角和发生变化
【答案】A
【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变．
根据稳定性的变化逐一判断即可．
【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确；
B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误；
C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误；
D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误；
故选：A．
4．如图，在一次拓展活动中，小明为完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他先面向河对岸的建筑物方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出自己与点D的距离，从而推算出河宽的长，这里判定的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴；
故选C．
5．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点E，且点E恰好在边上．若四边形的面积为40，，则的长为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．20
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
过点作于点，证明，得到，推出四边形的面积，进行求解即可．
【详解】解：在四边形中，的平分线与的平分线交于点，如图，过点作于点，

则：，，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为梯形，
∵四边形的面积为，
∴四边形的面积，
，
故选：A．
6．年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
根据即可证明，可得；
【详解】解：在和中，
，
，
；
故选：A
7．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容
下列说法正确的是（ ）
A．▲代表 B．■代表
C．★代表对应边 D．※代表
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表
【详解】解：∵在和中
，
∴，则▲代表 ，故选项A错误；
∴（全等三角形的对应角相等），则■代表，★代表对应角，故选项B错误；故选项C错误；
∴，
∴，则※代表，故选项D正确；
故选：D．
8．如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ）
A．①②⑤ ④ B．①②④ ③
C．①③⑤ ② D．②③⑤ ①
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐项判断选项中的三个条件能否判定和全等即可．
【详解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，所以无法证明，不符合题意；
B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意；
C、由，，，可知，所以，可得，即，符合题意；
D、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
9．在解决问题时，小明发现下列两个被纸板挡住的三角形，只有图②能画出唯一的三角形，他判断的依据是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据图形可知图中三角形纸片两角及其夹边已知，则可根据解答．
【详解】解：∵图中三角形纸片两角及其夹边已知，
∴可以根据画出了一个与原三角形完全重合的三角形，
故答案为：．
10．桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的 ．
【答案】稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，根据三角形的稳定性作答即可．
【详解】解：桥梁拉杆、电视塔架底座等都有三角形结构，这样设计的数学原理是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
11．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：135．
12．如图，，与相交于点C，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，同时点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动．连接，当线段经过点C时，点P的运动时间为 s．
【答案】2或4
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是注意分情况讨论．
先证，可得；当线段经过点C时，证明，推出，分点P沿方向运动和沿方向运动两种情况，分别列式求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
，
，
当线段经过点C时，如下图所示：
在和中，
，
，
，
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得；
当点P沿方向运动时，，，
，
，
解得
综上可知，t的值为或，
故答案为：2或4．
13．如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据O是的中点，得到，，再证明，即可得出答案，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：∵O是的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：4．
14．如图，和均为直角三角形，，，连接，与交于点，且恰好为的中点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】证明得，，，求出，再推出，可得结论．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴
，
即的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中点的定义，三角形的面积及等积变换．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的周长为18，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：24．
16．如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．
证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，，
，，
，
故答案为：6．
三、解答题
17．如图，相交于点O，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得，再由即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
18．如图，在中，，是的中点．求证：．
证明：是的中点，
____________________．
在和中，
，________________，________________，
（__________）．
【答案】，，，，，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
找出和中有三条边相等，根据全等三角形的判定定理“边边边”即可证明．
【详解】解：是的中点，
，
在和中，
，，，
．
19．如图，仪器可以用来平分一个角，，将仪器上的点与的顶点R重合，调整与，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，就是的平分线，你认为合理吗？为什么？

【答案】合理，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
根据条件得出，然后得出即可．
【详解】解：合理，
理由：
在和中，
，
．
，
平分．
20．如图，C为上一点，点A，D分别在两侧，，，．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．先根据，可得，再由全等三角形的判定定理证得，则该全等三角形的对应边相等，即．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
21．如图，山脚下有A，B两点，要测出A，B两点的距离，可采取以下步骤：

(1)在地面上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，使，请完成接下来的步骤．
(2)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用．
（1）连接并延长到点D，使，连接；
（2）利用证明，即可得到．
【详解】（1）解：在地面上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，使，
再连接并延长到点D，使，连接，
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
22．如图，，，，，交于点，连接.求证：

(1)；
(2)平分.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由得，再由，，利用，即可判定；
（2）首先作于点，于点，由，可得，即可证得平分．
【详解】（1）证明：，
在和中，
（2）证明：如图：过点作于点，于点

，
在和中，
，
又，，
平分
【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质以及角平分线的判定，此题难度适中，注意掌握辅助线的做法，注意掌握数形结合思想的应用，解题关键是证明三角形全等．
23．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作，，．连接．
(1)发现问题：如图1，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系式为_____，位置关系为_____；
②求证：；
(2)尝试探究：如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，
①中，，之间的数量关系式为_____．
②并进行证明．
【答案】(1)①，；②见解析
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
（1）①证明，得出，，再求出，即可得解；②由全等三角形的性质即可得解；
（2）①结合图形进行猜想即可得解；②证明，得出即可得证．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
②证明：由①可得：，
∴；
（2）解：①中，，之间的数量关系式为；
②证明如下：由题意可得：，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．如图，在中，，过点作，且，过点作，垂足为点，求线段的长．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，证明，得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

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