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第14讲 利用三角形全等测距离
一、核心知识点
（一）核心原理与思想
1. 基本原理
利用三角形全等的性质（对应边相等），将无法直接测量的距离（如河两岸两点距离、障碍物后方两点距离）转化为可以直接测量的距离——通过构造一个与被测距离所在三角形全等的三角形，测量构造三角形的对应边长度，该长度即为被测距离。
2. 核心思想
转化思想：将实际中的“不可测距离”转化为几何中的“全等三角形对应边”，化未知为已知；
建模思想：将实际测距离问题抽象为“三角形全等”的几何模型，用数学方法解决实际问题。
（二）常见测距离模型（结合全等判定定理）
1. 模型1：构造SAS全等（最常用，测量无直达路径的两点距离）
适用场景：可确定两边及夹角能直接测量/标记的情况（如测量河两岸A、B两点距离）；
2. 模型2：构造ASA/AAS全等（测量有障碍物的两点距离）
适用场景：可确定两角及夹边/对边能直接测量的情况（如测量建筑物后方A、B两点距离）；
3. 模型3：构造HL全等（测量直角场景下的距离）
适用场景：被测距离所在三角形为直角三角形（如测量电线杆底部到路边某点的垂直距离）；
（三）利用三角形全等测距离的一般步骤
实际问题转化：明确被测距离对应的线段（如河宽AB），将其作为某三角形的一边（△ABC的边AB）；
构造全等三角形：根据现场条件，选择合适的全等判定定理（SAS/ASA/AAS/HL），构造与△ABC全等的△DEF，使AB的对应边DE可直接测量；
测量可测边：用工具测量DE的长度（确保测量准确，减少误差）；
推导结论：由△ABC ≌ △DEF，得AB = DE，即DE的长度为被测距离；
验证合理性：检查构造的三角形是否满足全等条件，测量数据是否可靠。
（四）关键注意事项
构造的全等三角形必须满足“对应边/角相等”的条件（严格匹配判定定理）；
测量构造三角形的边时，需保证工具精准（如卷尺拉直、角度测量准确）；
优先利用隐含条件（对顶角相等、公共边相等、垂直得直角）简化构造过程。
二、常见易错知识
1. 实际场景转化几何模型错误
错误表现：
找错被测距离对应的线段（如将河宽误认为AC，实际应为AB）；
构造的三角形与被测距离所在三角形无对应关系（如构造的△DEF与△ABC不全等）；
忽略实际场景中的几何限制（如无法延长线段却强行构造延长线）。
正确分析：
转化前需先明确“被测距离是哪条线段”，再根据现场条件（能否延长、能否测量角度/边长）选择构造方式，确保构造的三角形与原三角形满足全等判定条件。
2. 构造全等时判定定理用错
错误表现：
误用SSA构造全等（如测量河宽时，仅保证两边及非夹角相等，导致三角形不全等）；
SAS模型中夹角找错（如将邻角当作夹角，构造的三角形不满足SAS条件）；
非直角三角形误用HL构造全等（如锐角三角形中强行用“斜边+直角边”）。
正确分析：
构造前需明确选用的判定定理（优先选SAS/ASA，因其构造简单、条件易满足），严格匹配定理条件（如SAS必须保证夹角相等），避免使用SSA/AAA。
3. 对应边/角匹配错误
错误表现：
测量的边与被测边不是对应边（如构造△ABC ≌ △DEF，却测量DF的长度当作AB的距离，实际AB对应DE）；
标记对应边时出现错误（如将CD标记为BC的等长线段，实际应标记CD = AC）。
正确分析：
构造时需用明显标记（如木桩、绳子）确定对应边/角，测量前再次核对：“被测边的对应边是哪条？是否已测量？”，确保对应关系准确。
4. 忽略隐含条件导致构造失败
错误表现：
忽略对顶角相等（如构造延长线时，未利用∠ACB = ∠DCE，额外测量角度导致麻烦）；
忽略垂直关系（如电线杆底部是直角，却未利用HL简化构造）；
忽略公共边相等（如两个三角形共享边AC，却未将其作为对应边）。
正确分析：
实际场景中，对顶角、公共边、垂直关系、平行线夹角等都是天然的相等条件，优先利用这些条件可简化构造过程，减少测量步骤，提高准确性。
5. 测量可测边时出现误差
错误表现：
测量工具使用不当（如卷尺未拉直、量角器角度读错）；
测量点标记错误（如将D点标记在错误位置，导致CD ≠ AC）；
多次测量取平均值时计算错误。
正确分析：
测量前校准工具，标记点时用固定物（如木桩）确认位置，测量可测边时至少测量2次取平均值，减少偶然误差。
6. 混淆“可直接测量”与“需构造全等”的场景
错误表现：
被测距离可直接测量（如短距离的两点），却强行构造全等三角形，增加复杂度；
不可直接测量的距离（如跨河距离），却尝试直接测量，导致无法完成。
正确分析：
先判断被测距离是否可直接测量（无障碍物、有直达路径）：可直接测量则无需构造全等；不可直接测量时，再根据条件选择构造方法。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
测距离原理：“全等对应边相等，不可测变可测”；
常用模型：“SAS最常用，ASA/AAS补空缺，HL只给直角用”；
步骤口诀：“定被测边→构全等形→测对应边→得结论”。
2. 易错警示
三核对：核对被测边、核对全等条件、核对对应关系；
两避免：避免用SSA/AAA构造、避免测量非对应边；
一优先：优先利用隐含条件（对顶角、公共边、垂直）。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图：，添加下列条件（ ）不能保证

A． B． C． D．
2．如图，，若，，则的长为（ ）
A．6` B．5 C．4 D．3
3．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，下列各组条件中，不能判定的是（　　）
A．、 B．、
C．、 D．、
4．如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C．
③画射线，则即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C． D．全等三角形对应角相等
5．如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点 D．点
6．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
7．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图所示，已知，，请你添加一个条件使，你添加的条件是 ．
10．如图，在和中，已知，请你添加一个条件 ，使．
11．如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）．
12．如图，，要使，需添加的一个条件是 （只添一个）．
13．如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ．
14．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是
15．如图，根据“”，如果 ， 那么即可判定 ．
16．如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）．
三、解答题
17．综合与实践
【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计
【项目背景】
在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案．
【实践操作】
方案一（帽檐观测法）
1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线；
2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离）
3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处；
4、用皮尺测得．
【问题解决】
(1)根据方案一，求、两点间的距离；
(2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式．
18．如图所示，E为线段上一点．．
(1)试猜想线段与的位置关系满足什么条件时，能保证，并证明你的结论；
(2)猜想的数量关系．
19．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
(1)________cm．（用t的代数式表示）
(2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
20．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________．
【变式与应用】
（2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：．
在与中，，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
21．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师提出了如下问题：
如图1，在四边形中，，，E是上一点，连接，，，，求证：是等腰直角三角形．
问题探究：
(1)请解答老师提出的问题．
(2)“智慧小组”的同学把老师提出的问题进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由．
(3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，C，E在直线上，，，若，，直接写出的长．
22．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．第14讲 利用三角形全等测距离
一、核心知识点
（一）核心原理与思想
1. 基本原理
利用三角形全等的性质（对应边相等），将无法直接测量的距离（如河两岸两点距离、障碍物后方两点距离）转化为可以直接测量的距离——通过构造一个与被测距离所在三角形全等的三角形，测量构造三角形的对应边长度，该长度即为被测距离。
2. 核心思想
转化思想：将实际中的“不可测距离”转化为几何中的“全等三角形对应边”，化未知为已知；
建模思想：将实际测距离问题抽象为“三角形全等”的几何模型，用数学方法解决实际问题。
（二）常见测距离模型（结合全等判定定理）
1. 模型1：构造SAS全等（最常用，测量无直达路径的两点距离）
适用场景：可确定两边及夹角能直接测量/标记的情况（如测量河两岸A、B两点距离）；
2. 模型2：构造ASA/AAS全等（测量有障碍物的两点距离）
适用场景：可确定两角及夹边/对边能直接测量的情况（如测量建筑物后方A、B两点距离）；
3. 模型3：构造HL全等（测量直角场景下的距离）
适用场景：被测距离所在三角形为直角三角形（如测量电线杆底部到路边某点的垂直距离）；
（三）利用三角形全等测距离的一般步骤
实际问题转化：明确被测距离对应的线段（如河宽AB），将其作为某三角形的一边（△ABC的边AB）；
构造全等三角形：根据现场条件，选择合适的全等判定定理（SAS/ASA/AAS/HL），构造与△ABC全等的△DEF，使AB的对应边DE可直接测量；
测量可测边：用工具测量DE的长度（确保测量准确，减少误差）；
推导结论：由△ABC ≌ △DEF，得AB = DE，即DE的长度为被测距离；
验证合理性：检查构造的三角形是否满足全等条件，测量数据是否可靠。
（四）关键注意事项
构造的全等三角形必须满足“对应边/角相等”的条件（严格匹配判定定理）；
测量构造三角形的边时，需保证工具精准（如卷尺拉直、角度测量准确）；
优先利用隐含条件（对顶角相等、公共边相等、垂直得直角）简化构造过程。
二、常见易错知识
1. 实际场景转化几何模型错误
错误表现：
找错被测距离对应的线段（如将河宽误认为AC，实际应为AB）；
构造的三角形与被测距离所在三角形无对应关系（如构造的△DEF与△ABC不全等）；
忽略实际场景中的几何限制（如无法延长线段却强行构造延长线）。
正确分析：
转化前需先明确“被测距离是哪条线段”，再根据现场条件（能否延长、能否测量角度/边长）选择构造方式，确保构造的三角形与原三角形满足全等判定条件。
2. 构造全等时判定定理用错
错误表现：
误用SSA构造全等（如测量河宽时，仅保证两边及非夹角相等，导致三角形不全等）；
SAS模型中夹角找错（如将邻角当作夹角，构造的三角形不满足SAS条件）；
非直角三角形误用HL构造全等（如锐角三角形中强行用“斜边+直角边”）。
正确分析：
构造前需明确选用的判定定理（优先选SAS/ASA，因其构造简单、条件易满足），严格匹配定理条件（如SAS必须保证夹角相等），避免使用SSA/AAA。
3. 对应边/角匹配错误
错误表现：
测量的边与被测边不是对应边（如构造△ABC ≌ △DEF，却测量DF的长度当作AB的距离，实际AB对应DE）；
标记对应边时出现错误（如将CD标记为BC的等长线段，实际应标记CD = AC）。
正确分析：
构造时需用明显标记（如木桩、绳子）确定对应边/角，测量前再次核对：“被测边的对应边是哪条？是否已测量？”，确保对应关系准确。
4. 忽略隐含条件导致构造失败
错误表现：
忽略对顶角相等（如构造延长线时，未利用∠ACB = ∠DCE，额外测量角度导致麻烦）；
忽略垂直关系（如电线杆底部是直角，却未利用HL简化构造）；
忽略公共边相等（如两个三角形共享边AC，却未将其作为对应边）。
正确分析：
实际场景中，对顶角、公共边、垂直关系、平行线夹角等都是天然的相等条件，优先利用这些条件可简化构造过程，减少测量步骤，提高准确性。
5. 测量可测边时出现误差
错误表现：
测量工具使用不当（如卷尺未拉直、量角器角度读错）；
测量点标记错误（如将D点标记在错误位置，导致CD ≠ AC）；
多次测量取平均值时计算错误。
正确分析：
测量前校准工具，标记点时用固定物（如木桩）确认位置，测量可测边时至少测量2次取平均值，减少偶然误差。
6. 混淆“可直接测量”与“需构造全等”的场景
错误表现：
被测距离可直接测量（如短距离的两点），却强行构造全等三角形，增加复杂度；
不可直接测量的距离（如跨河距离），却尝试直接测量，导致无法完成。
正确分析：
先判断被测距离是否可直接测量（无障碍物、有直达路径）：可直接测量则无需构造全等；不可直接测量时，再根据条件选择构造方法。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
测距离原理：“全等对应边相等，不可测变可测”；
常用模型：“SAS最常用，ASA/AAS补空缺，HL只给直角用”；
步骤口诀：“定被测边→构全等形→测对应边→得结论”。
2. 易错警示
三核对：核对被测边、核对全等条件、核对对应关系；
两避免：避免用SSA/AAA构造、避免测量非对应边；
一优先：优先利用隐含条件（对顶角、公共边、垂直）。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图：，添加下列条件（ ）不能保证

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断．
【详解】解：A、，又，，由判定，故A不符合题意；
B、，，分别是和的对角，不能判定，故B符合题意；
C、，又，，由判定，故C不符合题意；
D、，，，由判定，故D不符合题意．
故选：B．
2．如图，，若，，则的长为（ ）
A．6` B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
3．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，下列各组条件中，不能判定的是（　　）
A．、 B．、
C．、 D．、
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可求解．
【详解】解：点B、E、C、F在同一直线上，，
∴，
A、添加、，不能判定与全等，符合题意；
B、添加、，能用“角边角”判定三角形全等，不符合题意；
C、添加、，能用“角角边”判定三角形全等，不符合题意；
D、添加、，可以运用“边角边”的方法判定与全等，不符合题意；
故选：A．
4．如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C．
③画射线，则即为所求．
以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C． D．全等三角形对应角相等
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及两点确定一条直线，利用证明即可得出是的平分线，作出判断即可．
【详解】解：由作图过程可知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的平分线．
∴作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是两点之间，线段最短．
故选：B．
5．如图所示的网格中，每个小正方形的边长都相等，若，则点可能是图中的（ ）
A．点A B．点B C．点 D．点
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准全等三角形的对应点．
【详解】解：∵，
∴因点M、P在方格正方形的两个对角顶点上，故点M、Q也应在方格正方形的两个对角顶点上．所以点Q是图中点D的位置，如下图：
，
故选：D．
6．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（ ）
A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，
∴，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
当时，，，
∴，
解得：；
综上所述，点运动速度为或．
故选：D．
8．如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：因为是的平分线，所以．
在与中，
，
所以，
所以题图（1）中有1对全等三角形．
同理，题图（2）中，，所以．
因为，所以．
又因为，所以，
所以题图（2）中有3对全等三角形．
同理，题图（3）中有6对全等三角形
……
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
二、填空题
9．如图所示，已知，，请你添加一个条件使，你添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形判定．要使，已知，，可添加，运用“AAS”来判定其全等．
【详解】解：∵，，
∴当时，
在和中，
，
∴（AAS）．
故答案为：．
10．如图，在和中，已知，请你添加一个条件 ，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：．理由是：
∵在和中，
，
∴，
故答案为：．
11．如图，，只添加一个条件使，添加的条件是 ．（只需添加一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，即可解答．
【详解】解：添加的条件是：，
理由：在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
12．如图，，要使，需添加的一个条件是 （只添一个）．
【答案】(答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“边边边 ，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”，结合题意，选择合适的方法进行判定即可求解．
【详解】解：已知，
∵，
∴，且，
∴添加，可运用“角边角”证明；
添加，可运用“边角边”证明；
添加，可运用“角角边”证明；
故答案为：(答案不唯一）．
13．如图，是一段斜坡，是水平线．欢欢为了测量斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿与斜坡垂直，在D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E，绳子可以在竹竿F上自由滑动．当时，测得，则 ．其中，运用到的判定三角形全等的依据是 ．
【答案】 2 /角角边
【分析】本题考查了全等三角形的应用，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质定理．
利用证明，得．
【详解】解：由题意得，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：2；．
14．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得．
【详解】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵中，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．如图，根据“”，如果 ， 那么即可判定 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可知，，若用“”证明，则还缺一个夹角相等，据此即可求解，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：在和中，由已知可知，，，
若根据“”证明，则，
故答案为：．
16．如图，，相交于点O，，试添加一个条件使得，你添加的条件是 （只需写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．添加的条件是，理由：先求出，再根据对顶角相等可得，然后根据定理即可得．
【详解】解：添加的条件是，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
三、解答题
17．综合与实践
【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计
【项目背景】
在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案．
【实践操作】
方案一（帽檐观测法）
1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线；
2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离）
3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处；
4、用皮尺测得．
【问题解决】
(1)根据方案一，求、两点间的距离；
(2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式．
【答案】(1)
(2)方案与图见解析，
【分析】本题考查的是全等三角形的应用的应用；
（1）如图，连接．证明，即可求解．
（2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接．
由原地旋转可得，
又，
，
；
（已知）；
；
故：A、B两点间的距离为．
（2）解：（方法不唯一）方案：
1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；
2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；
3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．
证明：，，（对顶角相等），
，
．
18．如图所示，E为线段上一点．．
(1)试猜想线段与的位置关系满足什么条件时，能保证，并证明你的结论；
(2)猜想的数量关系．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理：
（1）当时，则，进而得到，由全等三角形的性质得到，进一步可得，即可．
（2）由全等三角形的性质可得，进而可得．
【详解】（1）解：当时，，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
所以当时，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
19．如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
(1)________cm．（用t的代数式表示）
(2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)/秒或/秒
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．
（1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长；
（2）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值．
【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，，
则；
故答案为：；
（2）①如图1，，则，，
，
，即，解得：，
，即，解得：（cm/秒）．
②如图2，当，则，．
，，
，即，解得：，
，即，解得：；
综上所述：当/秒或/秒时，与全等．
20．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________．
【变式与应用】
（2）如图2，是的中线，若，，求的取值范围．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，是的中线，点、分别在、上，且．试说明：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
∵，，
，
∴判定两个三角形全等的依据为，
故答案为：．
（2）解：如图，延长至点，使，连接，
在与中，，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
（3）证明：延长至G，使得，连接，
在和中，，，，
，
，
在和中，
，，，
，
，
在中，两边之和大于第三边，
，
又，，
．
21．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师提出了如下问题：
如图1，在四边形中，，，E是上一点，连接，，，，求证：是等腰直角三角形．
问题探究：
(1)请解答老师提出的问题．
(2)“智慧小组”的同学把老师提出的问题进行改编：如图1，已知是等腰直角三角形，，，点B，E，C在同一直线上，，，试探究，与之间的数量关系，并说明理由．
(3)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，C，E在直线上，，，若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)12
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键．
（1）先运用证明可得，再说明即可证明结论；
（2）由可得，然后根据线段的和差即可解答；
（3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得，再证明可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
22．如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．

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