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第16讲 简单的轴对称图形
一、核心知识点
本节核心是研究角、线段、等腰三角形、等边三角形这四类简单轴对称图形的对称轴、性质及相关定理，是轴对称性质的具体应用。
（一）角——轴对称图形
1. 轴对称特征
对称轴：角平分线所在的直线（注意：是直线，非角平分线线段）。
验证：沿角平分线所在直线折叠，角的两边完全重合，因此角是轴对称图形。
2. 角平分线的性质定理（核心考点）
文字表述：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。
符号表示：若平分，点在上，于，于，则。
关键条件：① 点在角平分线上；② 距离是垂线段的长度（需作垂线）。
3. 角平分线的判定定理（逆定理）
文字表述：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
符号表示：若点在内部，，，且，则点在的平分线上。
关键条件：① 点在角的内部；② 到两边距离相等。
（二）线段——轴对称图形
1. 轴对称特征
对称轴：有两条，分别是线段的垂直平分线和线段所在的直线。
验证：沿这两条直线折叠，线段的两端点能完全重合，因此线段是轴对称图形。
2. 线段垂直平分线的性质定理（核心考点，第一节延伸）
文字表述：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。
符号表示：若直线是线段的垂直平分线，点在上，则。
3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理）
文字表述：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号表示：若，则点在线段的垂直平分线上。
推论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。
（三）等腰三角形——轴对称图形
1. 定义与轴对称特征
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
对称轴：底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线）——四线合一，本质是同一条直线。
2. 等腰三角形的性质（核心考点）
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
符号表示：在中，若，则。
性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
符号表示：在中，若，是顶角平分线，则，（反之亦然）。
3. 等腰三角形的判定定理
文字表述：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
符号表示：在中，若，则。
（四）等边三角形——特殊的等腰三角形
1. 定义与轴对称特征
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形（腰=底边）。
对称轴：有三条，分别是三条边的垂直平分线（或三个角的平分线所在直线）。
2. 等边三角形的性质
性质1：三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于。
性质2：具备等腰三角形的所有性质（三线合一），且每条边上的中线、高、所对角的平分线都互相重合。
3. 等边三角形的判定定理
判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形。
判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。
（五）四类简单轴对称图形的核心对比
图形类型 对称轴数量 核心性质定理 特殊点
角 1条（角平分线所在直线） 角平分线上的点到角两边距离相等 距离是垂线段长度
线段 2条（垂直平分线、自身所在直线） 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 两条对称轴，互相垂直
等腰三角形 1条（底边垂直平分线） 等边对等角、三线合一 仅针对底边和顶角
等边三角形 3条（三边垂直平分线） 三角均为60°、三线合一（每条边） 特殊的等腰三角形
二、常见易错知识
1. 角的相关易错点
错误表现：
① 误将角的对称轴当作角平分线线段（正确是角平分线所在直线）；
② 应用角平分线性质时，忽略“垂线段”条件，直接将点到边的任意距离当作相等（如点在角平分线上，、分别与角两边相交但不垂直，就认为）；
③ 判定角平分线时，遗漏“在角的内部”条件（如角外部到两边距离相等的点，不在角平分线上）。
正确分析：
角的对称轴是直线，需无限延伸；角平分线性质中的“距离”特指垂线段长度，判定时必须限定点在角内部。
2. 线段的相关易错点
错误表现：
① 遗漏线段的一条对称轴，只认为“垂直平分线是对称轴”，忽略线段所在的直线；
② 误将线段的垂直平分线当作线段（正确是直线）；
③ 应用垂直平分线性质时，颠倒条件与结论（如已知，就直接说直线是线段的垂直平分线，实际只能说明点在垂直平分线上）。
正确分析：
线段有两条对称轴，垂直平分线与线段所在直线互相垂直；垂直平分线性质的逆定理仅能判定点的位置，不能直接判定直线。
3. 等腰三角形的核心易错点（高频）
错误表现：
① 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的因果关系（前者是性质：边相等→角相等；后者是判定：角相等→边相等）；
② 滥用“三线合一”，将其应用于腰和底角（如认为等腰三角形腰上的高、中线、顶角平分线重合，实际仅底边和顶角满足）；
③ 已知等腰三角形的一个角求其他角时，忽略钝角不能为底角的情况（如已知角为，误当作底角，导致内角和超过）。
正确分析：
“三线合一”的前提是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，仅针对底边；等腰三角形的钝角只能是顶角，底角必为锐角。
4. 等边三角形的相关易错点
错误表现：
① 认为“有一个角是的三角形是等边三角形”（遗漏“等腰三角形”的前提，普通三角形有一个角为不一定是等边）；
② 混淆等边三角形与等腰三角形的对称轴数量（等腰三角形1条，等边三角形3条）；
③ 忽略等边三角形的“特殊等腰”属性，在证明中未利用等腰三角形的性质。
正确分析：
判定等边三角形的第三条定理必须结合等腰三角形；等边三角形具备等腰三角形的所有性质，且有额外的三条对称轴和三角为60°的特征。
5. 对称轴的概念易错点
错误表现：
① 所有简单轴对称图形的对称轴都当作线段（正确：角、线段、等腰三角形、等边三角形的对称轴都是直线）；
② 认为“等腰三角形的对称轴是底边上的高”（正确是底边上的高所在的直线）；
③ 漏数线段的对称轴，只算垂直平分线，忽略自身所在直线。
正确分析：
对称轴的定义是“直线”，需满足无限延伸的特征；线段的两条对称轴分别是垂直平分线和自身所在直线，二者互相垂直。
6. 性质与判定的混淆易错点
错误表现：
① 用角平分线的判定定理当作性质定理（如已知点到角两边距离相等，就直接说平分，却忽略“点在角内部”的条件，且这是判定而非性质）；
② 用等腰三角形的性质定理当作判定定理（如已知，就说“因为等边对等角，所以”，实际应使用“等角对等边”的判定定理）。
正确分析：
性质定理的逻辑是“由对称图形推结论”（如角平分线→距离相等），判定定理的逻辑是“由结论推对称图形”（如距离相等→角平分线），因果关系不可颠倒。
7. 等边三角形判定的特殊易错点
错误表现：
对判定定理3的条件理解错误，认为“有一个角是的三角形是等边三角形”，忽略“等腰三角形”的前提。
示例：一个三角形的三个角分别为、、，有一个角是，但不是等腰三角形，因此不是等边三角形。
正确分析：
判定定理3的完整表述是“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，必须同时满足“等腰”和“有一个角为60°”两个条件。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
角：“角分线，是直线，点到两边距相等，内部等距在线上”；
线段：“两条对称轴，垂直平分线+自身线，点到两端距相等”；
等腰三角形：“等边对等角，三线合一仅底边，等角对等边来判”；
等边三角形：“三线三角都相等，60°等腰定等边，三条对称轴要记全”。
2. 易错警示
三牢记：牢记对称轴是直线，牢记距离是垂线段，牢记三线合一仅底边；
三区分：区分性质与判定的因果，区分等腰与等边的对称轴数量，区分角平分线的内外点；
一关键：已知等腰三角形的角，先判断能否为底角（钝角不行）。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是的角平分线，
∴D点到和的距离相等，
∵表示D点到的距离，，
∴D到的距离为3．
故选：A．
2．如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵平分，，，，
∴．
故选：B．
3．在中，，，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的性质，由已知条件判断出是底角是正确解答本题的关键．
由已知条件判断出是底角，结合等腰三角形的两个底角相等，可知．
【详解】解：如图，

∵在中，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
故选：．
5．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】解：点P到点A，点B的距离相等，
点P在线段的垂直平分线上，
故选：A．
6．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（ ）．
A．2 B．3 C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，连接，根据垂直平分，可知，那么，由，推出的最小值为，然后利用三角形的面积求出答案即可．
【详解】解：作于点，连接，如图所示：
垂直平分，
，
，
点、分别为线段、线段上的动点，，
则的最小值为，
等腰三角形的底边长为2，面积为5，
，
，
的最小值为5．
故选：C．
7．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键．
延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明
当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长．
【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示：
又，
垂直平分，
，
，
当，D，E三点共线时，等号成立，
当时，有最小值，即有最小值，为的长．
当时，由得，
，
解得，
综上可知，的最小值为．
故选：D．
8．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）

A．50 B．55 C．60 D．65
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作于M，
平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题
9．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ．
【答案】40度/
【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴这个等腰三角形的底角的度数为，
故答案为：．
10．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键．
根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得，垂直平分，
，
．
故答案为：
11．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：过点作于点，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：。
12．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ．
【答案】25
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和角平分线的尺规作图， 根据平行线的性质可知，再利用角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵根据作法可知：是的平分线，
∴，
故答案为：．
13．如图，直线，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为 ．
【答案】18
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的周长，解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，交于点E，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∵的周长是，，
∴．
故答案：18．
15．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论：
①的值不变；
②；
③的长度不变；
④四边形的面积不变；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．作于，于，如图所示，根据题中条件，只要证明，，根据三角形全等的性质得到结论，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：作于，于，如图所示：
，
，
，
，
，
平分，于，于，
，
在和中，
，
∴，
，
在和中，
，
，
，，
，
为定值，故①正确，
∵，设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
，
定值，故④正确，
在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形，
的长度是变化的，
的长度是变化的，故③错误；
则正确的有①②④．
故答案为：①②④．
16．如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ．
【答案】7
【分析】本题考查中垂线的性质．熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．
由题意可知，是线段的线段垂直平分线，进而得到，由的周长得出，结合图形求解即可．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为5，
∴，
∴的周长，
故答案为：7．
三、解答题
17．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，作线段的垂直平分线交于点E，连接即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
18．如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—基本作图，掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．根据作角平分线的方法步骤作图即可．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
19．如图，在中，是边的垂直平分线，M是上一点．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，证明，即得到结论．
【详解】证明：是边的垂直平分线，
．
在和中，
．
20．如图，已知，且点A，B，D，E在同一直线上．根据要求用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中作出线段BE的垂直平分线．
(2)在图②中作出线段AD的垂直平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将线段与线段的交点与线段与线段的交点连接，此线段所在的直线即为线段的垂直平分线；
（2）将延长线段、线段所得的交点与线段与线段的交点连接，此线段所在的直线即为线段的垂直平分线.
【详解】（1）解：如图①，直线即为所求．
（2）解：如图②，直线即为所求．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法.
21．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证；
（2）根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）解：∵，，，
∴
．
22．如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．
（1）利用基本作图作出的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：垂直平分，
，，
∴
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
23．如图，用直尺和圆规在直线上找到一点，使点到的两边的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法是解题的关键．
作的角平分线交于，根据角平分线的性质可判断点满足条件．
【详解】解：如图，点即为所作．
24．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）：
(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？
(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形；
(3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形．
【答案】(1)图见解析，分别是和
(2)图见解析，（答案不唯一）
(3)；n
【分析】本题主要考查等腰三角形、规律总结等知识；解题的思路：首先理解题意，什么是黄金等腰三角形，怎么去画等腰三角形；几何题目都需要结合图形才有利于解答，所有要画图分析；最后根据画的图分析并总结出线段的数量与等腰三角形的个数的规律．
（1）可以根据的条件，并利用平行线的知识画一条与三角形一边平行的线段，就可以求出2个等腰三角形的度数；
（2）根据（1）和材料分析，画1条线段是利用平行的知识来作图，那么2条线段也可以的，3条也可以的，了解其画图的方法，那么就可以画出图形，并数出等腰三角形的个数；
（3）根据（2）的图形规律，可以总结线段的数量与等腰三角形的个数之间的规律
【详解】（1）解：如图1所示：
∵，
∴当，则，则，则
∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是和．
故答案为：和
（2）解：如图所示：
，
四个等腰三角形为（答案不唯一）；
（3）解：根据（2）可知：如图所示：
画1条直线可得到2个等腰三角形；
画2条直线可得到4个等腰三角形；
画3条直线可得到6个等腰三角形；
…
在中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．
故答案为，n第16讲 简单的轴对称图形
一、核心知识点
本节核心是研究角、线段、等腰三角形、等边三角形这四类简单轴对称图形的对称轴、性质及相关定理，是轴对称性质的具体应用。
（一）角——轴对称图形
1. 轴对称特征
对称轴：角平分线所在的直线（注意：是直线，非角平分线线段）。
验证：沿角平分线所在直线折叠，角的两边完全重合，因此角是轴对称图形。
2. 角平分线的性质定理（核心考点）
文字表述：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。
符号表示：若平分，点在上，于，于，则。
关键条件：① 点在角平分线上；② 距离是垂线段的长度（需作垂线）。
3. 角平分线的判定定理（逆定理）
文字表述：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
符号表示：若点在内部，，，且，则点在的平分线上。
关键条件：① 点在角的内部；② 到两边距离相等。
（二）线段——轴对称图形
1. 轴对称特征
对称轴：有两条，分别是线段的垂直平分线和线段所在的直线。
验证：沿这两条直线折叠，线段的两端点能完全重合，因此线段是轴对称图形。
2. 线段垂直平分线的性质定理（核心考点，第一节延伸）
文字表述：线段垂直平分线上的任意一点，到这条线段两个端点的距离相等。
符号表示：若直线是线段的垂直平分线，点在上，则。
3. 线段垂直平分线的判定定理（逆定理）
文字表述：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号表示：若，则点在线段的垂直平分线上。
推论：线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合。
（三）等腰三角形——轴对称图形
1. 定义与轴对称特征
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫腰，第三边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
对称轴：底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线）——四线合一，本质是同一条直线。
2. 等腰三角形的性质（核心考点）
性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
符号表示：在中，若，则。
性质2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
符号表示：在中，若，是顶角平分线，则，（反之亦然）。
3. 等腰三角形的判定定理
文字表述：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
符号表示：在中，若，则。
（四）等边三角形——特殊的等腰三角形
1. 定义与轴对称特征
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），是特殊的等腰三角形（腰=底边）。
对称轴：有三条，分别是三条边的垂直平分线（或三个角的平分线所在直线）。
2. 等边三角形的性质
性质1：三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都等于。
性质2：具备等腰三角形的所有性质（三线合一），且每条边上的中线、高、所对角的平分线都互相重合。
3. 等边三角形的判定定理
判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形。
判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。
（五）四类简单轴对称图形的核心对比
图形类型 对称轴数量 核心性质定理 特殊点
角 1条（角平分线所在直线） 角平分线上的点到角两边距离相等 距离是垂线段长度
线段 2条（垂直平分线、自身所在直线） 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 两条对称轴，互相垂直
等腰三角形 1条（底边垂直平分线） 等边对等角、三线合一 仅针对底边和顶角
等边三角形 3条（三边垂直平分线） 三角均为60°、三线合一（每条边） 特殊的等腰三角形
二、常见易错知识
1. 角的相关易错点
错误表现：
① 误将角的对称轴当作角平分线线段（正确是角平分线所在直线）；
② 应用角平分线性质时，忽略“垂线段”条件，直接将点到边的任意距离当作相等（如点在角平分线上，、分别与角两边相交但不垂直，就认为）；
③ 判定角平分线时，遗漏“在角的内部”条件（如角外部到两边距离相等的点，不在角平分线上）。
正确分析：
角的对称轴是直线，需无限延伸；角平分线性质中的“距离”特指垂线段长度，判定时必须限定点在角内部。
2. 线段的相关易错点
错误表现：
① 遗漏线段的一条对称轴，只认为“垂直平分线是对称轴”，忽略线段所在的直线；
② 误将线段的垂直平分线当作线段（正确是直线）；
③ 应用垂直平分线性质时，颠倒条件与结论（如已知，就直接说直线是线段的垂直平分线，实际只能说明点在垂直平分线上）。
正确分析：
线段有两条对称轴，垂直平分线与线段所在直线互相垂直；垂直平分线性质的逆定理仅能判定点的位置，不能直接判定直线。
3. 等腰三角形的核心易错点（高频）
错误表现：
① 混淆“等边对等角”与“等角对等边”的因果关系（前者是性质：边相等→角相等；后者是判定：角相等→边相等）；
② 滥用“三线合一”，将其应用于腰和底角（如认为等腰三角形腰上的高、中线、顶角平分线重合，实际仅底边和顶角满足）；
③ 已知等腰三角形的一个角求其他角时，忽略钝角不能为底角的情况（如已知角为，误当作底角，导致内角和超过）。
正确分析：
“三线合一”的前提是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，仅针对底边；等腰三角形的钝角只能是顶角，底角必为锐角。
4. 等边三角形的相关易错点
错误表现：
① 认为“有一个角是的三角形是等边三角形”（遗漏“等腰三角形”的前提，普通三角形有一个角为不一定是等边）；
② 混淆等边三角形与等腰三角形的对称轴数量（等腰三角形1条，等边三角形3条）；
③ 忽略等边三角形的“特殊等腰”属性，在证明中未利用等腰三角形的性质。
正确分析：
判定等边三角形的第三条定理必须结合等腰三角形；等边三角形具备等腰三角形的所有性质，且有额外的三条对称轴和三角为60°的特征。
5. 对称轴的概念易错点
错误表现：
① 所有简单轴对称图形的对称轴都当作线段（正确：角、线段、等腰三角形、等边三角形的对称轴都是直线）；
② 认为“等腰三角形的对称轴是底边上的高”（正确是底边上的高所在的直线）；
③ 漏数线段的对称轴，只算垂直平分线，忽略自身所在直线。
正确分析：
对称轴的定义是“直线”，需满足无限延伸的特征；线段的两条对称轴分别是垂直平分线和自身所在直线，二者互相垂直。
6. 性质与判定的混淆易错点
错误表现：
① 用角平分线的判定定理当作性质定理（如已知点到角两边距离相等，就直接说平分，却忽略“点在角内部”的条件，且这是判定而非性质）；
② 用等腰三角形的性质定理当作判定定理（如已知，就说“因为等边对等角，所以”，实际应使用“等角对等边”的判定定理）。
正确分析：
性质定理的逻辑是“由对称图形推结论”（如角平分线→距离相等），判定定理的逻辑是“由结论推对称图形”（如距离相等→角平分线），因果关系不可颠倒。
7. 等边三角形判定的特殊易错点
错误表现：
对判定定理3的条件理解错误，认为“有一个角是的三角形是等边三角形”，忽略“等腰三角形”的前提。
示例：一个三角形的三个角分别为、、，有一个角是，但不是等腰三角形，因此不是等边三角形。
正确分析：
判定定理3的完整表述是“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，必须同时满足“等腰”和“有一个角为60°”两个条件。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
角：“角分线，是直线，点到两边距相等，内部等距在线上”；
线段：“两条对称轴，垂直平分线+自身线，点到两端距相等”；
等腰三角形：“等边对等角，三线合一仅底边，等角对等边来判”；
等边三角形：“三线三角都相等，60°等腰定等边，三条对称轴要记全”。
2. 易错警示
三牢记：牢记对称轴是直线，牢记距离是垂线段，牢记三线合一仅底边；
三区分：区分性质与判定的因果，区分等腰与等边的对称轴数量，区分角平分线的内外点；
一关键：已知等腰三角形的角，先判断能否为底角（钝角不行）。
【知识点结合练】
一、单选题
1．如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．10
2．如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
3．在中，，，（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，等腰三角形的底边长为2，面积为5，腰的垂直平分线分别交，于点，．若点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为（ ）．
A．2 B．3 C．5 D．10
7．如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）

A．50 B．55 C．60 D．65
二、填空题
9．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ．
10．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ．
11．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ．
12．如图，，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．若，则 ．
13．如图，直线，直线l分别交直线a、b于A，B两点，点C在直线b上，且，若，则的度数为 ．
14．如图，在中，是线段的垂直平分线，点是线段的中点，其中，则的周长为 ．
15．如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论：
①的值不变；
②；
③的长度不变；
④四边形的面积不变；
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．如图，在中，点在上，连接，过点作交于点，．的周长为5，则的周长是 ．
三、解答题
17．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，在中，是边的垂直平分线，M是上一点．求证：．
20．如图，已知，且点A，B，D，E在同一直线上．根据要求用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中作出线段BE的垂直平分线．
(2)在图②中作出线段AD的垂直平分线．
21．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，，，求的面积．
22．如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
23．如图，用直尺和圆规在直线上找到一点，使点到的两边的距离相等．
24．如图，在中，，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请解决下列问题（以下问题中所指的等腰三角形个数均不包括）：
(1)在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，这2个等腰三角形的顶角的度数分别是多少？
(2)在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形，分别写出这4个等腰三角形；
(3)继续以上操作可以发现，在中画n条线段，则图中有_______个等腰三角形，其中有_______个黄金等腰三角形．

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