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第17讲 变量与用表格表示变量之间的关系
一、核心知识点
（一）第1节 变量
1. 常量与变量的定义
常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。
示例：圆的周长公式中，和是常量；匀速直线运动公式中，速度（匀速时）是常量。
变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。
示例：圆的周长公式中，半径和周长是变量；匀速直线运动公式中，时间和路程是变量。
2. 自变量与因变量（核心区分）
自变量：在变化过程中，主动发生变化的变量，是引起其他变量变化的原因。
因变量：在变化过程中，随着自变量的变化而被动变化的变量，是自变量变化的结果。
核心关系：自变量→主动变化→引起因变量变化，二者是“因果关系”。
示例：在“汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程随时间的变化而变化”中，时间 是自变量（主动变化），路程 是因变量（随变化）。
3. 变量关系的判断方法
步骤1：确定变化过程（如“烧水时，水温随时间变化”）；
步骤2：找出变化的量（变量）和不变的量（常量）；
步骤3：判断变量间的因果关系——主动变化的是自变量，被动变化的是因变量。
（二）第2节 用表格表示变量之间的关系
1. 表格表示的结构与优势
基本结构：表格分为两列（或多行），一列表示自变量的取值，另一列表示因变量的对应取值，每一行数据是一组“自变量-因变量”的对应值。
核心优势：直观、清晰地展示自变量与因变量的一一对应关系，便于直接读取某一自变量对应的因变量值。
2. 从表格中提取信息的关键步骤
识别自变量与因变量：通常表格左侧（或上方）为自变量，右侧（或下方）为因变量（需结合实际情境验证因果关系）；
读取对应值：根据自变量的某一取值，找到表格中对应的因变量值；
分析变化趋势：观察因变量随自变量的增大（或减小）而增大、减小或无明显规律；
简单预测：根据表格中呈现的变化规律，预测自变量取某一值时的因变量近似值（仅限规律明显的情况）。
3. 表格表示的示例分析
以“某植物生长高度随时间变化”的表格为例：
时间（天） 0 1 2 3 4
高度（cm） 2 4 6 8 10
自变量：时间（主动变化）；
因变量：高度（随变化）；
常量：植物初始高度2cm（时的高度）、每天生长的高度2cm；
变化趋势：时间每增加1天，高度增加2cm，呈匀速增长趋势；
预测：当时，cm（根据规律推导）。
二、常见易错知识
（一）第1节 变量 易错点
1. 混淆常量与变量
错误表现：
认为“带有字母的量一定是变量”（如圆的周长公式中是字母，但为常量）；
忽略情境对量的影响，同一量在不同情境下可能是常量或变量（如匀速运动中速度是常量，变速运动中速度是变量）；
误将因变量当作常量（如认为“汽车行驶的路程是固定的，是常量”，实际路程随时间变化，是变量）。
正确分析：
常量与变量的判断仅依赖于具体变化过程，与是否为字母无关；关键看数值在该过程中是否发生变化。
2. 混淆自变量与因变量
错误表现：
仅凭表格或公式的位置判断，不考虑因果关系（如将表格右侧的量一律当作因变量，忽略实际情境）；
无法区分主动变化与被动变化，如在“水温随加热时间变化”中，误将水温当作自变量，加热时间当作因变量；
认为“因变量只能有一个”（一个自变量可能对应多个因变量，如汽车行驶时，路程和油耗都随时间变化，均为因变量）。
正确分析：
自变量与因变量的核心是因果关系：主动变化、引发其他量变化的是自变量；被动变化、受其他量影响的是因变量。
3. 忽略变化过程的前提
错误表现：
脱离具体变化过程判断常量与变量，如孤立地说“时间是变量”（在某一固定事件中，时间可能是常量）；
认为“所有变化的量都是相关的”（变化过程中可能存在多个变量，但不一定有因果关系，如教室的温度和同学的身高，均为变量但无关联）。
正确分析：
变量关系的判断必须基于特定的变化过程，且只有存在因果关系的两个变量，才有自变量和因变量的区分。
（二）第2节 用表格表示变量之间的关系 易错点
1. 表格中自变量与因变量识别错误
错误表现：
仅根据表格列的位置判断（如左侧一定是自变量），忽略实际情境的因果关系（如表格左侧是“高度”，右侧是“时间”，实际应为时间是自变量，高度是因变量）；
误将常量列当作变量列（如表格中某一列数值全部相同，却当作自变量或因变量）。
正确分析：
识别时需先结合实际情境判断因果关系，再对应表格中的列，而非仅凭位置；常量列的数值不变，既不是自变量也不是因变量。
2. 读取对应值时的错误
错误表现：
找错自变量对应的因变量值（如表格中对应，却误读为）；
当自变量取值不在表格中时，强行读取（如表格中最大为4，却误读对应的值）。
正确分析：
读取时需逐行核对自变量取值，确保一一对应；表格中未列出的自变量取值，无法直接读取，需通过规律预测。
3. 分析变化趋势时的错误
错误表现：
仅根据部分数据判断趋势（如表格前3行因变量随自变量增大而增大，后2行减小，却误判为整体增大）；
混淆“增大/减小”与“匀速增大/变速增大”（如表格中因变量随自变量增大而增大，但增幅不同，却误判为匀速增大）。
正确分析：
分析趋势需观察表格中所有数据，明确整体变化规律；若需判断是否匀速，需验证“自变量每增加相同量，因变量的变化量是否相等”。
4. 预测时的错误
错误表现：
无规律预测，主观猜测（如表格中因变量匀速增长，却预测时为任意值）；
过度预测，当表格数据规律不明显时，强行预测（如表格中因变量变化忽大忽小，却预测时的值）。
正确分析：
预测的前提是表格数据呈现明显的、稳定的变化规律（如匀速增长、匀速减小）；规律不明显时，无法准确预测，只能说明“无法确定”。
5. 忽略表格数据的单位
错误表现：
读取或记录数据时遗漏单位（如将cm误写为）；
单位不统一时直接分析（如自变量时间的单位是“小时”，因变量路程的单位是“米”，却未注意单位差异）。
正确分析：
变量的取值必须带单位，单位是数据的重要组成部分；分析变化趋势时，需确保自变量和因变量的单位统一或明确对应关系。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
①“常量不变变量变，自变量主动变，因变量跟着变，因果关系是关键”；
②“表格两列对应看，先判因果再识变，读取数据逐行对，趋势分析看整体，预测需有规律在”。
2. 易错警示
常量变量：看情境，不看字母；
自变量因变量：看因果，不看位置；
表格分析：看整体，不看局部；
预测：看规律，不主观猜。
【知识点结合练】
一、单选题
1．已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、路程 B．速度、时间
C．路程、时间 D．速度、路程与时间
2．小王上学时以每小时的速度行走，他所走的路程与时间之间的关系为：，则下列说法正确的是（ ）
A．s、t和6都是变量 B．s是常量，6和t是变量
C．6是常量，s和t是变量 D．t是常量，6和s是变量
3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表所示：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
下列说法中不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为20cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为24cm
4．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
5．下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的信息错误的是（ ）
时间（年） 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口（亿） 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
A．人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量
B．1969～1979年10年间人口增长最快
C．若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿
D．从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大
6．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数/度 100 200 250 300 400
镜片与光斑的距离/m 1
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为
C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1
7．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据：
海拔高度 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量
下列说法不正确的是（ ）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
B．海拔高度每上升，空气含氧量减少；
C．在海拔高度为的地方空气含氧量是；
D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了．
8．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（） 20 21 22 23
身高h（）
已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某商店在开学季，书包薄利多销的促销活动．原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位：件）发生相应的变化：从表中可以看出，每降价元，日销量增加 件．
降价（元）
日销量（件）
10．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录：
通话时间 1 2 3 4 5 6 7 …
话费/元 …
由表格可知，当通话时间为时，需支付话费 元．
11．高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断地水的沸点为 ．
城市 地 地 地 地 地
海拔（米 0 300 600 1500
沸点（度 100 99 98
12．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：
温度 100 150 200 250 300 350 400
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ．
13．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ．
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
14．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
三、解答题
15．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是__________，自变量的函数是__________；
(2)该型号汽车发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为17.5m，则刹车时的车速是__________km/h；
(3)若该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：__________；（不必写出x的取值范围）
(4)若该种型号汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由
16．写出下列各个过程中的变量与常量：
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，；
(2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为．
17．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
0 1 2 5 7
12 16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
18．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
(3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
19．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时
游泳池的存水量/立方米
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？
20．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
时间 0 2 4 6 8 10 12 14 …
水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 …
(1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
(3)时间每增加，水的温度如何变化？
(4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
21．小英的爸爸用中国移动的套餐月租为元，包含通用流量和国内拨打电话分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话元分钟不足分钟按分钟时间收费．下表是超出套餐部分国内拨打电话的收费标准：
时间/分
电话费/元
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)他上个月拨打电话的时间为分钟，求他上个月支付的费用是多少元？
(3)设他某月拨打电话时间为分钟，支付费用为元，求与的关系式；
(4)若他某月业务多，支付费用元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟？
22．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．
海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温 20 14 8 2 …
根据如表，回答以下问题：
(1)自变量是 ；因变量是 ；
(2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ；
(3)当海拔是10千米时，求气温是多少？第17讲 变量与用表格表示变量之间的关系
一、核心知识点
（一）第1节 变量
1. 常量与变量的定义
常量：在某一变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。
示例：圆的周长公式中，和是常量；匀速直线运动公式中，速度（匀速时）是常量。
变量：在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量。
示例：圆的周长公式中，半径和周长是变量；匀速直线运动公式中，时间和路程是变量。
2. 自变量与因变量（核心区分）
自变量：在变化过程中，主动发生变化的变量，是引起其他变量变化的原因。
因变量：在变化过程中，随着自变量的变化而被动变化的变量，是自变量变化的结果。
核心关系：自变量→主动变化→引起因变量变化，二者是“因果关系”。
示例：在“汽车以60km/h的速度行驶，行驶路程随时间的变化而变化”中，时间 是自变量（主动变化），路程 是因变量（随变化）。
3. 变量关系的判断方法
步骤1：确定变化过程（如“烧水时，水温随时间变化”）；
步骤2：找出变化的量（变量）和不变的量（常量）；
步骤3：判断变量间的因果关系——主动变化的是自变量，被动变化的是因变量。
（二）第2节 用表格表示变量之间的关系
1. 表格表示的结构与优势
基本结构：表格分为两列（或多行），一列表示自变量的取值，另一列表示因变量的对应取值，每一行数据是一组“自变量-因变量”的对应值。
核心优势：直观、清晰地展示自变量与因变量的一一对应关系，便于直接读取某一自变量对应的因变量值。
2. 从表格中提取信息的关键步骤
识别自变量与因变量：通常表格左侧（或上方）为自变量，右侧（或下方）为因变量（需结合实际情境验证因果关系）；
读取对应值：根据自变量的某一取值，找到表格中对应的因变量值；
分析变化趋势：观察因变量随自变量的增大（或减小）而增大、减小或无明显规律；
简单预测：根据表格中呈现的变化规律，预测自变量取某一值时的因变量近似值（仅限规律明显的情况）。
3. 表格表示的示例分析
以“某植物生长高度随时间变化”的表格为例：
时间（天） 0 1 2 3 4
高度（cm） 2 4 6 8 10
自变量：时间（主动变化）；
因变量：高度（随变化）；
常量：植物初始高度2cm（时的高度）、每天生长的高度2cm；
变化趋势：时间每增加1天，高度增加2cm，呈匀速增长趋势；
预测：当时，cm（根据规律推导）。
二、常见易错知识
（一）第1节 变量 易错点
1. 混淆常量与变量
错误表现：
认为“带有字母的量一定是变量”（如圆的周长公式中是字母，但为常量）；
忽略情境对量的影响，同一量在不同情境下可能是常量或变量（如匀速运动中速度是常量，变速运动中速度是变量）；
误将因变量当作常量（如认为“汽车行驶的路程是固定的，是常量”，实际路程随时间变化，是变量）。
正确分析：
常量与变量的判断仅依赖于具体变化过程，与是否为字母无关；关键看数值在该过程中是否发生变化。
2. 混淆自变量与因变量
错误表现：
仅凭表格或公式的位置判断，不考虑因果关系（如将表格右侧的量一律当作因变量，忽略实际情境）；
无法区分主动变化与被动变化，如在“水温随加热时间变化”中，误将水温当作自变量，加热时间当作因变量；
认为“因变量只能有一个”（一个自变量可能对应多个因变量，如汽车行驶时，路程和油耗都随时间变化，均为因变量）。
正确分析：
自变量与因变量的核心是因果关系：主动变化、引发其他量变化的是自变量；被动变化、受其他量影响的是因变量。
3. 忽略变化过程的前提
错误表现：
脱离具体变化过程判断常量与变量，如孤立地说“时间是变量”（在某一固定事件中，时间可能是常量）；
认为“所有变化的量都是相关的”（变化过程中可能存在多个变量，但不一定有因果关系，如教室的温度和同学的身高，均为变量但无关联）。
正确分析：
变量关系的判断必须基于特定的变化过程，且只有存在因果关系的两个变量，才有自变量和因变量的区分。
（二）第2节 用表格表示变量之间的关系 易错点
1. 表格中自变量与因变量识别错误
错误表现：
仅根据表格列的位置判断（如左侧一定是自变量），忽略实际情境的因果关系（如表格左侧是“高度”，右侧是“时间”，实际应为时间是自变量，高度是因变量）；
误将常量列当作变量列（如表格中某一列数值全部相同，却当作自变量或因变量）。
正确分析：
识别时需先结合实际情境判断因果关系，再对应表格中的列，而非仅凭位置；常量列的数值不变，既不是自变量也不是因变量。
2. 读取对应值时的错误
错误表现：
找错自变量对应的因变量值（如表格中对应，却误读为）；
当自变量取值不在表格中时，强行读取（如表格中最大为4，却误读对应的值）。
正确分析：
读取时需逐行核对自变量取值，确保一一对应；表格中未列出的自变量取值，无法直接读取，需通过规律预测。
3. 分析变化趋势时的错误
错误表现：
仅根据部分数据判断趋势（如表格前3行因变量随自变量增大而增大，后2行减小，却误判为整体增大）；
混淆“增大/减小”与“匀速增大/变速增大”（如表格中因变量随自变量增大而增大，但增幅不同，却误判为匀速增大）。
正确分析：
分析趋势需观察表格中所有数据，明确整体变化规律；若需判断是否匀速，需验证“自变量每增加相同量，因变量的变化量是否相等”。
4. 预测时的错误
错误表现：
无规律预测，主观猜测（如表格中因变量匀速增长，却预测时为任意值）；
过度预测，当表格数据规律不明显时，强行预测（如表格中因变量变化忽大忽小，却预测时的值）。
正确分析：
预测的前提是表格数据呈现明显的、稳定的变化规律（如匀速增长、匀速减小）；规律不明显时，无法准确预测，只能说明“无法确定”。
5. 忽略表格数据的单位
错误表现：
读取或记录数据时遗漏单位（如将cm误写为）；
单位不统一时直接分析（如自变量时间的单位是“小时”，因变量路程的单位是“米”，却未注意单位差异）。
正确分析：
变量的取值必须带单位，单位是数据的重要组成部分；分析变化趋势时，需确保自变量和因变量的单位统一或明确对应关系。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
①“常量不变变量变，自变量主动变，因变量跟着变，因果关系是关键”；
②“表格两列对应看，先判因果再识变，读取数据逐行对，趋势分析看整体，预测需有规律在”。
2. 易错警示
常量变量：看情境，不看字母；
自变量因变量：看因果，不看位置；
表格分析：看整体，不看局部；
预测：看规律，不主观猜。
【知识点结合练】
一、单选题
1．已知火车的速度是120千米/时，则火车行驶的路程s（千米）与时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、路程 B．速度、时间
C．路程、时间 D．速度、路程与时间
【答案】C
【分析】此题主要考查了自变量和因变量．在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断．
【详解】解：由题意得：，路程随时间的变化而变化，则行驶时间t是自变量，行驶路程s是因变量；
故选：C．
2．小王上学时以每小时的速度行走，他所走的路程与时间之间的关系为：，则下列说法正确的是（ ）
A．s、t和6都是变量 B．s是常量，6和t是变量
C．6是常量，s和t是变量 D．t是常量，6和s是变量
【答案】C
【分析】根据变量、常量的定义：在某个变化过程中能够发生变动的量是变量，不发生变化的量是常量，根据这两个含义逐项分析即可．
【详解】解：在中，6是常量， 和 是变量，
A选项：6是常量，不符合题意；
B选项：s是变量，不符合题意；
C选项：6是常量，s和t是变量，符合题意；
D选项：t是变量，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量，关键是理解变量、常量定义．
3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的关系如下表所示：
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
下列说法中不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为20cm
C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm
D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为24cm
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系．根据变量与常量，用表格表示变量之间的关系，结合表格中数据的变化规律逐项进行判断即可．
【详解】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，是正确的，因此该选项不符合题意；
B、弹簧不挂重物时的长度，即当时y的值，此时，是正确的，因此该选项不符合题意；
C、物体质量x每增加，弹簧长度增加，是正确的，因此该选项不符合题意；
D、根据物体质量x每增加，弹簧长度增加，可得出所挂物体质量为时，弹簧长度为，原说法错误，因此该选项符合题意；
故选：D．
4．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式，将代入该关系式求出对应的值即可．
【详解】解：由表格可知，重物质量每增加，弹簧伸长，当重物质量为时，弹簧总长度为，
∵当重物质量为0时，弹簧的原长度为，
∴弹簧总长与重物质量的关系式为，
当时，．
故选：C．
5．下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的信息错误的是（ ）
时间（年） 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口（亿） 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
A．人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量
B．1969～1979年10年间人口增长最快
C．若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿
D．从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大
【答案】D
【分析】根据表格中数据逐项分析，按照选项分别计算增长率每隔10年的增长情况及增长率，判断正误即可．
【详解】选项A中，人口随时间变化，所以时间是自变量，人口是因变量，正确；
选项B中，计算每隔10年人口情况如下：
增长人口（亿） 1949-1959 1959-1969 1969-1979 1979-1989 1989-1999
1.3 1.35 1.68 1.32 1.52
1969～1979年10年间人口增长1.68亿，是最快的，正确；
选项C中，50年的增长平均值为每10年增加人口亿，
预测2009年人口总数：亿，正确；
选项D中，计算每隔10年人口增长率如下，
人口10年增长率 1949-1959 1959-1969 1969-1979 1979-1989 1989-1999
23.99% 20.09% 20.82% 13.54% 13.73%
从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐减小，错误；
故选D．
【点睛】本题函数中的变量、数据处理，计算较为繁琐，需要耐心细致的按照选项要求计算，最终判断结果．
6．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的度数/度 100 200 250 300 400
镜片与光斑的距离/m 1
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为
C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1
【答案】D
【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意；
B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意；
C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意；
D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意；
故选：D．
7．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据：
海拔高度 0 1000 2000 3000 4000
空气含氧量
下列说法不正确的是（ ）
A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
B．海拔高度每上升，空气含氧量减少；
C．在海拔高度为的地方空气含氧量是；
D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化．
根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可．
【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量，
∴A正确，不符合题意；
B．海拔高度每上升，空气含氧量减少；
∵，，，，
∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是，
∴B错误，符合题意．
C．在海拔高度为的地方空气含氧量是；
∵在海拔高度为的地方空气含氧量是，
∴C正确，不符合题意；
D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了；
由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了，
∴D正确，不符合题意．
故选：B．
8．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果，下表是测得的指距与身高的一组数据：
指距d（） 20 21 22 23
身高h（）
已知，世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用表格表示函数关系，根据表格可知，指距每增加身高就增加，据此列式计算即可求出答案．
【详解】解：根据表格可知，指距每增加身高就增加，
，
即世界上被证实最高的人的身高是厘米，则他的指距约为，
故选：B．
二、填空题
9．某商店在开学季，书包薄利多销的促销活动．原价为元，随着不同幅度的降价，日销量（单位：件）发生相应的变化：从表中可以看出，每降价元，日销量增加 件．
降价（元）
日销量（件）
【答案】30
【分析】本题考查了变量与常量，根据表格得到变量间的关系即可．
【详解】解：由表格可知，每降价元，日销量增加（件），
故答案为：30．
10．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录：
通话时间 1 2 3 4 5 6 7 …
话费/元 …
由表格可知，当通话时间为时，需支付话费 元．
【答案】
【分析】观察表格中通话时间与话费之间的对应关系即可求解．
【详解】解：根据表格可得，每分钟通话需元，
∴当通话时间为时，需支付话费
故答案为：6．
【点睛】本题考查了表格表示函数关系，解题的关键是分析表中数据的对应规律，得出通话时间与话费之间的关系．
11．高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断地水的沸点为 ．
城市 地 地 地 地 地
海拔（米 0 300 600 1500
沸点（度 100 99 98
【答案】95度
【分析】本题考查了函数关系式，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键．根据表格中两个变量变化关系可知，海拔每增加，沸点就降低1度，由此得解．
【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，海拔每增加，沸点就降低1度，
即，
当，地水的沸点（度．
故答案为：95度．
12．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：
温度 100 150 200 250 300 350 400
导热率
根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ．
【答案】450
【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加，
所以，当导热率为时，温度为，
故答案为：450．
【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．
13．一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．可以推断注满水池所需的时间是 ．
水的深度 0.7 1.4 2.1 2.8
注水时间 0.5 1 1.5 2
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数．熟练掌握表格表示变量间的关系，正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值，是解决此题的关键．
设，将数对代入，求得，得到，当时，可求得．
【详解】设，
将代入，
得，
解得，
∴，
当时，
，
解得，
∴注满水池所需的时间是．
故答案为：．
14．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量．
根据常量与变量的定义即可直接得出答案．
【详解】解：由常量与变量的定义可知：
在关系式中，常量是，，变量是，，
故答案为：，；，．
三、解答题
15．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是__________，自变量的函数是__________；
(2)该型号汽车发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为17.5m，则刹车时的车速是__________km/h；
(3)若该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：__________；（不必写出x的取值范围）
(4)若该种型号汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由
【答案】(1)刹车时车速；刹车距离
(2)70
(3)
(4)该汽车不会和前车追尾，理由见解析
【分析】（1）根据自变量及函数的定义即可得出答案；
（2）根据测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，即可得出答案；
（3）根据刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，得出答案；
（4）将代入（3）的函数解析式，即可计算车速为110km/h时的刹车距离，刹车距离与前车距离比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得刹车距离随刹车时车速变化而变化，对于每一个确定的刹车时车速都有唯一的刹车距离与之对应，所以自变量是刹车时车速，自变量的函数是刹车距离，
故答案为：刹车时车速；刹车距离．
（2）解：根据表格测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，
，
刹车距离为17.5 m时，刹车时速度为：( km/h)，
故答案为：70．
（3）解：表格测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，
y与x之间的关系式为：，
故答案为：．
（4）解：当时，，
，
当车速为110km/h时，该汽车不会和前车追尾．
【点睛】本题考查了函数的定义及表示方法，理解函数的定义及理清题意中的数量关系是解题关键．
16．写出下列各个过程中的变量与常量：
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，；
(2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为．
【答案】(1)N和t是变量，是常量
(2)S和a是变量，2是常量
【分析】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键．
（1）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解；
（2）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解．
【详解】（1）解：和是变量，是常量；
（2）解：和是变量，是常量．
17．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度随所挂物体的质量变化关系的图象如下：
(1)上图反映哪两个变量之间的关系？
(2)根据上图，补全表格：
0 1 2 5 7
12 16
(3)弹簧长度是如何随悬挂物体质量的变化而变化的？
【答案】(1)弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系
(2)见解析
(3)当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化．
【分析】本题考查了函数的基本概念，函数的表示方法：
（1）直接观察图象，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：反映了弹簧的长度与所挂物体的质量的变化关系；
（2）解：根据上图，补全表格：
0 1 2 4 5 7
8 10 12 16 18 18
（3）解：由图象得：
当所挂物体的质量不超过时，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加；
当所挂物体的质量超过时，弹簧的长度为，不随所挂物体的质量的变化而变化．
18．小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
(1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
(2)写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
(3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
【答案】(1)72
(2)
(3)不能能叠放11个，理由见解析
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等：
（1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，
∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米，
故答案为：72；
（2）解：由题意得，，
故答案为：；
（3）解：不能能叠放11个，理由如下：
当时，，
∴，
∴不能能叠放11个．
19．游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表：
放水时间/小时
游泳池的存水量/立方米
(1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？
(2)请将上述表格补充完整；
(3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？
【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量
(2)表格见解析
(3)小时
【分析】本题考查函数关系式，
（1）根据自变量和因变量即可解答；
（2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答；
（3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答；
理解题意，找准等量关系式是解题关键．
【详解】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量；
（2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米），
当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米），
当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米），
表格如下：
放水时间/小时
游泳池的存水量/立方米
（3）（小时），
∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米．
20．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：
时间 0 2 4 6 8 10 12 14 …
水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 …
(1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？
(3)时间每增加，水的温度如何变化？
(4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？
【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量
(2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定
(3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定
(4)为了节约能源，应在后停止烧水
【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键．
（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；
（2）根据表格中数据得出水的温度变化即可；
（3）根据表格中数据得出水的温度变化即可；
（4）根据表格中数据得出答案即可．
【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量，
答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；
（2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定，
答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定；
（3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定，
答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定
（4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水，
答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水．
21．小英的爸爸用中国移动的套餐月租为元，包含通用流量和国内拨打电话分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话元分钟不足分钟按分钟时间收费．下表是超出套餐部分国内拨打电话的收费标准：
时间/分
电话费/元
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)他上个月拨打电话的时间为分钟，求他上个月支付的费用是多少元？
(3)设他某月拨打电话时间为分钟，支付费用为元，求与的关系式；
(4)若他某月业务多，支付费用元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟？
【答案】(1)这个表反映了超出套餐部分国内拨打电话的时间和超出套餐部分国内拨打电话的电话费两个变量之间的关系，超出套餐部分国内拨打电话的时间是自变量，超出套餐部分国内拨打电话的电话费是因变量．
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查函数的表示方法以及函数的定义，求函数值或自变量的值；
（1）根据题意和表格内容及自变量、因变量的定义作答即可；
（2）根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”作答即可；
（3）根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”作答即可；
（4）由可以判断，将代入中得到的与的关系式，求出对应的值即可．
【详解】（1）解：这个表反映了超出套餐部分国内拨打电话的时间和超出套餐部分国内拨打电话的电话费两个变量之间的关系，超出套餐部分国内拨打电话的时间是自变量，超出套餐部分国内拨打电话的电话费是因变量．
（2）根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”，
得元，
他上个月支付的费用是元．
（3）根据“支付费用套餐月租超出套餐部分国内拨打电话的电话费”，，
与的关系式为．
（4），
，
，解得，
他该月拨打电话的时间是分钟．
22．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．
海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温 20 14 8 2 …
根据如表，回答以下问题：
(1)自变量是 ；因变量是 ；
(2)写出气温t与海拔高度h的表达式： ；
(3)当海拔是10千米时，求气温是多少？
【答案】(1)海拔高度h，气温t
(2)
(3)气温是
【分析】此题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式．
（1）结合题意和函数的定义进行求解；
（2）根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：h每增加1千米，气温就下降，即可解答；
（3）把代入中进行计算、解答．
【详解】（1）解：由题意得，自变量是海拔高度h；因变量是气温t．
故答案为：海拔高度h，气温t；
（2）解：由题意得，h每增加1千米，气温就下降，
可得，
∴气温t与海拔高度h的关系式：，
故答案为：；
（3）解：由题意得，当时，
，
答：气温是；

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