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第18讲 用关系式和图像表示变量之间的关系
一、核心知识点
（一）第3节 用关系式表示变量之间的关系
1. 关系式的定义与核心要素
定义：用数学式子表示自变量与因变量之间数量关系的式子，叫做关系式（也叫函数表达式，七年级阶段简化表述）。
核心要素：
必须明确自变量和因变量，通常将因变量写在等式左边，自变量写在等式右边；
关系式中可包含常量，需体现因变量随自变量变化的规律。
示例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，路程（km）与时间（h）的关系式为，其中是自变量，是因变量，60是常量。
2. 关系式的书写规则
明确变量的单位（若有），关系式中通常不写单位，需在结论中注明；
遵循代数式书写规范（如数字与字母相乘，数字在前，乘号省略；除法写成分数形式）；
自变量的取值范围：需符合实际情境（如时间，路程）。
3. 从关系式中提取信息的关键能力
能力1：求因变量的值（已知自变量，求因变量）
步骤：将自变量的取值代入关系式，计算得出因变量的对应值。
示例：若，当时，（km）。
能力2：求自变量的值（已知因变量，求自变量）
步骤：将因变量的取值代入关系式，解关于自变量的方程。
示例：若，当时，，解得（h）。
能力3：分析变化趋势
依据关系式判断因变量随自变量的变化规律：
若关系式为一次式（如，）：
，因变量随自变量增大而增大；
，因变量随自变量增大而减小。
示例：（，随增大而增大）；（，随增大而减小）。
4. 关系式与表格表示的对比
表示方法 优势 劣势 适用场景
关系式 可准确计算任意自变量对应的因变量值，便于分析变化趋势 不直观，需计算才能得到具体数值 变量关系规律明确的场景
表格 直观展示已知自变量的对应值，读取方便 无法获取表格外的自变量对应值 变量取值有限且已知的场景
（二）第4节 用图像表示变量之间的关系
1. 变量关系图像的构成
横轴（x轴）：通常表示自变量（如时间、距离），需标注单位和刻度；
纵轴（y轴）：通常表示因变量（如路程、温度、高度），需标注单位和刻度；
图像上的点：每一个点的坐标表示一组自变量-因变量的对应值（为自变量取值，为因变量对应值）。
2. 常见图像类型与实际意义（以时间为自变量，路程为因变量为例）
图像形状 变化趋势 实际意义 示例
上升的直线 因变量随自变量匀速增大 匀速运动（速度不变，路程增加） 汽车匀速行驶
下降的直线 因变量随自变量匀速减小 匀速返回（速度不变，路程减少） 汽车匀速驶回起点
水平的直线 因变量不随自变量变化 静止（路程不变，时间流逝） 汽车中途停车休息
上升的曲线 因变量随自变量加速增大 加速运动（速度越来越快） 汽车启动加速
下降的曲线 因变量随自变量减速减小 减速运动（速度越来越慢） 汽车刹车减速
3. 从图像中提取信息的核心步骤
识别变量：确定横轴和纵轴分别表示的自变量和因变量（关键：结合实际情境判断因果关系）；
读取对应值：找到自变量的取值对应的图像上的点，过点作横轴和纵轴的垂线，读取坐标值；
分析特殊点意义：
起点：自变量为0时的因变量值（如时的初始路程）；
拐点：图像变化趋势改变的点（如从上升直线变为水平直线，表示从运动变为静止）；
终点：自变量取最大值时的因变量值（如运动结束时的路程）；
判断变化趋势：根据图像的上升、下降、水平判断因变量的增减或不变；
比较变化快慢：直线的倾斜程度（斜率）表示变化快慢，倾斜程度越大，变化越快（如陡的上升直线表示速度快）。
4. 图像与关系式、表格的联系
三者均可表示变量之间的关系，可相互转化：
关系式→表格：给自变量赋值，计算因变量值，列成表格；
表格→图像：将表格中的每一组数据作为点的坐标，描点并连线（规律明显时）；
图像→关系式：若图像为直线，可通过两点坐标求出关系式（一次函数，七年级阶段简化学习）。
二、常见易错知识
（一）第3节 用关系式表示变量之间的关系 易错点
1. 关系式中自变量与因变量的位置颠倒
错误表现：
将因变量写在等式右边，自变量写在左边（如匀速运动中，错写为，未将因变量写在左边）；
仅凭字母顺序判断，忽略实际因果关系（如温度随时间变化，错写为）。
正确分析：
关系式的书写需体现因果关系，通常因变量在左，自变量在右，方便通过自变量计算因变量。
2. 忽略自变量的取值范围
错误表现：
关系式未考虑实际情境，自变量取值为负数（如路程中，错认为可以取，实际时间）；
求自变量值时，解出的结果不符合实际意义（如求运动时间时，解出，未舍去）。
正确分析：
自变量的取值范围必须符合实际情境，需根据问题背景判断（如时间、长度、数量等均为非负数）。
3. 关系式书写格式错误
错误表现：
数字与字母相乘时，字母在前（如错写为，正确应为）；
除法未写成分数形式（如错写为，正确应为）；
遗漏常量或变量（如匀速运动中，错写为，遗漏速度常量60）。
正确分析：
关系式需遵循代数式书写规范，确保式子简洁、准确，体现变量间的数量关系。
4. 分析变化趋势时的错误
错误表现：
误将一次式的常数项当作判断变化趋势的依据（如认为中，因为常数项是，所以随增大而减小）；
对非一次式的变化趋势判断错误（如认为中，随增大而一直增大，忽略时随增大而减小）。
正确分析：
一次式的变化趋势由**自变量的系数**决定（增大，减小），与常数项无关；非一次式的变化趋势需分区间讨论（七年级阶段重点掌握一次式）。
（二）第4节 用图像表示变量之间的关系 易错点
1. 混淆横轴与纵轴表示的变量
错误表现：
仅凭位置判断，将横轴一律当作自变量，纵轴当作因变量，忽略实际情境（如图像横轴是路程，纵轴是时间，实际时间是自变量，路程是因变量，需颠倒分析）；
分析图像时，误将因变量的变化当作自变量的变化（如上升的直线，错认为自变量随因变量增大而增大）。
正确分析：
变量的判断核心是因果关系，而非坐标轴位置：主动变化的是自变量（通常为时间），被动变化的是因变量（通常为路程、温度等），需结合实际情境调整分析视角。
2. 误解图像上特殊点的意义
错误表现：
忽略起点的意义，错认为自变量为0时因变量一定为0（如汽车运动的起点坐标为，表示初始位置距离起点5km，而非0）；
误解拐点的意义，如从上升直线变为水平直线，错认为是自变量停止变化，实际是因变量停止变化（时间仍在流逝）；
忽略终点的意义，未分析自变量最大值时的因变量状态。
正确分析：
特殊点是图像的关键，需结合实际情境逐一分析：起点表示初始状态，拐点表示变化趋势改变，终点表示最终状态。
3. 误判图像的变化趋势与实际意义
错误表现：
将水平直线误判为“自变量停止变化”（如汽车静止的图像，水平直线表示路程不变，时间仍在增加）；
将曲线误判为直线，认为变化速度不变（如加速运动的曲线，错认为是匀速运动）；
认为图像的上升或下降方向与实际运动方向一致（如下降的直线表示路程减少，不一定是反向运动，也可能是向起点靠近）。
正确分析：
图像的变化趋势仅表示因变量随自变量的变化规律，需结合具体变量的实际意义解读，不可仅凭图像形状主观判断。
4. 读取图像对应值时的错误
错误表现：
找错图像上的点，读取的坐标与自变量取值不对应（如找时的路程，错找成对应的点）；
过点作垂线时不垂直，导致读取的数值误差过大；
忽略坐标轴的单位，直接读取刻度数值（如横轴单位是“小时”，刻度为1表示1小时，而非1分钟）。
正确分析：
读取对应值时需精准找点，用直尺作垂直于坐标轴的垂线，同时关注坐标轴的单位，确保数值的准确性。
5. 混淆图像的倾斜程度与变化快慢
错误表现：
认为所有上升的直线变化快慢都相同，忽略倾斜程度的差异（如陡的上升直线表示速度快，缓的上升直线表示速度慢）；
对曲线的变化快慢判断错误，认为曲线的倾斜程度与直线一样可直接比较（七年级阶段重点掌握直线的倾斜程度）。
正确分析：
直线的倾斜程度越大，表示因变量随自变量的变化速度越快；倾斜程度越小，变化速度越慢。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
第3节 关系式：“因变量在左，自变量在右，代入计算求对应，系数正负判趋势，取值范围看实际”；
第4节 图像：“横轴自变量，纵轴因变量，点的坐标是对应，上升增大下降减，水平静止拐点变，倾斜程度定快慢”。
2. 易错警示
关系式：不颠倒变量位置，不忽略取值范围，不写错书写格式；
图像：不混淆坐标轴变量，不误解特殊点意义，不误判变化趋势，不忽略坐标轴单位。
【知识点结合练】
一、单选题
1．一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则a是（ ）
A．常量 B．自变量 C．因变量 D．以上都不对
2．上周上完体育课，小强从超市买来一瓶结了冰的矿泉水，还未来得及喝，就上课了，于是小强把矿泉水放在了书桌上，其水温与放置时间的关系大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
3．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量
C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对
5．小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表：
搬运时间 1 2 3 4 ．．．
搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．．
下列说法错误的是（　　）
A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化
B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为
C．与之间的关系式为
D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
8．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．24
二、填空题
9．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ．
10．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为（升），行驶路程为（千米），则随的变化而变化，与的关系式为 ．（不要求写出的取值范围）
11．我国是一个严重的缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升，小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，设小明离开小时后，水龙头滴了毫升水，则关于的关系式是 ，因变量是 ．
12．学校购买一些铅笔奖励学习进步的同学，铅笔单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，则表示函数与自变量关系的式子是 （x是正整数），其中常量是 ，变量是 ．
13．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ．
14．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
15．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ．
16．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）．
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；
②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）；
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）；
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．

三、解答题
17．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据．
放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 …
水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 …
(1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量；
(2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式；
(3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？
18．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是__________，自变量的函数是__________；
(2)该型号汽车发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为17.5m，则刹车时的车速是__________km/h；
(3)若该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：__________；（不必写出x的取值范围）
(4)若该种型号汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由
19．出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）之间的关系式；
(2)当时，求剩余油量Q的值；
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
20．如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．
(1)梯形面积与上底之间的关系式是什么；
(2)当x每增加时，y如何变化？
(3)当时，y等于什么？此时y表示的是什么？
21．为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间
油箱剩余油量
(1)上表反映的两个变量中，自变量是______；
(2)根据上表的数据，写出用表示的关系式；
(3)汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？
22．刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：
(1)图象中的自变量是________，因变量是________；
(2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点；
(3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟；
(4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米；
(5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米．
23．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量．
(1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况）
(2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？
24．如图，图1中一个长方形纸条准备从正方形的左边运行到右边，平均每秒钟运行2厘米：图2是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图．
(1)运行4秒后，重叠面积是多少平方厘米？
(2)正方形的边长是多少厘米？重叠面积最大是多少平方厘米？第18讲 用关系式和图像表示变量之间的关系
一、核心知识点
（一）第3节 用关系式表示变量之间的关系
1. 关系式的定义与核心要素
定义：用数学式子表示自变量与因变量之间数量关系的式子，叫做关系式（也叫函数表达式，七年级阶段简化表述）。
核心要素：
必须明确自变量和因变量，通常将因变量写在等式左边，自变量写在等式右边；
关系式中可包含常量，需体现因变量随自变量变化的规律。
示例：汽车以60km/h的速度匀速行驶，路程（km）与时间（h）的关系式为，其中是自变量，是因变量，60是常量。
2. 关系式的书写规则
明确变量的单位（若有），关系式中通常不写单位，需在结论中注明；
遵循代数式书写规范（如数字与字母相乘，数字在前，乘号省略；除法写成分数形式）；
自变量的取值范围：需符合实际情境（如时间，路程）。
3. 从关系式中提取信息的关键能力
能力1：求因变量的值（已知自变量，求因变量）
步骤：将自变量的取值代入关系式，计算得出因变量的对应值。
示例：若，当时，（km）。
能力2：求自变量的值（已知因变量，求自变量）
步骤：将因变量的取值代入关系式，解关于自变量的方程。
示例：若，当时，，解得（h）。
能力3：分析变化趋势
依据关系式判断因变量随自变量的变化规律：
若关系式为一次式（如，）：
，因变量随自变量增大而增大；
，因变量随自变量增大而减小。
示例：（，随增大而增大）；（，随增大而减小）。
4. 关系式与表格表示的对比
表示方法 优势 劣势 适用场景
关系式 可准确计算任意自变量对应的因变量值，便于分析变化趋势 不直观，需计算才能得到具体数值 变量关系规律明确的场景
表格 直观展示已知自变量的对应值，读取方便 无法获取表格外的自变量对应值 变量取值有限且已知的场景
（二）第4节 用图像表示变量之间的关系
1. 变量关系图像的构成
横轴（x轴）：通常表示自变量（如时间、距离），需标注单位和刻度；
纵轴（y轴）：通常表示因变量（如路程、温度、高度），需标注单位和刻度；
图像上的点：每一个点的坐标表示一组自变量-因变量的对应值（为自变量取值，为因变量对应值）。
2. 常见图像类型与实际意义（以时间为自变量，路程为因变量为例）
图像形状 变化趋势 实际意义 示例
上升的直线 因变量随自变量匀速增大 匀速运动（速度不变，路程增加） 汽车匀速行驶
下降的直线 因变量随自变量匀速减小 匀速返回（速度不变，路程减少） 汽车匀速驶回起点
水平的直线 因变量不随自变量变化 静止（路程不变，时间流逝） 汽车中途停车休息
上升的曲线 因变量随自变量加速增大 加速运动（速度越来越快） 汽车启动加速
下降的曲线 因变量随自变量减速减小 减速运动（速度越来越慢） 汽车刹车减速
3. 从图像中提取信息的核心步骤
识别变量：确定横轴和纵轴分别表示的自变量和因变量（关键：结合实际情境判断因果关系）；
读取对应值：找到自变量的取值对应的图像上的点，过点作横轴和纵轴的垂线，读取坐标值；
分析特殊点意义：
起点：自变量为0时的因变量值（如时的初始路程）；
拐点：图像变化趋势改变的点（如从上升直线变为水平直线，表示从运动变为静止）；
终点：自变量取最大值时的因变量值（如运动结束时的路程）；
判断变化趋势：根据图像的上升、下降、水平判断因变量的增减或不变；
比较变化快慢：直线的倾斜程度（斜率）表示变化快慢，倾斜程度越大，变化越快（如陡的上升直线表示速度快）。
4. 图像与关系式、表格的联系
三者均可表示变量之间的关系，可相互转化：
关系式→表格：给自变量赋值，计算因变量值，列成表格；
表格→图像：将表格中的每一组数据作为点的坐标，描点并连线（规律明显时）；
图像→关系式：若图像为直线，可通过两点坐标求出关系式（一次函数，七年级阶段简化学习）。
二、常见易错知识
（一）第3节 用关系式表示变量之间的关系 易错点
1. 关系式中自变量与因变量的位置颠倒
错误表现：
将因变量写在等式右边，自变量写在左边（如匀速运动中，错写为，未将因变量写在左边）；
仅凭字母顺序判断，忽略实际因果关系（如温度随时间变化，错写为）。
正确分析：
关系式的书写需体现因果关系，通常因变量在左，自变量在右，方便通过自变量计算因变量。
2. 忽略自变量的取值范围
错误表现：
关系式未考虑实际情境，自变量取值为负数（如路程中，错认为可以取，实际时间）；
求自变量值时，解出的结果不符合实际意义（如求运动时间时，解出，未舍去）。
正确分析：
自变量的取值范围必须符合实际情境，需根据问题背景判断（如时间、长度、数量等均为非负数）。
3. 关系式书写格式错误
错误表现：
数字与字母相乘时，字母在前（如错写为，正确应为）；
除法未写成分数形式（如错写为，正确应为）；
遗漏常量或变量（如匀速运动中，错写为，遗漏速度常量60）。
正确分析：
关系式需遵循代数式书写规范，确保式子简洁、准确，体现变量间的数量关系。
4. 分析变化趋势时的错误
错误表现：
误将一次式的常数项当作判断变化趋势的依据（如认为中，因为常数项是，所以随增大而减小）；
对非一次式的变化趋势判断错误（如认为中，随增大而一直增大，忽略时随增大而减小）。
正确分析：
一次式的变化趋势由**自变量的系数**决定（增大，减小），与常数项无关；非一次式的变化趋势需分区间讨论（七年级阶段重点掌握一次式）。
（二）第4节 用图像表示变量之间的关系 易错点
1. 混淆横轴与纵轴表示的变量
错误表现：
仅凭位置判断，将横轴一律当作自变量，纵轴当作因变量，忽略实际情境（如图像横轴是路程，纵轴是时间，实际时间是自变量，路程是因变量，需颠倒分析）；
分析图像时，误将因变量的变化当作自变量的变化（如上升的直线，错认为自变量随因变量增大而增大）。
正确分析：
变量的判断核心是因果关系，而非坐标轴位置：主动变化的是自变量（通常为时间），被动变化的是因变量（通常为路程、温度等），需结合实际情境调整分析视角。
2. 误解图像上特殊点的意义
错误表现：
忽略起点的意义，错认为自变量为0时因变量一定为0（如汽车运动的起点坐标为，表示初始位置距离起点5km，而非0）；
误解拐点的意义，如从上升直线变为水平直线，错认为是自变量停止变化，实际是因变量停止变化（时间仍在流逝）；
忽略终点的意义，未分析自变量最大值时的因变量状态。
正确分析：
特殊点是图像的关键，需结合实际情境逐一分析：起点表示初始状态，拐点表示变化趋势改变，终点表示最终状态。
3. 误判图像的变化趋势与实际意义
错误表现：
将水平直线误判为“自变量停止变化”（如汽车静止的图像，水平直线表示路程不变，时间仍在增加）；
将曲线误判为直线，认为变化速度不变（如加速运动的曲线，错认为是匀速运动）；
认为图像的上升或下降方向与实际运动方向一致（如下降的直线表示路程减少，不一定是反向运动，也可能是向起点靠近）。
正确分析：
图像的变化趋势仅表示因变量随自变量的变化规律，需结合具体变量的实际意义解读，不可仅凭图像形状主观判断。
4. 读取图像对应值时的错误
错误表现：
找错图像上的点，读取的坐标与自变量取值不对应（如找时的路程，错找成对应的点）；
过点作垂线时不垂直，导致读取的数值误差过大；
忽略坐标轴的单位，直接读取刻度数值（如横轴单位是“小时”，刻度为1表示1小时，而非1分钟）。
正确分析：
读取对应值时需精准找点，用直尺作垂直于坐标轴的垂线，同时关注坐标轴的单位，确保数值的准确性。
5. 混淆图像的倾斜程度与变化快慢
错误表现：
认为所有上升的直线变化快慢都相同，忽略倾斜程度的差异（如陡的上升直线表示速度快，缓的上升直线表示速度慢）；
对曲线的变化快慢判断错误，认为曲线的倾斜程度与直线一样可直接比较（七年级阶段重点掌握直线的倾斜程度）。
正确分析：
直线的倾斜程度越大，表示因变量随自变量的变化速度越快；倾斜程度越小，变化速度越慢。
三、核心速记与易错警示
1. 核心速记
第3节 关系式：“因变量在左，自变量在右，代入计算求对应，系数正负判趋势，取值范围看实际”；
第4节 图像：“横轴自变量，纵轴因变量，点的坐标是对应，上升增大下降减，水平静止拐点变，倾斜程度定快慢”。
2. 易错警示
关系式：不颠倒变量位置，不忽略取值范围，不写错书写格式；
图像：不混淆坐标轴变量，不误解特殊点意义，不误判变化趋势，不忽略坐标轴单位。
【知识点结合练】
一、单选题
1．一支冰激凌的价格是5元，买a支冰激凌共支付b元，则a是（ ）
A．常量 B．自变量 C．因变量 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题考查了自变量与因变量以及常量的定义，理解变量与常量的定义是正确判断的前提．
根据变量和常量的定义即可进行解答．
【详解】解：由题可知，每支冰激凌价格为5元（常量），购买a支需支付b元，满足关系式，其中，a表示购买的数量，其值可以自由选择，属于主动变化的量，因此a是自变量；而b的值由a的取值决定，属于因变量，
故选：B．
2．上周上完体育课，小强从超市买来一瓶结了冰的矿泉水，还未来得及喝，就上课了，于是小强把矿泉水放在了书桌上，其水温与放置时间的关系大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，不再上升，即可进行解答．
【详解】解：根据题意：水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象是实际应用，解题的关键是掌握水温随时间变化的关系为逐渐升高，且升高的越来越慢，最后和室温相同．
3．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，解题关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断出答案．
【详解】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，
即高度h先越来越大，再越来越小，
故选：A．
4．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．是变量，是常量 B．V、r是变量，是常量
C．V、r是变量，是常量 D．以上都不对
【答案】C
【分析】此题主要考查了常量和变量，根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．
【详解】解：在球的体积公式中，V，r是变量，
，π是常量，
故选：C．
5．小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义；
根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题．
【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误；
小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误；
故选：B．
6．在2025年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表：
搬运时间 1 2 3 4 ．．．
搬运货物的重量 120 160 240 320 400 ．．．
下列说法错误的是（　　）
A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化
B．当搬运货物的重量为时，搬运时间为
C．与之间的关系式为
D．搬运时间每延长，搬运货物的重量增加
【答案】B
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系．
通过分析表格数据，逐一判断即可．
【详解】解：由表格可知：搬运时间每延长，搬运货物的重量增加，
∴，
故A、C、D正确；
当搬运货物的重量为时，，
解得：，
故B错误，
故选：B．
7．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【答案】B
【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．
本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案．
【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确；
B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误；
C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确；
D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确；
故选：B
8．圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只） 1 2 3 4 5 6 …
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 …
请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）

A．21 B．22 C．23 D．24
【答案】B
【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与纸杯之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加1.4，得到，根据纸杯总高度列关于的一元一次不等式求解．
【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加，
则总高度．
则，
解得，，
则的最大值为22，
故选：B．
二、填空题
9．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ．
【答案】因变量
【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，关键是知道：路程=速度×时间．
【详解】解：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是因变量，
故答案为：因变量．
10．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油是为（升），行驶路程为（千米），则随的变化而变化，与的关系式为 ．（不要求写出的取值范围）
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意得变量之间得关系式是解决问题的关键．用56减去行驶路程乘每千米油耗即可得到对应的关系式．
【详解】解：根据题意，得，
∴与的关系式为：．
故答案为：．
11．我国是一个严重的缺水的国家，大家应加倍珍惜水资源，节约用水，据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升，小明同学在洗手后，没有把水龙头拧紧，设小明离开小时后，水龙头滴了毫升水，则关于的关系式是 ，因变量是 ．
【答案】
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，找到所求量的等量关系是解答的关键．根据题意，由毫升时间每秒钟的滴水量进行解答即可．
【详解】解：∵拧不紧的水龙头每秒会滴下滴水，每滴水约毫升，
∴离开小时滴的水为，
∴，其中毫升是因变量．
故答案为：，．
12．学校购买一些铅笔奖励学习进步的同学，铅笔单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，则表示函数与自变量关系的式子是 （x是正整数），其中常量是 ，变量是 ．
【答案】 铅笔单价0.2元/支 铅笔支数x和总价y
【分析】本题考查了函数的表示，写函数的解析式是函数的表示方法之一，解题的关键是抓住题中的数量关系用自变量的代数式来表示因变量．
根据总价单价数量，可得函数关系式．
【详解】解：由题意得：（x是正整数），
其中常量是铅笔单价0.2元/支，变量是铅笔支数x和总价y．
故答案为：，铅笔单价0.2元/支，铅笔支数x和总价y．
13．七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．
根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用．
【详解】解：由题意得：，
化简得：，
故答案为：．
14．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，
由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：；
由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：；
得：，
∴，
故答案为：．
15．某商场将一商品在保持销售价50元/件不变的前提下，规定凡购买超过3件者，超出的部分打5折出售．若顾客购买（）件，应付元，则与间的关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
根据“前3件每件50元”，以后超过的件数按每件25元计算，据此列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，，即．
故答案为：．
16．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为 （填序号）．
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；
②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）；
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）；
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．

【答案】③②④①
【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系，
故图象顺序为：③②④①，
故答案为：③②④①．
三、解答题
17．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据．
放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 …
水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 …
(1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量；
(2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式；
(3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完．
【分析】本题主要考查代数式：
（1）根据常量和变量的定义即可求得答案；
（2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米；
（3）根据题意，得，求解即可得到答案．
【详解】（1）解：常量：每分钟的放水量．
变量：放水时间，水池中剩余水量．
（2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水，
∴．
（3）根据题意，得
．
解得
．
答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完．
18．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
(1)自变量是__________，自变量的函数是__________；
(2)该型号汽车发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为17.5m，则刹车时的车速是__________km/h；
(3)若该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律直接写出y与x之间的关系式：__________；（不必写出x的取值范围）
(4)若该种型号汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾 请你说明理由
【答案】(1)刹车时车速；刹车距离
(2)70
(3)
(4)该汽车不会和前车追尾，理由见解析
【分析】（1）根据自变量及函数的定义即可得出答案；
（2）根据测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，即可得出答案；
（3）根据刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，得出答案；
（4）将代入（3）的函数解析式，即可计算车速为110km/h时的刹车距离，刹车距离与前车距离比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得刹车距离随刹车时车速变化而变化，对于每一个确定的刹车时车速都有唯一的刹车距离与之对应，所以自变量是刹车时车速，自变量的函数是刹车距离，
故答案为：刹车时车速；刹车距离．
（2）解：根据表格测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，
，
刹车距离为17.5 m时，刹车时速度为：( km/h)，
故答案为：70．
（3）解：表格测试数据的规律可得刹车时车速每增加10 km/h，刹车距离增加2.5m，
y与x之间的关系式为：，
故答案为：．
（4）解：当时，，
，
当车速为110km/h时，该汽车不会和前车追尾．
【点睛】本题考查了函数的定义及表示方法，理解函数的定义及理清题意中的数量关系是解题关键．
19．出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）之间的关系式；
(2)当时，求剩余油量Q的值；
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【答案】(1)
(2)剩余油量Q的值为27.5升
(3)他们能在汽车报警前回到家，理由见解析
【分析】本题考查了函数的关系式，根据数量关系列出函数关系式是解题的关键．
（1）单位耗油量耗油量行驶里程，剩余油量油箱内油的升数行驶路程的耗油量；
（2）把千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出升油能行驶的距离，与200千米比较大小即可得．
【详解】（1）该汽车平均每千米的耗油量为（升），
所以行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）之间的关系式为；
（2）当时，．
即当时，剩余油量Q的值为27.5升；
（3）他们能在汽车报警前回到家．
理由：（千米），．
答：他们能在汽车报警前回到家．
20．如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．
(1)梯形面积与上底之间的关系式是什么；
(2)当x每增加时，y如何变化？
(3)当时，y等于什么？此时y表示的是什么？
【答案】(1)
(2)当x每增加时，y增加
(3)当时，，此时y表示的是的面积
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值：
（1）根据梯形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，当时的函数值即可得到答案；
（3）根据（1）所求求出当时的值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴当x每增加时，y增加；
（3）解：当时，，此时y表示的是的面积．
21．为了了解某种车的耗油量，某专业检测人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成下表：
汽车行驶时间
油箱剩余油量
(1)上表反映的两个变量中，自变量是______；
(2)根据上表的数据，写出用表示的关系式；
(3)汽车油箱中剩余油量为，则汽车行驶了多少小时？
【答案】(1)
(2)
(3)小时
【分析】（1）油箱剩余油量是随着汽车行驶时间的变化而变化，由此即可得；
（2）根据、、和时，的值即可得出答案；
（3）求出当时，的值即可得．
【详解】（1）解：因为油箱剩余油量是随着汽车行驶时间的变化而变化，
所以上表反映的两个变量中，自变量是，
故答案为：．
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
则用表示的关系式为．
（3）解：当时，，
解得，
答：汽车行驶了小时．
【点睛】本题考查了自变量、利用关系式表示变量之间的关系、求自变量的值，熟练掌握函数的表示方法是解题关键．
22．刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：
(1)图象中的自变量是________，因变量是________；
(2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点；
(3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟；
(4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米；
(5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40米．
【答案】(1)时间x，路程y
(2)1200，乙
(3)320
(4)1008
(5)3.7或4.7或
【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键．
（1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可；
（2）结合图象，进行作答即可；
（3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可；
（4）设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解．
（5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答．
【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程，
即自变量是时间，因变量是路程；
（2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了5分钟，
∵
乙队先到达终点；
（3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是：
（米分钟）；
（4）解：由图象可知，甲的速度为：（米分钟），
设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：，
解得：，
甲队走了：（米．
（5）解：如图：
由（4）知道相遇时间为分钟
设时间为分钟，甲乙两队相距40米，
∴当时，此时乙的速度为（米分钟），
∵甲的速度为：（米分钟），
∴当乙停船检查时，两船相距：（米），
∴当时，此时乙的速度为（米分钟），
∵甲的速度为：（米分钟），
∴，
∴；
∴当时，此时乙的速度为（米分钟），
∵甲的速度为：（米分钟），
∴
∴；
∵当时，乙船停止运动，
甲的速度为：（米分钟），
∴，
∴；
综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7或4.7或
分钟时，甲乙两队相距40米．
23．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量．
(1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况）
(2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？
【答案】(1)
(2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，
（1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可；
（2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，；
当时，；
∴；
（2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，
∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，
∴，
∴，
解得，
∴，
答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元．
24．如图，图1中一个长方形纸条准备从正方形的左边运行到右边，平均每秒钟运行2厘米：图2是长方形运行过程中与正方形重叠面积的部分关系图．
(1)运行4秒后，重叠面积是多少平方厘米？
(2)正方形的边长是多少厘米？重叠面积最大是多少平方厘米？
【答案】(1)平方厘米
(2)平方厘米
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；
（1）根据图1，用时间乘以速度，再乘以长方形纸条的宽，即可求解；
（2）根据函数图象可得，用时间乘以速度得出正方形的边长为，进而求得重叠面积最大值，即可求解．
【详解】（1）解： （平方厘米），
答：运行4秒后，重叠面积是16平方厘米；
（2）由题意得：正方形的边长为（厘米），（平方厘米），
答：正方形的边长是12厘米，重叠面积最大是24平方厘米．

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