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专题01 平行线的拐点5大经典模型
1.辅助线核心：过每个拐点作平行线，利用“平行传递性”拆分复杂角为内错角、同位角或同旁内角。
2.角度转化：优先使用“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”进行角的转化。
3.规律总结：外拐点多为“角的差”，内拐点多为“角的和”，多拐点按“奇偶位角之和相等”规律解题。
4.易错提醒：拐点位置（内侧/外侧）决定角的和差关系，避免混淆猪蹄模型与鹰嘴模型的结论。
【题型1】猪蹄模型（M型）
1.模型使用场景
两条平行线间有一个凹向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。
常考题型：求未知角的度数、证明角的和差关系，是期中/期末及中考基础常考模型。
2.模型证明
已知：，点是、之间的拐点，连接、。
证明：过点作。
因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，内错角相等）；由得（两直线平行，内错角相等）。
所以。
3.模型结论
核心结论：
拓展结论：若有个连续凹向拐点，则
【例题1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由．
我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号）
【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：．
(1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由．
(2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由．
(3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论．
(4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论．
【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期末）综合应用
在学行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题．
(1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程．
已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点
求证：________________．
(2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数．
【变式题1-3】.（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
(1)如图一，已知，，请说明．
解：分别过点C，D作，．
因为 ① ，所以．
由两直线平行，内错角相等，可知，，．
由题知，所以 ② ．
则，即 ③ ．
由 ④ ，可得．
请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整．
(2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小．
【题型2】铅笔头模型
1.模型使用场景
两条平行线间有一个凸向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。
常考题型：求多个角的和、结合角平分线求角的度数，高频出现在选择填空压轴题。
2.模型证明
已知：，点是、之间的拐点，连接、。
证明：过点作。
因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，同旁内角互补）；由得（两直线平行，同旁内角互补）。
所以，即。
3.模型结论
核心结论：
拓展结论：若有个连续凸向拐点，则
【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数．
【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且．
(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值．
【变式题2-2】.（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ．
【变式题2-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）【模型初探】
（1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答；
【实际应用】
（2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____；
【拓展推广】
（3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由．
【题型3】锯齿模型（多拐点连续模型）
1.模型使用场景
两条平行线间有两个及以上交替凹向、凸向的拐点，形成类似锯齿的折线，求折线各角之间的数量关系。
常考题型：结合平行线性质求未知角、规律探究题，近3年江苏、浙江期末真题高频出现。
2.模型证明
已知：，拐点、在、之间，连接、、。
证明：过点作，过点作。
因为，所以（平行传递性）。
得，，（两直线平行，内错角相等）。
所以，即。
3.模型结论
核心结论：凹向角之和=凸向角之和
简化结论：有个拐点时，
【例题3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：．
【变式题3-1】.（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）问题背景
如图1，已知，写出、与之间的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移
如图2，，若，，求的度数．
（3）方法应用
如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ．
【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且．
(1)如图1，连接，，若，求的度数；
(2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点．
①如图2，连接，，，求的度数；
②如图3，连接，，，若，，，求的度数．
【变式题3-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破，
【提出问题】
图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？
【思考过程】
依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形．
【问题解决】
解：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
所以（ ）．
因为．
所以 ，
所以 ．
【迁移应用】
如图③是一款手推车的平面示意图，．
（1）若，，则 ．
（2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】
如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ．
【题型4】鹰嘴模型（外拐点模型）
1.模型使用场景
拐点在两条平行线的外侧，连接拐点与平行线端点形成的角的数量关系，与猪蹄模型形成对比。
常考题型：求角的差、结合角平分线或垂直条件解题。
2.模型证明
已知：，点是、外侧的拐点，连接、，交于点。
证明：因为，所以（两直线平行，同位角相等）。
又因为是的外角，所以（三角形外角等于不相邻两内角和）。
故。
3.模型结论
核心结论：
常见形式：（可根据拐点位置灵活调整角的对应关系）
【例题4】.（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，
(1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由．
(2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由．
【变式题4-2】.（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系．
(1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由；
(2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由；
(3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____．
【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明；
(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
【题型5】三角尺与平行线组合模型
1.模型使用场景
将含、、的直角三角尺与平行线结合，利用三角尺固定角度求未知角。
常考题型：选择填空基础题、操作探究题，近3年全国中考基础题必考题型之一。
2.模型结论
核心结论：三角尺已知角=平行线间对应内错角（或同位角）之和/差
常用固定结论：
三角尺类型 常见结论
含、 （或、）
含、 （或）
双三角尺组合 对应角之差为、等固定角度
【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，．
(1)求证；
(2)试判断与之间的数量关系，并证明；
(3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数．
【变式题5-1】.（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【变式题5-2】.（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间．
(1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________；
(2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________；
(3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数．
【变式题5-3】.（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【题型6】蛇形模型（“5”字模型）
1.模型使用场景
两条平行线（）间有一个拐点，形成类似“5”字的折线结构，探究拐点角与平行线两侧角的和差关系。
常考题型：已知两个角求第三个角、证明角的和差等式，是单元测试及期末真题中高频出现的基础模
型。
2.模型证明
已知：，点为拐点，连接、（分两种折线方向，如图1、图2）。
证明（图1，折线凹向与平行线延伸方向一致）：
过点
作辅助线核心：过拐点作平行线）。
由得（两直线平行，内错角相等）。
因为，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为（角的和差定义），代入、，得，整理得。
同理可证图（2）
3.模型结论
核心结论：无论折线凹向如何，
【例题6】.（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东·期末）综合探究
(1)【课题学行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数．
解：过点A作，则______，，
又∵．∴ ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数．
【变式题6-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、．
(1)如图1，已知，，求的度数；
(2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________．
【变式题6-3】.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，．
(1)设，，直接写出、之间的数量关系；
(2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
同步练习
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（18-19七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °．
6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ．
7．（25-26八年级上·全国·期末）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ．
三、解答题
8．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．
9．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数．
(3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由．
10．（17-18七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
(1)结论： ； ； ； ．
(2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明．
如图，平分，平分，且．
求证：．证明：平分（已知），
（　　　　　　）．
平分（已知），
　　　　　　（角平分线的定义）．
（）．
（已知），
（　　　　　　）．
∴（　　　　　　）．
12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，．
①与平行吗？为什么？
②试说明：；
（2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．

13．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，．
(1)如图1，求证：；
若，，则______（用含，的式子表示）；
(2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数．专题01 平行线的拐点5大经典模型
1.辅助线核心：过每个拐点作平行线，利用“平行传递性”拆分复杂角为内错角、同位角或同旁内角。
2.角度转化：优先使用“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”进行角的转化。
3.规律总结：外拐点多为“角的差”，内拐点多为“角的和”，多拐点按“奇偶位角之和相等”规律解题。
4.易错提醒：拐点位置（内侧/外侧）决定角的和差关系，避免混淆猪蹄模型与鹰嘴模型的结论。
【题型1】猪蹄模型（M型）
1.模型使用场景
两条平行线间有一个凹向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。
常考题型：求未知角的度数、证明角的和差关系，是期中/期末及中考基础常考模型。
2.模型证明
已知：，点是、之间的拐点，连接、。
证明：过点作。
因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，内错角相等）；由得（两直线平行，内错角相等）。
所以。
3.模型结论
核心结论：
拓展结论：若有个连续凹向拐点，则
【例题1】.（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由．
我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号）
【答案】①②，③；理由见解析
【分析】本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质及判定，角平分线的性质是关键． 选①②为条件③为结果；根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，，即可证出结论．
【详解】解：选①②为条件③为结果
理由：因为，所以，
因为平分，平分
所以，，
所以．
选①③为条件②为结果
理由：因为，所以，
因为平分，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以平分．
选②③为条件，①为结果，
因为，所以，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【变式题1-1】.（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：．
(1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由．
(2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由．
(3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论．
(4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
(4)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键．
（1）根据平行线的性质即可解决问题；
（2）根据平行线的性质即可解决问题；
（3）根据平行线的性质即可解决问题；
（4）根据平行线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：，理由如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
过点E作，
∵，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图所示，
∵，
∴．，
∵，
∴；
（4），理由如下：
过点F作，
由（1）知，，
∴，
∴．
【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·期末）综合应用
在学行线的性质后，老师请同学们证明命题“两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直”是真命题．
(1)小明同学画出了相对应的图形（图①），请补全“已知”和“求证”，并写出证明过程．
已知：如图①，____________，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点
求证：________________．
(2)如图②，在图①的基础上，分别作与的平分线，交点为，求的度数．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可；
（2）先求出的度数，再根据角平分线的性质求和的度数，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：已知：如图①，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点．
求证：．
证明： ，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
在中，，
．
【变式题1-3】.（25-26七年级上·云南红河·期中）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的．
(1)如图一，已知，，请说明．
解：分别过点C，D作，．
因为 ① ，所以．
由两直线平行，内错角相等，可知，，．
由题知，所以 ② ．
则，即 ③ ．
由 ④ ，可得．
请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整．
(2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小．
【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解．
（1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行；
（2）作辅助线分析角的数量关系；
（3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系．
【详解】（1）解：分别过点，作，
因为，所以
由两直线平行，内错角相等，可知，，
由题知，所以
则，即
由内错角相等，两直线平行，可得
（2）解：
理由：过点作（如图），
，
，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，内错角相等），
，
．
（3）解：由（2）的结论可知：．
第一次操作：平分，平分，
则，，
根据（2）的结论，．
第二次操作：平分，平分，
则，，
同理，．
以此类推，第次操作后，．
已知，代入得，
解得．
答：的大小为．
【题型2】铅笔头模型
1.模型使用场景
两条平行线间有一个凸向平行线的拐点，连接拐点与平行线两端点形成的角的数量关系问题。
常考题型：求多个角的和、结合角平分线求角的度数，高频出现在选择填空压轴题。
2.模型证明
已知：，点是、之间的拐点，连接、。
证明：过点作。
因为，，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，同旁内角互补）；由得（两直线平行，同旁内角互补）。
所以，即。
3.模型结论
核心结论：
拓展结论：若有个连续凸向拐点，则
【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线，．求的度数．
【答案】
【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再根据平行线的性质，分别得出与相关的角的关系，进而求出的度数．
【详解】解：如图，过点作．
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补等性质进行角的计算是解题的关键．
【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆·期末）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且．
(1)求的值；
(2)如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，直接写出的值；
(3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点O作，则，由平行线的性质可得，，从而可得，即可得解；
（2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可得，，设，，计算得出，由平行线的性质可得，，，由此计算即可得解；
（3）设直线与交于点K，与交于点H，由平行线的性质可得，求出，再结合，在内，．得出，计算即可得解．
【详解】（1）解：过点O作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴；
（2）解：过点M作，过点N作，如图所示：
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∵，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴
，
故的值为；
（3）解：如图，设直线与交于点K，与交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，在内，．
∴，
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
解得．
【变式题2-2】.（23-24七年级下·湖北荆州·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点F作，
∵，
∴，而，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
【变式题2-3】.（24-25七年级下·广东茂名·月考）【模型初探】
（1）如图1，，，，求的度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作，请你接着完成解答；
【实际应用】
（2）某小区为了方便管理，对小区地下车库加装智能识别系统，小区车库栏杆的平面图如图3所示，，，若，则_____；
【拓展推广】
（3）如图4，点A、B在射线上，点C、D在射线上，，点P在射线上运动（点P与A、B、O三点不重合）．当点P在射线上运动时，判断与、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点在线段上时，；当在延长线时，；当在之间时，，见解析
【分析】此题考查了平行线的判定和性质，添加平行线作辅助线是解题的关键．
（1）过作，根据两直线平行内错角相等即可得到结论；
（2）过点作，求出，，即可得到答案；
（3）分情况添加平行线作为辅助线，根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】解：（1）过作，
∵，
，
，
；
（2）过点作，
∴
∵，
∴,
∵，
∴
∴
∴
故答案为：
（3）当点在线段上时，；
理由：如图，过作交于，
，
，
，，
；
当在延长线时，；
理由：如图，过作交于，
，
，
，，
；
当在之间时，
．
理由：如图，过作交于，
，
，
，，
．
综上所述，当点在线段上时，；
当在延长线时，；
当在之间时，．
【题型3】锯齿模型（多拐点连续模型）
1.模型使用场景
两条平行线间有两个及以上交替凹向、凸向的拐点，形成类似锯齿的折线，求折线各角之间的数量关系。
常考题型：结合平行线性质求未知角、规律探究题，近3年江苏、浙江期末真题高频出现。
2.模型证明
已知：，拐点、在、之间，连接、、。
证明：过点作，过点作。
因为，所以（平行传递性）。
得，，（两直线平行，内错角相等）。
所以，即。
3.模型结论
核心结论：凹向角之和=凸向角之和
简化结论：有个拐点时，
【例题3】.（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）结合图形，先求出，，即可得到的度数；
（2）根据题意，求出，的度数，结合已知条件，得到，证得结论．
【详解】（1）解：如图1，过E点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式题3-1】.（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）（1）问题背景
如图1，已知，写出、与之间的数量关系，并说明理由．
（2）知识迁移
如图2，，若，，求的度数．
（3）方法应用
如图3，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）．
【分析】本题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等成为解题的关键．
（1）如图：过点G作，利用平行线的性质即可解答；
（2）由邻补角的性质可得，由（1）可知：，且，可得，最后根据对顶角相等即可街道；
（3）如图：过作，由平行线的性质可得，进而得到，然后再根据平行线的性质即可求得∠C的度数．
【详解】解：（1）问题背景：，理由如下：
如图：过点G作，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）知识迁移：∵，
∴，
∵，
∴由（1）可知：，且，
∴，
∴．
（3）如图：过作
∴
∴
∵
∵
∴
故答案是：140°．
【变式题3-2】.（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知点P为直线，之间的一点，且．
(1)如图1，连接，，若，求的度数；
(2)点Q为直线，之间的不同于点P的另一点．
①如图2，连接，，，求的度数；
②如图3，连接，，，若，，，求的度数．
【答案】(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质，正确进行角的计算是解题的关键．
（1）结合图形，可得，，两式相加，得，结合已知条件，得到结果；
（2）①通过作辅助线，得到同旁内角互补，得到，，，三式相加，得到结果；
②结合图形，利用两直线平行，内错角相等，依次求出，，，得到结果．
【详解】（1）如图1，作，
，
，
，，
，
即，
，
；
（2）①如图2，过P作，过Q作，
，
，
，
，
，
三式相加，可得；
②如图3，过点P作，过点Q作，
，
，
，
，
同理，
，
．
【变式题3-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破，
【提出问题】
图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？
【思考过程】
依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形．
【问题解决】
解：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
所以（ ）．
因为．
所以 ，
所以 ．
【迁移应用】
如图③是一款手推车的平面示意图，．
（1）若，，则 ．
（2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】
如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ．
【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；；105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高：
【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得；
迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得；
（2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得；
拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得．
【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则．
因为，，
所以．
因为，，
所以，
所以．（根据两直线平行，内错角相等）
因为，
所以，
所以．
迁移应用：（1）如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2），理由如下：
如图，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
拓展提高：如图，过点作，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
【题型4】鹰嘴模型（外拐点模型）
1.模型使用场景
拐点在两条平行线的外侧，连接拐点与平行线端点形成的角的数量关系，与猪蹄模型形成对比。
常考题型：求角的差、结合角平分线或垂直条件解题。
2.模型证明
已知：，点是、外侧的拐点，连接、，交于点。
证明：因为，所以（两直线平行，同位角相等）。
又因为是的外角，所以（三角形外角等于不相邻两内角和）。
故。
3.模型结论
核心结论：
常见形式：（可根据拐点位置灵活调整角的对应关系）
【例题4】.（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践
如图1，，为直线上的点，和交于点．
(1)若，则的度数是______．
(2)写出之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
（1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可．
（2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可．
（3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可．
【详解】（1）解：过点E作直线，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：如图，过点作，
，
，
，
，
即．
（3）解：．理由如下：
由（2）可知，
平分，平分，
，
，
，
∴．
【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，
(1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由．
(2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键．
（1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可；
（2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可．
【详解】（1）解：过点作 ，
∵，
∴，
，，
两式相加得∶ ，
即；
（2）解：如图（2），过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
即 ；
如图（3），过点作，设交点为，
，
，
，
，，
，
即；
如图（4），过点作，
，
∴，
，
，
即．
【变式题4-2】.（23-24七年级下·广西河池·期末）已知直线，直线 分别与 ， 交于 ， 两点，点 是直线 上的一个动点，试探究与 之间的数量关系．
(1)如图①，当点在线段上运动（点不与 重合）时，若 ，则_____；猜想：此时数量关系是：_____，请说明理由；
(2)如图②，当点在点的上方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____，请说明理由；
(3)如图③，当点在点 的下方运动（三点不在同一直线上）时，猜想：此时与 之间数量关系是：_____．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加平行线是解答的关键．
（1）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（2）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可；
（3）过作，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：，此时数量关系是：，
理由：如图，过作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：，．
（2）解：此时数量关系是：，
理由：如图，过作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（3）解：此时数量关系是：，
理由：如图，过作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明；
(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
（1）过E作，根据平行线的性质即可得证；
（2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答；
（3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，过E作，过F作，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，，
∵与的角平分线交于点F，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，记交于点H，
∵，，
设，，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型5】三角尺与平行线组合模型
1.模型使用场景
将含、、的直角三角尺与平行线结合，利用三角尺固定角度求未知角。
常考题型：选择填空基础题、操作探究题，近3年全国中考基础题必考题型之一。
2.模型结论
核心结论：三角尺已知角=平行线间对应内错角（或同位角）之和/差
常用固定结论：
三角尺类型 常见结论
含、 （或、）
含、 （或）
双三角尺组合 对应角之差为、等固定角度
【例题5】.（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起放置，其中，，，．
(1)求证；
(2)试判断与之间的数量关系，并证明；
(3)将三角板固定不动，改变三角板的位置，但始终保持两个三角板的顶点重合．当三角板的边与平行或和重叠时，三角板可以有几种不同的放置位置？请在备用图中画出其中一种，并求出此时的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)，证明见解析
(3)三角板可以有4种不同的放置位置，图见解析，分别为、、、
【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据即可得解；
（2）根据，并结合计算即可得解；
（3）分四种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：三角板可以有4种不同的放置位置，
如图，当时，过点作，
则，，
∴，
∴；
如图，当时，过点作，
则，，
∴，
∴；
如图，当和重合时，过点作，
则，，
∴，
∴；
如图，当和重合时，过点作，
则，，
∴，
∴．
【变式题5-1】.（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）【发现问题】数学学习需要多动手勤动脑，“勤奋小组”在数学学习过程中充分利用三角板这一学习工具，发现这一副三角板中有“大学问”．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，），当且点E在直线的上方时，将三角形固定不动，改变三角形的位置，但始终保持两个三角板的顶点C重合．
【提出问题】在这个变化过程中，是否存在其中一个三角形的一条边与另一个三角形的一条边平行呢？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】或或或或
【分析】本题主要考查了平行线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，分类讨论画出图形求解即可．
【详解】解：存在．
①当时，如图1，
，
；
②当时，如图2，
，
，
；
③当时，如图3，过点作，
，，
，
，，
，
；
④当时，如图4，
，
，
；
⑤当时，如图5，
，
，
；
综上分析可知，的度数可能是或或或或．
【变式题5-2】.（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间．
(1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________；
(2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________；
(3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键．
（1）根据平行线的性质直接求解即可；
（2）过点E作，根据平行线的性质求得，再证明，求得，即可求得答案；
（3）分点E在上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：过点E作，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：设，则，
当点E在上方时，
，
，
解得，
当点E在下方时，
，
，
解得，
综上所述，的度数为或．
【变式题5-3】.（22-23七年级上·福建泉州·期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2)设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
【答案】(1)①（或），理由见解析；②
(2)5或15或35或45或50
【分析】（1）①由角的和差关系可得，，再把两式相减即可得到结论；②先求解，-，结合， ，从而可得答案；
（2）分5种情况讨论：如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，如图，当时，再结合平行线的性质可得答案．
【详解】（1）解：①（或）；
理由如下：，
，
两式相减得：，
② ∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
（2）如图，当时，
∴，，
∴；
如图，当时，
∴，则，
此时，
∴；
如图，当时，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，即，，共线，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角的倍分关系，角的旋转定义的理解，平行线的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．
【题型6】蛇形模型（“5”字模型）
1.模型使用场景
两条平行线（）间有一个拐点，形成类似“5”字的折线结构，探究拐点角与平行线两侧角的和差关系。
常考题型：已知两个角求第三个角、证明角的和差等式，是单元测试及期末真题中高频出现的基础模
型。
2.模型证明
已知：，点为拐点，连接、（分两种折线方向，如图1、图2）。
证明（图1，折线凹向与平行线延伸方向一致）：
过点
作辅助线核心：过拐点作平行线）。
由得（两直线平行，内错角相等）。
因为，所以（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
由得（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为（角的和差定义），代入、，得，整理得。
同理可证图（2）
3.模型结论
核心结论：无论折线凹向如何，
【例题6】.（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ．
【答案】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答．
【详解】解：过点作．由题可知，
，
，．
．
故答案为：．
【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东·期末）综合探究
(1)【课题学行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数．
解：过点A作，则______，，
又∵．∴ ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键．
（1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到；
（2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得；
（3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可．
【详解】（1）解：过点A作，
∴，，
又∵，
∴；
故答案为：，；
（2）解：过点E作，如图，

∵，
∴，
∴，，
∴
∴.
（3）解：过E点作，如图，

∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵
．
【变式题6-2】.（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、．
(1)如图1，已知，，求的度数；
(2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解；
（2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解；
（3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点P作，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点P作，
∴，
∴，
由（2）得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：
【变式题6-3】.（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，．
(1)设，，直接写出、之间的数量关系；
(2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数；
(3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数．
【答案】(1)
(2)不发生变化，的度数为；
(3)或
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，则有，，再根据直角得到结论；
（2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论；
（3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：不发生变化，，理由为：
由（1）可得，，
、的角平分线交于点，
，，
如图，过点作，
，，
，
，，
；
（3）解：由（2）得，，由（1）得，
，
，
如图，过点作，
，
，
，，
，
当点在点的左侧时，如图，
则，
，
，
当点在点的右侧时，如图，
则，
，
．
综上，的度数为或．
同步练习
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图1．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图2，若在某一时刻，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（18-19七年级下·山东淄博·月考）如图，若，则角，，的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在四边形中，，D为线段上的一个动点，连接，并作，交于点M，，的平分线相交于点N，在点D的运动过程中，的大小不会发生变化，则 °．
6．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ．
7．（25-26八年级上·全国·期末）图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ．
三、解答题
8．（20-21七年级下·江西上饶·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与．
(1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由．
9．（24-25七年级下·云南丽江·期末）如图，直线，被直线所截，且，点E在线段上，P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，，．若，请利用（1）中的结论，求的度数．
(3)如图3，若，，请写出和之间的数量关系，并说明理由．
10．（17-18七年级下·全国·月考）如图所示，，分别探究下面图形中，，的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．
(1)结论： ； ； ； ．
(2)选择结论　　　　（写序号即可）说明理由．
11．（25-26八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明．
如图，平分，平分，且．
求证：．证明：平分（已知），
（　　　　　　）．
平分（已知），
　　　　　　（角平分线的定义）．
（）．
（已知），
（　　　　　　）．
∴（　　　　　　）．
12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）（1）如图1，，．
①与平行吗？为什么？
②试说明：；
（2）一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．

13．（24-25七年级下·吉林·期末）已知直线，点，分别在直线，上，点是与之间任意一点，连接，．直线，分别交，于点，．
(1)如图1，求证：；
若，，则______（用含，的式子表示）；
(2)如图2，在直线上取一点，连接交直线于点；设，若；求的度数（用含的式子表示）；
(3)如图3，在（2）的条件下，作平分，平分．若，，直接写出的度数．

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