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4.2平行线
【基础巩固篇】
【题型1】平行线的定义与平面内两直线位置关系
1.核心知识点总结
平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作或。
两直线位置关系：同一平面内，不重合的两条直线仅存在相交或平行两种关系。
注意：线段/射线平行指其所在直线平行，不可直接说线段/射线平行。
2.高频考点梳理
判断选项中关于平行线定义的表述正误（如忽略“同一平面内”“直线”等关键词）。
识别长方体、网格等图形中平行的棱或线段。
结合生活场景（如衣架、风车）判断直线平行关系。
3.易错点警示
遗漏“同一平面内”前提：空间中存在不相交也不平行的直线（异面直线），但初中阶段仅研究同一平面内。
混淆“直线”与“线段”：误认为不相交的线段一定平行（需延长后不相交才平行）。
4.解题技巧拆解
定义判断三步法：①看是否在同一平面内；②看是否为直线；③看是否不相交。
图形识别：长方体中，同一方向的棱互相平行；网格中可通过“平移法”判断线段平行。
【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【变式题1-3】.（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型2】平行线的画法（直尺三角板+尺规）
1.核心知识点总结
直尺三角板画法（四步）：①落（三角板一边靠已知直线）；②靠（直尺靠三角板另一边）；③推（平移三角板过已知点）；④画（沿三角板边画直线）。
尺规画法依据：同位角相等，两直线平行（构造相等同位角实现平行）。
2.高频考点梳理
按要求过直线外一点画平行线（保留作图痕迹）。
判断画法的正确性及依据。
结合网格、三角板平移等创新情境画平行线。
3.易错点警示
尺规作图遗漏痕迹：未标注截线、同位角等关键元素。
平移三角板时未紧贴直尺：导致画出的直线不平行。
4.解题技巧拆解
直尺三角板画法口诀：“一落二靠三推四画，平移方向要一致”。
尺规作图关键：①在已知直线上取点构造角；②作等角时圆规半径不变；③反向延长得到平行线。
【例题2】.（24-25七年级下·广东广州·期中）利用直角三角板作图
(1)在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F；
(2)在图中，过点P作直线， 使，交于M．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）按要求画平行线，已知．
(1)过A点作，过C点作交于点E．
(2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F．
【变式题2-2】.（24-25七年级下·四川南充·月考）请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕迹）如图，已知平面上的三个点．
(1)连接；
(2)画射线；
(3)画直线；
(4)过点作的平行线．
【变式题2-3】.（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【题型3】平行线基本事实及其推论应用
1.核心知识点总结
基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（“存在性+唯一性”）。
推论（平行传递性）：若，，则。
2.高频考点梳理
利用基本事实判断“过某点作平行线的条数”。
结合实际情境（如折叠衣架、风车）应用推论证明三点共线。
反证法思想应用：假设过一点有两条平行线，矛盾则验证唯一性。
3.易错点警示
忽略“直线外一点”：直线上的点无法作已知直线的平行线。
误用传递性：未确认中间直线与两条直线均平行，直接得出平行结论。
4.解题技巧拆解
情境题解题步骤：①找出已知平行线；②应用传递性推导新平行关系；③结合“两点确定一条直线”证明共线。
计数问题：直线外一点作平行线仅1条，直线上一点作平行线0条。
【例题3】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．一定与两条平行线都平行
B．可能与两条平行线都相交或都平行
C．一定与两条平行线都相交
D．可能与两条平行线中的一条平行或相交
【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【变式题3-2】.（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是
【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
【题型4】同位角相等判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行（符号语言：，）。
同位角识别：在截线同侧，被截直线同一方向的角（“F”型结构）。
2.高频考点梳理
结合角度计算（如旋转三角板、折叠）找相等同位角，判定平行。
图形中识别同位角并应用定理。
开放性问题：添加同位角相等的条件使两直线平行。
3.易错点警示
同位角识别错误：误将“不同侧”“不同方向”的角当作同位角。
忽略“被第三条直线所截”：未明确截线时直接用角的关系判定平行。
4.解题技巧拆解
同位角识别口诀：“截线同侧，被截线同旁，形状像‘F’”。
角度计算策略：先求已知角的对顶角、邻补角，再判断是否与同位角相等。
【例题4】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：．
【变式题4-1】.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：．
【变式题4-2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可）
【变式题4-3】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：．
【题型5】内错角相等判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行（符号语言：，）。
内错角识别：在截线两侧，被截直线之间的角（“Z”型结构）。
2.高频考点梳理
结合角平分线、对顶角等知识推导内错角相等，判定平行。
复杂图形（如多截线、多被截线）中筛选有效内错角。
跨学科情境（如机械结构、道路设计）中的平行判定。
3.易错点警示
内错角与同位角混淆：误将“同侧”角当作内错角。
未验证“两直线被同一条截线所截”：不同截线形成的角不能用该定理。
4.解题技巧拆解
内错角识别三步：①找截线；②看两角是否在截线两侧；③看是否在两被截直线之间。
推导思路：已知角→角平分线/对顶角→内错角相等→两直线平行。
【例题5】.（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④．
其中能判断的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空：
(1)（已知），
________________（ ）．
(2)（已知），
________________（ ）．
(3)（已知）
（ ）．
【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（ ）
A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④
【题型6】同旁内角互补判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补（和为），则两直线平行（符号语言：，）。
同旁内角识别：在截线同侧，被截直线之间的角（“U”型结构）。
2.高频考点梳理
结合垂直、邻补角计算同旁内角，判定平行。
折叠、旋转问题中，通过角度和推导互补关系。
实际应用（如台球反弹、镜面反射）中的平行判定。
3.易错点警示
混淆“互补”与“相等”：误将同旁内角相等当作判定条件。
计算角度和时出错：忽略邻补角、对顶角的转化。
4.解题技巧拆解
同旁内角识别口诀：“截线同侧，被截线之间，形状像‘U’”。
互补推导策略：①直接计算两角和是否为；②通过“邻补角=180°”转化为内错角/同位角相等。
【例题6】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【变式题6-1】.（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　）
A．和是内错角 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式题6-2】.（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空：
已知
__________ （ ）
已知
____________
已知
___________
已知
___________．
【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，与平行吗？为什么？
【能力提升篇】
【题型7】平行线性质求角度
1.核心知识点总结
性质1：两直线平行，同位角相等（，）。
性质2：两直线平行，内错角相等（，）。
性质3：两直线平行，同旁内角互补（，）。
2.高频考点梳理
结合角平分线、垂直、折叠等知识，利用性质求未知角。
跨学科情境（如光的折射、共享单车结构）中的角度计算。
多平行线叠加（如）的角度传递。
3.易错点警示
混淆“判定”与“性质”：由角的关系推平行是判定，由平行推角的关系是性质。
忽略“两直线平行”前提：未确认平行直接应用性质求角。
4.解题技巧拆解
性质应用三步法：①找平行关系；②识别角的位置（同位/内错/同旁内）；③用性质转化角度。
复杂图形策略：标记已知角→找对顶角/邻补角→利用平行性质传递→计算未知角。
【例题7】.（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式题7-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东
【变式题7-2】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】
（1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由．
【问题解决】
（2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数．
【题型8】折叠问题与平行线
1.核心知识点总结
折叠性质：折叠前后对应角相等、对应边相等（隐含“轴对称”性质）。
结合平行线性质：折叠产生的等角与平行线的同位角、内错角、同旁内角转化。
2.高频考点梳理
长方形、纸带等折叠后，利用平行线求折叠角、重叠角。
折叠与平行结合的开放性问题（如“折叠后哪两条直线平行”）。
多步折叠（如两次折叠）的角度计算与平行判定。
3.易错点警示
忽略折叠后的对应角关系：未找到折叠产生的等角，导致角度转化错误。
混淆“折叠方向”：同向折叠与反向折叠对角度的影响不同，易漏解。
4.解题技巧拆解
折叠问题四步：①确定折叠前后的对应边、对应角；②标记相等角、相等边；③结合平行线性质建立角度方程；④求解并验证。
关键模型：纸带折叠“→”“→”。
【例题8】.（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式题8-1】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ．
【变式题8-2】.（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
【拓展培优篇】
【题型9】过“拐点”作辅助线解决平行线问题
1.核心知识点总结
拐点定义：两条平行线间或同侧的转折点（如“Z”“U”“M”型中的顶点）。
辅助线方法：过拐点作已知直线的平行线（利用平行传递性，转化为多个平行线间的角关系）。
2.高频考点梳理
单拐点模型（如“，求与、的关系”）。
多拐点模型（如“，求的度数”）。
拐点在平行线外侧的拓展模型。
3.易错点警示
辅助线作法错误：未过拐点作平行，或作的辅助线不与已知直线平行。
漏记辅助线产生的角关系：忽略“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的应用。
4.解题技巧拆解
单拐点辅助线口诀：“过拐点，作平行，分角转化找关系”。
常见模型结论（直接应用）：
【例题9】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______；
(2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
【变式题9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数．
【变式题9-2】.（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
(1)请写出这道题的正确选项；
(2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由．
【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东·期末）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
(1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程．
(2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
(3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则．
【题型10】旋转运动中平行线的判定
1.核心知识点总结
旋转性质：旋转前后对应角相等，旋转角等于对应边的夹角。
动态平行判定：通过旋转角度计算，使旋转后的直线与已知直线满足“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”。
2.高频考点梳理
直线/射线绕点旋转，求旋转角度使两直线平行（单解或多解）。
三角板、量角器等工具旋转，结合平行线性质求角度。
双旋转问题（如两条射线同时旋转，求平行时的时间）。
3.易错点警示
漏解旋转方向：顺时针与逆时针旋转可能均存在平行情况。
忽略旋转范围：射线旋转一周（）内，需考虑所有满足条件的角度。
4.解题技巧拆解
动态平行解题步骤：①设旋转角为（或时间）；②表示出旋转后的关键角；③根据平行判定条件列方程；④求解并验证旋转范围。
【例题10】.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中．
(1)若，求的度数；
(2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变．
①当时，求的度数；
②说明与的差是定值．
【变式题10-1】.（24-25七年级下·全国·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含 角的透明直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两条直线，，且，在直角三角尺中，为直角．
(1)【操作发现】
如图①，当三角尺的顶点在直线上时，若 ，则 ；
(2)【探索证明】
如图②，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】
如图③，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线的上方，若存在 ，求射线与直线所夹锐角的度数．
【变式题10-2】.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且．
(1)如图①，若，当时，求的度数；
(2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程．
(3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系．
【变式题10-3】.（24-25七年级下·浙江金华·月考）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
同步练习
一、单选题
1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（ ）
①当时，成立；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③若，，则当、不重合时，；
④相等的角是对顶角；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（2025·云南·模拟预测）如图，已知点C在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个．
①两直线相交，对顶角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④如果，那么点M是的中点．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．45° B．58° C．65° D．75°
二、填空题
6．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得．
7．（25-26七年级上·全国·单元测试）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是 ．
8．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，直线分别交于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与重合），则等于 ．
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ．
10．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间）
三、解答题
11．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
12．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由．
我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号）
13．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，为网格图中的三点，利用网格作图．
(1)过点A画直线；
(2)过点A画线段的垂线，垂足为H；
(3)点A到直线的距离是线段 的长．
14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明．
解：因为（已知）
所以（____________）
因为（已知）
所以______（两直线平行，同旁内角互补）
所以（____________）
因为、分别是和的角平分线（已知）
所以，（____________）
所以______（等式性质）
因为（已知）
所以（____________）
所以（____________）
所以（____________）
15．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且．
(1)求证：．
(2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由．4.2平行线
【基础巩固篇】
【题型1】平行线的定义与平面内两直线位置关系
1.核心知识点总结
平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作或。
两直线位置关系：同一平面内，不重合的两条直线仅存在相交或平行两种关系。
注意：线段/射线平行指其所在直线平行，不可直接说线段/射线平行。
2.高频考点梳理
判断选项中关于平行线定义的表述正误（如忽略“同一平面内”“直线”等关键词）。
识别长方体、网格等图形中平行的棱或线段。
结合生活场景（如衣架、风车）判断直线平行关系。
3.易错点警示
遗漏“同一平面内”前提：空间中存在不相交也不平行的直线（异面直线），但初中阶段仅研究同一平面内。
混淆“直线”与“线段”：误认为不相交的线段一定平行（需延长后不相交才平行）。
4.解题技巧拆解
定义判断三步法：①看是否在同一平面内；②看是否为直线；③看是否不相交。
图形识别：长方体中，同一方向的棱互相平行；网格中可通过“平移法”判断线段平行。
【例题1】.（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直
【答案】C
【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系．
同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行．
【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况．
只有平行的直线无公共点；
故选：C．
【变式题1-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）同一平面内有三条直线，若其中有两条且只有两条直线互相平行，则这三条直线交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两条平行直线无交点，第三条直线与这两条平行直线均相交，故有两个交点
【详解】解：设三条直线为a、b、c，其中，c不平行于a或b
∵ ，
∴ a与b无交点
∵ c与a相交，
∴有一个交点
∵ c与b相交，
∴有一个交点
∴ 三条直线共有两个交点．
故选：C．
【变式题1-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可．
【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行．
故选：A．
【变式题1-3】.（24-25七年级下·江苏南通·月考）下列说法中错误的个数是（ ）
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种．（4）不相交的两条直线叫做平行线．（5）有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角．（6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念，根据平行线、垂直、邻补角、点到直线的距离等概念逐一判断各命题的正确性．
【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线．故错误．
（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；若未限定同一平面，命题不成立．故错误．
（3）同一平面内不重合的两条直线只有相交或平行两种位置关系．故正确．
（4）平行线需满足“同一平面内不相交”，未限定平面则可能为异面直线，故错误．
（5）邻补角需有公共边且另一边互为反向延长线，且和为，仅公共顶点和边不满足，故错误．
（6）点到直线的距离是垂线段的长度，而非“垂线”（垂线为无限长直线），故错误
综上，（1）（2）（4）（5）（6）错误，共5个错误，
故选D．
【题型2】平行线的画法（直尺三角板+尺规）
1.核心知识点总结
直尺三角板画法（四步）：①落（三角板一边靠已知直线）；②靠（直尺靠三角板另一边）；③推（平移三角板过已知点）；④画（沿三角板边画直线）。
尺规画法依据：同位角相等，两直线平行（构造相等同位角实现平行）。
2.高频考点梳理
按要求过直线外一点画平行线（保留作图痕迹）。
判断画法的正确性及依据。
结合网格、三角板平移等创新情境画平行线。
3.易错点警示
尺规作图遗漏痕迹：未标注截线、同位角等关键元素。
平移三角板时未紧贴直尺：导致画出的直线不平行。
4.解题技巧拆解
直尺三角板画法口诀：“一落二靠三推四画，平移方向要一致”。
尺规作图关键：①在已知直线上取点构造角；②作等角时圆规半径不变；③反向延长得到平行线。
【例题2】.（24-25七年级下·广东广州·期中）利用直角三角板作图
(1)在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F；
(2)在图中，过点P作直线， 使，交于M．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画垂线和画平行线，熟知画垂线和画平行线的方法是解题的关键．
（1）根据画垂线的方法作图即可；
（2）根据画平行线的方法画图即可．
【详解】（1）解；如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，直线即为所求．
【变式题2-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）按要求画平行线，已知．
(1)过A点作，过C点作交于点E．
(2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了用直尺和三角板过已知点画平行线，用直尺和三角板作平行线的步骤：一放，二靠，三推，四画，正确操作是解本题的关键．
（1）首先将三角板的一边与重合（一放），直尺靠紧三角板的另一边（二靠），沿直尺平移三角板（三推），使三角板原来与重合的边经过点，过点A沿三角板的这边画直线（四画），同理，过点C作，交于点E．按此操作即可求解．
（2）平行线作法与（1）相同．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）如图所示，
【变式题2-2】.（24-25七年级下·四川南充·月考）请按下列步骤画图：（三角板、直尺作图，不写画法、保留作图痕迹）如图，已知平面上的三个点．
(1)连接；
(2)画射线；
(3)画直线；
(4)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查了画线段、射线、直线、平行线．
（1）用三角板画图，连接即可；
（2）用三角板画图，以点为端点，作射线即可；
（3）用三角板画图，过点和点，作直线即可；
（4）用直尺和三角板画图，过点C作的平行线即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，射线即为所求；
（3）解：如图所示，直线即为所求；
（4）解：如图所示，直线即为所求．
【变式题2-3】.（2025·宁夏·中考真题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作的垂线段；
(2)过点作的平行线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段．
（1）可证，则，因，，，即．
（2）可证，则，又，，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段．
如图，则，因，
∴，
∴，即．
（2）如图，即为所求作的平行线．
如图，，则，又，
∴，
∴．
【题型3】平行线基本事实及其推论应用
1.核心知识点总结
基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（“存在性+唯一性”）。
推论（平行传递性）：若，，则。
2.高频考点梳理
利用基本事实判断“过某点作平行线的条数”。
结合实际情境（如折叠衣架、风车）应用推论证明三点共线。
反证法思想应用：假设过一点有两条平行线，矛盾则验证唯一性。
3.易错点警示
忽略“直线外一点”：直线上的点无法作已知直线的平行线。
误用传递性：未确认中间直线与两条直线均平行，直接得出平行结论。
4.解题技巧拆解
情境题解题步骤：①找出已知平行线；②应用传递性推导新平行关系；③结合“两点确定一条直线”证明共线。
计数问题：直线外一点作平行线仅1条，直线上一点作平行线0条。
【例题3】.（24-25七年级下·山东聊城·月考）下面关于一条直线和两条平行线的位置关系的说法中，正确的是（ ）
A．一定与两条平行线都平行
B．可能与两条平行线都相交或都平行
C．一定与两条平行线都相交
D．可能与两条平行线中的一条平行或相交
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行公理和两直线的位置关系，平面内，两条直线只有平行和相交两种位置关系，那么同一平面内，一条直线和两条平行线的位置关系要么都相交，要么都平行，据此可得答案．
【详解】解：A、一条直线和两条平行线不一定都平行，原说法错误，不符合题意；
B、同一平面内，一条直线和两条平行线可能与两条平行线都相交或都平行，原说法正确，符合题意；
C、一条直线和两条平行线不一定与都相交，原说法错误，不符合题意；
D、一条直线不可能和两条平行线中的一条平行或相交，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【变式题3-1】.（25-26七年级上·全国·单元测试）下列说法中不正确的是（　　）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键．
根据平行线的定义进行逐一判定即可．
【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意；
B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意；
故选A．
【变式题3-2】.（24-25七年级下·宁夏银川·期中）a，b，c是直线，且，则，理由是
【答案】平行于同一直线的两条直线平行
【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键．
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答．
【详解】解：∵（已知），
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：平行于同一直线的两条直线平行．
【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ．
【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案．
【详解】解：不能，
与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行，
故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【题型4】同位角相等判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行（符号语言：，）。
同位角识别：在截线同侧，被截直线同一方向的角（“F”型结构）。
2.高频考点梳理
结合角度计算（如旋转三角板、折叠）找相等同位角，判定平行。
图形中识别同位角并应用定理。
开放性问题：添加同位角相等的条件使两直线平行。
3.易错点警示
同位角识别错误：误将“不同侧”“不同方向”的角当作同位角。
忽略“被第三条直线所截”：未明确截线时直接用角的关系判定平行。
4.解题技巧拆解
同位角识别口诀：“截线同侧，被截线同旁，形状像‘F’”。
角度计算策略：先求已知角的对顶角、邻补角，再判断是否与同位角相等。
【例题4】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．
根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】证明：如图，
与互补，
．
，
．
．
【变式题4-1】.（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，，与互为补角．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了补角的性质：同角的补角相等，平行线的判定等知识；熟悉这些知识是关键；由题意得，再由平行线的判定即可证明．
【详解】证明：∵，与互为补角，
∴，
∴．
【变式题4-2】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可）
【答案】（答案不唯一，正确即可）
【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定方法即可求解．
【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得．
故答案为：（答案不唯一）
【变式题4-3】.（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键．
根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
【题型5】内错角相等判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则两直线平行（符号语言：，）。
内错角识别：在截线两侧，被截直线之间的角（“Z”型结构）。
2.高频考点梳理
结合角平分线、对顶角等知识推导内错角相等，判定平行。
复杂图形（如多截线、多被截线）中筛选有效内错角。
跨学科情境（如机械结构、道路设计）中的平行判定。
3.易错点警示
内错角与同位角混淆：误将“同侧”角当作内错角。
未验证“两直线被同一条截线所截”：不同截线形成的角不能用该定理。
4.解题技巧拆解
内错角识别三步：①找截线；②看两角是否在截线两侧；③看是否在两被截直线之间。
推导思路：已知角→角平分线/对顶角→内错角相等→两直线平行。
【例题5】.（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解．
【详解】解：若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
故答案为：或或或．（答案不唯一）
【变式题5-1】.（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
①；②；③；④．
其中能判断的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【详解】解：①∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴；
③∵，
∴；
④∵，
∴，
∴能判断的条件有①④，共2个
故选：B．
【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，填空：
(1)（已知），
________________（ ）．
(2)（已知），
________________（ ）．
(3)（已知）
（ ）．
【答案】(1)，，同位角相等，两直线平行
(2)，，内错角相等，两直线平行
(3)，同旁内角互补，两直线平行
【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是做题的关键．
（1）根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）根据平行线的判定方法即可得出答案；
（3）根据平行线的判定方法即可得出答案．
【详解】（1）解：，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：，，同位角相等，两直线平行．
（2）解：，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：，，内错角相等，两直线平行．
（3）解：，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：，同旁内角互补，两直线平行．
【变式题5-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定直线的有（ ）
A．③④ B．①③⑤ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：①：既不是同位角，也不是内错角，不能判断，故①错误；
②：同位角相等，两直线平行，能判定直线，故②正确；
③：邻补角互补，不能判定直线，故③错误；
④：内错角相等，两直线平行，能判定直线，故④正确；
⑤：同旁内角互补，两直线平行，能判定直线，故⑤正确．
综上，②④⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是熟练掌握平行线的判定定理．
【题型6】同旁内角互补判定平行线
1.核心知识点总结
判定定理：两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补（和为），则两直线平行（符号语言：，）。
同旁内角识别：在截线同侧，被截直线之间的角（“U”型结构）。
2.高频考点梳理
结合垂直、邻补角计算同旁内角，判定平行。
折叠、旋转问题中，通过角度和推导互补关系。
实际应用（如台球反弹、镜面反射）中的平行判定。
3.易错点警示
混淆“互补”与“相等”：误将同旁内角相等当作判定条件。
计算角度和时出错：忽略邻补角、对顶角的转化。
4.解题技巧拆解
同旁内角识别口诀：“截线同侧，被截线之间，形状像‘U’”。
互补推导策略：①直接计算两角和是否为；②通过“邻补角=180°”转化为内错角/同位角相等。
【例题6】.（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系．
直接利用平行线的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意；
B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意；
C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意；
D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意；
故选：B．
【变式题6-1】.（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　）
A．和是内错角 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D．
【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意；
．若，则，推不出，故该选项不符合题意；
．若，则，推不出，故该选项不符合题意；
．若，则，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式题6-2】.（24-25七年级下·青海海西·期中）如图，，，，，填空：
已知
__________ （ ）
已知
____________
已知
___________
已知
___________．
【答案】见解析
【分析】根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同位角相等，两直线平行由可判断；根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同旁内角互补，两直线平行由可判断 ．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
【详解】解：已知，
内错角相等，两直线平行，
已知，
同位角相等，两直线平行，
已知
，
已知
．
故答案为，，内错角相等，两直线平行；，；，；，．
【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，，与平行吗？为什么？
【答案】与平行，理由见解析
【分析】本题考查平行线的判定．根据同旁内角互补，两直线平行解答即可．
【详解】解：与平行，理由：
∵，，
∴，
∴．
【能力提升篇】
【题型7】平行线性质求角度
1.核心知识点总结
性质1：两直线平行，同位角相等（，）。
性质2：两直线平行，内错角相等（，）。
性质3：两直线平行，同旁内角互补（，）。
2.高频考点梳理
结合角平分线、垂直、折叠等知识，利用性质求未知角。
跨学科情境（如光的折射、共享单车结构）中的角度计算。
多平行线叠加（如）的角度传递。
3.易错点警示
混淆“判定”与“性质”：由角的关系推平行是判定，由平行推角的关系是性质。
忽略“两直线平行”前提：未确认平行直接应用性质求角。
4.解题技巧拆解
性质应用三步法：①找平行关系；②识别角的位置（同位/内错/同旁内）；③用性质转化角度。
复杂图形策略：标记已知角→找对顶角/邻补角→利用平行性质传递→计算未知角。
【例题7】.（2025·辽宁·模拟预测）如图，已知，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，熟知平行线的性质是解题的关键．
先根据平行线的性质求出的度数，再结合即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故选：C．
【变式题7-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，有A，B，C三个地点，且，从地测地的方位角是北偏西，那么从地测得地的方位角是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．北偏东
【答案】D
【分析】本题考查与方向角有关的计算，平行线的性质，根据题意，结合角的和差关系求出的度数，平行线的性质，求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意，，
∵，
∴，
∴从地测得地的方位角为北偏东；
故选D．
【变式题7-2】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
平分，
．
【变式题7-3】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】
（1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由．
【问题解决】
（2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
平分，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
，即，
平分，，
，
，
，
，
，
特色小吃街与主路的夹角的度数为．
【题型8】折叠问题与平行线
1.核心知识点总结
折叠性质：折叠前后对应角相等、对应边相等（隐含“轴对称”性质）。
结合平行线性质：折叠产生的等角与平行线的同位角、内错角、同旁内角转化。
2.高频考点梳理
长方形、纸带等折叠后，利用平行线求折叠角、重叠角。
折叠与平行结合的开放性问题（如“折叠后哪两条直线平行”）。
多步折叠（如两次折叠）的角度计算与平行判定。
3.易错点警示
忽略折叠后的对应角关系：未找到折叠产生的等角，导致角度转化错误。
混淆“折叠方向”：同向折叠与反向折叠对角度的影响不同，易漏解。
4.解题技巧拆解
折叠问题四步：①确定折叠前后的对应边、对应角；②标记相等角、相等边；③结合平行线性质建立角度方程；④求解并验证。
关键模型：纸带折叠“→”“→”。
【例题8】.（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，交于点E，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，折叠得到，即可得出结论．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∴，
∵折叠，
∴；
故选B．
【变式题8-1】.（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可．
【详解】解：在图2中，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在图3中，．
故答案为：．
【变式题8-2】.（24-25七年级下·广西玉林·期末）如图是一条对边互相平行的礼品包装丝带，若按图所示折叠，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，将围巾展开，可知，，再由平行线的性质和三角形外角的性质可求得，即可求出答案．
【详解】解：如图，将围巾展开，
则，，
，
，
，
，
，
又，
，
故选：C．
【变式题8-3】.（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，有一长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠，再沿折叠，当和的度数之和为110°时，则的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，
据题意可知，根据折叠得，可得，再根据平行线的性质和折叠的性质得，接下来求出，然后根据“两直线平行同旁内角互补”得，则答案可得．
【详解】解：根据题意可知，根据折叠得.
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
【拓展培优篇】
【题型9】过“拐点”作辅助线解决平行线问题
1.核心知识点总结
拐点定义：两条平行线间或同侧的转折点（如“Z”“U”“M”型中的顶点）。
辅助线方法：过拐点作已知直线的平行线（利用平行传递性，转化为多个平行线间的角关系）。
2.高频考点梳理
单拐点模型（如“，求与、的关系”）。
多拐点模型（如“，求的度数”）。
拐点在平行线外侧的拓展模型。
3.易错点警示
辅助线作法错误：未过拐点作平行，或作的辅助线不与已知直线平行。
漏记辅助线产生的角关系：忽略“两直线平行，内错角相等/同旁内角互补”的应用。
4.解题技巧拆解
单拐点辅助线口诀：“过拐点，作平行，分角转化找关系”。
常见模型结论（直接应用）：
【例题9】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，何老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)路灯维护工程车的工作示意图如图①，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______；
(2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
【答案】(1)
(2)与所成锐角的度数为
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）构造平行线，利用平行线的性质求解；
（2）过点作，根据平行线的判定定理和性质定理求解．
【详解】（1）解：如图，作，则，
（两直线平行，同旁内角互补），（两直线平行，内错角相等），
，
故答案为：；
（2）解：过点作，
由题意可知：，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即：与所成锐角的度数为．
【变式题9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知．将一副三角板摆放在两条平行线之间，使三角板的顶点E落在直线上，三角板的边落在直线上，并且边在一条直线上．求的度数．
【答案】
【分析】本题考查平行公理，平行线的性质，平角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．作，因为，所以，由平行线的性质可知，即，由三角板的度数可求，则的度数可求．
【详解】解∶作，
∵，
∴，
∴，
∴，
由三角板的度数可知，，
∵，
∴．
【变式题9-2】.（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
(1)请写出这道题的正确选项；
(2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)C
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出；
（2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
即，
故选：C；
（2）解：，理由如下，
如图，过D作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【变式题9-3】.（24-25七年级下·广东·期末）问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
(1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程．
(2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
(3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证；
（2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证；
（3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解；
【详解】（1）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
（3）解：如图：过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
【题型10】旋转运动中平行线的判定
1.核心知识点总结
旋转性质：旋转前后对应角相等，旋转角等于对应边的夹角。
动态平行判定：通过旋转角度计算，使旋转后的直线与已知直线满足“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”。
2.高频考点梳理
直线/射线绕点旋转，求旋转角度使两直线平行（单解或多解）。
三角板、量角器等工具旋转，结合平行线性质求角度。
双旋转问题（如两条射线同时旋转，求平行时的时间）。
3.易错点警示
漏解旋转方向：顺时针与逆时针旋转可能均存在平行情况。
忽略旋转范围：射线旋转一周（）内，需考虑所有满足条件的角度。
4.解题技巧拆解
动态平行解题步骤：①设旋转角为（或时间）；②表示出旋转后的关键角；③根据平行判定条件列方程；④求解并验证旋转范围。
【例题10】.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中．
(1)若，求的度数；
(2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变．
①当时，求的度数；
②说明与的差是定值．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题；
（2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题；
②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题．
【详解】（1）解： ，，
，
，
；
（2）解：①过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②设，
由①可知，，
，
，
，
，
，
与的差是定值．
【变式题10-1】.（24-25七年级下·全国·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含 角的透明直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两条直线，，且，在直角三角尺中，为直角．
(1)【操作发现】
如图①，当三角尺的顶点在直线上时，若 ，则 ；
(2)【探索证明】
如图②，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展应用】
如图③，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点始终在直线的上方，若存在 ，求射线与直线所夹锐角的度数．
【答案】(1)110
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求解即可；
（2）过点作，则，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）根据平角定义、平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，
，
，
，
，
故答案为：110；
（2） ，理由如下：
过点B作．
，
，
，．
，
．
（3） ，
．
，
，
．
，
射线与直线所夹锐角的度数为 ．
【变式题10-2】.（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动t秒，．旋转过程中，始终保持GH过顶点A且．
(1)如图①，若，当时，求的度数；
(2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：①；②．请判断的形状，并给出证明过程．
(3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系．
【答案】(1)70°
(2)直角三角形；证明见解析
(3)或．
【分析】本题考查了平行线的性质．
（1）延长交于D，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可；
（2）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可；
（3）延长交于D，根据C在左右分类讨论，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可．
【详解】（1）解：延长交于D，如图：
，
，
，
，
，
，
；
（2）直角三角形，
证明：，
，
，，
，，
，
，
为直角三角形；
（3）延长交于D，
当C在左侧时，如图：
，
，
，
，
，
；
当C在右侧时，如图：
，，
，，
，
，
；
综上所述，或．
【变式题10-3】.（24-25七年级下·浙江金华·月考）实践与探究：
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度；
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数；
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值．
【答案】(1)105
(2)
(3)20或50或80
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解；
（2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答；
（3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图①，过点作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：105；
（2）解：如图②，过点作，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：①当且在上方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
②当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
③当且在下方，如图，延长交于点，
由题意得，，
由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80．
同步练习
一、单选题
1．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果．
【详解】解：如图，过A点作，
，
∴，
，
，
，
即，
，，
，
故选：C．
2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（ ）
①当时，成立；
②垂直于同一条直线的两条直线平行；
③若，，则当、不重合时，；
④相等的角是对顶角；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】平行公理的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、对顶角相等
【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可．
【详解】①∵当时，，∴①错误；
②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误；
③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确；
④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误；
⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误；
⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误；
综上，只有③正确，共1个；
故选A．
3．（2025·云南·模拟预测）如图，已知点C在上，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，同理求出的度数，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
故选：C
4．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）下列说法中，正确的有（　　）个．
①两直线相交，对顶角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
④如果，那么点M是的中点．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】线段中点的有关计算、垂线段最短、对顶角相等、平行公理的应用
【分析】本题考查对顶角性质、平行公理、垂线段最短性质和中点定义，根据以上知识点逐项判断正误即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：①两直线相交，对顶角相等，原说法正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确；
④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误；
综上所述，正确的有2个，
故选：C．
5．（2025·四川雅安·二模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ）
A．45° B．58° C．65° D．75°
【答案】B
【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决．
【详解】解：过直角顶点作直线如图所示，
，
∴，
则，，
，
，
，
，
，
故选：B．
二、填空题
6．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
根据平行线的判定定理，即可直接写出条件．
【详解】解：添加的条件是：．理由如下：
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案是：（答案不唯一）．
7．（25-26七年级上·全国·单元测试）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下：
甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行；
乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行；
丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行；
对三位同学的答案判断正确的是 ．
【答案】乙、丙
【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行
【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：，
若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误；
若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确；
若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确．
故答案为：乙、丙
8．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，直线分别交于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与重合），则等于 ．
【答案】/25度
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是 ．
【答案】30
【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．
【详解】解：∵，含角的直角三角尺，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：30
10．（25-26七年级上·北京·期中）如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间）
【答案】/30度
【知识点】同位角相等两直线平行、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系．
先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数．
【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等．
已知，当时，对应的同位角应为．
当前，因此木条逆时针旋转的度数为．
故答案为：
三、解答题
11．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知，，垂足分别为点，，且．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直的定义；
（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行由，，得到，根据平行线的性质得，由于，则，然后根据内错角相等，两直线平行可判断；
（2）根据垂直的定义、平角的定义求出，据此求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
12．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）如图，，请在下列选项中①平分，②平分，③，选择两个作为条件，另一个作为探索的结果，并说明理由．
我选的是_______为条件，选_______为探索结果（填序号）
【答案】①②，③；理由见解析
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质及判定，角平分线的性质是关键． 选①②为条件③为结果；根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质得到，，即可证出结论．
【详解】解：选①②为条件③为结果
理由：因为，所以，
因为平分，平分
所以，，
所以．
选①③为条件②为结果
理由：因为，所以，
因为平分，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以平分．
选②③为条件，①为结果，
因为，所以，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
13．（25-26七年级上·江苏淮安·月考） 如图，为网格图中的三点，利用网格作图．
(1)过点A画直线；
(2)过点A画线段的垂线，垂足为H；
(3)点A到直线的距离是线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】点到直线的距离、画垂线、用直尺、三角板画平行线
【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据直线的定义画出图形即可；
（2）根据垂线的定义，画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离的定义解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：点到直线的距离是线段的长；
故答案为：；
14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明．
解：因为（已知）
所以（____________）
因为（已知）
所以______（两直线平行，同旁内角互补）
所以（____________）
因为、分别是和的角平分线（已知）
所以，（____________）
所以______（等式性质）
因为（已知）
所以（____________）
所以（____________）
所以（____________）
【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行
【知识点】根据平行线判定与性质证明
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（同角的补角相等），
∵、分别是和的角平分线（已知），
∴，（角平分线定义），
∴（等式性质），
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；角平分线定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
15．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在光学实验室中，两束平行激光和分别沿水平方向发射．一束斜向光线照射到上，经过折射后与相交于点F，并继续折射至上的点D处，从点D引出一条新的折射光线，且．
(1)求证：．
(2)若命题“已知______，则”是真命题，请填空，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记同位角相等，两直线平行、两直线平行；同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
（1）由对顶角定义得到，结合题意，等量代换即可得到，最后由同位角相等两直线平行即可得证；
（2）由，求得的度数，再由，即可求得的度数．
【详解】（1）证明：和是对顶角，
，
，
，
∴；
（2）解：已知，则，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．

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