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【题型1】再找一组角相等
例1（23-24九年级下·四川达州·月考）如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【分析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；
（2）以点、、为顶点的三角形与相似，已知，则需讨论或，根据正切值求解即可；
【详解】（1）对于，当时，，即点，
令，则，即点.
∵抛物线的对称轴为直线，则点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
设二次函数表达式为：，
∵抛物线过点，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）存在，理由：
在中，，，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，
∴或，
∴或，
即或，
解得：或2，
∵点在轴的负半轴上
即点或；
【点睛】本题属于二次函数及相似三角形的综合题，分类讨论是本题求解的关键．
例2（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒．
(1)点坐标_____
(2)_____，_____（用的关系式表示）
(3)是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先利用勾股定理求出，再用的面积求出，据此可得答案；
（2）根据题意求出，进而求出即可；
（3）已有一对角相等，则需分当时，如图3，此时，当时，如图4，此时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
∴，
故答案为：；；
（3）解：存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，理由如下：
分两种情况：
①当时，如图3，此时，
∴，即，
解得；
②当时，如图4，此时，
∴，即，
解得；
综上所述，存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或．
【题型2】讨论夹边是否成比例
例3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）．
(1)当时，求的值．
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由．
【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解；
（2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式；
（3）分和两种情况讨论．
【详解】（1）解：如图所示：
∵在中，，，．
∴根据勾股定理，得．
，
当时，则，
解得：，
∴当时，；
（2）过点作于点，则．
∴
∴，
即，
∴，
，
∴，
即；
（3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①当时，，
即，
解得：；
②当时，，
即，
解得：．
综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例4（24-25九年级上·上海·月考）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若四边形是正方形，求该正方形的边长；
(3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该正方形的边长为；
(3)存在，点坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可；
（）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可．
【详解】（1）解：将、、，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设点的坐标为，
∵四边形为正方形，
∴，
即，
解得，（舍去），
∴该正方形的边长为；
（3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论：
当，即，
解得，
当，即，
解得，
作轴，垂足为，
当，，点坐标为；
当，，点坐标为；
综上所述：点坐标为或．
5．（18-19九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】D
【详解】解：设抛物线的对称轴交轴于点，由题可知，
，，，，，，，
∵，，∴，，
又，∴，，
则①当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
②当时，，即，，
∴点在点左侧，此时，
综上，在轴上有两点，，满足题意．故选D．
【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是分类讨论的数学思想，所以考虑问题一定要全面，以免漏解．
6．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点．
(1)求点的坐标：
(2)求的大小；
(3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）作轴于．证明，利用全等三角形的性质即可解决问题；
（2）过点作轴，垂足为点．根据平行线等分线段定理证得是中点，再求出坐标即可解决问题；
（3）在中，，得，证得平分，再由与相似，根据相似的性质求出点坐标即可；
【详解】（1）过点作轴，垂足为点．

∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∵，
∴．
∴，，
∴
（2）设点的坐标为，
过点作轴，垂足为点．

∵，．
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
（3）存在点，分两种情况：

∵在中，
∵，
∴
当点在轴时，
∵，
∴当与相似．有或
∴或
∴，
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．

(1)_____厘米；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)10
(2)
(3)或时，与相似
【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定；
（1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度；
（2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可；
（3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解.
【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米，
∴，厘米，
∴在中，厘米
（2）解：由题意得：，
∵厘米，厘米
∴，
∵
∴
∴
∴
解得：
（3）解：当时，，
∴
解得：
当时，，
∴
解得：.
综上所述：或时，与相似.
8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．
(1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？
(2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)秒或秒
(2)存在，秒或秒
【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解；
（2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的，
由题意得，，，
∵矩形中，，
∴，，，
∴矩形的面积为：，
∴的面积，
∴，
解得：，，
答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的；
（2）由题意得，，，
若，
则有，
∴，
解得：，
若，
则有，
∴，
解得：，
答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
9．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)若平分，求t的值；
(2)当时，求点E的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可．
【详解】（1）解：当平分时，，
∴是等腰直角三角形，
（2）∵，
又
，
，
当时，，
∴，
∴点坐标为；
（3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下：
当点在点上方时，如图1，
若时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：(不合题意舍去)，
∴；
∴点；
当点在点下方时，如图2，
①若时，
又∵，
则，
解得：(不合题意舍去)，
②若，则，
整理得：，
∴这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
10．（24-25九年级上·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为．
(1)请用含的代数式表示、；
(2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似；
(3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，．
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得；
（2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得；
（3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
垂直平分，
，
由题意得：，
，．
（2）解：①当时，
则，即，
解得；
②当时，
则，即，
解得，
综上，的值为或．
（3）解：的面积为，
的面积是面积的，
，
如图，过点作于点，
，
，
，即，
解得，
，即，
这个方程根的判别式为，没有实数根，
所以不存在的值使得的面积是面积的．
11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．
(1)______；______；（用含的代数式表示）
(2)用含的代数式表示点的坐标．
(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或见解析
【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到
，，解答即可．
（2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可．
（3）分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，
∴，，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：延长交于点G，
∵矩形，，
∴，
∴矩形，矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点．
（3）解：存在，理由如下：
根据问2证明，得，，
∴，
当时，得，
∴，
解得；
当时，得，
∴，
解得；
综上所述，当或时，结论成立．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键．
12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．

(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①，②存在，
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解．
（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可；
②分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：抛物线是黄金抛物线，
，
所求抛物线的表达式为，
配方得：，
点的坐标为；
（2）解：①由（1）得：抛物线的对称轴是直线，
点的坐标为，
点在这个黄金抛物线上，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
；
②存在，
过点作，垂足为，
抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况
①，
又，，
∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去；
②，
∵，
，
，
，
，，
，
点在射线上，
点的坐标为．
13．（25-26九年级上·上海·期中）已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）将代入求出，再将代入即可得反比例函数的表达式；
（2）联立一次函数与反比例函数求出点B坐标，根据平移前后解析式求出点A和点D坐标，根据两点间距离公式表示出，时，，由勾股定理得，由此求出m的值即可；
（3）根据题意画出示意图，分，，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得：，
，
将代入，得：，
解得，
，
（2）解：联立得，
解得，，
将代入，得：，
，
令，得，
，
的图象向下平移个单位长度所得的图象的解析式为：，
令，得，
，
，，，
，，，
当时，，
，
，
解得；
（3）解：存在，点E的坐标为或．
如图，设平移后的一次函数图象与轴交于点，
由（2）知，
则，
∵，，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
当点在点左侧，时，
，
∵，
，
，
，
；
当点在点右侧，且在点左侧，时，如图，
，
，
，
，
；
当点在点右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴以，，为顶点的三角形不与相似，
综上，点E的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，一次函数的平移，勾股定理，相似三角形的性质，坐标系内两点间距离公式等，综合应用上述知识点是解题的关键．
14．（24-25九年级上·上海·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明．
【答案】(1)，，
(2)2
(3)存在；
【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解；
（2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解；
（3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点
∴当时，，
解得：
∴，，
当时，，
∴
（2）∵，
∴
过点 作 轴于点 ，即 ．
，
．
，
．
，
，
设 ，，则 ．即 ．
把点 坐标代入二次函数解析式，得
解得：或（舍去）
．
，，
．
，，
．
在 中， ．
（3）解：∵在抛物线的对称轴上，，，
∴
设直线的解析式为，代入， 得，
解得：
∴直线的解析式为
当时，
∴
∵，而，
∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，
如图所示，
当，
∴
∴
∵在抛物线的对称轴上，，则
∴
∴，即
当时，
∴
∴
设，则，
∴
∵，
∴
∴
∴，即
综上所述，
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键．
15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，面积有最大值，为
(3)、或
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；
（3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
（3）解：由（1）知，当时，，解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．
16．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．

(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答，
(3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似 若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)，见解析
(2)没有进行分类讨论，见解析
(3)存在，或
【分析】本题主要考查三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据三角形相似的性质得到，再进行计算；
（2）根据题意可知另一个错误在于未进行分类讨论，进而解答即可；
（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
正确的比例式是，
；
（2）解：另一个错误在于未进行分类讨论，如图，过点作
，则，
，
，
综上所述，为或．
（3）解：当时，设，则，
则由得，
，
解得：；
当时，
则由得，
解得：
综上所述，当或时以为顶点的三角形与相似．
17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求一次函数的表达式，并求的面积．
(2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把，代入到中得：，解得，
∴一次函数的表达式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与不垂直，
∵与相似，
∴只存在和这两种情况，
当时，则，，
∴，，
∴此时点D为的中点，
∴点D的坐标为；
当时，则，，
∴；
设，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．
18．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和点坐标；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再将一次函数与二次函数的解析式联立方程组并求解，即可得到点E的坐标；
（2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案．
【详解】（1）、两点均在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过点，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
点E的坐标为；
（2）存在点，坐标为或．
理由：若存在这样的点P，使得以、、为顶点的三角形与相似，
如图所示，由于是等腰直角三角形，则存在两种情况，即，或，
当时，，
，
，
点的坐标为；
当时，，
，
，
，
点的坐标为；
所以满足题意的点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键．
19．（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和的值；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为，
(2)存在，点的坐标为或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键．
（1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把代入即可得答案；
（2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
把代入，
得，
；
（2）解：把代入，得，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
由于点在轴上，设，则，
若∽，
得，即，
解得，
点的坐标为，
若∽，
得，即，
解得，
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
20．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2),当时，有最大值
(3)存在，或
【分析】本题考查了二次函数的性质及相似三角形的判定及性质；
（1）将，，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式，即可表示出点E和点G的坐标，从而得出EG再根据解直角三角形求得EF，根据二次函数的最值即可得出答案；
（3）分和两种情况，根据相似三角形的性质得出线段之间的关系求得的值，从而求得点G的坐标．
【详解】（1）由题意得，
∴
∴；
（2）设直线的表达式为，
∵过点，，
∴，
∴，
∴直线的表达式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，有最大值；
（3）存在
∵，，的坐标为，，
∴①当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
②当时，，
即，
解得，
此时的坐标为，
综上，点坐标为或【题型1】再找一组角相等
例1（23-24九年级下·四川达州·月考）如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线
(1)求该二次函数表达式；
(2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
【解析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案；（过程见解析版）；
（2）以点、、为顶点的三角形与相似，已知，则需讨论或，根据正切值求解即可；
【详解】存在，理由：
在中，，，则，
∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，，
∴或，
∴或，
即或，
解得：或2，
∵点在轴的负半轴上
即点或；
【点睛】本题属于二次函数及相似三角形的综合题，分类讨论是本题求解的关键．
例2（24-25九年级上·江苏扬州·月考）如图1，在中，，，，．如果以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，同时点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为秒．
(1)点坐标_____
(2)_____，_____（用的关系式表示）
(3)是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）先利用勾股定理求出，再用的面积求出，据此可得答案（具体过程见解析版）；
（2）根据题意求出，进而求出即可得答案；（具体过程见解析版）；
（3）已有一对角相等，则需分当时，如图3，此时，当时，如图4，此时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，理由如下：
分两种情况：
①当时，如图3，此时，
∴，即，
解得；
②当时，如图4，此时，
∴，即，
解得；
综上所述，存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与相似，此时t的值为或．
【题型2】讨论夹边是否成比例
例3（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）．
(1)当时，求的值．
(2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解；（具体过程见解析版）；
（2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式（具体过程见解析版）；
（3）分和两种情况讨论．
【详解】（3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①当时，，
即，
解得：；
②当时，，
即，
解得：．
综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例4（24-25九年级上·上海·月考）如图，已知抛物线过点，，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一个动点，轴，交轴于点，交线段于点，轴，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若四边形是正方形，求该正方形的边长；
(3)连接、，抛物线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该正方形的边长为；
(3)存在，点坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；（具体过程见解析版）
（）设点的坐标为，由四边形为正方形，则，即，然后解方程并检验即可求解为；（具体过程见解析版）
（）由、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论当，即，当，即，分别求出的长即可．
【详解】（3）解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴、、为顶点的三角形与相似时，分两种种情况讨论：
当，即，
解得，
当，即，
解得，
作轴，垂足为，
当，，点坐标为；
当，，点坐标为；
综上所述：点坐标为或．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连结，．在轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的所有点的坐标为（　　）
A．， B．，
C．，， D．，
6．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在等腰直角中，，已知、，M为中点．
(1)求点的坐标：
(2)求的大小；
(3)在x轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．

(1)_____厘米；
(2)当为何值时，；
(3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由．
8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动．
(1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？
(2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
9．（23-24九年级上·四川眉山·期中）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)若平分，求t的值；
(2)当时，求点E的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（24-25九年级上·广东河源·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为．
(1)请用含的代数式表示、；
(2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似；
(3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
11．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．
(1)______；______；（用含的代数式表示）
(2)用含的代数式表示点的坐标．
(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
12．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．

(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（25-26九年级上·上海·期中）已知一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点、．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数的图象向下平移个单位长度所得的图象交轴于点，连接、，当时，求的值；
(3)在（2）的条件下，在轴是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
14．（24-25九年级上·上海·月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点．
(1)求点的坐标；
(2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明．
15．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
16．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．

(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答，
(3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似 若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

17．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求一次函数的表达式，并求的面积．
(2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
18．（23-24九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线：的图像与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和点坐标；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标：若不存在，试说明理由．
19．（2025·陕西西安·三模）如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和的值；
(2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
20．（2023·山东烟台·一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
(3)点在运动过程中，是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

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