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2025秋季初三数学同步讲义16-圆（1）
【基础巩固】
1、角度求解：圆周角定理、直径所对圆周角为90°、圆内接四边形对角互补、遇相切连接圆心和切点得90°、连半径得等腰三角形；
2、长度求解；
3、扇形弧长计算；
4、阴影部分面积的计算——割补法、转化。
【精准突破】
一．角度求解
例1．（圆周角定理）已知：如图，四边形是的内接四边形，，，点是劣弧上不同于点，的任意一点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
例2．（直径所对圆周角为90°）如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例3．（遇相切连接圆心和切点得90°）如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例4．（圆内接四边形对角互补）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例5．（连半径得等腰三角形）如图，AB是⊙O 的直径，C、F为⊙O 上的点，AE是⊙O 的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
例6．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，点在圆上且在正五边形外部，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例7．（综合）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【实战演练】
1．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的外接圆，连接、，若，则（ ）°
A．80 B．100 C．140 D．160
5．如图，是的内接四边形，是的直径，过点D的切线交的延长线于点E，若，则 度．
6．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）

A． B． C． D．
11．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且 ，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
12．如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是( )
A．30° B．35° C．50 D．55°
14．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，为的直径，点在上，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
二．长度计算
例1．（垂径定理）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
例2．（方法：勾股定理方程）如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
例3．（切线长定理）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长．
【实战演练】
1．如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ．
2．如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ．
4．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
5．难：如图，在菱形中，，，经过、两点，且与相切于点，与相交于点．点为线段的中点，则长为 ．
三．扇形弧长计算
例1．如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【实战演练】
1．如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为 ．（结果保留）
2．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B．
C． D．
四．求阴影部分面积
例1．（割补法）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为 ．
例2．（涉及30°）如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为 ．
例3．如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
例4．（转化）如图，在中，，，以为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 ．
例5．（转化）如图，点A、B、C是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【实战演练】
1．如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ．
2．如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，弧的长度为，则阴影部分的面积为 ．

3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 ．
4．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
5．如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ．
7．如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
8．如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A． B． C． D．6
9．如图，在扇形中，，，于点O，交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．

10．如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是 ．
12．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ．
14．如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）
16．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
17．如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为 ．
18．如图，是的直径，是的切线，切点为A，交于点D，点E是的中点．若的半径为1，，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
20．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
21．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
22．如图，正八边形和正方形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
23．如图，在☉O中，弦CD与直径AB平行，CD=OA=2，则阴影部分的面积为 ．
24．如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .

25．如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ．
2025秋季初三数学同步讲义16-圆（1）
【基础巩固】
1、角度求解：圆周角定理、直径所对圆周角为90°、圆内接四边形对角互补、遇相切连接圆心和切点得90°、连半径得等腰三角形；
2、长度求解；
3、扇形弧长计算；
4、阴影部分面积的计算——割补法、转化。
【精准突破】
一．角度求解
例1．（圆周角定理）已知：如图，四边形是的内接四边形，，，点是劣弧上不同于点，的任意一点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，，
，
∵，
．
故选：B．
例2．（直径所对圆周角为90°）如图，为的直径，，是上的两点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接．
是直径，
，
，
，
故选：B．
例3．（遇相切连接圆心和切点得90°）如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故选：B．
例4．（圆内接四边形对角互补）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，，如图，
∵，，
∴，
∵，四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵直线为的切线，
∴，
∴．
故选：C ．
例5．（连半径得等腰三角形）如图，AB是⊙O 的直径，C、F为⊙O 上的点，AE是⊙O 的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠ADB＝50°，则∠BFC 的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
【答案】B
【详解】如图，连接OC
根据题意，得：
∴
∵AE是⊙O 的切线，
∴
∵∠ADB＝50°，
∴
∴
∴
∴
故选：B．
例6．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，点在圆上且在正五边形外部，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
∵，与相切，
，
正五边形的内角度数为，
在正五边形和不规则五边形中
，
，
故选：B．
例7．（综合）如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
【实战演练】
1．如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解∶∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选∶C．
2．如图，内接于，是的直径，过点D作的切线，交的延长线交于点E．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，是的直径，点C为圆上一点，且，过点C作的切线，交的延长线于点D．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．如图，是的外接圆，连接、，若，则（ ）°
A．80 B．100 C．140 D．160
【答案】D
【详解】解：在优弧中取点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
5．如图，是的内接四边形，是的直径，过点D的切线交的延长线于点E，若，则 度．
【答案】115
【详解】解：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，线段为的直径， ．若，与的延长线交于F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接，
∵ ，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
同理，
∴，
故选：A．
7．如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
．
故选：A．
8．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵正五边形，
∴，
连接，
由题意，得：，
∴，
∴；
故选B．
9．如图，的边经过的圆心，与相切于，是上的一点，连接，，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设交于点，连接、，
与相切于，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
故选：C．
10．如图，半径长，点A、B、C是三等分点，D为圆上一点，连接，且，交于点E，则（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接，
∵半径长，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵点A、B、C是三等分点，
∴，
∴，
故选：A．

11．如图，四边形内接于，是的直径，点E在上，且 ，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
由圆周角定理得：；
∵，
∴；
∵四边形内接于，
∴，
故选：B．

12．如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接AD
∵是的直径
∴∠ADB=90°
由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC
又
∴∠ADC=20°
∴∠CDB=∠ADC+∠ADB=90°+20°=110°
故选：B．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是的中点．若∠D＝110°，则∠AEB的度数是( )
A．30° B．35° C．50 D．55°
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°-∠D=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=35°，
故选B．
14．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，是的切线，根据切线长定理得，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
15．如图，为的直径，点在上，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接、，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
16．如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接．
∵六边形是正六边形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
17．如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/105度
【详解】解∶连接，
∵，，
∴，，
∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
二．长度计算
例1．（垂径定理）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【详解】解：
的直径垂直于弦
又
．
故选：C．
例2．（方法：勾股定理方程）如图，是的直径，是的切线，切点为D，与的延长线交于点C，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵是的直径，是的切线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
故选：D．
例3．（切线长定理）如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长．
【答案】
【详解】解：，，分别与相切于，，；
，，
，
，
，即，
，
所以的长为．
【实战演练】
1．如图，已知的直径，是的中点，与交于点．若是的中点，则弦的长是 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接交于点F，
是的中点，
，，
又 ，
是的中位线，
，
是的直径，
，
在和中，
，
，
，
，
的直径，
，
，
在中，，
故答案为：．
2．如图，与正六边形的边，分别相切于点，点．若，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵多边形是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，
∴的半径长为，
故选：B．
3．如图，是的直径，为延长线上一点，切于点，平分，与的延长线交于点，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵切于点，
，
∵平分，
,
，
，
，
，
，
，，
，
∵是的直径，
，
在直角中，由勾股定理得,
利用等面积法可得,
故答案为：．
4．如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ．
【答案】6
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
5．难：如图，在菱形中，，，经过、两点，且与相切于点，与相交于点．点为线段的中点，则长为 ．
【答案】
【详解】解：设交于点，连接并且延长交于点，连接，则，
与相切于点，
，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
，，，
，
，，，
△△，
，，
，
，
，
，
，
点为线段的中点，
，
故答案为：．
三．扇形弧长计算
例1．如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与，分别相交于点，，点是上一点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接,
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴也是的平分线，即．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴半径．
∴弧的长度．
故选：C
【实战演练】
1．如图，在中，，，以为直径的半圆与，分别相交于点D，E，则的长为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：如图，记中点为，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
2．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵阴影部分的周长，
∴阴影部分的周长．
故选：A．
四．求阴影部分面积
例1．（割补法）如图，在中，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，交于点，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，交弧于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：连接、，过点作于点
在中，，，，
∴，，
由题意可知，
∴为等边三角形，为等边三角形
∴
∴，
∴
∴，
在中，，，
∴，
∴，
，
，
，
∴
故答案为：．
例2．（涉及30°）如图，在矩形中，以点A为圆心，的长为半径作圆，交于点E，过点B作的切线交于点G，切点为点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，，
∴，
∵过点B作的切线交于点G，切点为点F，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：．
例3．如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AMO=∠ANO=90 ，
∵∠BAC=120 ，
∴∠MON=60 ，
∵的长为，
∴，
∴OM=3，
∵在Rt△AMO和Rt△ANO中，
，
∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)，
∴∠AOM=∠AON=∠MON=30 ，
∴AM=OM·tan30 =，
∴，
∵∠MON=60 ，
∴∠MOE+∠NOF=120 ，
∴，
∴图中阴影面积为
=
=，
故答案为：．
例4．（转化）如图，在中，，，以为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，那么阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】如图，过点O作于点M，交折叠前的弧于点N，连接，∵为直径的交于点D，弧沿直线翻折后经过点O，
∴，
∴四边形是菱形，且都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且都是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
例5．（转化）如图，点A、B、C是上的点，连接，且，过点O作交于点D，连接，已知的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【实战演练】
1．如图，已知四边形是菱形，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：连接，设与交于点，与交于点，
四边形是菱形，，
，
.
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，，
，
，是等边三角形，
的高为，
，
扇形的圆心角为，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
扇形的半径为6，圆心角为，
，
图中阴影部分的面积，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
2．如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，弧的长度为，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
∵以点为圆心，以长为半径画弧交于点，
∴，
∵弧的长度为，
∴
∴，即，
，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，AB=4，∠BAD=60°，E为AD上一点，以点E为圆心，以ED的长为半径作弧与BC相切于点H，点F为线段AB中点，则阴影部分面积为 ．
【答案】
【详解】解：过点BG⊥AD于G，连接EH、BD，如图
∵在直角△ABG中，AB=4，∠BAD=60°，
∴，，
∵点H为切点，
∴EH⊥BC，
∴四边形BGEH是矩形，
∴ED=EH=BG，
∴ ，
∵，，
∴△ABD是直角三角形，即AB⊥BD，
∴，
∵点F为线段AB中点，
∴；
∵，
∴
；
故答案为：．
4．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图
是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
阴影部分的面积为
故答案为：
5．如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作于H，如图所示：
∵，，，
∴，
由旋转，得，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积
．
故选：D．
6．如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵是的中垂线，
∴，，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
7．如图，在中，，，以为直径的交于点D，过点D作的切线，交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为的切线，
∴,
∴，
在中，
∵，
∴,
∴．
故答案为:．
8．如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【详解】解：∵在矩形中，，F是中点，
∴，
∴，
∴，
故选A．
9．如图，在扇形中，，，于点O，交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【详解】解：如图，设交于点R，过点R作于点T，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
=
=
故答案为：．
10．如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
11．已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：设与的交点是F，
由题可知，，，，
在中，，
∴，，
∴，
∵是圆的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
，
易知①②③三部分面积相等，为，
∴，
∴阴影部分总面积为．
故答案为：．
12．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接、．
由题意知，
∴，
∴点是半圆的圆心，
∴，
∴是等边三角形，
．
故答案为：．
13．如图，在中，，以点为圆心、为半径画弧交． 于点，连接，若，则图中弧的长为 ，阴影部分的面积是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点D作于点F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
∴弧的长为，，，
∴
．
故答案为：；
14．如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】连接，
是边长为的等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形，边长为3，
，
，
，
，
同理可得，，
四边形为菱形，
，
，
．
故选：D．
15．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留）
【答案】
【详解】解：∵旋转，
∴，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【详解】解：过A作，
∵，，
，
∵，
∴，
，
，
，
设长度为，则，在中，由勾股定理得：
解得：，
，
，
则，，
，
．
故答案为：．
17．如图，是的直径，是的两条弦．分别延长和相交于点，已知，，弦的长为，则图中阴影部分面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接，过点D作，过点O作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵弦的长为，
∴
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴
∵，且，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，
∴
∴，
∴
∴阴影面积
，
故答案为：．
18．如图，是的直径，是的切线，切点为A，交于点D，点E是的中点．若的半径为1，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，
是的直径，是的切线，
，
半径为1，
，
，，
，，
，
，
又点E是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
19．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【详解】解：连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，
∵AC是⊙O的切线，切点为A，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，cosB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠AOD＝2∠B＝120°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-∠B=90°-60°=30°，
在Rt△ADB中，BD＝AB＝1，
∴AD＝BDtan60°=BD＝，
∵直线DE、EA都是⊙O的切线，
∴EA＝ED，∠DAE=90°-∠BAD=90°-30°＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
而OA＝OD，
∴OE垂直平分AD，
∴∠AFO=90°，
在Rt△AOF中，∠OAF=30°，
∴OF＝OA＝，
∴S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD，
＝S△ADE＋S△AOD﹣S扇形AOD，
＝×（）2＋××﹣，
＝．
故答案为．
20．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，过作于G，
∵圆与边恰好相切于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵阴影部分面积为，
∴，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
21．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在正方形中，，
∴的半径为：，
∵过点O，
∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即，
∴阴影部分面积为：
．
故选：A．
22．如图，正八边形和正方形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【详解】解：八边形是正八边形，四边形边形是正四边形，
，，
，
．
故答案为：．
23．如图，在☉O中，弦CD与直径AB平行，CD=OA=2，则阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接OC，AD，OD，OD交AC于点P．
∵CD=OA，，
∴四边形AOCD为平行四边形．
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD为菱形，
∴AD=CD，AC与OD互相垂直平分，且．
∴线段AD与劣弧围成的面积=线段CD与劣弧围成的面积，，
∴，如图．
∵CD=OA=2，，
∴．
故答案为：．
24．如图，在半径为6的中，点都在上，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 .

【答案】
【详解】解：连接OB，

∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OC∥AB，
∴S△AOB=S△ABC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB==6π，
故答案为：6π．
25．如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：如图，连接，设交于，交于．
，，，
，，，
，
，
，
，
∴
．
故答案为：．

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