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第三章 位置与坐标
平面直角坐标系的基本概念
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.
(1)坐标轴：水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴.
(2)原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点.
象限：如图所示，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
点的坐标特征
平面直角坐标系中点的表示方法：在平面直角坐标系中，要想表示一个点的位置，就要用它的“坐标”来表示.对于平面上的任意一点P，如图所示，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)[(横坐标，纵坐标)]叫作点P的坐标.
各象限内点的坐标符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反.
如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是( ).
A.(3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4)
在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为(2，－1)，那么点A一定在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
已知点P在第二象限内，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是( ).
A.(3，－4) B.(3，4) C.(－4，3) D.(4，－3)
已知点P(a，2a＋3)在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝ .
用坐标表示地理位置
可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点.
建立平面直角坐标系的基本思路：
(1)选原点：分析条件，选择适当的点作为坐标原点.
(2)作两轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴与y轴.
(3)定坐标系：确定x轴、y轴的正方向、单位长度
建立平面直角坐标系的原则：①运算简便；②各点坐标易于表示
生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是( ).
A.东经113°，北纬34° B.距离二七纪念堂10km
C.中原福塔北偏东20°，距离500m D.物理第一实验室3排1座
如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为(－3，－1)，黑棋①的坐标为(1，－4)，则白棋④的坐标为( ).
A.(－2，－3) B.(4，－4) C.(－2，－5) D.(－5，－2)
在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是(－1，－1)，(－1，2)，(3，2) ，则第四个顶点的坐标是 .
在平面直角坐标系中，AB//x轴，AB＝2，若点A(1，－3)，则点B的坐标是( ).
A.(1，－1) B.(1，－5)或(1，－1) C.(3，－3) D.(－1，－3)或(3，－3)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，AB//x轴，且AB＝5，则点B的坐标为 .
在平面直角坐标系中，若A(m＋3，－1)，B(3，1－m)，且直线AB//y轴，则m的值是 .
轴对称与坐标变化
图形的坐标变化与轴对称的关系
(1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称；
(2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称.
横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称.
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)；
关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b).
将直角坐标系中的点(－1，－3)向上平移4个单位，再向右平移2个单位后的点的坐标为( ).
A.(3，－1) B.(－5，－1) C.(－3，1) D.(1，1)
在平面直角坐标系中，点A(－1，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为( ).
A.(－1，－2) B.(1，2) C.(1，－2) D.(－1，2)
已知点M的坐标为(－3，4)，它关于y轴的对称点的坐标为
窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为(3，1)，则点B的坐标为 .
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为 .
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，作点A关于直线OB的对称点C，则点C的坐标为
如图所示,在平面直角坐标系中，已知A(0，1)、B(2，0)、C(4，3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4.求点P的坐标.
如图，在8×12的正方形网格中，网格线的交点叫作格点，点A，B，C都在格点上.请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4).
(1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点C1，的坐标是
(2)设l是过点C且平行于y轴的直线.
①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使PA＋PB最小，则PA＋PB的最小值是 ；此时点P的坐标为 .
如图，在平面直角坐标系中，△ABC在第二象限，且点A、B、C的坐标分别为(－5，2)，(－2，4)，(－1，1).
(1)作出△ABC；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出△ABC的面积；
(3)若四边形ACDB为平行四边形，则点D的坐标为 .
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－4，3)，B(－1，2)，C(－2，－2).
(1)将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B'，请在图中画出点B'，并写出B'的坐标 ；
(2)△ABC的面积为 ；
(3)点P为y轴上一点，连接AP，CP，是否存在这样的点P，使得AP＋CP的值最小 若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由.
在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴正半轴交于点A(a，0)，与y轴交于点B(0，－4)，过点B作AB垂线交直线x＝4于点P.
(1)如图，当a＝2时，求点P的坐标；
(2)点Q是y轴正半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ.
①当线段PQ的长为8时，求a的值；
②试探究直线PQ是否经过某一定点.若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
第三章 位置与坐标(答案)
平面直角坐标系的基本概念
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.
(1)坐标轴：水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴.
(2)原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点.
象限：如图所示，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分.右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限.坐标轴上的点不在任何一个象限内.
点的坐标特征
平面直角坐标系中点的表示方法：在平面直角坐标系中，要想表示一个点的位置，就要用它的“坐标”来表示.对于平面上的任意一点P，如图所示，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(a，b)[(横坐标，纵坐标)]叫作点P的坐标.
各象限内点的坐标符号：第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)，第三象限(－，－)，第四象限(＋，－)；x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反.
如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是( B ).
A.(3，4) B.(－3，4) C.(－3，－4) D.(3，－4)
在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为(2，－1)，那么点A一定在( D ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
已知点P在第二象限内，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是( C ).
A.(3，－4) B.(3，4) C.(－4，3) D.(4，－3)
已知点P(a，2a＋3)在第二象限，且P到x轴的距离与它到y轴的距离相等，则a＝ －1 .
用坐标表示地理位置
可通过建立平面直角坐标系，确定原点、单位长度和坐标轴方向，将实际地点用坐标表示，或根据坐标确定地点.
建立平面直角坐标系的基本思路：
(1)选原点：分析条件，选择适当的点作为坐标原点.
(2)作两轴：过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴与y轴.
(3)定坐标系：确定x轴、y轴的正方向、单位长度
建立平面直角坐标系的原则：①运算简便；②各点坐标易于表示
生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是( B ).
A.东经113°，北纬34° B.距离二七纪念堂10km
C.中原福塔北偏东20°，距离500m D.物理第一实验室3排1座
如图，这是围棋棋盘的一部分，将它放置在某个平面直角坐标系中，若白棋②的坐标为(－3，－1)，黑棋①的坐标为(1，－4)，则白棋④的坐标为( C ).
A.(－2，－3) B.(4，－4) C.(－2，－5) D.(－5，－2)
在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是(－1，－1)，(－1，2)，(3，2) ，则第四个顶点的坐标是 (3，－1) .
在平面直角坐标系中，AB//x轴，AB＝2，若点A(1，－3)，则点B的坐标是( D ).
A.(1，－1) B.(1，－5)或(1，－1) C.(3，－3) D.(－1，－3)或(3，－3)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，AB//x轴，且AB＝5，则点B的坐标为 (7，3)或(－3，3) .
在平面直角坐标系中，若A(m＋3，－1)，B(3，1－m)，且直线AB//y轴，则m的值是 0 .
轴对称与坐标变化
图形的坐标变化与轴对称的关系
(1)横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于x轴成轴对称；
(2)纵坐标保持不变，横坐标分别乘－1，所得图形与原图形关于y轴成轴对称.
横、纵坐标都乘－1，所得图形与原图形关于原点对称.
关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标是P'(a，－b)；
关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标是P″(－a，b).
将直角坐标系中的点(－1，－3)向上平移4个单位，再向右平移2个单位后的点的坐标为( D ).
A.(3，－1) B.(－5，－1) C.(－3，1) D.(1，1)
在平面直角坐标系中，点A(－1，2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为( B ).
A.(－1，－2) B.(1，2) C.(1，－2) D.(－1，2)
已知点M的坐标为(－3，4)，它关于y轴的对称点的坐标为 (3，4)
窗花是我国民间传统剪纸艺术，如图，蝴蝶窗花可以看作轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，对称轴是y轴，A，B是一对对应点，若点A的坐标为(3，1)，则点B的坐标为(－3，1) .
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为 (－，1) .
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4，0)，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，作点A关于直线OB的对称点C，则点C的坐标为 (－2，2)
如图所示,在平面直角坐标系中，已知A(0，1)、B(2，0)、C(4，3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)已知P为x轴上一点,若△ABP的面积为4.求点P的坐标.
答案：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2) 点P的坐标为P(10，0)或P(－6，0).
如图，在8×12的正方形网格中，网格线的交点叫作格点，点A，B，C都在格点上.请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4).
(1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 (1，2) ，点C关于x轴的对称点C1，的坐标是 (1，－2)
(2)设l是过点C且平行于y轴的直线.
①点A关于直线l的对称点A1的坐标是 (5，1) ；
②在直线l上找一点P，使PA＋PB最小，则PA＋PB的最小值是 3 ；此时点P的坐标为 (1，3) .
答案：(1)①建立的平面直角坐标系xOy如解图所示：；
如图，在平面直角坐标系中，△ABC在第二象限，且点A、B、C的坐标分别为(－5，2)，(－2，4)，(－1，1).
(1)作出△ABC；
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并求出△ABC的面积；
(3)若四边形ACDB为平行四边形，则点D的坐标为 .
答案：(1)如解图，△ABC为所作；(2)如解图，△A1B1C1，△ABC的面积为；
(3)如解图，D点坐标为(2，3).
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(－4，3)，B(－1，2)，C(－2，－2).
(1)将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点B'，请在图中画出点B'，并写出B'的坐标 (3，－1) ；
(2)△ABC的面积为 ；
(3)点P为y轴上一点，连接AP，CP，是否存在这样的点P，使得AP＋CP的值最小 若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在；请说明理由.
答案：(1) 点B'见解图；
(2)存在，点P的坐标为(0，－).如解图
在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴正半轴交于点A(a，0)，与y轴交于点B(0，－4)，过点B作AB垂线交直线x＝4于点P.
(1)如图，当a＝2时，求点P的坐标；
(2)点Q是y轴正半轴上一点，且OQ＝OA，连接PQ.
①当线段PQ的长为8时，求a的值；
②试探究直线PQ是否经过某一定点.若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
答案：(1)如解图，作PC⊥OB于点C，点P的坐标为(4，－6)；
(2)①如解图，a＝2－2；②直线PQ经过定点(2，－2).

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